Жизненные формы харовых водорослей (Charophyta) Северного Казахстана

Жизненные формы харовых водорослей (Charophyta) Северного Казахстана

Зміст

Вступ

1. - вкладення тихонівських просторів у ширші простори

. Характеризація лінделефовості тихонівських просторів

. Характеризація компактності тихонівських просторів

Література

Вступ

тихонівський простір теорема

Вважатимемо, що всі простори є Тихонівськими просторами. Для підпростору  простору , говорять, що  є - вкладеним (відовідно - вкладеним) в , якщо кожна дійсно значена (відповідно кожна обмежена дійснозначна) неперервна функція на  може може бути неперервним продовженням на . Говорять, що підпростір  простору  є  - вкладеним в , якщо для кожної функціонально замкненої множини  в  існує функціонально замкнена множина  в  така, що . Зрозуміло що з - вкладеності випливає - вкладеність, а з останнього випливає  - вкладеність. Добре відомо, що існує декілька результатів про  - вкладеність, які тісно пов’язують її з  або - вкладеністю та іншими властивостями продовження (див [1]). Згадаємо наступну теорему, яка описує так звані абсолютні - вкладення або абсолютні - вкладення. Говорять, що тихонівський простір є майже компактним, якщо , де  означає модифікацію Стоуна-Чеха простору .

Дана робота присвячена перекладу і методичному опрацюванню результатів роботи [19].

1. - вкладення тихонівських просторів у ширші простори

Теорема 1. (Досс [9]), Гьюітт [14], Смірнов [16]: див також [1], [11]). Тихонівський простір  є абсолютно  (або рівносильно, ) вкладеним в кожний більший тихонівський простір тоді і тільки тоді, коли  є майже компактним.

Що стосується  - вкладення, нагадаймо наступний результат, який належить Джерісону (див [13, Лемма 5,3.] або [1, теорема 7,8]).

Теорема 2. (Джерісона). Якщо є лінделефовим підпростором тихоновського простору ,тоді є  - вкладеним в .

Відповідно до теореми 1 наступний результат, що характеризує так звані абсолютні  - вкладення, встановлений Блером [7], Блером-Гагером [8] I Гагером -Джонсоном [12] частини ” тоді ” випливає безпосередньо з теореми 1 і 2.

Теорема 3. (Блер [7], Блер-Гагер [8], Гагер-Джонсон [12]). Тихонівський простір  є  - вкладеним у кожний більший тихонівський простір, тоді і тільки тоді, коли  є майже компактом або лінделефовим.

Доведення частини «тільки тоді»: теореми 3 подане у [7], [8] і [12] і отримується з допомогою наслідків, які мають самостійний інтерес , і які стосуються повних за Г’юітом просторів або кільця неперервних функцій. В цій роботі ми подаємо альтернативне і просте доведення цієї теореми, яке використовує лише наступний добре відомий факт: тихонівський простір  є лінделефовим тоді і тільки тоді, коли для кожного компактного підпростору  простору  з  існує функціонально замкнена множина  у просторі  така, що  (див [10,3.12.25(в)]). Іншу термінологію можна знайти в [1], [10] і [11].

Доведення частини «тільки тоді теореми 3».

Припустимо, що  є  - вкладеним у кожний більший тихонівський простір. Припустимо що  не є майже компактним. Ми покажемо, що  є лінделефовим. Нехай  компактний підпростір  з .

Твердження. Для кожного  існує відкритий окіл точки  в просторі  і функціонально замкнена множина  в посторі  такі,що .

Нехай оскільки , то візьмемо точку . Нехай  неперервна функція, яка задовільняє умови  і . Нехай  фактор простір який отримується з простору  шляхом ототожнення всіх точок з множини  з однією такою точкою , яке буде фактор відображенням. Оскільки  є функціонально замкненою множиною в просторі , а  - вкладений в , то існує функціонально замкнена множина  в просторі  така, що . Тоді . Справді, якщо , то , що приводить до суперечності. Покладемо  і . Це ті множини, що нам потрібні. Це факт і показує вірність даного твердження.

На завершення, для деякої скінченної послідовності з  покладемо . Тоді є функціонально замкненою множиною в просторі  і . Отже  є лінделефовим простором. Це і завершує доведення.

