Расчёт показателей теоретического распределения

Расчёт показателей теоретического распределения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Факультет «Вечерний»

Кафедра «Организация и безопасность движения»

Отчет по лабораторной работе №2

Расчёт показателей теоретического распределения

по дисциплине «Надёжность работы автомобильных дорог»

Студент Ламова А.Ю.

Руководитель проекта к.т.н., доцент И.В.Огнев

БАРНАУЛ 2012

Цель работы:освоить методы статистической обработки информации оботказах и определить основные характеристик надежности.

Немного теории (повторение пройденного)

Среднее арифметическое значение характеризует центр группирования случайных величин;

Дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации характеризуют степень разброса случайных величин около центра;

Асимметрия и эксцесс характеризуют соответственно степень не симметрии и тупости кривой распределения.

Законы распределения случайных величин отражают физическую сущность рассматриваемых явлений. Совокупность факторов или условий, приводящих к возникновению того или другого вероятностного закона, называют математической моделью явления. Применительно к нормальному закону математической моделью служат следующие условия:

-          исследуемое явление является следствием или суммой воздействий достаточно большого количества различных случайных, независимых между собой или слабо зависимых источников;

-          дисперсии и математические ожидания складываемых источников мало отличаются друг от друга, и от математического ожидания и дисперсии складываемой суммы.

При наличии указанных условий возникает нормальный закон, который находит широкое применение при решении различных инженерных и экономических задач.Применительно к математической теории надежности нормальный закон хорошо описывает постепенные отказы изделий, вызываемые выходом из строя их отдельных элементов.

Критерий согласия Пирсона применяется для проверки согласованности эмпирического и теоретического распределений.

Точечной называют опенку, которая определяется одним числом.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала.

Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Расчет

статистический аккумулятор надежность математический

Дано: имеется статистика отказов аккумуляторов. Было обследовано 20 аккумуляторов. Величина выработки аккумуляторов колеблется в пределах от 6100 км до 14700 км.

Определить параметры теоретического распределения и величину границ нижнего и верхнего интервала оценки математического ожидания выработки аккумляторов с доверительной вероятностью 0,95.

Решение: требуется решить следующие задачи:

-          построить гистограмму опытных частот по пробегу и по ее виду решить в первом приближении вопрос о законе распределения (было в первой работе);

-          для предполагаемого закона распределения построить теоретическую кривую частоты отказов по пробегу, найти основные параметры закона распределения, построить интегральную кривую;

-       дать интервальную оценку математического ожидания.

Для удобства обработки весь объем выборки п обычно группируется в К разрядов (интервалов).

В нашем примере нижний пробег округлен до 6 тыс. км, верхний до 15 тыс. км. Их разность составила 6 тыс. км, что позволяет нам все измерения сгруппировать в 9 разрядов с величиной интервала в 6 тыс. км.

Определяем числовые характеристики статистического распределения.

Находим среднее арифметическое:

Определяем оценку дисперсии:

Находим оценку среднего квадратического отклонения:

Определяем оценку величины коэффициента вариации:

Расчёт показателей теоретического распределения

За нулевую гипотезу принимаем, что теоретическое распределение является нормальным (исходя из вида гистограммы).

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности:

гдеи - соответственно математическое ожидание и среднееквадратическое отклонение случайной величины

Определяем показатели теоретического распределения и строим графики. Определение точек теоретических кривых удобнее проводить в табличной форме, см. таблицу №1.

Таблица 1 - Расчёт теоритических кривых.

При этом теоретические частости подсчитываются через так называемую табличную плотность вероятности:

где

Значения этой функции подсчитаны и приводятся в таблицах, содержащихся в литературе по математической статистике. Эта же таблица приведена в приложении 1 настоящего методического указания.

Теоретические частоты подсчитываются по формуле:

где  - постоянный коэффициент.

Умножив цифры в пятой колонке на этот коэффициент мы получаем соответствующие им теоретические частоты, которые заносим в шестую колонку таблицы.

Для контроля правильности ваших действий необходимо на этом этапе в обязательном порядке подсчитать сумму теоретических частот. Она должна получиться чуть меньше объема выборки. В нашем примере она равна 19,36 что на 0,64 меньше 20. Это очень хороший результат указывает на правильность наших вычислений.

Рассчитываем интегральную функцию нормального распределения:

Для ее вычисления удобнее провести центрирование и нормирование данной функций, для чего положим:

Центрированная и нормированная, т.е. табличная функция нормального закона запишется так:

Для табличной интегральной функции составлена таблица, см. приложение 2. По величинеZ находим значения функции. Используя ее,занесем в гр. 7 таблицы №1 накопленные частости для каждого интервала, а в гр. 8 ее значение в процентах.

В отчете по лабораторно-практической работе выполняются два рисунка, на одном из которых изображается теоретическая кривая частот распределения отказов, а на другом - интегральная кривая частот отказов, см. рис. 1 и 2. При их выполнении необходимо соблюдать в установленном порядке существующие на данный момент стандарты.

Рисунок 1 - Гистограмма и теоритическая кривая

Рисунок 2 - Интегральная кривая

Проверка правильности выбора закона распределения

Для проверки согласованности эмпирического и теоретического распределений вычисляют наиболее распространенный критерий согласия Пирсона по формуле:

Расчет критерия согласия также удобно выполнять табличным способом, см. таблицу 2.

Таблица 2 - Расчёт критерия согласия Пирсона.

Далее определяется число степеней свободы г как разность между числом интервалов К и наложенными связями (условиями) S* :

Поскольку при построении законов распределения всегда накладывается требование, т.е. всегда имеется одна связь (условие), то введя замену S= S*-1, получим:

где S - количество числовых характеристик (параметров) закона распределения.

Например, нормальный закон является двухпараметрическим и определяется математическим ожиданием M(x) и средним квадратическим отклонением , т.е.S=2.

Для рассматриваемого примера число степеней свободыr= 9-2-1 = 6.

Поrис помощью приложения 4 определяют вероятность согласия р теоретического и эмпирического распределений, или, иначе говоря, уровень значимости. Численное значение уровня значимостихарактеризует вероятность допустить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть правильную гипотезу. Наиболее употребительными значениями уровня значимости является: р = 0,1 и р = 0,05 (строгие условия); р = 0,01 и р = 0,001 (менее строгие условия).

При статистическом контроле качества продукции чаще всего используется величина р = 0,0027, равная вероятности отклонения случайной величины, распределенной по нормальному закону за пределы ±.

Таким образом, при проверке правдоподобности сделанной нулевой гипотезы с помощью уровня значимости происходит сравнение опытного значения с данным теоретическим значением вероятностир, т. е.:

Для рассматриваемого примера приr = 6 и  = 1 из таблицы приложения 4 находим, что уровень значимости лежит в пределах 0,90<р< 0,99, что вполне допустимо и мы можем сделать допущение, что принятая гипотеза о нормальном распределении не отвергается.

Вторая методика проверки правильности выбора закона распределения

Можно быстро произвести проверку принятой гипотезы с помощью критерия Романовского:

В нашем случае:

Определение доверительного интервала для оценки среднего значения наработки на отказ

Существует точечная и интервальная оценка.Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше - точечные. При выборе малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность оценки.

Доверительным называют интервал(; ;), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратичном отклонении (стандарте)находятся из выражения:

Таким образом имеем:

где - коэффициент Стьюдента, определяется поnи.

Применительно к примеру, задаваясь доверительной вероятностью (надежностью) у= 0,95 из таблицы приложения находим = 2,093.

Тогда:

т.е. с доверительной вероятностью равной 0,95 можно утверждать, что математическое ожидание лежит в пределах от 9,70 тыс. км до 11,68 тыс. км