Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)

Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)

Вступление

В этой курсовой работе мы познакомимся с уравнением Бесселя и его применением в уравнениях математической физики. Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

1. Фридрих Вильгельм Бессель

немецкий математик и астроном XIX века. Родился 22 июля 1784 в Миндене. Самостоятельно изучал математику и астрономию, в 1804 вычислил орбиту кометы Галлея. В 1806 стал ассистентом крупного астронома И. Шрётера в Лилиентале, вскоре приобрел репутацию видного астронома-наблюдателя и вычислителя-математика. В этом качестве в 1810 был приглашен в Кёнигсбергский университет для организации обсерватории, директором которой оставался до конца жизни. Полагая, что в результаты наблюдений необходимо вносить поправки, учитывающие наличие самых незначительных факторов, Бессель разработал математические методы коррекции результатов наблюдений. Первой работой в этом направлении стала корректировка положений звезд в каталоге, составленном в 18 в. английским астрономом Дж. Брадлеем. В дальнейшем Бессель сам вел наблюдения за звездами; в 1821-1833 он определил положение более 75 тыс. звезд и составил обширные каталоги, которые легли в основу современных знаний о звездном небе.

Бессель одним из первых измерил параллаксы звезд и расстояние до них. В 1838 определил расстояние до двойной звезды 61 Лебедя, оказавшейся одной из самых близких к Солнечной системе. Наблюдая в течение ряда лет яркие звезды Сириус и Процион, Бессель обнаружил в их траектории такие особенности, которые можно было объяснить только наличием спутников. Эти предположения впоследствии подтвердились: в 1862 был обнаружен спутник Сириуса, а в 1896 - спутник Проциона. Известны работы Бесселя в области геодезии (определение длины секундного маятника, изобретение базисного прибора).

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т.п., например:

·        электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

·        теплопроводность в цилиндрических объектах;

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

. Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному дифференциальному уравнению:

 (1)

где  - постоянная. Это уравнение встречается также во многих вопросах физики, механики, астрономии и т.п. Уравнение (1) называется уравнением Бесселя. Так как уравнение (1) имеет особую точку x = 0, то его частное решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда:

Подставляя ряд (2) в уравнение (1), получим

   (3)

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях x, будем иметь:

Из первого равенства находим два значения для р: p₁= и p₂=-

Если мы возьмем первый корень р = , то из формул (5) и (6) получим:

Отсюда следует, что a_2k+1=0 (k=2, 3, 4,…), а коэффициенты с четными индексами определяются, очевидно, по формулам:

Из которых ясно, что общее выражение для коэффициентов имеет такой вид:

Что касается коэффициента a₀, который был до сих пор совершенно произвольным, то выберем его таким образом:

где Г () - гамма-функция, которая определяется для всех положительных значений  (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:

При таком выборе а₀ коэффициент а_2k может быть записан в виде:

Это выражение может быть упрощено, если воспользоваться одним из основных свойств гамма-функции. Для этого проинтегрируем правую часть равенства (8) по частям; тогда получим следующую основную формулу:

Отметим, что формула (10) дает возможность определить гамма-функцию для отрицательных значений , а также и для всех комплексных значений.

Пусть k - некоторое целое положительное число. Применяя несколько раз формулу (10), получим

Полагая в этой формуле  = 0, найдем, в силу равенства

другое важное свойство гамма-функции, выражаемое

Г (k+1) = k! (12)

бессель уравнение функция ортогональность

С помощью формулы (11) выражение (9) для коэффициента а_2k примет следующий вид:

Внося найденные значения коэффициентов а_2k+1 и а_2k в ряд (2), получим частное решение уравнения (1). Это решение носит название функции Бесселя 1-го рода  - го порядка и обозначается обычно через J_V (x).

Таким образом,

Ряд (14) сходится при любом значении x, в чем нетрудно убедиться, применяя признак Даламбера.

Используя второй корень p₂ =-, можно построить второе частное решение уравнения (1). Оно может быть получено, очевидно, из решения (14) простой заменой  на -, так как уравнение (1) содержит только  ² и не меняется при замене  на -:

Если  не равно целому числу, то частные решения J_V (x) и J-_V (x). уравнения Бесселя (1) будут линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях формул (14) и (15), начинаются с разных степеней х. Если же  есть целое положительное число n, то в этом случае легко обнаружить линейную зависимость решений J_n(x) и J_-n(x). Действительно, при целом  для к = 0, 1, 2,…, n- 1 величина -+k+1 принимает целые отрицательные значения или нуль. Для этих значений k: Г(-+k+1)=, что следует из формулы:

Таким образом, первые n членов в разложении (15) обратятся в нуль и мы получим

или, положив k= n + l, получим

т.е.

