Жизненные формы харовых водорослей (Charophyta) Северного Казахстана
Зміст
Вступ
1. - вкладення тихонівських
просторів у ширші простори
. Характеризація лінделефовості тихонівських
просторів
. Характеризація компактності тихонівських
просторів
Література
Вступ
тихонівський простір теорема
Вважатимемо, що всі простори
є Тихонівськими просторами. Для підпростору простору , говорять,
що є - вкладеним
(відовідно - вкладеним)
в , якщо кожна
дійсно значена (відповідно кожна обмежена дійснозначна) неперервна функція на може може
бути неперервним продовженням на . Говорять, що підпростір простору є - вкладеним
в , якщо для
кожної функціонально замкненої множини в існує функціонально замкнена
множина в така, що . Зрозуміло
що з -
вкладеності випливає -
вкладеність, а з останнього випливає - вкладеність. Добре відомо, що
існує декілька результатів про - вкладеність, які тісно пов’язують
її з або -
вкладеністю та іншими властивостями продовження (див [1]). Згадаємо наступну
теорему, яка описує так звані абсолютні - вкладення або абсолютні - вкладення.
Говорять, що тихонівський простір є майже компактним, якщо , де означає
модифікацію Стоуна-Чеха простору .
Дана робота присвячена
перекладу і методичному опрацюванню результатів роботи [19].
1. - вкладення
тихонівських просторів у ширші простори
Теорема 1. (Досс [9]),
Гьюітт [14], Смірнов
[16]:
див також [1], [11]).
Тихонівський простір є абсолютно
(або
рівносильно, ) вкладеним
в кожний більший тихонівський простір тоді і тільки тоді, коли є майже
компактним.
Що стосується -
вкладення, нагадаймо наступний результат, який належить Джерісону (див [13,
Лемма 5,3.] або
[1,
теорема 7,8]).
Теорема 2. (Джерісона). Якщо є лінделефовим
підпростором тихоновського простору ,тоді є - вкладеним в .
Відповідно до теореми 1
наступний результат, що характеризує так звані абсолютні -
вкладення, встановлений Блером [7],
Блером-Гагером
[8] I Гагером
-Джонсоном [12]
частини ”
тоді
”
випливає безпосередньо з теореми 1 і 2.
Теорема 3. (Блер [7],
Блер-Гагер
[8],
Гагер-Джонсон [12]).
Тихонівський простір є - вкладеним
у кожний більший тихонівський простір, тоді і тільки тоді, коли є майже
компактом або лінделефовим.
Доведення частини «тільки
тоді»: теореми 3 подане у [7], [8] і [12] і отримується з допомогою наслідків,
які мають самостійний інтерес , і які стосуються повних за Г’юітом просторів
або кільця неперервних функцій. В цій роботі ми подаємо альтернативне і просте
доведення цієї теореми, яке використовує лише наступний добре відомий факт:
тихонівський простір є
лінделефовим тоді і тільки тоді, коли для кожного компактного підпростору простору з існує
функціонально замкнена множина у просторі така, що (див
[10,3.12.25(в)]). Іншу термінологію можна знайти в [1], [10] і [11].
Доведення частини «тільки
тоді теореми 3».
Припустимо, що є - вкладеним
у кожний більший тихонівський простір. Припустимо що не є майже
компактним. Ми покажемо, що є лінделефовим. Нехай компактний
підпростір з .
Твердження. Для кожного існує
відкритий окіл точки в просторі і
функціонально замкнена множина в посторі такі,що .
Нехай оскільки , то
візьмемо точку . Нехай неперервна
функція, яка задовільняє умови і . Нехай фактор
простір який отримується з простору шляхом ототожнення всіх точок з
множини з однією
такою точкою , яке буде
фактор відображенням. Оскільки є функціонально замкненою множиною
в просторі , а - вкладений
в , то існує
функціонально замкнена множина в просторі така, що . Тоді . Справді,
якщо , то , що
приводить до суперечності. Покладемо і . Це ті множини, що нам
потрібні. Це факт і показує вірність даного твердження.
На завершення, для деякої
скінченної послідовності з покладемо . Тоді є
функціонально замкненою множиною в просторі і . Отже є
лінделефовим простором. Це і завершує доведення.
