О существовании и единственности решений некоторых классов гиперболических уравнений

О существовании и единственности решений некоторых классов гиперболических уравнений

Таразский Инновационно Гуманитарный Университет

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ некоторых классов ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. Дунбаева

Г. Ахмедиева

Б. Омарова

А. Турганбекова

г. Тараз

Формулировка результатов

Известно, что в случае неограниченной области свойства решений эллиптических уравнений исследованы достаточно полно. Для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа этим вопросам посвящено гораздо меньше работ [1-4].

Рассмотрим дифференциальное уравнение

                 (1)

В дальнейшем предположим, что коэффициенты  удовлетворяют условию:

i) - непрерывные функции в .

Теорема 1. Пусть выполнено условие i). Тогда для уравнения (1) при любой  существует единственное решение .

Теорема 2. Пусть выполнено условие i). Тогда для любого решения  уравнения справедлива оценка

,

где с>0 - постоянное число.

На положим

Нетрудно проверит, что оператор  допускает замыкание и его обозначим через .

Вспомогательные леммы и утверждения

Лемма 2.1. Пусть выполнено условие i). Тогда для всех  выполняется неравенство

Доказательство. Лемма доказывается точно также как лемма 1. работы

Далее, в этом пункте доказывается существования резольвенты дифференциального оператора

в

Для этого, сперва, рассмотрим оператор

 определенный на множестве функции и удовлетворяющих следующим требованиям:

,

Здесь  и -правые и левые концы интервалов .

Лемма 2.2. Пусть выполнено условие i). Тогда при  существует непрерывный обратный , определенный в пространстве и справедливы следующие оценки

гиепрболический уравнение эллиптический дифференциальный

а) ,  б) ,

в)  а при ;

г)

где - постоянное число не зависящее от  и .

Доказательство. Повторяя выкладки и рассуждения использованные в работах [1-4], получаем доказательство леммы 2.2.

Возьмем набор  неотрицательных функции из  таких, что

, supp

Через К обозначим оператор, определенный равенством

,

Лемма 2.3. Пусть, выполнено условие i). Тогда для любой функции  справедливо следующее равенство

                                                                     (2.1)

где

 (суммы без указания пределов берутся по всем целым j)

Доказательство. Пусть  и рассмотрим действия оператора K на f

                                                    (2.2)

Так как , то сумма (2.7) конечна. Поэтому следующее вычисления законны:

Здесь учитывалось, что . Лемма 2.3 доказана.

Лемма 2.4. Пусть выполнено условие i). Тогда найдется  такое, что .

Доказательство. Проведем оценку нормы оператора :

Здесь мы возпользовались тем что на  только . Отсюда и в силу неравенства Гельдера получаем, что

где , из последнего неравенства, пользуясь леммой 2.2. имеем:

                                                             (2.3)

Последнее неравенство при достаточно больших положительных  доказывает лемму.

Лемма 2.5. Пусть выполнено условие i). Тогда оператор  при достаточно больших  непрерывно обратим и справедливо неравенство.

                                                                      (2.4)

Доказательство. Оператор  ограничен со своим обратным. Поэтому множество  плотно в . Из равенства (2.11) при  получаем, что  и . Отсюда имеем что  является решением уравнения . Единственность следует из леммы 2.2 лемма 2.5 доказана.

Лемма 2.6. Пусть выполнены условия леммы 2.5. и пусть  такое, что . Тогда справедлива оценка:

                               (2.5)

где   непрерывная функция в .

Доказательство. Из представления (2.5) видно, что оператор  ограничен (или неограничен) вместе с оператором .

Поэтому будем заниматься оценкой нормы последнего оператора . Для любого  имеем:

Не трудно проверить, что на  только . Учитывая это в силу неравенства Гельдера имеем:

Лемма 2.6 доказана.

Лемма 2.7. Пусть выполнены условия леммы 2.6. Тогда справедливы следующие оценки:

а) ; б) ;

в) .

Доказательство. Согласно леммы 2.6.

Отсюда и из леммы 2.2 получаем, что

Далее, в силу леммы 2.4 имеем:

Точно также, пользуясь леммой 2.3. находим

Лемма 2.7 доказана.

Доказательство теорем 1-2

Применяя преобразования Фурье по х к уравнению (1) получаем:

                                     (3.1)

где

Отсюда нетрудно заметить, что задача о решении уравнения (1) перейдет в задачу о решении уравнения (3.1). Следовательно, по лемме 2.5.:

                                                            (3.2)

дает решение уравнения (3.1).

Теперь, используя обратный оператор , имеем:

                                                (3.3)

Из (3.3) используя свойствами преобразования Фурье, получаем, что

Отсюда, в силу леммы, находим:

                                                                                               (3.4)

- постоянное число.

Найдем

Далее, мы имеем

Откуда, в силу леммы 2.4

                                                                                   (3.5)

- постоянное число.

Аналогично найдем :

Тогда можно записать, что

Отсюда и из леммы 2.7. имеем:

                                                                                    (3.6)

где - постоянное число не зависящее от u и f.

Находим также :

Так как преобразование Фурье не зависит от у, то справедливо равенство:

Таким образом, учитывая лемму 2.4 имеем:

                                                                                     (3.7)

Теорема 2 полностью доказана.

Список литературы

1. Муратбеков М.Б. // Дифференциальные уравнения, 1991, т.27, №16 С. 2127-2137.

. Кальменов Т.Ш., Муратбеков М.Б. //Спектральные свойства оператора смешанного типа. Издательство «Ғылым» Алматы, 1997.

. Муратбеков М.Б., Ахмеджанов М.А. // Математический журнал, 2005, т.5. №2(16), С. 57-65.

. Муратбеков М.Б., Отелбаев М.О. // Известия вузов сер. матем. 1989, №3, С. 44-47.