Расчет стержневой системы на сложное сопротивление
Аннотация
Пояснительная записка представляет собой отчет о
выполнении курсовой работы. Дано подробное решение стержневой конструкции на
сложное сопротивление. Приведена исходная схема конструкции, построены эпюры
поперечных и нормальных сил, а также изгибающих и крутящих моментов. В конце
работы приведен расчет выбора наиболее экономичного профиля стержня.
The
summary
explanatory slip represents the
report on performance of course work. The detailed description of process of a
presence of dependence of dynamic loading of separate elements of system of a
drive from inertia of the engine is given. The theoretical material on those
numerical methods of calculation is briefly stated which are necessary for
using for the decision of a task. All accounts are made in the programs. At the
end of work the final results of calculations are given.
Исходные
данные
а=5 м, b=2 м, c=3 м
Р1=5 кН
Р2=7 кНи=5 кН м
Рис. 1
1. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР НОРМАЛЬНЫХ И
ПЕРЕРЕЗЫВАЮЩИХ СИЛ, ИЗГИБАЮЩИХ И КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ
Для данной конструкции (составного ломаного
бруса) можно не определять реакции в заделке, если все участки рассматривать со
стороны свободного конца конструкции. При этом обход участков будем
осуществлять со стороны контура, обозначенного на рис. 1 штриховой линией.
Участок d. Составим выражения для внутренних
усилий в элементах бруса, пользуясь методом сечений. Возьмем сечение на
расстоянии d от свободного конца стержня (рис. 2).
Рис. 2
Нормальная сила: = -P2= -7 kH
Изгибающий момент: = MИ= 5 kHм
Участок b. Возьмем второе сечение на расстояние
b от начала бруса (рис. 3)
Рис. 3
Перерезывающая сила: = -P2= -7 kH
Изгибающий момент:
Крутящий момент: = MИ= -5 kHм
Участок c. Возьмем третье сечение на
расстояние c от начала бруса (рис. 4).
Рис. 4
Нормальная сила: = P1= -5 kH
Участок a. Возьмем четвертое сечение
на расстояние c от начала бруса (рис. 5).
Рис. 5
Перерезывающая сила: = P1= 5 kH
Изгибающий момент:
Крутящий момент:
Рис. 6
Повернем стержень а, так чтобы видно
действие силы Р2 (рис. 6)
Перерезывающая сила: = -P2= -7 kH
Изгибающий момент:
Рис. 7 - Эпюра нормальных сил
Рис. 8 - Эпюра перерезывающих сил
Рис. 9 - Эпюра крутящего момента
Рис. 10 - Эпюра изгибающих моментов
2. Расчёт
напряжений и определение размеров поперечных сечений стержней
Участок d.
Рис. 11
Первый стержень работает на изгиб в
одной плоскости под действием изгибающего момента Мy.
Наибольшие нормальные напряжения возникают
в сечении с наибольшим изгибающим моментом МY. Условие прочности следует
написать для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси, перпендикулярной
изгибающему моменту.
Для определения знаков напряжений
рассмотрим деформацию бруса. Под действием изгибающего момента МY верхние
волокна бруса растягиваются, нижние сжимаются.
Напишем условие прочности для I-го
бруса:
Изгибающий момент:
Момент сопротивления для
прямоугольного сечения;
Так как 
,то 
Из условия прочности:
Вычисляем наибольшие нормальные
напряжения при изгибе;
Так как
, следовательно
условие прочности выполняется.
Касательные напряжения вычисляем по
формуле Журавского для прямоугольного сечения: 
.
Эпюра распределения напряжений в
сечении стержня
Рис. 12
Участок b.
Второй стержень работает на изгиб в
одной плоскости с кручением. Поперечное сечение стержня круглое, поэтому изгиб
будет плоским под действием результирующего момента:
.
При плоском изгибе нейтральная ось
перпендикулярна результирующему моменту, поэтому её положение легко
определяется.
В наиболее удаленных точках от
нейтральной оси будут наибольшие нормальные напряжения изгиба σ
. Наибольшие
касательные напряжения при кручении 
будут на окружности стержня. Кроме
того, под действием перерезывающей силы возникают касательные напряжения 
,
достигающие максимума в центре стержня, и от нормальной силы - равномерно
распределенные по сечению нормальные напряжения σ
.
Условие прочности по IV теории
прочности имеет вид:
[σ],
где 
и 
.
где W - момент сопротивления-
полярный момент сопротивления
При подборе сечения напряжениями от
нормальной силы, ввиду их малой величины, можно пренебречь, тогда
предварительное условие прочности примет вид:
[σ] = 
[σ]
Из этого выражения получаем расчётный
диаметр:
Касательные напряжения вычисляем по
преобразованной формуле Журавского для максимальных напряжений в круглом
сечении отдельно от 
и 
:
Суммарное касательное напряжение
равно геометрической сумме этих напряжений, а наибольшее касательное напряжение
будет в центре стержня:
;
Наибольшее касательное напряжение
при кручении:
Эпюры напряжений
Рис. 13
Для окончательной проверки подставим
вычисленные напряжения в условие прочности [σ]:
[σ], 
Так как 
,то условие
прочности выполняется.
Участок c.
Третий стержень работает на сжатие,
что видно из построенных эпюр.
Напишем условие прочности для 2-го
бруса:
Изгибающий момент равен 0, |N|=5 kH:
Так как 
, то 
Нормальное напряжение от силы N1х =
-Р3 = -5кН
(сжатие)
Рис. 14
Участок a.
Четвертый стержень работает на изгиб
в двух плоскостях с кручением. Поперечное сечение стержня круглое, поэтому
изгиб будет плоским под действием результирующего момента:
.
При плоском изгибе нейтральная ось
перпендикулярна результирующему моменту, поэтому её положение легко
определяется.
В наиболее удаленных точках от
нейтральной оси будут наибольшие нормальные напряжения изгиба σ. Наибольшие
касательные напряжения при кручении будут на окружности стержня. Кроме
того, под действием перерезывающей силы возникают касательные напряжения ,
достигающие максимума в центре стержня, и от нормальной силы - равномерно
распределенные по сечению нормальные напряжения σ.
Условие прочности по IV теории
прочности имеет вид:
[σ],
где и .
где W - момент сопротивления-
полярный момент сопротивления
При подборе сечения напряжениями от
нормальной силы, ввиду их малой величины, можно пренебречь, тогда
предварительное условие прочности примет вид:
[σ] = [σ]
Из этого выражения получаем
расчётный диаметр:
Касательные напряжения вычисляем по
преобразованной формуле Журавского для максимальных напряжений в круглом
сечении отдельно от и :
Суммарное касательное напряжение
равно геометрической сумме этих напряжений, а наибольшее касательное напряжение
будет в центре стержня:
;
Наибольшее касательное напряжение
при кручении:
Эпюры напряжений
сопротивление конструкция стержень
сечение
Рис. 15
Для окончательной проверки подставим
вычисленные напряжения в условие прочности [σ]:
[σ], 
Так как 
,то условие
прочности выполняется.
3. Выбор
наиболее экономичного сечения стержня
Пусть в рамках рассматриваемого
примера площадь поперечного сечения стержня на всех трех участках одинакова.
Необходимо выбрать наиболее экономичный, с точки зрения металлоемкости, профиль
из следующих трех: круглый; прямоугольный с соотношением сторон 
; трубчатый
с соотношением диаметров 
(здесь D, d
- соответственно наружный и внутренний диаметры).
На основании построенных эпюр
определим опасное сечение стержня. Для нашего примера оно будет находиться в
точке с наибольшими значениями изгибающего и крутящего моментов, т.е. в
заделке.
Так как стержень на этом участке
работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и растяжением, то условие
прочности (по III теории прочности), которое имеет вид:
[σ]
.
При подборе сечения напряжениями от
нормальной силы N, ввиду их малости, можно пренебречь, тогда условие прочности
примет вид:
[σ],
откуда:
Определим площади поперечных сечений
для различных профилей стержня:
Для круглого профиля:
;
.
Для прямоугольного профиля:
,
тогда 
м;
.
Для трубчатого сечения:
где 
,
тогда
После проделанных вычислений
становится видно, что наименьшую площадь поперечного сечения имеет трубчатый
профиль, т.е. он является наиболее экономичным по металлоемкости.
Вывод
В результате проделанной работы был
проведён расчёт стержневой конструкции на сложное сопротивление. В частности
были построены эпюры нормальных и поперечных сил, изгибающих и крутящих
моментов. Так же были определены размеры поперечных сечений. И в заключении был
выбран трубчатый профиль, наиболее экономичный с точки зрения металлоёмкости.
Библиографический
список
1.
Яковлев А. А. «Конспект лекций по сопротивлению материалов».
.
Беляев Н.М. «Сопротивление материалов».