Чувствительность систем управления
Содержание
1. Построение МТЧ НОУ. Ранжирование параметров
2. Построение МТЧ ДОУ к вариации интервала дискретности
3. Построение МТЧ спроектированной системы по каждому из параметров
и для значения 
выделение
доминирующих параметров по степени их влияния на величину 
перерегулирования
и длительность 
переходного
процесса
4. Построение матрицы функций модальной чувствительности и
выделение неблагоприятного сочетания вариаций параметров
5. Вычисление матриц Кg и К методом модального управления, базовый
алгоритм которого дополняется контролем нормы 
медианной составляющей
интервальной матрицы 
спроектированной
системы с последующим вычислением оценки 
Вывод
Литература
1.
Построение МТЧ НОУ. Ранжирование параметров
Дана передаточная функция "вход-выход (ВВ)" НОУ:
,
Номинальные значения параметров: 
Заданные коэффициенты ПФ: 
. Передаточная функция вход-выход НОУ:
Используя канонический наблюдаемый базис векторно-матричного
описания ВСВ НОУ, получим:
, 
, 
.
Матрицы номинального объекта управления имеют реализации:
, 
, 
.
Построим семейство моделей траекторной чувствительности.
Для j-ой модели траекторной чувствительности
получим представление:
Матрицы моделей траекторной чувствительности - реализации:
И затем, сформируем семейство агрегированных систем:
, где 
, 
,
Матрицы агрегированной системы представлены как:
, 
, 
.
Получим:
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
;
, 
, 
, ;
, 
Проверим управляемость агрегированных систем по выходу 
с помощью матриц управляемости 
:
,
С использованием матрицы управляемости агрегированной системы
проранжируем параметры 
по потенциальной чувствительности:
Для достижения нулевой чувствительности q5 - го параметра потребуется наименьшее число затрат; для
достижения нулевой чувствительности q7 - го
параметра - наибольшее число затрат.
Т.е. чем выше норма, тем меньше затрат на управление, и наоборот.
2. Построение
МТЧ ДОУ к вариации интервала дискретности
Задан интервал дискретности 
, метод перехода к дискретному векторно-матричному ВСВ описанию
объекта управления (ДОУ) - произвольный (заменой производной отношением
конечных малых.)
Переход к дискретному описанию ОУ осуществляется по формулам:
, 
, 
,где
, 
, 
.
, 
,
,
откуда при имеем:
Построим модель траекторной чувствительности к вариации
интервала дискретности.
Для модели траекторной чувствительности получим
представление:
где 
, 
,
, 
.
Получим:
Получим агрегированную систему вида:
, где 
.
Матрицы агрегируемой системы имеют представления:
.
; 
.
Проверим управляемость агрегированной системы по выходу 
с помощью матрицы управляемости:
,
Так как норма не равна нулю, то в данной системе существуют
структурные возможности к минимизации чувствительности неадаптивными методами
(алгоритмами) управления.
3.
Построение МТЧ спроектированной системы по каждому из параметров и для значения
выделение доминирующих
параметров по степени их влияния на величину перерегулирования и
длительность переходного процесса
Закон управления (ЗУ) 
должен доставлять системе
образованной соединением НОУ и ЗУ, с помощью:
матрицы 
прямой связи по входу 
равенство входа и выхода 
в неподвижном состоянии при номинальных значениях параметров;
матрицы 
обратной связи по состоянию 
при номинальных значениях параметров
распределение мод Баттерворта с характеристической частотой 
.
Построить МТЧ спроектированной системы по каждому из параметров и
для значения 
выделить доминирующие параметры по
степени их влияния на величину перерегулирования и длительность 
переходного процесса. Построить матрицу функций модальной
чувствительности и выделить неблагоприятное сочетание вариаций параметров.
ОУ (из пункта 1):
, 
, .
Закон управления имеет вид:
.
Для нахождения матриц обратной и прямой связи 
и 
, решим матричное уравнение Сильвестра:
,
в котором:
, 
, .
Для целей обеспечения гарантированной вычислительной устойчивости
матричных процедур решения уравнения Сильвестра матрицу 
следует задавать в диагональной (блочно
диагональной) форме
.
По требуемым показателям выбираем
, 
Решая матричное уравнение типа Сильвестра получаем матрицы:
Тогда матрицу ЛСОС можно определить как:
.
Номинальные матрицы спроектированной системы имеют реализации:
Теперь построим семейство МТЧ и агрегированных систем.
Для j-ой модели траекторной чувствительности получим
представление:
, где
, 
, 
, 
.
И семейство агрегированных систем:
, где
, 
, 
, 
.
В результате расчетов сформировано:
чувствительность система управление
Сформируем спроектированную систему по каждому из параметров при 
в форме:
.
Схема моделирования агрегированной системы представлена на рисунке
3.1.
Рисунок 3.1 - схема моделирования агрегированной системы:
номинального объекта управления и модели траекторной чувствительности к
вариации одного из параметров (q2)
Исследуем влияние вариации каждого из параметров по графикам,
на которых приведем переходные характеристики номинальной и возмущенной систем.
Графики представлены на рисунке 3.2 - 3.5.
Рисунок 3.2 - Графики переходных процессов системы при 
Рисунок 3.3 - Графики переходных процессов системы при 
Рисунок 3.4 - Графики переходных процессов системы при 
Рисунок 3.5 - Графики переходных процессов системы при 
Рисунок 3.6 - Графики переходных процессов системы при 
Обозначим:
- разница между 
и 
;
- разница между и 
;
- разница между 
и 
;
- разница между 
и 
.
, 
- максимальные из этих значений.
Определим степень влияния каждого из параметров на качественные
характеристики переходных процессов:
j=2: =5%; =4%; =5%; =0.05с; =0.2с; 
=0.2с.
j=4: =5%; =4%; =5%; =0.02с; =0.2; =0.2с.
j=5: =6%; =4%; =6%; =0.03с; =0.2; =0.2с.
j=7: - отличия отсутствуют
Доминирующими параметрами по степени влияния на величину
перерегулирования σ являются параметры 
и 
.
Доминирующим параметром на длительность переходного процесса является параметр 
.
4. Построение
матрицы функций модальной чувствительности и выделение неблагоприятного
сочетания вариаций параметров
Получим спектр собственных значений
.
Составим матрицу Вандермонда:
.
Вычислим функции модальной чувствительности 
(
) с помощью соотношений:
,
;
,
;
,
;
,
;
,
.
Сконструируем матрицу функций модальной чувствительности в виде
функций чувствительности вещественной и мнимой частей:
, где 
По нормам столбцов выделяем доминирующие параметры:
Для выделения неблагоприятного сочетания вариаций параметров
воспользуемся сингулярным разложением матрицы модальной чувствительности:
, 
,
Вектор наиболее неблагоприятного сочетания параметров может быть
сформирован так:
, где 
-й столбец матрицы 
соответствует максимальному сингулярному
числу.
Таким образом:
5. Вычисление матриц Кg и К методом модального управления, базовый
алгоритм которого дополняется контролем нормы медианной составляющей
интервальной матрицы спроектированной системы с последующим вычислением
оценки
Дано ВМО ВСВ НОУ с интервальными матричными компонентами в
форме:
получаемое с использованием интервальной арифметики на основе
интервальной реализации параметров 
, записываемых в форме
при следующих граничных (угловых) значениях: 
Закон управления (ЗУ): 
должен доставлять системе с интервальными матричными компонентами
образованной объединением НОУ и ЗУ, с помощью:
матрицы прямой связи по входу 
равенство входа и выхода 
в неподвижном состоянии при медианных значениях параметров;
матрицы обратной связи по состоянию 
при медианных значениях параметров
распределение мод Баттерворта с характеристической частотой 
, которая гарантирует достижение оценки
относительной интервальности матрицы состояния системы
не больше заданной 
. Методом модального управления, базовый алгоритм которого,
опирающийся на решение матричного уравнения Сильвестра и примененный к
медианным составляющим интервальных матричных компонентов ВМО ВСВ НОУ,
дополняется контролем нормы 
медианной составляющей интервальной матрицы 
спроектированной системы с последующим
вычислением оценки 
, вычислить матрицы и . ВМО ВСВ интервального ОУ (из пункта 1):
, 
, .
В примечании к заданию рекомендуется преобразовать систему так,
чтобы интервальной была бы только матрица состояния.
Для этого введем третью переменную состояния 
и новое входное воздействие 
:
Изначально:
После преобразования:
Таким образом, матрицы описания ОУ принимают вид:
Определим угловые значения матрицы 
. Очевидно, что элементы матрицы 
примут: максимальные значения при: 
и 
, минимальные значения при: 
и 
.
Остается лишь сравнить значения матрицы при 
и 
.
при ,
при ,
Граничные значения матрицы 
получим, скомпоновав экстремальные значения каждой составляющей
матрицы 
:
, 
.
Необходимо отметить, что полученные граничные значения
интервальной матрицы физически не реализуемы, то есть элементы
матрицы не могут принять одновременно указанные экстремальные значения. Другими
словами, здесь неизбежно закладывается избыточность в задании матрицы.
Это сделано формально с тем, чтобы все реализации матрицы
ограничивались указанными значениями.
Далее, найдём медианное значение как среднее арифметическое
угловых значений:
Найдем также абсолютную разность между угловым и медианным
значением для последующего расчета относительной интервальности:
.
, 
.
.
Теперь можем сформировать медианное модальное управление.
Матрицы эталонной модели с учетом требования к выбору корней
полинома Баттерворта () имеют вид:
-1=
Тогда медианная составляющая матрицы 
замкнутой системы имеет вид:
Таким образом, на частоте среза 
достигается требуемая относительная интервальность матрицы
состояния системы.
Сформируем закон управления:
,
.
,
Закон управления имеет вид:
.
Вывод
В реальных условиях на работу системы могут влиять изменения
различных параметров (к примеру изменение направления и силы ветра, амплитуда
внешних шумов, изменение напряжения в сети питания и т.д.). Такие изменения,
для повышения надежности и соответствию необходимым паказателям качества,
необходимо учитывать при разработке или усовершенствовании системы.
В данной работе были проделаны исследования над системами,
функционирующими в условиях неопределенности. Для них можно оценить степень
влияния каждого варьируемого параметра на внутренние связи системы, ее корни и
собственные векторы, длительность переходных процессов и перерегулирование. При
такой оценке строятся модели траекторной чувствительности системы к вариации
параметров. Также для объекта, заданного в интервальном представлении, возможно
сформировать закон управления методом модального управления.
Литература
1.
Мирошник И.В. "Теория автоматического управления. Линейные системы"
.
Никифоров В.О., Ушаков А.В. "Управление в условиях неопределенности:
чувствительность, адаптация, робастность." - СПб.: СПб ГИТМО (ТУ), 2002.
.
Конспект лекций по курсу "Адаптивное и робастное управление".
.
Квакернаак Х., Сиван Р. "Линейные оптимальные системы управления". -
М.: Мир, 1977.