Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников

Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников

1. Синтез схем реактивных двухполюсников, входящих в состав исследуемого четырехполюсника

Функция операторного сопротивления двухполюсника Z(p), по которой можно построить соответствующую цепь называется физически реализуемой. Удобнее всего представить исследуемый двухполюсник в виде одной из канонических схем. Значения переменного р, соответствующего корням многочлена в числителе, обращают Z(p) в нуль и называются нулями функции Z(p). Корни многочлена, находящегося в знаменателе дроби, являются полюсами функции. Определив нули и полюсы функции операторного сопротивления двухполюсника Z(p), можно построить полюсно-нулевое изображение на плоскости комплексного переменного р. Нули и полюсы физически реализуемой функции всегда чередуются. В заданной функции Z(p) можно также определить схему данного двухполюсника, его параметры, частоты резонансов напряжений и токов, начертить график зависимости Z(p) от частоты. Функция Z(p) реализуема, если она положительна и действительна, все коэффициенты при операторе  - только вещественные и положительные числа; высшая степень оператора равна числу реактивных элементов в схеме. Разница между высшими и низшими степенями оператора  у числителя и знаменателя равны единице.

Рисунок 1 - Схема замещения исследуемого ЧП

Определим элементы, образующие данный четырехполюсник.

Формулы операторных сопротивлений согласно заданию имеют следующий вид:

 (1)

 (2)

Исходя из формул (1) и (2), количество элементов в исследуемых двухполюсниках равно двум (максимальной степени комплексной переменной ). Класс схемы определяется по значению сопротивлений на нулевой частоте и частоте, равной бесконечности:

,

так как степень знаменателя больше степени числителя;

,

так как степень знаменателя больше степени числителя;

Итак, класс обеих схем 0 - 0, т.е. схемы пропускают и ток низкой частоты и ток высокой частоты, и состоят из двух элементов: каждая - это параллельное соединение катушки индуктивности и конденсатора.

Рисунок 2 - Схема первого двухполюсника

 

Рисунок 3 - Схема второго двухполюсника

Определим сопротивление первого двухполюсника, исходя из его схемы (рисунок 2):

Сравнивая полученную формулу с заданной:

Можно сделать вывод, что Гн,Ф.

Сопротивление первого двухполюсника в канонической форме, исходя из соотношения , где - мнимая единица:

где  - резонансная частота (резонанс токов), равная

Полюсно-нулевое изображение первого сопротивления и его характеристическая строка представлены на рисунке (4) и (5):

Рисунок 4 - Характеристическая строка сопротивления первого двухполюсника

Рисунок 5 - Полюсно-нулевое изображение первого двухполюсника

Рассчитаем значение   на контрольной частоте :

Сопротивление второго двухполюсника определяется аналогично первому.

Определяем сопротивление второго двухполюсника согласно схеме, изображенной на рисунке (3):

Сравнивая полученную формулу с заданной:

Можно сделать вывод, что Гн,Ф.

Сопротивление второго двухполюсника в канонической форме, исходя из соотношения , где - мнимая единица:

где  - резонансная частота (резонанс токов), равная

Полюсно-нулевое изображение второго сопротивления и его характеристическая строка представлены на рисунке (6) и (7):

Рисунок 6 - Характеристическая строка сопротивления

Рисунок 7 - Полюсно-нулевое изображение второго двухполюсника

Рассчитаем значение на контрольной частоте

Частотные зависимости сопротивлений двухполюсников сведены в таблице (1). График частотных зависимостей сопротивлений двухполюсников представлен на рисунке (8).

Таблица 1 - Частотная зависимость сопротивлений двухполюсников, входящих в состав исследуемого четырехполюсника

ω, рад/с	f, Гц	, Ом, Ом
0	0	0	0
1000	159,155
2000	318,31
4000	636,62
5000	795,775
10000	1592	j
15000	2387
18300	2913
20000	3183
0

2. Расчет входных сопротивлений четырехполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания

Элементная схема исследуемого ЧП, после проведенных расчетов, имеет вид, представленный на рисунке 9:

Рисунок 9 - Элементная схема четырехполюсника

2.1 Режим холостого хода

Произведем расчет для прямой передачи входного сопротивления при холостом ходе.

Схема включения четырехполюсника для нахождения входного сопротивления представлена на рисунке 10:

Рисунок 10 - Схема ЧП для нахождения в режиме ХХ при прямой передаче

; (3)

Подставляя в формулу (3) сопротивления ДП (формула 1 и 2), получаем:

Это ДП класса 0-0, так как при подстановке нулевой и бесконечно большой частоты

2.2 Режим короткого замыкания при прямой передаче сигнала

Произведем расчет для прямой передачи входного сопротивления при КЗ. Схема включения четырехполюсника для нахождения входного сопротивления представлена на рисунке (11):

Рисунок 11 - Схема ЧП для нахождения  в режиме КЗ при прямой передаче

; (4)

Подставляя в формулу (4) сопротивления ДП (формула 1 и 2), получаем:

;

Это ДП класса 0-0, так как при подстановке нулевой и бесконечно большой частоты

Рассчитаем значение  на контрольной частоте

Значения сопротивления  приведены в таблице 2.

