Исследование стационарных движений механической системы на устойчивость

РЕФЕРАТ

В данной работе проведено исследование стационарных движений механической системы на устойчивость. Составлены уравнения движения системы, с помощью уравнений Лагранжа второго рода. Получены уравнения первого приближения. На основании метода Четаева получена функция Ляпунова. Составлена функция Рауса. С помощью различных методов теории устойчивости, определены устойчивые и неустойчивые положения равновесия.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

.1 Построение уравнений движения системы в виде уравнений Лагранжа второго рода

.2 Определение стационарных движений механической системы

.3 Вывод уравнений возмущенного движения механической системы

. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

.1 Исследование устойчивости движения по уравнениям первого приближения

.2 Исследование устойчивости движения с помощью функции Ляпунова

.3 Исследование устойчивости стационарных движений методом Рауса

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В курсовой работе проводиться комплексный анализ устойчивости стационарных движений механической системы с двумя степенями свободы, различными методами теории устойчивости.

В первой части курсовой работы составляются уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа второго рода. Определяется множество стационарных движений рассматриваемой системы. Составляются уравнения возмущенного движения в окрестности стационарных движений.

Во второй части работы на основе классических методов теории устойчивости, проводится исследование на устойчивость стационарных движений механической системы, а именно:

по первому приближению;

с помощью функции Ляпунова;

методом Рауса.

1. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

.1      Построение уравнений движения системы в виде уравнений Лагранжа второго рода

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пластины массы , длины и ширины , находящуюся под действием потенциальных сил (Рисунок 1). Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Пластина может вращаться вокруг вертикальной оси со скоростью , и отклонятся от вертикальной оси на угол .

Рисунок 1 - Механическая система

Составим уравнения движения механической системы, для этого используем уравнения Лагранжа 2-го рода:

 (1.1)

Выберем в качестве обобщенных координат: .

Определим кинетическую энергию системы:

,

где

 - тензор инерции, его компоненты:

Определим угловую скорость:

,

где .

Подставляя, получим полную кинетическую энергию:

.

Потенциальная энергия системы

.

Запишем Лагранжиан системы:

 .   (1.2)

Подставляя (1.2) в (1.1) получим систему дифференциальных уравнений, описывающую движение механической системы:

  (1.3)

механический уравнение равновесие лагранж

1.2    Определение стационарных движений механической системы

Определим стационарные движения системы, для этого согласно определению, сделаем подстановку

система (1.3) примет вид:

 (1.4)

Из системы (1.4) получается уравнение

,

Уравнение распадается на два уравнения:

 и .

Из первого уравнения следует  и  - любое.

Найдем решение второго уравнения,

,  или

Сделав преобразования,

получим что при выполнении условия , или с учетом численных значений параметров системы , существуют решения

Обозначим .

Множество стационарных движений изображено на рисунке 2.

Рисунок 2 - Множество стационарных движений

Точки прямой  соответствуют вращению пластины вокруг вертикальной оси в нижнем положении. Точки , соответствуют одним и тем же движениям, вращению пластины вокруг вертикальной оси в верхнем положении. Точки кривых , обозначают вращение пластины с различными угловыми скоростями , при соответствующем постоянном угле отклонения от вертикальной оси.

Будем рассматривать три стационарных движения:

.  (1.5)

.  (1.6)

.     (1.7)

1.3    Вывод уравнений возмущенного движения механической системы

Разрешим систему (1.3) относительно вторых производных:

  (1.8)

Запишем её в нормальном виде, для этого введем обозначения:

 (1.9)

 (1.10)

Рассмотрим первое невозмущенное движение системы. Определим отклонения следующими равенствами:

 (1.11)

Перейдем от системы (1.10) к уравнениям возмущенного движения:

 (1.12)

Рассмотрим второе невозмущенное движение: . Введем отклонения:

 (1.13)

Подставляя (1.13) в систему (1.10), получим уравнения возмущенного движения:

Использую формулы приведения, полученную систему можно переписать в виде:

 (1.14)

Рассмотрим третье невозмущенное движение:

Введем обозначения:

Запишем отклонения:

 (1.15)

Подставляя (1.15) в систему (1.10), получим уравнения возмущенного движения для третьего невозмущенного движения:

  (1.16)

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

.1 Исследование устойчивости движения по уравнениям первого приближения

Рассмотрим систему (1.12), представляющую собой уравнения возмущенного движения механической системы, и исследуем её на устойчивость по первому приближению.