2. Характеризація лінделефовості тихонівських просторів

Ми застосуємо нашу техніку у вище наведеному доведенню, щоб навести просте доведення теореми, яка нещодавно була доведена Белломі Ященко [6], їх доведення довге і складне.

Теорема 4. (Белла-Ященко [6]). Для тихоновського простору  наступні твердження рівносильні:

)        якщо тихонівський простір  містить дві замкнені множини  і , що неперетинаються, то ці множини можна відокремити в відкритими множинами;

)        є лінделефовим.

Дивись [3] для мотивації теореми 4, яка буде сформульована нижче. Нагадаймо що підмножини  та  топологічного простору  називаються відокремними, якщо .

(*) Якщо тихонівський простір  містить дві копії  і  простору , які є відокремними підмножинами, то ці копії можуть бути відокремленими в просторі  функціонально замкненими множинами.

Доведення теореми 4. (1)  (2).

Припустимо (1). Спочатку ми доведемо що (*) має місце. Нехай  і  копії простору  і припустимо, що віни є відокремними підмножинами тихоновського простору . Вкладемо простір  в тихоновський куб. Крім того, вкладемо  в добуток , як підпростір і позначемо підпростір  через . Оскільки  є щільною підмножиною простору  то ці відкриті множини можуть бути продовжені до відкритих множин  і , що не перетинаються, в просторі . Оскільки  є тихоновським кубом, то вівдомо, що  і  можуть бути відокремлені за допомогою функціонально замкнених множин  і  в  (для цього потрібно застосувати [15, теорема 2] і [17, теорема 2]. Тоді звідси випливає, що ,  при Звідси випливає, що  і  можуть відокремлюватися функціонально замкненими множинами в просторі  точніше (*) має місце.

Тепер ми доведемо, що  є лінделефовим. Нехай  компактний підпростір простору   і нехай . Позначемо множину  в  через  при . Нехай  фактор простору який одержується з простору  ототожненням всіх точок множини однією точкою, а  - фактор відображеня. Оскільки  і є відокремленими підмножинами в , то згідно з (*) існують функціонально замкнені множини, що не перетинаються, і  і  в просторі такі що  при . Можна припустити, що . Тоді  і  є функціонально замкненою множиною в . Отже  (а значить і ) є лінелефовим. Імплікація є очевидною.

Слід зазначити в теоремі 1 (відповідно теоремі 3), що  може також бути  або  (відповідно ) вкладеним в кожний тихонівський простір, в якому  є вкладеним, як замкнена підмножина ([4], [14], [16]). Так само, як може бути доведена аналогічна властивість(*).

Яджіма подав деякі узагальнення теореми 4 і характеризації паракомпактності [18].

. Характеризація компактності тихонівських просторів

Далі наведемо деякі результати, що стосуються теореми 4. При цьому використовується техніка побудови допоміжного простору, визначеного деякими просторами і тихоновським розширенням, що є популярним в теорії відносних топологічних властивостей .

Теорема 5. Для тихоновського простору  твердження є рівносильними:

)        якщо тихонівський простір  містить дві замкнені копії  і  простору що не перетинаються, то ці копії можуть бути повністю відокремними в просторі ;

)        є компактом.

Доведення: . Припустимо  згідно з теоремою 4  є лінделефовим. Достатньо показати, що кожна замкнена дискретна множина в просторі  є скінченною. Щоб довести цей факт, припустимо протилежне і нехай  замкнена дискретна множина, що складається з різних точок. Нехай і позначимо множини  в просторі  через  при . Нехай  тихоновське розширення. Нехай  і позначимо правий край , простору  через , а верхній край  постору , через  при . Для  визначимо відображення  наступним чином . Розглянемо просторове об’єднання . (див. [10, с.93]). Означимо відображення  наступним чином . Нехай  простір об’єднання . Оскільки  є тихоновським простором і  та  замкнені підмножини в просторі , то згідно з припущенням  та  є відокремними в просторі С. Це приводить до суперечності.

Теорема 6. Для тихоновського простору  твердження рівносильні:

)        якщо тихонівський простір  містить копію  простору  і замкнену підмножину , що не перетинається, то  і можуть бути цілком відокремленими в просторі ;

)        якщо тихонівський простір  містить замкнену копію  простору  і замкнену підмножину , що не перетинаються, то  і  можуть бути відокремленими в  відкритими множинами;

)        є компактним.

