Исследование статистической зависимости давления в идеальном газе Ферми-Дирака от его температуры

Исследование статистической зависимости давления в идеальном газе Ферми-Дирака от его температуры

Содержание

Введение

Постановка задачи

Обработка исходных данных        

Корреляционный анализ

Регрессионный анализ

Проверка гипотез

Доверительные интервалы

Заключение

Список литературы

Введение

Математическая статистика - наука о математических методах сбора и обработки статистических данных для научных и практических выводов. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных - результатов наблюдений.

Во время статистических наблюдений для каждого объекта в ряде случаев можно измерить значение нескольких признаков. Таким образом, получается многомерная выборка. Если многомерную выборку обработать по значениям отдельного признака, то получится обычная обработка одномерной выборки.

Смысл обработки многомерных выборок состоит в том, чтобы установить связь между признаками. Связи между ними могут быть функциональными, то есть каждому значению одной величины соответствует определенное значение другой величины.

Связь между случайными величинами часто носит случайный характер. Она называется статистической, если изменение одной величины вызывает изменение распределения другой величины. Если среднее значение одной случайной величины функционально зависит от значения другой случайной величины, то такая статистическая зависимость называется корреляционной.

Постановка задачи

Дана выборка, состоящая из 100 пар чисел ( Xi , Yi ), i =1, 2, …, 100.

Подобрать пример объекта, для которого Xi , Yi могли бы быть значениями двух признаков, связанных статистической зависимостью. Дать теоретическое обоснование.

Построить диаграмму рассеивания. Вычислить выборочные параметры: выборочные средние, выборочные и исправленные дисперсии, средние квадратичные отклонения, моды и медианы выборки по X и по Y , корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Построить корреляционную таблицу (7 на 7). Построить полигоны, гистограммы нормированных относительных частот, эмпирические функции распределения по X и по Y, вычислить выборочные параметры (см. п.2) по корреляционной таблице.

Вычислить параметры для уравнения линейной регрессии Y на X , построить линию регрессии на диаграмме рассеивания.

Вычислить параметры для уравнения параболической регрессии, построить найденную параболу на диаграмме рассеивания.

Проверить гипотезу о нормальном распределении признака Х.

Построить доверительный интервал для математического ожидания по Х.

статистический зависимость давление регрессия

Теоретическая часть

В данной работе исследуется зависимость давления в Ферми-газе от его температуры с помощью методов математической статистики.

Ферми-газ (или идеальный газ Ферми-Дирака) - газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми-Дирака <#"581485.files/image001.gif"> 

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины бывают двух видов: дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Наблюдаемые значения случайной величины называются вариантами. Частотой  называется число, которое показывает, сколько раз встречается данный вариант. Относительной частотой w называется отношение частоты  к объему выборки n.

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:

Дисперсией  дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Средним квадратичным отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Модой  называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой  называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk:

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины :

В частности, центральный момент первого порядка равен нулю:

центральный момент второго порядка равен дисперсии:

центральный момент третьего порядка равен:

Исправленной выборочной дисперсией называют произведение выборочной дисперсии на исправитель:

Выборочным исправленным средним квадратичным отклонением называют квадратный корень от исправленной выборочной дисперсии:

Корреляционное поле и корреляционная таблица являются вспомогательными средствами при анализе выборочных данных. При нанесении на координатную плоскость двумерных выборочных точек получают корреляционное поле. Для численной обработки результатов обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке корреляционной таблицы приводятся численности  тех пар (X, Y), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной.

Корреляция - вероятностная (статистическая) зависимость между величинами, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера.

Корреляционным моментом  случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

.

Для вычисления корреляционного момента используют формулу:

Две случайные величины Y и X называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от 0; Y и X называются некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен 0.

Коэффициентом корреляции  случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

.

Гистограммой частот называется столбчатая диаграмма, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению  (плотность частоты).

Гистограммой нормированных относительных частот называется диаграмма, на которой изображены столбцы, при этом ось Х - это интервалы, а ось Y - это относительная частота встречаемости:

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат - соответствующие им частоты .

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты .

Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х:

Функцией распределения выборки является эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х:

где  - число вариант, меньших х; n - объем выборки.

Регрессионный анализ

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо величины Y от другой величины X. Понятие регрессии в некотором смысле обобщает понятие функциональной зависимости y = f(x). Только в случае регрессии одному и тому же значению x в различных случаях соответствуют различные значения у.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в которой изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов).

По форме зависимости различают:

линейную регрессию, которая выражается уравнением прямой:

нелинейную (параболическую):

Исследование линейной регрессии:

Определим коэффициенты линейной функции  методом наименьших квадратов. Для этого составим сумму

Для того чтобы эта сумма была минимальной, необходимо, чтобы ее частные производные по параметрам A и B были равны нулю

Раскрыв скобки, мы получим

Выразим a и b

Одним из важнейших методов определения зависимости между X и Y является метод наименьших квадратов. Видя общее расположение точек, можно предположить, что эта зависимость линейная. Количество прямых, проходящих через заданную совокупность точек, бесконечно. Выберем оптимальную из них. Для этого суммарное отклонение между теоретическими и экспериментальными точками должно быть минимальным. Это отклонение мы найдем с помощью функции

Метод нахождения минимального отклонения и есть метод наименьших квадратов. Это суммарное отклонение зависит от коэффициентов а и b функции Y, поэтому эти коэффициенты должны быть минимальными, то есть производная функции  в этих точках равны нулю:

Найдя частные производные и приравняв их нулю, получим следующую систему уравнений

Решив эту систему, мы найдем наилучший набор этих параметров. Эта теоретическая кривая с параметрами, которые определяются методом наименьших квадратов, и будет искомой линией - линией линейной регрессии.

Исследование параболической регрессии:

В этом случае уравнение регрессии Y на X имеет вид:

,

где a, b и c - неизвестные параметры.

Найдем такие p, q, r, при которых парабола наименее уклоняется от точек (Xi,Yi). Сделаем это методом наименьших квадратов. Для того чтобы сумма квадратов отклонений

была наименьшей, необходимо, чтобы выполнялись три условия (по числу неизвестных коэффициентов)

После преобразований уравнения примут следующий вид:

Подставив соответствующие значения в полученные формулы, и решив систему уравнений, мы получим искомую функцию параболической регрессии

Эти формулы используются для линейной и параболической регрессий, затем сравнивают полученные результаты и находят наименьшие среди полученных результатов. Та регрессия, у которой будут наименьшие оценки, более точно отражает распределение точек на диаграмме рассеивания.

Обработка исходных данных

Дана выборка (объема n=100) зависимости числа (Y) от числа (X).

Табл. 1. Исходные данные