Трендовые и корреляционные модели

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

"МАМИ"

Курсовая работа

"Трендовые и корреляционные модели"

(дисциплина "Информационные технологии в экономике")

Выполнил: студентка 5 курса

Проверил: д. т. н., проф.

Н.Т. Катанаев

Москва 2011

Содержание

Введение

1. Задание по курсовой работе

2. Выполнение задания по курсовой работе

3. Определение простой средней арифметической _ар:

4. Трендовые модели

4.1 Трендовые модели с линейной выравнивающей функцией

4.2 Метод расчленения исходных данных динамического ряда

4.3 Выравнивание методом наименьших квадратов (МНК)

4.4 Выравнивание методом наименьших квадратов с переносом начала координат в середину динамического ряда

4.5 Трендовые модели с квадратичной выравнивающей функцией

4.6 Определение коэффициентов вариации трендовых моделей

4.7 Интерполяция и экстраполяция (прогноз) по трендовой модели

5. Корреляционные модели

5.1 Корреляционная модель производственного процесса

5.2 Линейная корреляционная модель

5.3 Выравнивание квадратичной функцией

5.4 Коэффициент корреляции конкурирующих описаний

5.5 Использование модели в оптимизационной задаче

6. Графическое изображение результатов расчета по различным конкурирующим моделям

7. Проверка правильности выполнения работы

8. Графики результатов расчета по полученным корреляционным моделям

Заключение

Литература

Введение

Экономико-статистические модели (ЭСМ) на сегодняшний день являются одним из основных инструментов анализа финансово-производственной деятельности экономических субъектов, а также установления тесноты взаимосвязей между элементами этих субъектов. Цель их применения - это возможность правильно выбрать решение в условиях неопределенности сложившейся ситуации, умение спрогнозировать и предугадать социально-экономические явления, сделать правильные выводы и внести коррективы в управление экономическим процессом.

Исследования связей осуществляются в условиях массового наблюдения при действии случайных факторов и формализуются они в виде экономико-статистических моделей. В широком смысле модель - это аналог или условный образ какого-либо объекта, процесса или события, приближенно воссоздающий "оригинал". Модель представляет собой логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса. Она даёт возможность установить основные закономерности изменения функциональных и статистических связей оригинала. В модели оперируют количественными и качественными показателями однородных массовых явлений - совокупностей. Статистические связи устанавливаются при расчёте средних значений моделируемого показателя по набору множества значений доминирующих факторов. Эти связи позволяют выявить степень воздействия как отдельных факторов, так и всей совокупности факторов, на изучаемый процесс.

Целью данной курсовой работы является изучение методов получения таких ЭСМ, как трендовые и корреляционные модели, а также определение с их помощью тесноты связей между различными факторами и закономерностей развития описываемых событий.

1. Задание по курсовой работе

1.      Составить таблицу исходных данных производительности завода по годам в интервале 1, где N - количество лет, подлежащих исследованию. Производительность формируется в соответствии с моделью:

 a₀ + a₁t + a₂f (t), 0<t£7 (0.1)_t =_t=7 - 0,5a₁ (t-7) + a₂f (t), 7<t£13, (0.2)

где:

a₀ = 10v, v - номер варианта (Иллариошина - 6);

a₁ = v + 0,2Г, Г - номер группы (последние цифры в номере группы, например, для группы 9ЭФМа-4 принять Г = 4);

a₂ = 0,5v;

sin 1,57t для четных v

f (t) =

сos 1,57t для нечетных v

Для упрощения расчетов воспользоваться следующей таблицей (0.1)

Таблица (0.1)

t				Sin 1,57t	Cos 1,57t
0	4	8	12	0	1
1	5	9	13	1	0
2	6	10		0	-1
3	7	11		-1	0

.        Определить простую среднюю арифметическую;

3.      Получить трендовую модель с выравнивающей функцией = A + Bt способами:

3.1    расчленением динамического ряда на 2 части;

3.2    выравниванием методом наименьших квадратов;

3.3    методом наименьших квадратов (МНК) с подбором начала отсчета в середине динамического диапазона.

4.      Провести выравнивание по квадратичной формуле  = A + Bt + Ct² методом наименьших квадратов с подбором начала отсчета в середине динамического диапазона;

.        С использованием коэффициента вариации определить точность полученных МНК линейной и параболической трендовых моделей;

.        Выбрать из конкурирующих достоверную модель и провести интерполяцию уровня динамического ряда при t = 10,5 и экстраполяцию (прогноз) при t = 15;

7.      Построить корреляционную модель следующего производственного процесса: пусть 13 одноотраслевых заводов выпускают однотипную продукцию Y_x в некоторых условных единицах. Производительность завода связана с количеством рабочих х_i на заводе. Определить уравнение связи между объемом выпускаемой продукции Y_x и количеством х_i рабочих на заводе: Y_x = f (x_i).

В качестве исходных в таблице данных принять исходную расчетную таблицу для трендовых моделей, осуществив замену:

Y_x = Y_t

х_i = 100 t_i.

Для упрощенных расчетов перейти к новой независимой переменной:

x_i = X _i / 100;

.        Определить коэффициент корреляции конкурирующих описаний;

9.      Найти оптимальное количество рабочих на заводе, обеспечивающее максимальный выпуск продукции;

.        Представить график исходных данных, а также графическое изображение результатов корреляционного моделирования.

трендовая корреляционная модель

2. Выполнение задания по курсовой работе

1.      Таблица исходных данных производительности завода по годам в течение 13 лет.

Задание дается для группы 9ЭФМа-4. Фамилия студента (Иллариошина) в списке группы включена под четным номером 56. Тогда в соответствии с заданием коэффициенты исходной модели примут значения:

v = 6; Г = 4; N=13;

а₀ = 10٭v = 60;

a₁ = v + 0,2٭Ã = 6 + 0,2٭4 =6,8;

a₂=0,5٭v = 0,5٭6 = 3;(t) = sin 1,57t.

