Рекомендации и примеры решения задач по математике в соответствии с требованиями Единого государственного экзамена

Рекомендации и примеры решения задач по математике в соответствии с требованиями Единого государственного экзамена

Рекомендации и примеры решения задач по математике в соответствии с требованиями единого государственного экзамена

1. Геометрический смысл производной

математический задача решение

В задаче B8 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1.      Значение производной в некоторой точке x₀,

2.      Точки максимума или минимума (точки экстремума),

.        Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Несмотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы - все они будут рассмотрены ниже.

Информация к размышлению

Внимательно читайте условие задачи B8, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1.      Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты - это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.

2.      Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Дx = x₂ − x₁ и приращение функции Дy = y₂ − y₁.

.        Наконец, находим значение производной D = Дy/Дx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента - и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки - иначе задача составлена некорректно.

·              Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:Дx = x₂ − x₁ = −1 − (−3) = 2; Дy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Дy/Дx = 4/2 = 2.

Ответ: 2

Задача

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:

Дx = x₂ − x₁ = 3 − 0 = 3;

Дy = y₂ − y₁ = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной:

= Дy/Дx = −3/3 = −1.

Ответ: −1

Задача

математический интеграл геометрический

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:

Дx = x₂ − x₁ = 5 − 0 = 5; Дy = y₂ − y₁ = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Дy/Дx = 0/5 = 0.

Ответ: 0

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать - достаточно взглянуть на график.

. Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B8 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1.      Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).

2.      Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1.      Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной - и все.

2.      Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.

.        Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций - других в задаче B8 не встречается.

·              Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Решение

Избавимся от лишней информации - оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Ответ: −3

Задача

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Решение

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус - это точка максимума.

Ответ: 5

Задача

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4].

Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Решение

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Ответ: 1

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

3. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1.      Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.

2.      Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1.      Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.

2.      Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1.      Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.

2.      Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 - убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.

.        Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

·              Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Решение

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Ответ: 14

Задача

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:₁ = − 6 − (−8) = 2;₂ = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l₂ = 5.

На рисунке изображён график функции , одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале  . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке .

Поскольку - первообразная функции  - это функция, производная которой равна : - исходную задачу можно переформулировать так: по графику функции найти количество точек, принадлежащих отрезку , в которых производная функции равна нулю.

Как мы знаем, производная равну нулю в точках экстремума.

Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:

Точки экстремума («холмики» и «впадинки») выделены красным цветом. На отрезке  их 10.

Ответ: 10.

Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:

Здесь число  - нижний предел интегрирования, число  - верхний предел интегрирования. Определенный интеграл - это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

.

- это значение первообразной функции  в точке , и, соответственно,  - это значение первообразной функции  в точке .

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

. Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл  - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке  функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прототип задания B8 (№ 323080)

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  - одна из первообразных функции . Найдите

площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

,

где  - первообразная функции .

По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать «в уме».

=

=

Ответ: 4