Расчет стержневой конструкции на сложное сопротивление

Расчет стержневой конструкции на сложное сопротивление

Построение эпюр начнем со стержня l₁, для этого примем всю остальную конструкцию заделкой. Тогда рассматриваемый стержень можно считать консольным и не учитывать реакции в заделке.

Составим выражения для внутренних усилий в элементах бруса, пользуясь методом сечений. Возьмем сечение на расстоянии х₁ от свободного конца стержня.

Рассмотрим стержень l₁ в плоскости XoZ:

нормальная сила:

перерезывающая сила:

изгибающий момент:

Далее рассмотрим стержень l₁ в плоскости XoY:

перерезывающая сила:

изгибающий момент:

- крутящий момент:

Далее таким же образом составим уравнения для стержня l₂:

Плоскость XoZ:

- нормальная сила:

перерезывающая сила:

- изгибающий момент:

Плоскость XoY:

- перерезывающая сила:

изгибающий момент:

крутящий момент:

И последним рассмотрим стержень l₃:

Плоскость XoZ:

- нормальная сила:

перерезывающая сила:

- изгибающий момент:

- крутящий момент:

Плоскость XoY:

- перерезывающая сила:

изгибающий момент:

Эпюра перерезывающих сил Q_Y и Q_Z:

На основании построенных эпюр определяем вид деформаций.

Рассмотрим стержень l₁. Он работает на изгиб в 2-х плоскостях и вдобавок к этому подвергается сжатию. Поперечное сечение стержня круглое, поэтому изгиб будет плоским под действием результирующего момента.

Условие прочности:

При подборе сечения напряжениями от нормальной силы, ввиду их малой величины, можно пренебречь, тогда предварительное условие прочности имеет вид:

Момент сопротивления для круглого сечения: W=0,1d³

Из условия прочности:

Вычислим нормальные и касательные напряжения:

Наибольшие нормальные напряжения при изгибе:

Условие прочности выполнено.

Наибольшие касательные напряжения при изгибе (по формуле Журавского для круглого сечения):

Нормальное напряжение от продольной силы:

 (сжатие)

Обозначим смещение нейтральной оси с центра тяжести . Нормальные напряжения на нейтральной оси равны нулю. Тогда уравнение примет вид

Далее рассмотрим стержень l₂. Работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и сжатием. Поперечное сечение бруса круглое, поэтому изгиб будет плоским под действием результирующего момента.

Условие прочности по третьей теории прочности (наибольших касательных напряжений) имеет вид:

При подборе сечения напряжениями от нормальной силы s_N можно пренебречь в виду их малости, тогда условие прочности примет вид:

Момент сопротивления для круглого сечения: W=0,1d³

Вычислим нормальное напряжение:

Наибольшие нормальные напряжения при изгибе:

Наибольшие касательные напряжения при изгибе (по формуле Журавского для круглого сечения):

Наибольшие касательные напряжения при кручении

Нормальная сила смещает нейтральную ось с центра тяжести сечения. Определим новое положение нейтральной оси путём аналитического расчёта. Обозначим смещение нейтральной оси с центра тяжести через U. Нормальные напряжения от изгиба на нейтральной оси равны нулю.

Тогда уравнение примет вид:

Для окончательной проверки подставим вычисленные напряжения в условие прочности:

Условие прочности выполнено.

Последний стержень l₃ работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и сжатием. Поперечное сечение бруса круглое, поэтому изгиб будет плоским под действием результирующего момента.

Условие прочности по третьей теории прочности (наибольших касательных напряжений) имеет вид:

При подборе сечения напряжениями от нормальной силы s_N можно пренебречь в виду их малости, тогда условие прочности примет вид:

Момент сопротивления для круглого сечения: W=0,1d³

Вычислим нормальные и касательные напряжения:

Наибольшие нормальные напряжения при изгибе:

Наибольшие касательные напряжения при изгибе (по формуле Журавского для круглого сечения):

эпюра напряжение трубчатый стержень

Наибольшие касательные напряжения при кручении

Наибольшие нормальные напряжения от продольной силы:

Нормальная сила смещает нейтральную ось с центра тяжести сечения. Определим новое положение нейтральной оси путём аналитического расчёта. Обозначим смещение нейтральной оси с центра тяжести через U. Нормальные напряжения от изгиба на нейтральной оси равны нулю. Тогда уравнение примет вид:

Для окончательной проверки подставим вычисленные напряжения в условие прочности:

Условие прочности выполнено.

Пусть в условиях нашей задачи профиль поперечного сечения бруса на всех трёх участках одинаков. Необходимо выбрать наиболее экономичный с точки зрения металлоёмкости профиль из следующих трёх: круглый; прямоугольный с соотношением сторон h/b=2,0; трубчатый с соотношением диаметров d/D=0,75 (здесь d-внутренний, D-наружный диаметры).

На основании расчётов определим опасное сечение бруса. Для нашего случая оно будет находиться в точке с наибольшим значением изгибающего и крутящего моментов, т.е. в заделке.

Брус на этом участке работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и сжатием.

Условие прочности имеет вид:

При подборе сечения напряжениями от нормальной силы пренебрегаем

Из условия прочности:

Определим площади поперечных сечений для различных профилей бруса:

Таким образом, наименьшую площадь поперечного сечения имеет трубчатый профиль, т.е. он является наиболее экономичным по металлоёмкости.

В результате проделанной работы проведён расчёт стержневой конструкции на сложное сопротивление. В частности построены эпюры нормальных и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов. Так же рассчитаны размеры поперечных сечений и принят выбор трубчатого профиля стержня, как наиболее экономичного с точки зрения металлоёмкости.

Список литературы

1.   Расчёт стержневой конструкции на сложное сопротивление: Метод. указания по курсовому проектированию. Санкт-Петербургский государств. горный ин-т. СПб., 2009 г.

2.       Сопротивление материалов, Н.М. Беляев, М., Наука, 1976 г. - 608 с.