Модель производительности завода (уравнения (0.1) и (0.2)) с учетом значений подсчитанных коэффициентов примет вид:

 60 + 6,8t + 3sin1,57t,0 < t ≤ 7;_t=Y_t=7 - 0,5٭6,8٭ (t - 7) + 3 sin 1,57t,7 < t ≤ 13.

Значения sin 1,57t при изменении аргумента t от 0 до 13 определяются из таблицы (0.1).

Расчет значений производительности предприятия по годам определяется по вышеприведенным формулам:

Yt₌₁₌ 60+6,8*1+3*sin (l.57*1) =60+6.8+3*1=69,8;

Yt⁼²⁼60+6,8*2+3*sin (l.57*2) =60+13,6+3*0=73,6;

Yt⁼³⁼60+6,8*3+3*sin (l.57*3) =60+20,4+3* (-1) =77,4

Y_t=4=60+6,8*4+3*sin (l.57*4) =60+27,2+3*0=87,2

Y_t=5=60+6,8*5+3*sin (l.57*5) =60+34+3*1=97

Y_t=6=60+6,8*6+3*sin (l.57*6) =60+40,8+3*0=100,8

Y_t=7=60+6,8*7+3*sin (1.57*7) =60+47.6+3* (-1) =104,6; Y_{t = 7} =104,6;

Y_t=8=104,6-0.5*6,8* (8-7) +3*sin (1.57*8) =101,2;

Y_t=9=104,6-0.5*6,8* (9-7) +3*sin (1.57*9) =100,8;

Y_t=10=104,6-0.5*6,8* (10-7) +3*sin (1.57*10) =94,4;

Y_t=11=104,6-0.5*6,8* (11-7) +3*sin (1.57*11) =88;

Y_t=12=104,6-0.5*6,8* (12-7) +3*sin (1.57*12) =87,6;

Y_t=13=104,6-0.5*6,8* (13-7) +3*sin (1.57*13) =87.2;

Полученные значения включаем в таблицу 1 при этом дополнительно включаем в нее во второй столбец t² и в четвертый столбец произведение Y_tt, необходимые для дальнейших расчетов.

Таблица исходных данных Таблица 1

1	2	3	4
t	t2	Yt	Ytt
1	1	69,8	69,8
2	4	73,6	147,2
3	9	77,4	232,2
4	16	87,2	348,8
5	25	97	485
6	36	100,8	604,8
7	49	104,6	732,2
8	64	101,2	809,6
9	81	100,8	907,2
10	100	94,4	944
11	121	88	968
12	144	87,6	1051,2
13	169	87,2	1133,6
∑ t=91	∑ t2 =819	∑Yt =1169,6	∑Ytt = 8433,6

3. Определение простой средней арифметической _ар:

_àð= ∑Y_t/ N; (1)

_àð = 1169,6/13;

_àð = 89,97.

4. Трендовые модели

4.1 Трендовые модели с линейной выравнивающей функцией

Îñíîâíàÿ öåëü àíàëèçà ñîñòîèò â ïîäáîðå ïàðàìåòðîâ âûáðàííîé âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñóììàðíûå îòêëîíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà Y_t îò ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ïî èäåíòèôèöèðîâàííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè , ðàâíÿëèñü íóëþ.

Èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå âûðàâíèâàþùåé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, ïîëó÷èì òðåíäîâóþ ìîäåëü ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè.

4.2 Метод расчленения исходных данных динамического ряда

Äåëèì äèíàìè÷åñêèé ðÿä 1 íà êîëè÷åñòâî ÷àñòåé, ðàâíîå êîëè÷åñòâó íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèè.

Ïîëó÷èì òðåíäîâóþ ìîäåëü ñ âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèåé

 = A + Bt (2)

Çàïèøåì ôóíêöèþ öåëè:

S =  (Y_t - ) =0 (3)

Ïîäñòàâèì (2) â (3)

=  (Y_t - A - Bt) =0 (4)

Ðàñ÷ëåíèì äèíàìè÷åñêèé ðÿä íà 2 ÷àñòè (ïî ÷èñëó îïðåäåëÿåìûõ êîýôôèöèåíòîâ - À è Â).

Ïðèâåäåì ñèñòåìó èñõîäíûõ óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ äëÿ êàæäîé èç äâóõ ÷àñòåé:

  (Y_t - A - Bt) =0; (5)

 (Y_t - A - Bt) =0. (6)

Òåïåðü ïåðåéäåì ê ñèñòåìå íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé:

 Àt₁+Bt=; (7)(N-1) +Bt=Y_t. (8)

Ïåðâàÿ ÷àñòü (ñì. òàáë.1) ñîñòàâëåíà ïî ãîäàì îò 1 äî 6, à âòîðàÿ - îò 7 äî 13, òàê, ÷òî t=1, t₁=6, t₁+1=7, N=13.

Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå (7) ïîäñ÷èòàííûå äëÿ ïåðâîé ÷àñòè òàáë.1 ñóììû: t; Y_t, è â óðàâíåíèå (8) äëÿ âòîðîé ÷àñòè - ñóììû: t; Y_t, ïîëó÷èì:

6A + 21B = 505,8 (9)

A + 70B = 663,8 (10)

Âûðàçèì èç óðàâíåíèÿ (10) ïàðàìåòð À:

A= 94,83-10B (11)

Ïîäñòàâèì (11) â óðàâíåíèå (9), ïîëó÷èì

(94,83-10Â) +21Â=505,8. Îòêóäà:

B=1.62 (12)

Ïîäñòàâèì (12) â (9), ïîëó÷èì

A=78,63 (13)

Ëèíåéíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ îêîí÷àòåëüíî ïðèìåò âèä:

=78,63+1.62t. (I) (14)

4.3 Выравнивание методом наименьших квадратов (МНК)

 êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè â äàííîì ìåòîäå èñïîëüçóåòñÿ ôóíêöèîíàë

S =  (Y_{t -} ) ² → min, (15)

ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ìèíèìèçèðóåìóþ ñóììó êâàäðàòà îòêëîíåíèé ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèé Y_t îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ïî âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèè . Ïðèíöèïèàëüíûå îòëè÷èÿ ôóíêöèîíàëà (15) îò (3) ñîñòîÿò â ñëåäóþùåì. Äëÿ ôóíêöèîíàëà (3) âåñü äèàïàçîí èñõîäíûõ äàííûõ ïðèõîäèòñÿ ðàçáèâàòü íà ðàâíûå ÷àñòè, êîëè÷åñòâî êîòîðûõ äîëæíî áûòü ðàâíî êîëè÷åñòâó îïðåäåëÿåìûõ êîýôôèöèåíòîâ âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèè (À, Â, Ñ è ò.ä.).

