Решение систем линейных уравнений. Теория вероятности

Решение систем линейных уравнений. Теория вероятности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ОМСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) РОССИЙСКОГО

ГОСУДАРСТВЕННОГО ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Контрольная работа по дисциплине «Математика»

Вариант 6

Омск, 2011 г.

ЗАДАЧА 1

уравнение матрица квадратическое отклонение

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1В1С1D1. Найдите:

а) длину ребра А1В1;

б) косинус угла между векторами;

в) уравнение ребра А1В1;

г) уравнение грани А1В1С1;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1;

е) координаты векторов , , , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где  - середины ребер А1D1 и В1С1, соответственно;

з) разложение вектора  по базису  

если A1(3, 0, -1), B1(-1, -2, -4), C1(-1, 2, 4), D1(7, -3, 1).

Решение.

а) найдем координаты вектора по формуле:

= XВ- XА; YВ- YА; ZВ- ZА, где (ХА, YА, ZА) - координаты точки А1, (ХВ, YВ, ZВ) - координаты точки В1.

Итак, =  

Тогда  = .

Итак, длина отрезка  (или длина вектора ) равна . Это и есть искомая длина ребра.

б) координаты вектора = уже известны, осталось определить координаты вектора : =.

Угол между векторами и вычислим по формуле:=,

где скалярное произведение векторов иравно

(,)=(-4)´(-4)+(-2)´2+(-3)´3=16+(-4)+(-9)=16-4-9=3,

=, =  

Итак, cos==.

в) координаты точки А1(3,0,-1) обозначим соответственно Х0 = 3, У0 = 0, Z0=-1, а координаты точки В1 (-1,-2,-4) через Х1=-1, У1 = -2, Z1=-4 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки:

.

Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид

 или

г) обозначим координаты векторов и через Х1=-4,У1= -2, 1=-3 и Х2=-4, У2=2, 2=3, соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

Так как данный вектор перпендикулярен грани А1 В1 С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0, У0, 0) перпендикулярно вектору , которое имеет вид:

А .

Подставим координаты точки А1 (Х0=3, У0=0, 0=-1) и координаты перпендикулярного вектора А=0, В=24, С=-16 в это уравнение:

(Х-3)+24(У-0)-16(+16) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены 24Y-16Z-256=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид:

Y-16Z-256=0 или 3Y-2Z-32=0.

д) вектор  является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку  с заданным направляющим вектором: , где  - координаты точки D1. Отсюда искомое уравнение:  или

е) координаты вектора ==.

Обозначим =,=, .

Чтобы доказать, что векторы  образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,

отличен от 0. Определитель третьего порядка равен

=- +=

=

Вычислим определитель

=-4- (-2)+(-3) =

=-4(2*2 -)+2(2(-4) -43) -3((-4) (-3) -42) =

=-413+2(-20) - 34=-52 - 40- 12 = -104.

Так как данный определитель отличен от 0, то вектора  образуют линейно независимую систему.

ж) сначала найдем координаты точек М и N, соответственно. Координаты точки

М = =  =  ===.

Получаем вектор  =.

з) обозначим через координаты вектора в базе .

Тогда = = .

Так как: =++=

=++=

=,

то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(1)

Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера. Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Тогда = z, где:

Для системы (1) определитель:

=(-4)-(-4)+4=

=(-4)*13+4*(-13)+4*0=-52-52+0=-104;

=(-6)*13+4*(-3)+4*(-4.5)=-78-12-18=-108;

=(-4)- (-6)+4=

=(-4)* (-3)+6*(-13)+4*(-4.5)=12-78-18=-84;

=(-4)- (-4)+ (-6)=

=(-4)*4.5+4*(-4.5)-6*0=-18-18-0=-36.

По формулам Крамера  

Итак, разложение вектора по базису () имеет вид

=

ЗАДАЧА 2

Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

Решение.

а) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера ,

где (Подробности смотрите в пункте з) задачи 1.