Наступні імплікації доведені також:

 доведено Блером-Гагером [8, твердження 4.3]

 доведено Аулемом [5, теорема 1(в]).

Теорема 7 (Блер-Гагер [8], Аул [5]). Для  тихоновського простору справедливі такі твердження:

1)      якщо тихонівський простір  містить копію, простору  і функціонально замкнену множину , що не перетинаються то  і  можуть бути цілком відкритими в .

2)      якщо тихонівський простір  містить замкнену копію  простору  і функціонально замкнену множину , що не перетинаються то то  і  можуть бути відкритими в  множинами.

3)      є псевдокомпактом.

Доведення .

Імплікацяі  є очевидною.

. Пропустимо що  виконується і припустимо що  не є псевдокомпактом. Нехай  є додатна, необмежена, неперервна функція. Тоді, існує замкнена дискретна підмножина  в просторі така, що  для кожного . Розглянемо простір-об’єднаня  де  площина Тихонова і  є відображенням, визначене наступним чином:  при . Тоді зауважимо, що верхній край простору  є функціонально замкненою множиною в просторі . Справді визначимо неперервну функцію  наступним чином: , якщо ; , якщо , , якщо  . Оскільки верхній край простору  дорівнює , то умова  призводить до суперечності.

Згідно з [наслідком 3.6] (див також [1]) простір  простору  є  - вкладеним в  тоді і тільки тоді, коли - вкладеним і добре вкладеним в , якщо будь-яка функціонально земкнена множина в посторі , яка не перетинється з  і може бути цілком відкритою в  відносно , слід відзначити що з теореми 3 і 7 випливає теорема 1.

Література

[1].    Alo R.A., Shapiro H.L., Normal Topological Spaces. Comment University press. Cambridge. 1974.

[2].    Arhangel’skii A.V., Relative topological properties and relative topological spaces, Topology Appl. 70 (1996). 87-89.

[3].    Arhangel’skii A.V., Tartir J., A characterization of compactness by relative separation property. Questions Answers Ger. Topological 14 (1996), 49-52.

[5].    Aull C.E., On well-embeddings, General Topological and Applications (Middletown, CT, 1998), pp. 1-5: Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 123, Dekker, New York.

[6].    Bella A., Yaschenco I.V. Lindelöf property and absolute embeddings, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 907-913.

[7].    Brail R.L., On -embeddings sets in topological spaces, TOPO 72- General Topology and its Applications (Proc. Second Pittsburgh Internat. Conf., Pittsburgh, Pa., 1972; dedicated to the memory of Johannes H. de Groot). pp. 46-79; Lecture Notes in Math., Vol. 378, Springer. Berlin. 1974.

[8].    Brail R.L., Hager A.,W., Extensions of zero-sets and of real-valued functions, Math. Z. 136 (1974), 41-52.

[9].    Doss R.L., On uniform spaces with a unique structure, Amer. J. Math. 71 (1949), 19-23.

[10].  Engelking R., General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989.

[11].  Gillman L. Jerison M., Rings of Continuous Functions, Van Nostrand, Princeton, 1960.

[12].  Hager A., W., Johnson D.G., A note on certain subalgebras of , Canad. Math. 20 (1968), 389-393.

[13].  Henriksen M., Johnson D. G., A note structure of a class of archimedian lattice-ordered algebras. Fund. Math. 50 (1961), 73-94.

[14].  Hewitt E., A note on extensions of continuous functions, An. Acad. Brazil. Ci. 21 (1949), 175-179.

[15].  Noble N., - embedded subsets of product, Proc. Amer. Math. Soc. 31 (1972), 613-614/

[16].  Smirnov Y., Mappings of systems of open sets (in Russian), Mat. Sb. 31 (1952), 152-166.

[17].  Teraga T., Note on -, -, and - embedding, Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sect. A. 13 (1975), 129-132.

[18].  XXX Characterizations of paracompactness and Lindelöfness by separation property, preprint.

[19].  Yamasaki K. A proof the Blair-Hager-Johnson theorem on absolute - embedding. Comment.Math.Univ.Varoline 43, 1 (2002) p.175-179