 ôóíêöèîíàëå (15) èíòåðâàë ñóììèðîâàíèÿ îõâàòûâàåò âåñü äèàïàçîí îò t=1 äî t= N è ñàì ôóíêöèîíàë ñòðåìèòñÿ ê min, à ðàçíîñòü (Y_{t -} ) âîçâîäèòñÿ â êâàäðàò.

Ïðèìåì â êà÷åñòâå âûðàâíèâàþùåé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ

 = A + Bt (16)

Òàê êàê ìû èñïîëüçóåì âåñü çàäàííûé èíòåðâàë äëÿ t (îò 1 äî 13), òî ïðè íàïèñàíèè çíàêà ñóììû ïðåäåëû ñóììèðîâàíèÿ îïóñòèì.

Ïîäñòàâèì (16) â (15)

S=∑ (Y_{t -} A - Bt) ²→min. (17)

Ôóíêöèîíàë (17) ñîäåðæèò äâà íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòà (ÀèÂ). Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äâóõ óðàâíåíèé çàïèøåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèîíàëà ïî íåèçâåñòíûì êîýôôèöèåíòàì:

= 2 ∑ (Y_{t -} A - Bt) * (-1) =0, (18)

 = 2 ∑ (Y_{t -} A - Bt) * (-t) =0. (19)

Ïåðåïèøåì ýòó ñèñòåìó â âèäå íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé

NÀ + Â∑t = ∑Y_t, (20)

À∑t + Â∑t² = ∑Y_tt. (21)

Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó èç òàáë.1 ðàñ÷åòíûå ïàðàìåòðû: ∑t; ∑Y_t; ∑t^2; ∑Y_tt:

A+91B=1169,6; (22)

A+819B=8433,6. (23)

Ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé (22) è (23) ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàò:

A= 80,52, B=1,35. (24)

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå òðåíäà ïðèìåò âèä:

 = 80,52+1,35t. (II) (25)

4.4 Выравнивание методом наименьших квадратов с переносом начала координат в середину динамического ряда

 ýòîì ñëó÷àå íà÷àëî êîîðäèíàò ïåðåíîñèòñÿ â ñåðåäèíó äèíàìè÷åñêîãî ðÿäà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êîëè÷åñòâî çíà÷åíèé àðãóìåíòà ñëåâà îò íà÷àëà êîîðäèíàò áûëî ðàâíî êîëè÷åñòâó çíà÷åíèé ñïðàâà. Äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ ñåðåäèíà äèàïàçîíà èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé t=7. Ýòà òî÷êà ïðèíèìàåòñÿ çà íóëü. Òîãäà ñëåâà îò íóëÿ çàïèñûâàþòñÿ îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ âðåìåíè (ïî ãîäàì), ñïðàâà - ïîëîæèòåëüíûå.  ýòîì ñëó÷àå ñóììà íå÷¸òíûõ ñòåïåíåé àðãóìåíòà ðàâíà íóëþ

∑t= ∑ t³ = ∑t⁵= …0. (26)

Ïóñòü â êà÷åñòâå âûðàâíèâàþùåé ïðèíÿòà ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ:

 = A + Bt (27)

Òîãäà ñèñòåìà íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèìåò âèä

NÀ + Â∑t = ∑Y_t, (28)

À∑t + Â∑t² = ∑Y_tt. (29)

Ñ ó÷åòîì (26) ñèñòåìà óðàâíåíèé (28) - (29) çàïèøåòñÿ êàê:

NÀ= ∑Y_t, (30)

Â∑t² = ∑Y_tt. (31)

Ñîñòàâèì íîâóþ òàáëèöó äàííûõ â ñâÿçè ñ ïåðåíîñîì îñè îðäèíàò â ñåðåäèíó äèàïàçîíà àðãóìåíòà t, òî åñòü â òî÷êó t=7:

 

Òàáëèöà 2

1	2	3	4	5	6
t	t2	Yt	Ytt	t4	Ytt2
-6	36	69,8	-418,8	1296	2512,8
-5	25	73,6	-368	625	1840
-4	16	77,4	-309,6	256	1238,4
-3	9	87,2	-261,6	81	784,8
-2	4	97	-194	16	388
-1	1	100,8	-100,8	1	100,8
0	0	104,6	0	0	0
1	1	101,2	101,2	1	101,2
2	4	100,8	201,6	16	403,2
3	9	94,4	283,2	81	849,6
4	16	88	352	256	1408
5	25	87,6	438	625	2190
6	36	87,2	523,2	1296	3139,2
∑t=0	∑t2=182	∑Yt = 971.3	∑Ytt=246,4	∑t4=4550	∑Ytt2=14956

Ïîäñòàâèâ â (30) è (31) âû÷èñëåííûå â òàáë.2 çíà÷åíèÿ: ∑Y_t, ∑t^2, ∑Y_tt, ïîëó÷èì:

 13A = 1169,6

B = 246,4

Îòêóäà

=89,97; B=1,35. (32)

 =89,97+1.35. (III) (33)

4.5 Трендовые модели с квадратичной выравнивающей функцией

Âûðàâíèâàíèå ïî êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè îñóùåñòâèì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ íà÷àëîì îòñ÷¸òà â ñåðåäèíå äèíàìè÷åñêîãî äèàïàçîíà. Ýòî çàäàíèå ðåøàåòñÿ àíàëîãè÷íî äâóì ïðåäûäóùèì. Çàïèøåì ôóíêöèîíàë