=1-1+1=1*(-3+2)-1(3+1)+1(-2-1)=

=1*(-1)-1*4+1(-3)=-1-4-3=-8

=6-1+1=6*(-3+2)-1(0+1)+1(0-1)=

=6*(-1)-1*1+1(-1)=-6-1-1=-8

=1-6+1=1*(0+1)-6(3+1)+1(-1-0)=

=1*1-6*4+1(-1)=1-24-1=-24

=1-1+6=1*(1-2)-1(-1-1)+6(-2-1)=

=1*(-1)-1*(-2)+6(-3)=-1+2-18=-17

Так как  ; то

Ответ:

б) Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.

Достроим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 × 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

в) решение системы в этом случае равно =, где =  - обратная матрица для матрицы =,  - столбец свободных членов, - определитель этой матрицы.

Составим матрицу состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:

А = .

Вычислим ее определитель

=1-1+1=

=.

Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:

Тогда =  и ==

=== =.

Ответ:

ЗАДАЧА 3

В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них «Жигулевское». Случайным образом выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них :

а) только пиво сорта «Жигулевское»;

б) ровно одна бутылка этого сорта.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 бутылки Жигулевского из 18 бутылок, то есть - число сочетаний из 18 элементов по 3.

а) подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию. Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 бутылки Жигулевского из 12 бутылок, то есть

искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

б) подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию: две бутылки Жигулевского можно выбрать из 18 бутылок:  способами, при этом одну бутылку нужно выбирать из четырех:  способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно  

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов

.

Ответ: а) б)

ЗАДАЧА 4

В двух одинаковых коробках находятся карандаши «Конструктор». Известно, что ⅓ карандашей в первой коробке и ¼ во второй имеют твердость ТМ. Наугад выбирается коробка, из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказывается твердости ТМ. Какова вероятность того, что он извлечен из первой коробки?

Решение: Обозначим через А событие - «карандаш имеет твердость ТМ». Возможны следующие гипотезы о происхождении этого карандаша:  «карандаш из первой коробки»,  «карандаш из второй коробки». Так как доля первой коробки составляет ⅓, то вероятности этих гипотез равны соответственно:

Искомую вероятность того, что взяли карандаш с твердостью ТМ, находим по формуле полной вероятности:

.

Ответ:

ЗАДАЧА 5

Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

Найдите:

а) неизвестную вероятность p;

б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = 4½x½ - 1.

Решение:

а) так как сумма всех вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение

Отсюда ;

б) математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:

Дисперсия D=

Среднее квадратическое отклонение = ;

в) если <

если - 2<<

если - 1<<

если 0< 0,41+0,25=0,66

если 1< 0,66+0,16=0,82

если 2< 0,82+0,10=0,92

если 3<0,92+0,05=0,97

если х >4, то F(x)=Р( Х < х )=0,97+0,03=1

Итак, функция распределения может быть записана так: (x) =

График этой функции приведен на рисунке:

г) сначала найдем значения случайной величины Y.

По условиям задачи  

Поэтому

Составим таблицу вида.

Чтобы получить закон распределения случайной величины Y, необходимо:

) рассмотреть ее значение в порядке возрастания;

) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.

Итак, закон распределения случайной величины Y :

ЗАДАЧА 6

Известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки 0,49. Какова вероятность того, что 300 новорожденных окажется:

а) 150 мальчиков;

б) от 150 до 200 мальчиков?

Решение:

а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =300 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна  равна к=150 раз (безразлично, в какой последовательности) приближенно равна

Так как

то

Значение функции находим в таблице Брадиса:

Итак,

Отметим, что таблица функции приведена только для положительных значений. Если же значение  получилось отрицательным, то знак минус можно просто опустить в силу четности функции ;

б) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в n =300 независимых испытаниях событие наступит от К1=150 до К2 =200 раз приближенно равна:

Так как ,

то

Значение функции  также находим в специальной таблице Брадиса. В таблице  Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что является нечетной функцией, то есть  Итак, . Отсюда  

Ответ: