Функциональный и качественный анализ работы линейных систем автоматического управления
ВАРИАНТ №922
Дано:
Общая расчетная схема системы автоматического
управления:
Хвх Хвых
- -
Дифференциальные уравнения передаточныхфункций
(по варианту задания):
W1 0,25·Хвых(р)
= 3р·Хвх(р)
W2 (2,25р2+3р+1)·Хвых(р)
= Хвх(р)
W3 (0,4р+1)·Хвых(р)
= 6·Хвх(р)
Местная обратная связь считается отрицательной
по варианту задания.
Найти:
1) передаточную функцию разомкнутой цепи WR(p),
передаточную функцию замкнутой системы Ф(p) и определить устойчивость системы
двумя предложенными способами;
) построить переходной процесс системы при
подаче на вход сигнала в виде единичной ступеньки;
) сделать выводы о работоспособности и
динамических параметрах системы.
Решение:
Находим передаточные функции элементов САУ на
основе заданных дифференциальных уравнений звена в операторной форме записи:
Находим передаточную функцию второго звена при
наличии местной обратной связи:
,
де
- передаточная функция сумматора по
входу обратной связи равная минус единице, т.к. по условию обратная связь
отрицательная.
Находим передаточную функцию прямой цепи
управления в разомкнутом виде:
Находим передаточную функцию САУ в замкнутом
виде (при наличии внешней обратной связи):
, где 
линейна
система автоматическое управление
Исследование системы на устойчивость по критерию
Гурвица
Из коэффициентов характеристического уравнения D(p)
построим матрицу Гурвица Δn:
D(p)
= 
Δn =
Рассмотрим определители Гурвица:
Δ1= 1,95 Δ1>0
Δ2= 66,4 Δ2>0
Δ3= 1295,256 Δ3>0
Δ4= 971,44 Δ4>0
Так как главный определитель Гурвица и все его
диагональные миноры больше нуля, то данная САУ устойчива на основании критерия
Гурвица.
Исследование системы на устойчивость по критерию
Михайлова
D(p) = (jω)
= a0(jω)n
+ a1(jω)n-1
+ … +
an , гдеD(jω) =
an - an-2ω2 +
an-4ω4 +
…D(jω) =
an-1 jω -
an-3 jω3 +
an-5 jω5+ …
Тогда
у нас получается ReD(jω) = 0,75 -
38,5625ω2 + 0,45 ω4
JmD(jω) = j(19,55ω
- 1,95ω3)
|
ω
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
7
|
10
|
|
Re
|
0,75
|
-37,3625
|
-146,3
|
-309,863
|
-501,05
|
-682,063
|
-808,363
|
644,5
|
|
Jm
|
0
|
17,6
|
6
|
-46,6
|
-146
|
-532
|
-1754,5
|
Годограф Михайлова для данной САУ начинается на
действительной положительной полуоси и проходит без петель в положительном
направлении 4 квадрантане пересекая начало координат. Так как система 4
порядка, то она устойчива.
Рис.1 - Годограф Михайлова
Построение переходного процесса
По виду передаточной функции системы в замкнутом
виде
найдём корни характеристического уравнения
системы управления с помощью программы MathCAD:
,45р4 + 1,95р3 + 38,5625р2 + 19,55р + 0,75 = 0 |
/0,45
р4 + 4,333р3 + 85,694р2 + 43,444р + 1,667 = 0 -
для задания функции в MathCAD
p1 = -0,0418
p2 = -0,4764
p3 = -1,9076
- 8,9475·i
p4 = -1,9076
+ 8,9475·i
Так как среди корней характеристического
уравнения имеются действительные и комплексные, кривую переходного процесса
запишем в следующем виде:
где
и 
D’ = 1,8p3 + 5,85p2 + 77,125p +
19,55
=1,01·e-0,0418·t
-0,05422·e-0,4764·t
=
= 9,146
Строим график переходного процесса в MathCAD:
Рис.2 - График переходного процесса
Выводы:
. Данная САУ устойчива.
. Время регулирования колебательного
процесса до статической ошибки примерно4 с, затемамплитуда колебаний выходного
сигнала по асимптоте стремится к нулю. Время полного регулирования составляет
71,9 с.
. Анализируя корни характеристического
уравнения можно сказать, что переходный процесс до 5-й секунды представляет
собой затухающие колебания (система устойчива) с угловой частотой ω=8,9475
рад/с,
периодом колебаний Т=2π/ω=0,702 сек
и частотой 1,425 Гц. Коэффициент затухания δ=1,9076. Декремент
колебаний еδТ=е1,34. Далее
процесс идёт по асимптоте.
Использованные материалы
1. Ким Д.П. Теория
автоматического управления. Т.1. Линейные системы. -
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с. Табл.13. Ил.148. Библиогр.
19 назв.
. Мирошник И.В. Теория
автоматического управления. Линейные системы. - СПб.:
Питер, 2005. - 336 с.: ил. - (Серия «Учебное
пособие»).
. http://www.exponenta.ru/-
образовательный математический сайт - руководство
пользователяMathCAD.