S =∑ (Y_{t -} ) ²→min. (34)

Ïóñòü âûðàâíèâàþùàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëåíà êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé

=A+Bt+Ñt². (35)

Ïîäñòàâèì (35) â (34)

S=∑ (Y_{t -} A - Bt - Ñt²) ²→min. (36)

Çàïèøåì (36) â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî èñêîìûì ïàðàìåòðàì À,  è Ñ:

 = 2 ∑ (Y_{t -} A - Bt - Ñt²) * (-1) =0, (37)

 = 2 ∑ (Y_{t -} A - Bt - Ñt²) * (-t) =0, (38)

 = 2 ∑ (Y_{t -} A - Bt - Ñt²) * (-t²) =0. (39)

 íîðìàëüíîé ôîðìå ñèñòåìà óðàâíåíèé (37) - (39) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

NÀ + Â∑t + Ñ∑t² = ∑Y_t, (40)

À∑t + Â∑t² +Ñ∑t³ = ∑Y_tt, (41)

À∑t² + Â∑t³ +Ñ∑t⁴ = ∑Y_tt². (42)

Òàê êàê ∑t=∑t³=0, òî ñèñòåìà íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèìåò âèä:

NÀ + Ñ∑t² = ∑Y_t, (43)

Â∑t² = ∑Y_tt, (44)

À∑t² +Ñ∑t⁴ = ∑Y_tt^2. (45)

Ïîäñòàâèì äàííûå òàáë.2 â ñèñòåìó óðàâ íåíèé (43) - (45) è ïîëó÷èì:

13A + 182C = 1169,6;

B = 246,4;

A + 4550C = 14956.

Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü èñêîìûå êîýôôèöèåíòû:

A = 99,77; B = 1.35; C = - 0.7. (46)

Òîãäà êâàäðàòè÷åñêàÿ òðåíäîâàÿ ìîäåëü ïðèìåò âèä:

= 99.77+ 1.35t - 0.7t². (IV) (47)

4.6 Определение коэффициентов вариации трендовых моделей

Ñ èñïîëüçîâàíèåì êîýôôèöèåíòîâ âàðèàöèè V_r ïî ôîðìóëå (48) îïðåäåëèì òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ëèíåéíîé ìîäåëè-11 (óðàâíåíèå (25)) è ïàðàáîëè÷åñêîé ìîäåëè-1V (óðàâíåíèå (47))

V_r=   (48)

Èñõîäíûå äàííûå äëÿ ðàñ÷åòà âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå (48) ñîñòàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå 3.

Òàáëèöà 3

1	2	3	4	5	6	7	8	9
t (2)	t (4)	Yt	Yt ìîäåëü-11	Yt- (Yt-) 2Yt ìîäåëü1VYt- (Yt-) 2
1	-6	69,8	81,7	-11,9	141,61	66,47	3,33	11,0889
2	-5	73,6	83,05	-9,45	89,3025	75,52	-1,92	3,6864
3	-4	77,4	84,4	-7	49	83,17	-5,77	33,2929
4	-3	87,2	85,75	1,45	2,1025	89,42	-2,22	4,9284
5	-2	97	87,1	9,9	98,01	94,27	2,73	7,4529
6	-1	100,8	88,45	12,35	152,5225	97,72	3,08	9,4864
7	0	104,6	89,8	14,8	219,04	99,77	4,83	23,3289
8	1	101,2	91,15	10,05	101,0025	100,42	0,78	0,6084
9	2	100,8	92,5	8,3	68,89	99,67	1,13	1,2769
10	3	94,4	93,85	0,55	0,3025	97,52	-3,12	9,7344
11	4	88	95,2	-7,2	51,84	93,97	-5,97	35,6409
12	5	87,6	96,55	-8,95	80,1025	89,02	-1,42	2,0164
13	6	87,2	97,9	-10,7	114,49	82,67	4,53	20,5209
=91=0∑Y= 1169,6Yt=80,52+1,35t∑=1168,215Yt=99.77+ 1.35t - 0.7t2∑=163,0627

Ôðàãìåíòû ðàñ÷åòà èñõîäíûõ äàííûõ äëÿ òàáëèöû 3:

=80,52+1.35tYt-

Y_t1=80,52+1,35*1=81,7 69,8 - 81,7=-11,9_t2=80,52+1,35*2=83,05 73,6 - 83,05= - 9,45

Y_t3=80,52+1,35*3=84,4 77,4 - 84,4= - 7_t4=80,52+1,35*4=85,75 87,2 - 85,75=1,45

Y_t5=80,52+1,35*5=87,1 97 - 87,1=9,9

Y_t6=80,52+1,35*6=88,45 100,8 - 88,45=12,35

Y_t7=80,52+1,35*7=89,8 104,6 - 89,8=14,8

Y_t8=80,52+1,35*8=91,15 101,2 - 91,15=10,05

Y_t9=80,52+1,35*9=92,5 100,8 - 92,5=8,3

Y_t10=80,52+1,35*10=93,85 94,4 - 93,85=0,55

Y_t11=80,52+1,35*11=95,2 88 - 95,2= - 7,2

Y_t12=80,52+1,35*12=96,55 87,6 - 96,55= - 8,95

Y_t13=80,52+1,35*13=97,9 87,2 - 97,9 = - 10,7

= 99,77+ 1,35t - 0.7t² Yt-

Y_t1=99,77+1.35 (-6) - 0.7*36=66,47 69,8 - 66,47=3.33

Y_t2=99,77+1.35 (-5) - 0.7*25=75,5273,6 - 75,52= - 1.92

Y_t3=99,77+1.35 (-4) - 0.7*16=83,1777,4 - 83,17= - 5.77

Y_t4=99,77+1.35 (-3) - 0.7*9=89,4287,2 - 89,42=-2,22

Y_t5=99,77+1.35 (-2) - 0.7*4=94,2797 - 94,27= 2,73_t6=99,77+1.35 (-1) - 0.7*1=97,72 100,8 - 97,72=3,08

Y_t7=99,77+1.35*0-0.7*0=99,77 104,6 - 99,77=4.83

Y_t8=99,77+1.35*1-0.7*1=100,42 101,2 - 100,42=0,78

Y_t9=99,77+1.35*2-0.7*4=99,67 100,8 - 99,67= 1,13

Y_t10=99,77+1.35*3-0.7*9=97,52 94,4 - 97,52= - 3,12

Y_t11=99,77+1.35*4-0.7*16=93,97 88 - 93,97= - 5,97

Y_t12=99,77+1.35*5-0.7*25=89,0287,6 - 89,02=-1,42

Y_t13=99,77+1.35*6-0.7*36=82,6787,2 - 82,67=4,53

Ðàñ÷åòû ïî ôîðìóëå (48) ñ èñïîëüçîâàíèåì äàííûõ òàáëèöû 3 ïîçâîëèëè ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû.

Ëèíåéíàÿ òðåíäîâàÿ ìîäåëü - 11

V_r= [√ (1168,215/ 13) / 89,97]٭100% = 10,5%

Êâàäðàòè÷íàÿ òðåíäîâàÿ ìîäåëü - 1V

V_r= [√ (163,0627/13) / 89,97]٭100% = 3,9%

×åì ìåíüøå ïðîöåíòíîå îòíîøåíèå, òåì òî÷íåå ìîäåëü. Èç äâóõ ñðàâíèâàåìûõ ìîäåëåé ñëåäóåò îòäàòü ïðåäïî÷òåíèå ìîäåëè - IV. Ïîýòîìó äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ áóäåì ïðîâîäèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëè - IV, ïðåäñòàâëåííîé óðàâíåíèåì (47).

4.7 Интерполяция и экстраполяция (прогноз) по трендовой модели

Îñóùåñòâèì èíòåðïîëÿöèþ âûïóñêà ïðîäóêöèè ïðè t=10,5 è ýêñòðàïîëÿöèþ (ïðîãíîç) ïðè t=15 ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîé òðåíäîâîé ìîäåëè.

Ïîñêîëüêó èç äâóõ êîíêóðèðóþùèõ ìîäåëåé íàèáîëåå äîñòîâåðíîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íàÿ òðåíäîâàÿ ìîäåëü, âñå ðàñ÷åòíûå èññëåäîâàíèÿ áóäåì ïðîâîäèòü èìåííî ñ ýòîé ìîäåëüþ, ïîî÷åðåäíî ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ t = 10.5 è t= 15 â ìîäåëü - 1V èëè â óðàâíåíèå (47). Òàê êàê íàøà ìîäåëü ãîòîâèëàñü ñî ñìåùåíèåì íà÷àëà êîîðäèíàò âïðàâî íà 7 ëåò, à çíà÷åíèÿ äàíû â àáñîëþòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, òî ïðè âû÷èñëåíèè ìû áóäåì èç çíà÷åíèé t âû÷èòàòü 7. Òàêèì îáðàçîì: ïðè t = (10,5 - 7):

= 99.77+1,35t-0.7t²=99.77+1.35 (10.5-7) - 0.7 (10.5-7) ²99,77+4.75-8,575=95,92.

Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà 10,5 ãîäó îáúåì ïðîèçâîäñòâà ñîñòàâèò 95,92 ó. å.

Ïðè t = (15 - 7)

=99,77+1.35t-0.7t²=99,77+1.35 (15-7) - 0.7 (15-7) ²=99,77+10,8-44.8=65,77.

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà 15 ãîäó îáúåì ïðîèçâîäñòâà ñîñòàâèò ïî ïðîãíîçó 65,77 ó. å.

5. Корреляционные модели

5.1 Корреляционная модель производственного процесса

Ïóñòü 13 îäíîîòðàñëåâûõ çàâîäîâ âûïóñêàþò îäíîòèïíóþ ïðîäóêöèþ Y_x â íåêîòîðûõ óñëîâíûõ åäèíèöàõ. Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü çàâîäà ñâÿçàíà ñ êîëè÷åñòâîì ðàáî÷èõ X_i çàâèñèìîñòüþ

Y_x = f (X_i).

Îïðåäåëèòü óðàâíåíèå ñâÿçè ìåæäó îáúåìîì âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè Y_x è êîëè÷åñòâîì ðàáî÷èõ íà çàâîäå X_i.

 êà÷åñòâå èñõîäíîé ïðèìåì èñõîäíóþ ðàñ÷åòíóþ òàáëèöó 2 äëÿ òðåíäîâûõ ìîäåëåé, îñóùåñòâèâ çàìåíó:

Y_x = Y_t; X_i = 100t_i

x_i = 100^-1٭X_i.

5.2 Линейная корреляционная модель

Ïîñêîëüêó ìû èñïîëüçóåì âåñü çàäàííûé èíòåðâàë äëÿ õ (îò 1 äî 13), ïðè íàïèñàíèè ïðåäåëîâ ñóììû íå áóäåì óêàçûâàòü ïàðàìåòðû èíòåðâàëà.

Çàïèøåì ôóíêöèîíàë:

S=∑ (Y_õ-) ²→min. (49)

 êà÷åñòâå âûðàâíèâàþùåé ïðèìåì ëèíåéíóþ ôóíêöèþ

=A+Bõ. (50)

Òîãäà (49) ñ ó÷åòîì (50) ïðèìåò âèä

S=∑ (Y_{õ -} A - Bõ) ²→min. (51)

×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî èñêîìûì ïàðàìåòðàì À è  çàïèøóòñÿ â âèäå ñèñòåìû:

  = 2 ∑ (Y_{õ -} A - Bõ) * (-1) = 0, (52)

 = 2 ∑ (Y_{õ -} A - Bõ) * (-õ) = 0. (53)

Îòêóäà ìîæíî çàïèñàòü ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé

NÀ + Â∑ õ = ∑Y_õ, (54)

À∑ õ+ Â∑ õ ² = ∑Y_õ õ. (55)