Так как задан симметричный Т-образный ЧП, значения сопротивлений  и  при прямой и обратной передаче будут совпадать.

Таблица 2 - Частотная зависимость входных сопротивлений при ХХ и КЗ на выходе при прямой и обратной передаче

ω, рад/с	f, Гц	, Ом, Ом
0	0	0	0
2000	318.471
5000	796.178
7000	1115
10000	1592
10500	1672
10829,77	1722	0
11484,77	1744
11000	1752
11500	1850
12000	1911
14000	2229
16000	2548
18000	2866
18248,3	2906
20000	3185

3. Нахождение матрицы типа А и системной функции исследуемого четырехполюсника

В данной курсовой работе рассматривается четырёхполюсник, собранный из оптимально выбранных двухполюсников в соответствии со схемой замещения, указанной в задании.

Теория четырёхполюсников позволяет, применяя некоторые обобщённые параметры, связать между собой напряжения и токи на входе и выходе, не производя расчётов этих величин в схеме самого четырёхполюсника.

К таким обобщённым параметрам относятся собственные параметры четырёхполюсников, которые определяются без учета влияний внешних подключений (генератора и нагрузки). Параметры-коэффициенты A (а также B, Z, Y, H, G) относятся к собственным параметрам.

Четырёхполюсную цепь (рисунок 13), имеющую вход и выход, следует характеризовать связями между двумя напряжениями U₁ и U₂ и двумя токами I₁ и I₂.

Рисунок 13 - Схема исследования

Если за функции принять U₁ и I₁, а за аргументы U₂ и I₂, то получим основную систему уравнений четырёхполюсника в виде:

(5)

Такую систему уравнений для любых заданных условий включения четырёхполюсника можно дополнить ещё двумя уравнениями: уравнением генератора:

(6)

и уравнением приёмника:

(7)

Матрица А имеет вид:

(8)

Для пассивных четырёхполюсников определитель, составленный из коэффициентов A, равен единице.

(9)

Коэффициенты матрицы A для заданной прямой Т - образной схемы имеют следующий вид:

 (10)

 (11)

 (12)

 (13)

Общий вид матрицы А:

; (14)

Чтобы убедиться в правильности выбора коэффициентов A-матрицы, подставим полученные коэффициенты в формулу (9):

Следовательно, полученные коэффициенты верны.

Подставим в коэффициенты матрицы А сопротивления двухполюсников (формулы 1, 2) в виде Z = (jw) и, произведя различные математические преобразования, получим:

;

Проведём контрольный расчет A-параметров на частоте w = 5000 рад/с.:

Проверим достоверность найденных коэффициентов, используя формулу (9).

;

Определитель матрицы А равен 1, что свидетельствует о пассивности ЧП.

Нахождение системной функции четырёхполюсника

Формула для расчета рабочей передаточной функции исследуемого четырехполюсника имеет следующий вид:

 (15)

Согласно заданию сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление генератора следующие:

Проведем контрольный расчет на контрольной частоте

w = 5000 рад/с.:

В дальнейшем мы используем системную функцию для расчета активного четырехполюсника.

4. Расчет характеристических, повторных и рабочих параметров четырехполюсника

4.1 Характеристические параметры

При исследовании работы четырехполюсника в качестве различных устройств автоматики, телемеханики и связи удобно пользоваться характеристическими параметрами.

К характеристическим параметрам относятся: характеристические сопротивления и характеристическая постоянная передачи.

Характеристическое сопротивление - это такое сопротивление, при подключении которого в качестве нагрузки входное сопротивление четырехполюсника становится равным соответственно характеристическому сопротивлению.

Выразим сопротивление через сопротивления ХХ и КЗ:

Характеристическое сопротивление при прямой и обратной передаче равно, так как ЧП симметричный:

; (16)

.

Пусть, тогда:

Проведем контрольный расчет характеристического сопротивления  на частоте w = 5000 рад/с.:

Остальные значения характеристического сопротивления приведены в таблице (3).

Таблица 3 - Зависимость характеристических сопротивлений от частоты

ω, рад/с	f, Гц	, Ом
0	0	0
2000	318.471
5000	796.178
7000	1115
10000	1592
10500	1672
10800	1722
11484,77	1752
11000	1744
11500	1850
12000	1911
18000	2866
18248,3	2906
20000	3185

Характеристическая постоянная передачи ()

Характеристическая постоянная передачи g_C оценивает потери мощности в четырёхполюснике, не зависит от направления передачи энергии через четырёхполюсник.

Следовательно получаем:

Обозначив:

,(21)

получим

(22)

и

(23)

где

.(24)

Подставив выражения  и  в формулу (21) и проведя некоторые математические преобразования, получим:

((25)

4.2 Повторные параметры четырехполюсника

Повторным сопротивлением называется такое, при подключении которого в качестве нагрузки значение входного сопротивления ЧП становится равным значению нагрузочного. Следует отметить, что в симметричных четырехполюсниках повторные параметры совпадают с характеристическими.

Поскольку исследуемый ЧП - симметричный, повторное сопротивление при прямом и обратном направлении передачи одинаково и находится по формуле:

 (27)

Повторная постоянная передачи характеризует соотношение между входными и выходными значениями тока, напряжения и мощности в режиме, при котором ЧП нагружен на соответствующее выбранному направлению передачи повторное сопротивление:

 (28)

Проведём расчет на частоте w = 5000 рад/с., используя рассчитанные ранее A-параметры:

4.3 Рабочие параметры

Расчет входных сопротивлений

Входным сопротивлением четырёхполюсника называется то полное сопротивление четырёхполюсника переменному току, которое может быть измерено со стороны его входных зажимов при условии замыкания его выходных зажимов на заранее заданное сопротивление.

При прямом направлении передачи:

(29)

При обратном направлении передачи:

.(30)

Так как четырёхполюсник симметричный, то входные сопротивления при прямой и при обратной передаче совпадают и равны характеристическому сопротивлению.

Проведём расчет выражения (29) на частоте w = 5000 рад/с., используя рассчитанные ранее A-параметры и Z_Н = 1400 Ом:

Расчет сопротивлений передачи

Рассчитаем сопротивление передачи - это отношение входного сопротивления к выходному току.

При прямой передаче сопротивление рассчитывается по формуле:

                                        (31)

При обратной передаче сопротивление рассчитывается по формуле (32).

                                       (32)

Четырехполюсник симметричный, поэтому:

Проведём расчет на контрольной частоте w = 5000 рад/с.:

В ряде случаев при определении условий передачи энергии от входа к выходу четырёхполюсника требуется учитывать . Тогда используют приведённое сопротивление четырёхполюсника - отношение ЭДС генератора к току в нагрузке.

Для прямого направления передачи энергии приведенное сопротивление определяется по формуле:

 (33)

Для обратного направления передачи энергии приведенное сопротивление определяется по формуле:

 (34)

Так как четырёхполюсник симметричный, то приведенное сопротивление при прямой и при обратной передаче совпадают.

Проведём расчет на контрольной частоте w = 5000 рад/с.:

Для характеристики условий передачи мощности сигнала через ЧП используют логарифмическую меру рабочего коэффициента передачи по мощности четырехполюсника - рабочую постоянную передачи.

При прямом направлении передачи сигнала рабочая постоянная передачи будет вычисляться по следующей формуле:

; (35)

Произведем расчет рабочей постоянной передачи на контрольной частоте w = 5000 рад/с.:

Вносимая постоянная передачи:

; (36)

Подставляя в формулу (36) значения рабочих постоянных передачи получаем:

Заключение

В ходе выполнения данного курсового проекта были рассчитаны элементы двухполюсников, составляющих исследуемый четырехполюсник; были рассчитаны собственные, повторные и рабочие параметры исследуемого четырехполюсника. Приведены графики частотной зависимости сопротивлений двухполюсников, входящих в состав исследуемого четырехполюсника; графики частотной зависимости сопротивлений холостого хода и короткого замыкания; графики частотной зависимости характеристических сопротивлений, характеристического ослабления, характеристической фазовой постоянной. Произведен расчет элементов эквивалентного активного четырехполюсника. Экспериментально была проверена частотная зависимость постоянного затухания исследуемого четырехполюсника при прямом направлении передачи.

Выполнение данного курсового проекта способствовало закреплению теоретических знаний по разделам «Двухполюсники» и «Четырехполюсники» курса теории линейных электрических цепей и появлению практических навыков, необходимых при эксплуатации проектировании, разработке и усовершенствовании устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.

Библиографический список

двухполюсник реактивный сопротивление четырехполюсник

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В. и др. Основы теории цепей. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

.   Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1987. - 512 с.

.   Шебес М.Р. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1973. - 656 с.

.   Исследование и расчет характеристик двухполюсников и четырехполюсников: Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Теория линейных электрических цепей»/ Л.А. Карпова, В.Т. Полунин, С.А. Полякова, И.В. Раздобарова, В.С. Черноусова. - Омский ин-т инж. ж.-д. трансп., 1991. - 42 с.

5.       Стандарт предприятия. Курсовой и дипломный проекты. Правила оформления схем. СТП ОмГУПС - 13-92. - Омск: 2005 г.