Запишем уравнения первого приближения, для этого разложим правые части системы (1.12) в ряд по степеням отклонений в окрестности невозмущенного движения и оставим только члены первого порядка:

  (2.1)

Запишем характеристическое уравнение системы:

, где   (2.2)

Вычислим его корни:

 (2.3)

Выражение . Выражение под корнем будет больше 0 при выполнении условия

. (2.4)

Таким образом, при выполнении условия (2.4) все три корня характеристического уравнения (2.2) действительные числа, и среди них есть корень . Поэтому на основе утверждения теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению можно сделать вывод: стационарное движение , при выполнении условия (2.4) неустойчиво по первому приближению.

Если выражение  имеет отрицательное значение, то есть , то все три корня характеристического уравнения (2.2) имеют действительные части равные 0, и на основании теоремы Ляпунова о неустойчивости и неустойчивости стационарного движения по первому приближению нельзя сделать вывод об устойчивости или неустойчивости рассматриваемого движения. Требуются дополнительные исследования.

Рассмотрим второе стационарное движение . Уравнения возмущенного движения определены системой (1.14):

Аналогично первому движению, запишем уравнения первого приближения:

   (2.5)

Характеристическое уравнение имеет вид:

, где

.(2.6)

Его решение:

 (2.7)

Выражение , при любых значениях . Следовательно, все корни характеристического уравнения (2.6) действительные. Причем один из корней , поэтому на основании теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению, можно сделать вывод: что стационарное движение  неустойчиво по первому приближению.

Рассмотрим третье стационарное движение

Уравнения возмущенного движения определены системой (1.16):

Аналогично первому движению, запишем уравнения первого приближения для системы (1.16):

  (2.8)

Введем обозначения:

,

,  (2.9)

.

Составим характеристическое уравнение:

 (2.10)

Корни уравнения (2.10) имеют нулевую действительную часть (критический случай), поэтому по уравнениям первого приближения нельзя сделать вывод об устойчивости или неустойчивости стационарных движений:

Найдем численные значения корней , соответствующих характеристических уравнений для стационарных движений с различной угловой скоростью и при различных значениях . Результаты запишем в таблицу 1.

Таблица 1

Проиллюстрируем неустойчивость полученных стационарных движений графически. Для этого приведем графики отклонений для значений и . Из рисунков видно, что в обоих случаях значения отклонений  сильно растут с течением времени при выборе достаточно малых значений.

Рисунок 3 - отклонения , при

Рисунок 4 - отклонения ,, при

Рисунок 5 - отклонения , при

Рисунок 6 - отклонения , при

Рисунок 7 - отклонения , при

Рисунок 8 - отклонения , при

Вывод: при исследовании на устойчивость по первому приближению стационарных движений механической системы, вращения пластины вокруг вертикальной оси в наивысшем положении при любых угловых скоростях и в наинизшем положении, при угловых скоростях больших чем , неустойчивы. Для остальных движений требуются дополнительные исследования другими методами.

2.2 Исследование устойчивости движения с помощью функции Ляпунова

Исследуем устойчивость стационарных движений механической системы вторым методом Ляпунова.

Построим, функцию Ляпунова используя метод Четаева - метод связки интегралов.

.

Для этого запишем первые интегралы рассматриваемой системы.

Интеграл энергии:

 (2.11)

Интеграл кинетического момента:

 (2.12)

Исследуем устойчивость первого стационарного движения:

Используем отклонения (1.11), подставим их в интегралы.

Разложим интегралы в ряд по степеням отклонений, и отбросим слагаемые старше второй степени:

Для того чтобы избавиться от констант вычтем из интегралов интегралы от нулей:

Составим функцию Ляпунова в виде , положим :

 (2.13)

Приводя подобные слагаемые, получим:

 (2.14)

Для того чтобы функция  была определенно положительной необходимо чтобы выражение ,

 (2.15)

Получаем что при выполнении условия (2.15), функция  будет определенно положительной, а её производная  будет тождественно равна нулю.

Следовательно, рассматриваемое движение будет устойчивым для всех

Для всех , функция  будет знакопеременной, и сделать вывод об устойчивости или неустойчивости нельзя.

Исследуем второе стационарное движение: . Используем отклонения (1.13), подставим их впервые интегралы:

Используя формулы приведения, получим:

Разложим интегралы в ряд по степеням отклонений, и отбросим слагаемые старше второй степени:

Избавимся от констант:

Составим функцию Ляпунова:

Выберем , получим

.

Приведем подобные слагаемые:

 (2.16)

Рассмотрим коэффициент, стоящий перед :

, для любых . (2.17)

Таким образом, функция (2.16) является знакопеременной, а её производная  будет тождественно равна нулю.

Вывод: на основании данного метода сделать вывод об устойчивости или неустойчивости второго стационарного движения нельзя.

Для подтверждения и иллюстрации полученных результатов, построим графики отклонений в окрестности устойчивого стационарного движения. Выберем

Рисунок 10 - отклонения , при

Рисунок 11 - отклонения , при

Вывод: вращение пластины вокруг вертикальной оси в наинизшем положений с угловой скоростью , устойчиво.

2.3 Исследование устойчивости стационарных движений методом Рауса

Исследуем стационарные движения механической системы с помощью функции Рауса:

где - циклическая координата.

Для рассматриваемой системы - является циклической координатой, функция Рауса примет вид:

 (2.18)

Выпишем Лагранжиан системы, для этого используем полученную ранее формулу (1.2)

Найдем циклический интеграл:

, подставляя Лагранжиан (1.2) получим:

Выразим величину :

,      (2.19)

подставим полученное значение в функцию Рауса, получим

 (2.20)

Представим функцию (2.20) в виде суммы квадратичной, линейной и нулевой форм относительно степеней обобщенной скорости

,

,

 (2.21)

Приведенная потенциальная энергия системы будет равна

 (2.22)

Положения, в которых вторая производная от приведенной потенциальной энергии по координате  имеет положительный знак, являются устойчивыми. Соответственно положения, в которых она имеет отрицательный знак, являются неустойчивыми. Исследуем на устойчивость стационарные движения (1.5) - (1.7) на устойчивость. Для этого продифференцируем дважды (2.22) по координате :

 (2.23)

Подставим в (2.23) циклический интеграл определяющий константу :

 (2.24)

Рассмотрим первое стационарное движение:

Подставим значения в (2.24):

 (2.25)

Для устойчивости рассматриваемого движения необходимо чтобы (2.25) была больше нуля.

(2.26)

Получаем что при выполнение условия (2.26) функция (2.24) положительная, следовательно, для , стационарное движение будет устойчивым. Для , движение неустойчиво.

Рассмотрим второе стационарное движение :

,

полученное выражение всегда меньше нуля, следовательно, можно сделать вывод: Стационарное движение системы , неустойчиво.

Рассмотрим третье стационарное движение

:

Выразим значение :

, подставим полученное значение в (2.24), получим

(2.27)

Преобразуем выражение (2.27):

Использую формулу тригонометрии , перепишем предыдущее соотношение,

(2.28)

Так как , то выражение , для любых . Это означает что, выражение (2.28) всегда больше нуля, для рассматриваемого движения. Следовательно, стационарное движение

 будет устойчивым.

Численные значения второй производной от приведенной потенциальной энергии, соответствующие исследуемым стационарным движениям, приведены в таблице 2.

Таблица 2

Рисунок 12 - Множество стационарных движений системы

Подтвердим и проиллюстрируем полученные теоретические результаты. Для этого построим графики отклонений для значений  и , не исследованных ранее, то есть лежащих на одной из веток кривой, которая соответствует устойчивым стационарным движениям для . Возьмем :

Рисунок 14 - отклонения , при

Рисунок 15 - отклонения , при

Заключение

В данной работе проведено комплексное исследование свойств устойчивости различных стационарных движений механической системы. Составлены уравнения движения, уравнения возмущенного движения и уравнения их линейного приближения. Получено и проанализировано множество всех стационарных движений. С помощью различных методов теории устойчивости были выделены подмножества устойчивых и неустойчивых положений относительного равновесия системы и получены условия их устойчивости и неустойчивости. Проведен анализ применимости каждого метода, и их сравнение. В каждом разделе приведены графики и выводы по проделанной работе.

Список использованной литературы

1.       Авраменко, А.А. Исследование устойчивости движений механических систем[Текст] Методические указания к курсовой работе по теории устойчивости и управления. Часть 1/А.А.Авраменко, С.П.Безгласный.- Самара:СГАУ, 2008. - 68 с.

.        Ярошевский, В.А. Лекции по теоретической механике [Текст]: учебное пособие / В.А.Ярошевский. - М.: МФТИ, 2001. - 244 с.

.        Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости[Текст]: учебное пособие/Е.А.Барбашин. - М.: Наука, 1967. -223 с.