2. Характеризація
лінделефовості тихонівських просторів
Ми застосуємо нашу техніку у
вище наведеному доведенню, щоб навести просте доведення теореми, яка нещодавно
була доведена Белломі Ященко [6], їх
доведення довге і складне.
Теорема 4. (Белла-Ященко [6]).
Для тихоновського простору наступні твердження рівносильні:
) якщо тихонівський
простір містить дві
замкнені множини і , що
неперетинаються, то ці множини можна відокремити в відкритими
множинами;
) є
лінделефовим.
Дивись [3] для
мотивації теореми 4, яка буде сформульована нижче. Нагадаймо що підмножини та топологічного
простору називаються
відокремними, якщо .
(*) Якщо тихонівський простір
містить дві
копії і простору , які є
відокремними підмножинами, то ці копії можуть бути відокремленими в просторі функціонально
замкненими множинами.
Доведення теореми 4. (1) (2).
Припустимо (1). Спочатку ми
доведемо що (*) має місце. Нехай і копії простору і
припустимо, що віни є відокремними підмножинами тихоновського простору . Вкладемо
простір в
тихоновський куб. Крім того, вкладемо в добуток , як
підпростір і позначемо
підпростір через . Оскільки є щільною
підмножиною простору то ці
відкриті множини можуть бути продовжені до відкритих множин і , що не перетинаються,
в просторі . Оскільки є
тихоновським кубом, то вівдомо, що і можуть бути відокремлені за допомогою
функціонально замкнених множин і в (для цього потрібно застосувати
[15, теорема 2] і [17, теорема 2]. Тоді звідси випливає, що , при Звідси
випливає, що і можуть
відокремлюватися функціонально замкненими множинами в просторі точніше (*)
має місце.
Тепер ми доведемо, що є
лінделефовим. Нехай компактний
підпростір простору і нехай . Позначемо
множину в через при . Нехай фактор
простору який одержується з простору ототожненням всіх точок множини
однією точкою, а - фактор
відображеня. Оскільки і є
відокремленими підмножинами в , то згідно з (*) існують
функціонально замкнені множини, що не перетинаються, і і в просторі такі що при . Можна
припустити, що . Тоді і є
функціонально замкненою множиною в . Отже (а значить
і ) є
лінелефовим. Імплікація є
очевидною.
Слід зазначити в теоремі 1
(відповідно теоремі 3), що може також бути або (відповідно
) вкладеним
в кожний тихонівський простір, в якому є вкладеним, як замкнена підмножина
([4], [14], [16]). Так само, як може бути доведена аналогічна властивість(*).
Яджіма подав деякі
узагальнення теореми 4 і характеризації паракомпактності [18].
. Характеризація компактності
тихонівських просторів
Далі наведемо деякі
результати, що стосуються теореми 4. При цьому використовується техніка
побудови допоміжного простору, визначеного деякими просторами і тихоновським
розширенням, що є популярним в теорії відносних топологічних властивостей .
Теорема 5. Для тихоновського
простору твердження
є рівносильними:
) якщо тихонівський
простір містить дві
замкнені копії і простору що
не перетинаються, то ці копії можуть бути повністю відокремними в просторі ;
) є
компактом.
Доведення: . Припустимо
згідно з
теоремою 4 є
лінделефовим. Достатньо показати, що кожна замкнена дискретна множина в
просторі є
скінченною. Щоб довести цей факт, припустимо протилежне і нехай замкнена
дискретна множина, що складається з різних точок. Нехай і позначимо
множини в просторі через при . Нехай тихоновське
розширення. Нехай і позначимо
правий край , простору через , а верхній
край постору , через при . Для визначимо
відображення наступним
чином . Розглянемо
просторове об’єднання . (див. [10, с.93]). Означимо відображення
наступним
чином . Нехай простір
об’єднання . Оскільки є
тихоновським простором і та замкнені
підмножини в просторі , то згідно
з припущенням та є
відокремними в просторі С. Це приводить до суперечності.
Теорема 6. Для тихоновського
простору твердження
рівносильні:
) якщо тихонівський
простір містить
копію простору і замкнену
підмножину , що не
перетинається, то і можуть бути
цілком відокремленими в просторі ;
) якщо тихонівський
простір містить
замкнену копію простору і замкнену
підмножину , що не
перетинаються, то і можуть бути
відокремленими в відкритими
множинами;
) є
компактним.
Наступні імплікації
доведені також:
доведено Блером-Гагером [8,
твердження 4.3]
доведено Аулемом [5,
теорема 1(в]).
Теорема 7 (Блер-Гагер
[8],
Аул [5]). Для тихоновського
простору справедливі такі твердження:
1) якщо тихонівський
простір містить
копію, простору і
функціонально замкнену множину , що не перетинаються то і можуть бути
цілком відкритими в .
2) якщо тихонівський
простір містить
замкнену копію простору і
функціонально замкнену множину , що не перетинаються то то і можуть бути
відкритими в множинами.
3) є
псевдокомпактом.
Доведення .
Імплікацяі є
очевидною.
. Пропустимо що виконується
і припустимо що не є
псевдокомпактом. Нехай є
додатна, необмежена, неперервна функція. Тоді, існує замкнена дискретна підмножина
в просторі така, що для кожного
. Розглянемо
простір-об’єднаня де площина
Тихонова і є
відображенням, визначене наступним чином: при . Тоді зауважимо, що верхній край
простору є
функціонально замкненою множиною в просторі . Справді визначимо неперервну
функцію наступним
чином: , якщо ; , якщо , , якщо . Оскільки
верхній край простору дорівнює , то умова призводить
до суперечності.
Згідно з [наслідком 3.6] (див
також [1]) простір простору є - вкладеним
в тоді і тільки
тоді, коли - вкладеним
і добре вкладеним в , якщо
будь-яка функціонально земкнена множина в посторі , яка не
перетинється з і може бути
цілком відкритою в відносно , слід
відзначити що з теореми 3 і 7 випливає теорема 1.
Література
[1]. Alo R.A., Shapiro H.L.,
Normal Topological Spaces. Comment University press. Cambridge. 1974.
[2]. Arhangel’skii A.V.,
Relative topological properties and relative topological spaces, Topology Appl.
70 (1996). 87-89.
[3]. Arhangel’skii A.V.,
Tartir J., A characterization of compactness by relative separation property.
Questions Answers Ger. Topological 14 (1996), 49-52.
[5]. Aull C.E., On
well-embeddings, General Topological and Applications (Middletown, CT, 1998),
pp. 1-5: Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 123, Dekker, New York.
[6]. Bella A., Yaschenco I.V.
Lindelöf property and absolute embeddings, Proc. Amer. Math. Soc. 127
(1999), 907-913.
[7]. Brail R.L., On -embeddings
sets in topological spaces, TOPO 72- General Topology and its Applications
(Proc. Second Pittsburgh Internat. Conf., Pittsburgh, Pa., 1972; dedicated to
the memory of Johannes H. de Groot). pp. 46-79; Lecture Notes in Math., Vol.
378, Springer. Berlin. 1974.
[8]. Brail R.L., Hager A.,W.,
Extensions of zero-sets and of real-valued functions, Math. Z. 136 (1974),
41-52.
[9]. Doss R.L., On uniform spaces
with a unique structure, Amer. J. Math. 71 (1949), 19-23.
[10]. Engelking R., General
Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989.
[11]. Gillman L. Jerison M., Rings
of Continuous Functions, Van Nostrand, Princeton, 1960.
[12]. Hager A., W., Johnson D.G., A
note on certain subalgebras of , Canad. Math. 20 (1968), 389-393.
[13]. Henriksen M., Johnson D. G.,
A note structure of a class of archimedian lattice-ordered algebras. Fund.
Math. 50 (1961), 73-94.
[14]. Hewitt E., A note on
extensions of continuous functions, An. Acad. Brazil. Ci. 21 (1949), 175-179.
[15]. Noble N., - embedded
subsets of product, Proc. Amer. Math. Soc. 31 (1972), 613-614/
[16]. Smirnov Y., Mappings of
systems of open sets (in Russian), Mat. Sb. 31 (1952), 152-166.
[17]. Teraga T., Note on -, -, and - embedding,
Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sect. A. 13 (1975), 129-132.
[18]. XXX Characterizations of
paracompactness and Lindelöfness by separation property, preprint.
[19]. Yamasaki K. A proof the
Blair-Hager-Johnson theorem on absolute - embedding. Comment.Math.Univ.Varoline
43, 1 (2002) p.175-179