Ïîäñòàâèì èçâåñòíûå èç òàáëèöû 4 çíà÷åíèÿ ∑ õ, ∑Y_õ, ∑ õ ² è ∑Y_õ õ â óðàâíåíèÿ (54) è (55), ïîëó÷èì:

13A + 91B = 1169,6, (56)

A + 819B = 8433,6. (57)

Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû äàåò:

A=80,52; B=1.35. (58)

Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ìîäåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå:

 =80,52+1,35õ. (V) (59)

 

.3 Выравнивание квадратичной функцией

Êàê è â ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ, ðåøåíèå íà÷èíàåòñÿ ñ çàïèñè ôóíêöèîíàëà:

S=∑ (Y_{õ -} ) ²→min. (60)

Äàëåå çàïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèå âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèè â âèäå ïîëèíîìà âòîðîãî ïîðÿäêà

=A+B õ +Ñ õ ². (61)

Óðàâíåíèå (61) ïîäñòàâëÿåòñÿ â (60)

S=∑ (Y_{õ -} A - B õ - Ñ õ ²) ²→min. (62)

Çàòåì çàïèñûâàþòñÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî èñêîìûì ïàðàìåòðàì: À,  è Ñ

  = 2 ∑ (Y_{õ -} A - Bõ - Ñõ²) * (-1) =0, (63)

 = 2 ∑ (Y_{õ -} A - Bõ - Ñõ²) * (-t) =0, (64)

 = 2 ∑ (Y_{õ -} A - Bõ - Ñõ²) * (-õ²) =0. (65)

Ñèñòåìó (63) - (65) ïðåîáðàçóåì â ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé

NÀ + Â∑ õ + Ñ∑ õ ² = ∑Y_õ, (66)

À∑ õ + Â∑ õ ² +Ñ∑ õ ³ = ∑Y_õ õ, (67)

À∑ õ ² + Â∑ õ ³ +Ñ∑ õ ⁴ = ∑Y_õ õ ². (68)

Òàê êàê ìû èñïîëüçóåì ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïåðåíîñîì îñè îðäèíàò â ñåðåäèíó äèàïàçîíà àðãóìåíòà (òî åñòü â òî÷êó õ=7), òî ñëåâà îò íóëÿ çàïèñûâàþòñÿ îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ, ñïðàâà - ïîëîæèòåëüíûå.  ýòîì ñëó÷àå ñóììà íå÷¸òíûõ ñòåïåíåé àðãóìåíòà ðàâíà íóëþ (∑õ=∑ õ ³ = …=0).

Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðèìåò âèä:

NÀ + Ñ∑ õ ² = ∑Y_õ, (69)

Â∑ õ ² = ∑Y_õ õ, (70)

À∑ õ ² +Ñ∑ õ ⁴ = ∑Y_õ õ ^2. (71)

Ñîñòàâèì íîâóþ òàáëèöó 4 äàííûõ â ñâÿçè ñ ïåðåíîñîì îñè îðäèíàò â ñåðåäèíó äèàïàçîíà àðãóìåíòà, òî åñòü â òî÷êó õ =7.

Òàáëèöà 4

1	2	3	4	5	6	7
Xi	x	x2	X4	Yx	Yxx	Yxx2
100	-6	36	1296	69,8	-418,8	2512,8
200	-5	25	625	73,6	-368	1840
300	-4	16	256	77,4	-309,6	1238,4
400	-3	9	81	87,2	-261,6	784,8
500	-2	4	16	97	-194	388
600	-1	1	1	100,8	-100,8	100,8
700	0	0	0	104,6	0	0
800	1	1	1	101,2	101,2	101,2
900	2	4	16	100,8	201,6	403,2
1000	3	9	81	94,4	283,2	849,6
1100	4	16	256	88	352	1408
1200	5	25	625	87,6	438	2190
1300	6	36	1296	87,2	3139,2
		∑x= 182	∑x4= 4550	∑Yt =1169,6	∑Yõõ= 246,4	∑Yõõ2= 14956

Ïîäñòàâèì èçâåñòíûå íàì çíà÷åíèÿ èç òàáëèöû 4 è ïîëó÷èì:

13A + 182C = 1169,6; (72)

B = 246,4; (73)

A + 4550C = 14956. (74)

Èç (73) ïîëó÷èì:

B=1.35.

Óðàâíåíèÿ (72) (74) ñâîäÿòñÿ ê ñèñòåìå:

A+182C=1169,6

A+25C=82,18,

Èç êîòîðîé îïðåäåëåíû êîýôôèöèåíòû À è Ñ:

A = 99,77; C= - 0,7.

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå êîððåëÿöèè ñ êâàäðàòè÷åñêîé âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèåé èìååò âèä:

= 99,77 + 1,35õ - 0,7õ²_{. (}VI) (75)

5.4 Коэффициент корреляции конкурирующих описаний

Îöåíêà ñèëû ñâÿçè àðãóìåíòà ñ ôóíêöèåé îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè r, îïðåäåëÿåìîãî èç âûðàæåíèÿ:

, (76)

ãäå: , , 0 ≤ r ≤ 1. (77)

Äëÿ ðàñ÷åòà çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ êîððåëÿöèè äëÿ ìîäåëåé (V) è (V²) ïî ôîðìóëàì (76) è (77) ñîñòàâëåíà òàáëèöà 5:

Òàáëèöà 5

1	2	3	4	5	6	7	8	9
Yx	Yx-Yàð	(Yx-Yàð) 2	Yx (V)	Yx- (Yx-) 2Yx (V²) Yx- (Yx-) 2
69,8	-20,17	406,8289	81,7	-11,9	141,61	66,47	3,33	11,0889
73,6	-16,37	267,9769	83,05	-9,45	89,3025	75,52	-1,92	3,6864
77,4	-12,57	158,0049	84,4	-7	49	83,17	-5,77	33,2929
87,2	-2,77	7,6729	85,75	1,45	2,1025	89,42	-2,22	4,9284
97	7,03	49,4209	87,1	9,9	98,01	94,27	2,73	7,4529
100,8	10,83	117,2889	88,45	12,35	152,5225	97,72	3,08	9,4864
104,6	14,63	214,0369	89,8	14,8	219,04	99,77	4,83	23,3289
101,2	11,23	126,1129	91,15	10,05	101,0025	100,42	0,78	0,6084
100,8	10,83	117,2889	92,5	8,3	68,89	99,67	1,13	1,2769
94,4	4,43	19,6249	93,85	0,55	0,3025	97,52	-3,12	9,7344
88	-1,97	3,8809	95,2	-7,2	51,84	93,97	-5,97	35,6409
87,6	-2,37	5,6169	96,55	-8,95	80,1025	89,02	-1,42	2,0164
87,2	-2,77	7,6729	97,9	-10,7	114,49	82,67	4,53	20,5209
∑Yõ=1169,6	Yàð=89,97	∑=1501,4277	Yõ=80,52+1,35õ		∑=1168,215	Yõ=99,77+1,35õ-0,7õ2		∑=163,0627

 

Äëÿ êâàäðàòè÷íîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè (VI)

= 99,77 + 1,35õ - 0,7õ²

Íàõîäèì

σ² _y =1501,4277/13=115,49; σ² _yx =163,0627/13=12,54

r = √ (115,49 - 12,54) / 115,49 = 0,94.

Äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè (V)

=80,52+1.35x

äèñïåðñèè ðàâíû ñëåäóþùèì âåëè÷èíàì:

σ² _y =1501,4277/13 = 115,49; σ² _yx =1168,215/13 =89,86

Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè îêàçàëñÿ ðàâíûì

=√ (115,49 - 89,86) /115,49 = 0,47.

 

Ïî ðåçóëüòàòàì âûïîëíåííûõ ðàñ÷åòîâ âèäíî, ÷òî áîëåå äîñòîâåðíîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ìîäåëü (V1), ò.ê. åå êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè âûøå (r = 0,94).

5.5 Использование модели в оптимизационной задаче

Ïîëó÷åííàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ìîäåëü

= 99,77 + 1,35õ - 0,7õ²

èìååò ýêñòðåìóì è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà â îïòèìèçàöèîííûõ ïðîöåäóðàõ.

 

dY_x/dx=1,35 - 2*0,7x

Îòêóäà

x^îïò = 1.35/ 1.4= 0,96.

Òàê êàê îñü îðäèíàò ñìåùåíà íà âåëè÷èíó (õ +7), òî õ^îïò = 0,96+7=7,96

Õ^îïò = õ^îïò *100=7,96*100=796

(îïòèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ðàáî÷èõ íà çàâîäå).

Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå õ^îïò â óðàâíåíèå ìîäåëè (V1) ìû íàéä¸ì îïòèìàëüíûé âûïóñê ïðîäóêöèè:

^max =99,77+1.35*0,96-0.7 (0,96) ²= 99,77+1.296-0.6451=100,42

Ïðè îïòèìàëüíîì êîëè÷åñòâå ðàáî÷èõ íà çàâîäå, ðàâíîì 796 ÷åëîâåêó, ìàêñèìàëüíûé âûïóñê ïðîäóêöèè ñîñòàâèò 100,42 óñëîâíûõ åäèíèö.

6. Графическое изображение результатов расчета по различным конкурирующим моделям

Ãðàôèê ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ñ ëèíèåé òðåíäà, àïðîêñèìèðîâàííîé ïîëèíîìîì 2 ïîðÿäêà, è ñ óêàçàíèåì êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè R²

Ðèñ.1

Óðàâíåíèå ëèíèè òðåíäà, àïðîêñèìèðîâàííîé ïîëèíîìîì 2 ïîðÿäêà, ñ óêàçàíèåì êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè R² èìååò âèä:

y= - 0,7085x²+11,273x+55,695

R² =0,8915

Ãðàôèê ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ñ ëèíèåé òðåíäà, àïðîêñèìèðîâàííîé ïîëèíîìîì 1 ïîðÿäêà

Ðèñ.2

Óðàâíåíèå ëèíèè òðåíäà, àïðîêñèìèðîâàííîé ïîëèíîìîì 1 ïîðÿäêà èìååò âèä:

=1,3538x+80,492²=0.2222

7. Проверка правильности выполнения работы

Ïðîâåðêà ïðàâèëüíîñòè âûïîëíåíèÿ ðàáîòû îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ïðè ïðÿìîì àíàëèòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè (ïóíêòû 2 - 6) è ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííûõ òàáëèö Excel (ïóíêò 8).

Ñðàâíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé ïîëó÷åííûå ðàçëè÷íûìè àïïàðàòíûìè ñðåäñòâàìè óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè è õàðàêòåðèñòèêè ñèëû ñâÿçè ìåæäó ïåðåìåííûìè (ïàðû ëèíåéíûõ òðåíäîâ: À,1 è À,2, à òàêæå ïàðû êâàäðàòè÷íûõ òðåíäîâ: Â,1 è Â,2)

1 Y =80,52+1.35õ

r=0,47

2 y = 1,3538x + 80,492;= 0,2222.

Y =99,77+1,35õ-0,7x²

r=0,94

B

2 y = - 0,7085x²+11,273x+55,695

R2 = 0,8915.

8. Графики результатов расчета по полученным корреляционным моделям

Íà ðèñóíêå 3 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî ðàçëè÷íûì êîíêóðèðóþùèì îïèñàíèÿì. Êðèâûå äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé èçîáðàæåíû â îñÿõ (Y_t - t), êðèâûå êîððåëÿöèîííûõ ìîäåëåé - â îñÿõ (Y_x - x). Ïðè ïåðåõîäå ê êîëè÷åñòâó ðàáî÷èõ X íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè ïåðåñ÷åò X=100x.

Ãðàôèê äîïîëíåí òàáëèöåé ñ ðåçóëüòàòàìè ðàñ÷åòîâ ïî óðàâíåíèÿì êîíêóðèðóþùèõ îïèñàíèé. Ýòî â ñóùåñòâåííîé ìåðå óïðîùàåò àíàëèç ïðîöåññîâ, îïèñûâàåìûõ ðàçëè÷íûìè ìîäåëÿìè.

Ãðàôèê ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà ïî ïîëó÷åííûì êîððåëÿöèîííûì ìîäåëÿì

Ðèñ.3

Заключение

Ïî ïîëó÷åííûì èñõîäíûì äàííûì â ôîðìå ìíîæåñòâà ðàñ÷åòíûõ òî÷åê, èìèòèðóþùèõ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü çàâîäà ïî ãîäàì, íàéäåíà ïðîñòàÿ ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ ïîëó÷åíû òðåíäîâûå ìîäåëè ñ ðàçëè÷íûìè âûðàâíèâàþùèìè ôóíêöèÿìè:

äëÿ ëèíåéíîé ìîäåëè:

. Ðàñ÷ëåíåíèåì äèíàìè÷åñêîãî ðÿäà íà êîëè÷åñòâî ÷àñòåé, ðàâíîå êîëè÷åñòâó êîýôôèöèåíòîâ âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèè;

. Âûðàâíèâàíèåì ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ;

. Âûðàâíèâàíèåì ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è ñ ïåðåíîñîì íà÷àëà ñèñòåìû êîîðäèíàò â ñåðåäèíó äèíàìè÷åñêîãî äèàïàçîíà.

äëÿ êâàäðàòè÷íîé ìîäåëè:

. Âûðàâíèâàíèåì ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è ñ ïåðåíîñîì íà÷àëà ñèñòåìû êîîðäèíàò â ñåðåäèíó äèíàìè÷åñêîãî äèàïàçîíà.

Îïðåäåëåíà òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ëèíåéíîé (Y=80,52+1.35t) è ïàðàáîëè÷åñêîé (Y = 99,77 + 1,35t - 0,7t²⁾ òðåíäîâûõ ìîäåëåé ñ èñïîëüçîâàíèåì êîýôôèöèåíòà âàðèàöèè. Äëÿ ëèíåéíîé òðåíäîâîé ìîäåëè îí ñîñòàâèë 10,5%, à äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîé 3,9%. ×åì ìåíüøå îòêëîíåíèå, òåì òî÷íåå ìîäåëü. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷íåå ïàðàáîëè÷åñêàÿ òðåíäîâàÿ ìîäåëü. Îñóùåñòâëåí ïðîãíîç íà 15-é ãîä (îáúåì ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêöèè çàâîäà ñîñòàâèë 65,77).

Ïîñòðîåíà êîððåëÿöèîííóþ ìîäåëü.  êà÷åñòâå èñõîäíîé òàáëèöû äàííûõ ïðèíÿòà èñõîäíàÿ ðàñ÷åòíàÿ òàáëèöà äëÿ òðåíäîâûõ ìîäåëåé ïóòåì çàìåíû Y_x=Y_t; Õ_i=100t_i Äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ ïåðåøëè ê íîâîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé X_i=x_i/100.

Ïîñòðîèëè êîððåëÿöèîííûå ìîäåëè ïðîèçâîäñòâåííîãî ïðîöåññà ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè è ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïåðåíîñîì íà÷àëà êîîðäèíàò â ñåðåäèíó äèíàìè÷åñêîãî äèàïàçîíà äëÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè.

Äëÿ ýòèõ ìîäåëåé îïðåäåëåíû êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè êîíêóðèðóþùèõ îïèñàíèé. Äëÿ ëèíåéíîé êîððåëÿöèîííîé ìîäåëè îí ñîñòàâèë 0,47, à äëÿ êâàäðàòè÷íîé 0,94. Ïî âûïîëíåííûì ðàñ÷åòàì âèäíî, ÷òî äîñòîâåðíîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ìîäåëü, òàê êàê åå êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè áîëüøå.

Ïî ïîëó÷åííîé êâàäðàòè÷íîé êîððåëÿöèîííîé ìîäåëè íàéäåíî îïòèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ðàáî÷èõ íà çàâîäå =796 ÷åëîâåêó, îáåñïå÷èâàþùåå îïòèìàëüíûé âûïóñê ïðîäóêöèè =100,42. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïðîèëëþñòðèðîâàíû íà ãðàôèêàõ.

Литература

1.      Àëüñåâè÷ Â.Â.  Ââåäåíèå â  ìàòåìàòè÷åñêóþ ýêîíîìèêó. Êîíñòðóêòèâíàÿ òåîðèÿ. - Ì.: Èçäàòåëüñòâî ËÊÈ, 2007. -256 ñ.

2.      Âàñèí À.À., Ìîðîçîâ Â.Â. Òåîðèÿ èãð è ìîäåëè ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè (ó÷åáíîå ïîñîáèå). - Ì.: ÌÀÊÑ Ïðåññ, 2005. - 272 ñ.

.        Çàìêîâ Î.Î., Òîñòîïÿòåíêî À.Â., ×åðåìíûõ Þ.Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå: ó÷åáíèê/ Ïîä îáù. ðåä. ä.ý.í., ïðîô. À.Â. Ñèäîðîâè÷à. - 4-å èçä., ñòåðåîòèï. - Ì.: Èçäàòåëüñòâî «Äåëî è Ñåðâèñ», 2004. - 368 ñ. (Ó÷åáíèêè ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà).

.        Ïðîñâåòîâ Ã.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ìîäåëè â ýêîíîìèêå: çàäà÷è è ðåøåíèÿ. - Ì..: Èçäàòåëüñòâî «Àëüôà-Ïðåññ», 2008. - 344 ñ.

.        Ñèíÿâñêàÿ Ý.Ã., Ãîëóáåâà Í.Â. Ìèêðîýêîíîìèêà: ïðàêòèêà ðåøåíèÿ çàäà÷: ó÷åá.ïîñîáèå äëÿ âóçîâ. - Íîâîñèáèðñê: Èçäàòåëüñòâî ÑÎ ÐÀÍ, 2006. - 274 ñ.

Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru