Вычисление параметров случайного цифрового сигнала и определение его информационных параметров цифрового сигнала

Вычисление параметров случайного цифрового сигнала и определение его информационных параметров цифрового сигнала

Реферат

Записка содержит 26 страниц, 19 рисунков, 4 источника.

ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ, СПЕКТР СИГНАЛА, МОДУЛЯЦИЯ, ПОЛЕЗНЫЙ СИГНАЛ, ДИСКРЕТИЗАЦИЯ, КОДИРОВАНИЕ, БЕЛЫЙ ШУМ, АНАЛОГОВО-ЦИФРОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ, ФУНКЦИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ, ГРАНИЧНАЯ ЧАСТОТА, ПОЛОСА ЧАСТОТ.

В данной работе приведены расчеты характеристик модулированных и немодулированных сигналов, применяемых в современных системах связи. Рассмотрены принципы преобразования сигналов в цифровую форму. Работа выполнена среде Mathsoft MathCAD.

Содержание

Задание к курсовому проекту        

Введение

Характеристики сигналов

.1 Расчёт спектральных характеристик сигналов

.1.1 Расчёт спектральных характеристик первого сигнала 

.1.2 Расчёт спектральных характеристик второго сигнала 

.1.3 Расчёт спектральных характеристик третьего сигнала

.2 Расчёт энергетических характеристик сигналов

.3.2 Энергия первого сигнала

.3.3 Энергия второго сигнала

.3.4 Энергия третьего сигнала

.2.1 Общие сведения

.3 Расчет практической ширины спектров сигналов

.4 Граничные частоты спектров сигналов

.4.1 Граничная частота спектра первого сигнала

.4.2 Граничная частота спектра второго сигнала

.4.3 Граничная частота спектра третьего сигнала

Расчет технических характеристик АЦП

.1 Дискретизация сигнала

.2 Определение разрядности кода

Характеристики сигнала ИКМ

.1 Определение кодовой последовательности

.2 Построение функции автокорреляции

.3 Спектр сигнала ИКМ

Характеристики модулированного сигнала

.1 Общие сведения о модуляции

.2 Расчет модулированного сигнала

.3 Спектр модулированного сигнала

Расчет информационных характеристик канала

Расчет вероятности ошибки оптимального демодулятора

Библиографический список

Введение

Связь - быстро развивающаяся отрасль техники. Так как мы существуем в эпоху информатизации, то и объемы информации возрастают пропорционально. Поэтому требования к связи предъявляются соответствующие: надежность, помехоустойчивость и объемы переданных данных.

На железнодорожном транспорте связь оказывает большую роль. Широко распространены радио и телефонная связь, в последнее время наиболее перспективной является волоконно-оптические системы. Так как железнодорожный транспорт представляет объект высокой степени опасности, то наиболее важные требования к связи - это надежность и помехоустойчивость.

В данной работе целью является рассчитать характеристики сигналов и каналов связи. Оценить спектры трех сигналов, а также спектр на входе модулятора. Произвести оцифровку сигнала, вычислить параметры случайного цифрового сигнала и определить его информационные параметры цифрового сигнала. Рассчитать пропускную способность канала. Определить вероятность ошибки приема сигнала.

Наиболее удобным инструментом для расчета параметров сигналов является Mathsoft MathCAD. Позволяющий полностью выполнить данную работу.

1. Характеристики сигналов

1.1 Расчёт спектральных характеристик сигналов

В соответствии с заданием необходимо выбрать из трёх данных сигналов для исследования сигнал с самым узким спектром.

Рассмотрим сигнал U₁(t) и его спектр соответственно:

U₁(t)= (1.1)

S₁(jω)= (1.2)

где h=0.06 B;  =310^-4 с^-1.

График сигнала изображён на рисунке 1.1. График спектральной характеристики на рисунке 1.2, а аргумента на рисунке 1.3. В таблицах 1.1, 1.2 соответственно приведены значения сигнала U₁(t) и его спектральной характеристики.

Рисунок 1.1 - График сигнала U₁(t)

Таблица 1.1 - Значения сигнала U₁(t) в различные моменты времен

Рисунок 1.2 - График модуля спектральной плотности S₁(ω)

Таблица 1.2 - Значения модуля спектральной плотности |S₁(jω)|

Рисунок 1.3 -Фаза спектральной плотности первого сигнала S₁(ω)

Рассмотрим сигнал U₂(t) и его спектр соответственно:

U₂(t)= ;         (1.3)

S₂(jω)= ,            (1.4)

График сигнала изображён на рисунке 1.4. График спектральной характеристики на рисунке 1.5, а аргумента на рисунке 1.6. В таблицах 1.3 и 1.4 соответственно приведены значения сигнала U₂(t) и его спектральной характеристики. сигнал канал демодулятор спектр

Рисунок 1.4 - График сигнала U₂(t)

Таблица 1.3 - Значения сигнала U₂(t) в различные моменты времени

Рисунок 1.5 - График модуля спектральной плотности S₂(ω)

Таблица 1.4 - Значения модуля спектральной плотности S₂(jω)|

Рисунок 1.6 -Фаза спектральной плотности сигнала S₁(ω)

Рассмотрим сигнал U₃(t) и его спектр соответственно:

h, при - ≤ t ≤  ,

U₃(t) =                 (1.5)

Иначе 0

S₃(jω) =         ,                (1.6)

где h=0,05 B и τ=0.310^-5 с.

График сигнала изображён на рисунке 1.7. График спектральной характеристики на рисунке 1.8, а аргумента на рисунке 1.9. В таблицах 1.5 и 1.6 соответственно приведены значения сигнала U₃(t) и его спектральной характеристики.

Рисунок 1.7 - График сигнала U₃(t)

Таблица 1.5 - Значения сигнала U₃(t) в различные моменты времени

Рисунок 1.8 - График модуля спектральной плотности S₃(jω)

Таблица 1.6 Значения модуля спектральной плотности S₃(jω)

Рисунок 1.9 -Фаза спектральной плотности сигнала S₃(jω)

1.2 Расчёт энергетических характеристик сигналов

Полная энергия одиночного сигнала рассчитывается по формуле:

, (1.7)

Бесконечные пределы в интеграле записаны для общего случая и должны быть уточнены для конкретного сигнала. Если функция, задающая сигнал является четной, то мы будем считать интеграл по формуле:

                                        (1.8)

Рассчитаем энергию исходных сигналов по (1.7) или по (1.8).

Для первого сигнала U₁(t) имеем:

. (1.9)

Если выбрать верхний предел интегрирования равным 310⁴ с, то результатом решения интеграла (1.9) будет значение энергии для первого сигнала:

W₁=5,410^-5 Дж.

Для второго сигнала U₂(t) получаем:

. (1.10)

Если выбрать верхний предел интегрирования равным τ = 310⁵ с, то результатом интегрирования будет значение энергии для второго сигнала равное:

W₂=1,510^-9 Дж.

Для третьего сигнала U₃(t) получаем:

. (1.11)

Если принять верхний предел интегрирования равным τ = 310⁵ с, то результатом интегрирования будет значение энергии для третьего сигнала равное:

W₃=7,510^-8 Дж.

1.3 Расчёт практической ширины спектров сигналов

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты ω_c , по заданному энергетическому критерию δ осуществляется на основе неравенства:

, (1.12)

W^/=0.975W,

где W^/ - энергия сигнала с ограничением по верху спектром. Значение W^/ определяется на основе известной спектральной плотности:

, (1.13)

где ω_с - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Значение ω_с определяется путём подбора до выполнения равенства (1.13). Это можно сделать путем нахождения точки пересечения графика энергии сигнала, рассчитанной через спектральную плотность, и графика энергии W^/.

Для первого сигнала:

W^/₁=0.979W=5,286610^-5 Дж.

ω_с1=22500 с^-1.

Для второго сигнала:

W^/₂=1,468510^-9 Дж.

Для третьего сигнала:

W^/₃=7,342510^-8 Дж.

ω_с3=800000 с^-1.

Таким образом, дальнейшие вычисления производим для первого сигнала, так как он имеет наименьшую верхнюю граничную частоту.

На рисунках 1.10, 1.11 и 1.12 изображены зависимости полной энергии сигнала от верхней граничной частоты сигнала. В таблицах 1.7, 1.8 и 1.9 приведены значения энергий сигналов.

Рисунок 1.10 - График полной энергии первого сигнала, W₁

Рисунок 1.11 - График полной энергии второго сигнала, W₂

Рисунок 1.12 - График полной энергии третьего сигнала, W₃

Taблица 1.7 - Значение полной энергии первого сигнала

Taблица 1.8 - Значение полной энергии второго сигнала

Taблица 1.9 - Значение полной энергии третьего сигнала

2. Расчет технических характеристик АЦП

2.1 Дискретизация сигнала

Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству (2.1):

, (2.1)

где - интервал дискретизации, с,

Верхнее значение частоты спектра сигнала:

-

После расчета значения интервала дискретизации необходимо построить график дискретизированного во времени сигнала. Длительность импульсных отсчетов принять равной половине интервала.

Следующими этапами преобразования сигнала является квантования импульсных отсчётов по уровню и кодирование. Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

Нижняя граница диапазона определяется по (2.2)

, (2.2)

где U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

, (2.3)

где P_Ш.КВ - мощность шумов квантования при размерной шкале квантования, Вт.

Известно, что:

, (2.4)

где D - шаг шкалы квантования.

В свою очередь:

, (2.5)

где D - шаг шкалы квантования;

n_КВ - число уровней квантования;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

С учетом этого:

, (2.6)

где n_КВ - число уровней квантования;

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Из (2.6) получаем:

, (2.7)

где n_КВ - число уровней квантования;

U_MIN - нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX - верхняя граница динамического диапазона, В.

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением:

, (2.8)

где m - разрядность кодовых комбинаций. Отсюда:

. (2.9)

Длительность элементарного кодового импульса определяется исходя из интервала дискретизации и разрядности кода по выражению

,с. (2.10)

Из уравнения (2.2) найдём верхнее значение границы динамического диапазона, при h=0,06 В, b = 6×10³ с,

Определим верхнее значение частоты спектра сигнала:

Гц.

По (2.1) находим, Dt = 3,49110^-5 с.

Для расчета нижней границы диапазона подставим в (2.2) К=32,U_MAX = 0,06 В и найдём

В.

Подставив в (2.7) значения g=15, U_MAX = 0,06 В, U_MIN = 0.019В,

таким образом получим:

Затем по (2.5) найдем шаг шкалы квантовании:

.

Найдём мощности шумов квантования по (2.4):

Вт.

Найдём по (2.9) разрядность кодовых комбинаций:

.

Так как минимальная разрядность кодовых комбинаций, исходя из представленных элементов равна 6, то m принимается за 6.

Найдем длительность элементарного кодового импульса по (2.10):

с.

График дискретизированного по времени сигнала приведён на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1- График дискретизированного по времени сигнала

Таблица 2.1 - Зависимость дискретизированного сигнала от времени

3. Расчёт характеристик импульсно-кодовой модуляции

3.1 Определение кодовой последовательности

Для вычисления функции автокорреляции понадобятся 4 значения выборки дискретизированного сигнала, которые получены путем выбора из таблицы 1.1 значений напряжения и деления их на значение , полученное по формуле (2.5).

Полученные результаты округлены до целого.

;

;

;

;

Приравниваем к большему, целому значению:

Затем полученные значения выборки переводятся из десятичной в двоичную систему исчисления:

;

;

;

;

После этого из полученных последовательностей складывается кодовая последовательность, которая будет использоваться для построения функции автокорреляции. Она примет вид:

Полученная кодовая последовательность содержит:

«0» - 16;

«1» - 8.

3.2 Построение функции автокорреляции

Построение функции автокорреляции начнем с построения вектора , который будет представлять собой кодовую последовательность, полученную в параграфе 3.1. Затем, при сдвиге вектора  на один разряд последовательно 7 раз, записывая полученные векторы, получается 7 векторов . Вектора  и  наглядно отражены при помощи таблицы 3.1.

Таблицы 3.1 - Вектора  и

Затем находятся корреляции между вектором  и каждым из векторов . При этом получается 7 значений корреляции, из которых составляется вектор . Из значений длительности импульса сигнала получен вектор  путем умножения времени  на номер строки, начиная с 0. Вектора  и  сведены в таблицу 3.2. Полученный результат есть табличный способ представления функции автокорреляции.

Таблица 3.2 - Табличный способ представления функции автокорреляции

При помощи встроенных функций вычислительной среды Mathsoft MathCAD можно получить также и графическое представление функции автокорреляции.

Для этого сначала нужно составить вектор вторых производных для приближения к кубическому полиному при помощи векторов  и  взятых из таблицы 3.2.

                                       (3.1)

Затем составляется функция, аппроксимирующая автокорреляционную функцию кубическим сплайн-полиномом:

                                      (3.2)

Для проверки результатов вычисления составляется функция, реализующая кусочную аппроксимацию отрезками прямых:

                               (3.3)

Полученные графики полинома и аппроксимирующих его отрезков прямых изображены на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - Автокорреляционная функция

Также автокорреляционную функцию можно записать через вероятности встречаемости символов в коде. Рассмотрим вероятности появления «0» и «1» в сигнале, пользуясь данными, полученными в параграфе 4.1.

Пользуясь вероятностями появления «0» и «1» в сигнале, а также самими значениями напряжения при «0» и «1», можно вычислить математическое ожидание по формуле:

                                                (3.4)

=;

Зная вероятности и напряжения «0» и «1» с помощью математического ожидания можно вычислить дисперсию по формуле:

                                     (3.5)

=;

Сглаженная АКФ более объективно отражает статистические связи в цифровом сигнале. Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной имеет вид:

 - функция корреляции.

График зависимости спектральной плотности от частоты приведён на рис 3.2.

Рисунок 3.2 - Энергетический спектр кодового сигнала

Таблица 3.3 - Энергетический спектр кодового сигнала

4. Характеристики модулированного сигнала

4.1 Общие сведения о частотной модуляции

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик - импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляция зависят от полезного сигнала и вида сигнала-переносчика.

При расчете частотной модуляции следует руководствоваться тем, что частота меняется по закону сигнала-переносчика.

4.2 Расчет модулированного сигнала

Первоначально необходимо построить функцию, реализующую кодовую последовательность для шести временных интервалов длительностью  каждый. Значения напряжения логических «0» и «1» взяты исходя из результатов, полученных в параграфе 4.1.

,                      (4.1)

где В - значение напряжения логического «0»;

В - значение напряжения логической «1».

Затем записывается функция, реализующая колебания с частотой логической «1» модулированного сигнала:

,                                      (4.2)

где , с^-1 - частота, взятая по заданию к проекту

Далее записывается функция, реализующая колебания функции единицы, когда это требуется в соответствии с кодовой последовательностью. Ее график изображен на рисунке 4.1.

                               (4.3)

Рисунок 4.1 - Единичная составляющая частотной модуляции

Затем записывается функция, реализующая колебания с частотой логической «0» модулированного сигнала:

,                                     (4.4)

где , с^-1 - частота, взятая по заданию к проекту

Затее записывается функция, реализующая колебания функции нуля, когда это требуется в соответствии с кодовой последовательностью. Ее график изображен на рисунке 4.2.

                              (4.5)

Рисунок 4.2 - Нулевая составляющая частотной модуляции

В итоге модулированный сигнал в виде кодовой последовательности будет представлять собой арифметическую сумму единичной и нулевой составляющих модуляции. Итоговый модулированный сигнал изображен на рисунке 5.3, для наглядности на этом же рисунке приведен график кодовой последовательности.

Рисунок 43 - Частотно-модулированный сигнал

4.3 Спектр модулированного сигнала

Частотная модуляция относится к одному из видов гармонических модуляций, что и определяет ее аналитический вид:

                                (4.6)

                     (4.7)

                             (4.8)

где  - частота первой гармоники

, с^-1

Расчет спектра сигнала сводится к расчету гармоник двух составляющих модуляции. Амплитуды гармоник рассчитываются исходя из формулы:

                                          (4.9)

Расчет частот нижней боковой полосы для первой составляющей модуляции проводится по формуле:

                                               (4.10)

Расчет частот верхней боковой полосы для первой составляющей модуляции проводится по формуле:

                                               (4.11)

Расчет частот нижней боковой полосы для второй составляющей модуляции проводится по формуле:

                                              (4.12)

Расчет частот верхней боковой полосы для второй составляющей модуляции проводится по формуле:

                                              (4.13)

Рассчитанные значения амплитуд и частот боковых полос сведены в таблицу 4.1. Расчет проведен для пяти гармоник.

Таблица 4.1 - Гармоники боковых полос

По данным таблицы строится график спектра модулированного сигнала, изображенный на рисунке 4.4.

Рисунок 4.4. - Спектр модулированного сигнала

5. Согласование источника информации с каналом связи

Рассмотрим канал связи с несколько других позиций. Заданный сигнал мы представили отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и, следовательно, сама представляет источник информации. Выше было определено количество выборок для одного из сигналов. Для ограниченного по времени, например треугольного, оно определяется длительностью сигнала; для бесконечного, например экспоненциального, их число должно быть назначено 5-10. Если задать вопрос, какая выборка сейчас создается, то последует очевидный ответ: эта вероятность равна 1/N, где N - число выборок.

Таким образом, выборки это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле(5.1) , где  - энтропия алфавита источника, - среднее время генерации одного знака алфавита.

 (5.1)

Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».

Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала. Эта величина (Dw) была определена нами в разделе 5.

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются следующей теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Теорема Шеннона. Дискретные сообщения, выдаваемые дискретным источником с производительностью можно закодировать так, что при передаче по гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность которого С превышает  вероятность ошибки Р_ош может быть достигнута сколь угодно малой.

При определении пропускной способности канала статистические законы распределения помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи - нормальные законы с соответствующими дисперсиями Рп, Рс и Рс+Рп.

Пропускная способность гауссова канала равна:

 (5.2)

где F - частота дискретизации, определенная в разделе 3. Рп - мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала .

. (5.3)

По этим формула, пользуясь неравенством Шеннона , надлежит определить Рс, обеспечивающую передачу по каналу. Отсюда:

Pc=Pn(n-1) (5.4)

По формулам (5.1)-(5.4) получаем:

 бит/с,

 бит/с,

Мощность помехи:

, Вт

Мощность сигнала:

, Вт

6. Расчет вероятности ошибки оптимального демодулятора

Вероятность ошибки  зависит от мощности (энергии) сигнала и мощности помех, в данном случае белого шума. Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. В общем случае:

,                                      (6.1)

гдe  - функция Лапласа;

 - спектральная плотность мощности шума.

,                                   (6.2)

где  - аргумент функции Лапласа.

,                                           (6.3)

где E - энергия разностного сигнала, Вт;

, Вт

Найдем вероятность ошибки (по формуле ):

Библиографический список

1. Баженов Н.Н., Картавцев А.С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи. - Омск, 1990, 24 с.

. Теоретические основы транспортной связи. / М.Я. Каллер., А.Я. Фомин. Москва. Транспорт, 1989.

. Телекоммуникационные технологи на железнодорожном транспорте. / Под ред. Г.В. Горелова. Москва. УМК МПС. 1999. 576 с.

. Характеристики сигналов в каналах связи: Методические указания к курсовому проекту по дисциплине «Теория передачи сигналов» / Н.Н. Баженов. Омск. Омский государственный университет путей сообщения. 2002. 48 с.