Отсюда следует, что при целом n функции J_n(x) и J_-n(x) линейно зависимы.

Для того чтобы найти общее решение уравнения (1), когда  равно целому числу n, необходимо найти второе, линейно-независимое от J_V (x), частное решение. Для этого введем новую функцию Y_v (х), положив

Очевидно, что эта функция также является решением уравнения (1), так как она представляет собою линейную комбинацию частных решений J_V (x) и

J-_V (x) этого уравнения. Затем нетрудно убедиться, на основании соотношения (16), что при , равном целому числу n, правая часть равенства (17) принимает неопределенный вид . Если раскрыть эту неопределенность по правилу Лопиталя, то в результате ряда выкладок (которые ввиду их сложности здесь не воспроизводятся) получим следующее представление функции Y_n(x) при целом положительном n:

В частном случае, при n = 0, функция Y_o(х) представляется таким образом:

Введенная здесь функция Y_v (х) называется функцией Бесселя 2-го рода  - го порядка или функцией Вебера.

Функции J_V (x) и Y_v (х), очевидно, линейно независимы, следовательно, эти функции при всяком  - дробном или целом - образуют фундаментальную систему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

где С₁ и С₂ - произвольные постоянные.

3. Частные случаи уравнения Бесселя

В математической физике наиболее часто встречаются функции Бесселя

 где п-целое число.

Первые две из этих функций представляются следующими рядами:

Для них имеются подробные таблицы. Графики функций J₀(x), J₁(x) и У₀(x) приведены на рис. 1 и 2.

Рис. 1                                                        Рис. 2

Из формулы (23) видно, что вычисление функций J₂(x), J₃(x) и т.д. сводится к вычислению соответствующих значении функций J₀(x) и J₁(x).

Обратимся теперь к функции J_n+1/2 (x), где n - целое число.

Найдем прежде всего значения функций J_1/2 (x) и J_-1/2 (x), для чего обратимся к разложению (14); из него видно, что

Но из формулы (11) непосредственно вытекает, что

Таким образом,

Последняя сумма представляет собой разложение sin x в степенной ряд, вследствие чего

Аналогично, из разложения (15) вытекает, что

Если теперь воспользоваться формулой (23), то нетрудно видеть, что

Вообще, функция Бесселя J_n+1/2 (x) при целом n выражается через элементарные функции, а именно:

где Р_n (1/x) - многочлен степени n относительно 1/x, а

Q_n-1 (1/x) - многочлен степени n-1, причем P_n(0) = 1, 0_n-1(0)=0. Отсюда следует, что при больших значениях х имеет место асимптотическое представление функции Бесселя:

где через О(x^-1) обозначена величина порядка 1/x.

Отметим, что асимптотическая формула (29) справедлива не только при =n+1/2, но и при всех значениях .

4. Ортогональность функций Бесселя и их корни

Рассмотрим уравнение

где k - некоторая постоянная, отличная от нуля.

Введем вместо x новую независимую переменную t = kx. Тогда уравнение (30) преобразуется в такое:

а это есть уравнение Бесселя. Следовательно, функция y=J_v (kx) будет решением уравнения

которое разделив на x, можем написать в виде

Возьмем два различных значения k и напишем соответствующие дифференциальные уравнения:

Умножая первое из этих равенств на J_v (k₂ x), а второе - на J_v (k₁ x) и вычитая одно из другого, после несложных преобразований получим:

Если теперь воспользоваться формулой (14), то нетрудно убедиться, что выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, может быть разложено по степеням x, причем наинизшая степень х будет х^2(v+1). Отсюда ясно, что это выражение будет обращаться в нуль при х = 0, если  > -1. Приняв это во внимание, проинтегрируем равенство (32) по некоторому конечному промежутку (0, l); тогда получим

где через (') обозначается, как обычно, дифференцирование по аргументу. При l = 1 эта формула принимает вид:

Покажем теперь, что при  >-1 функция Бесселя J_V(x) не может иметь комплексных корней. Допустим, что она имеет такой корень а+ib, причем а. В разложении (14) все коэффициенты разложения вещественны и, следовательно, функция J₁(x) кроме корня a+ib должна иметь и сопряженный корень a-ib. Обратимся к формуле (34) и положим k₁=a+ib и k₂=a+ib; при этом k₁²≠k₂² и формула дает

Величины J_V(k₁x) и J_V(k₂x) будут комплексно сопряженными, следовательно, в предыдущей формуле под знаком интеграла стоит положительная величина и эта формула не может иметь места.

Функция Бесселя J_v(x) не может иметь и чисто мнимых корней. Действительно, подставив ± ib в формулу (14), получим разложение, содержащее только положительные члены:

так как, согласно формуле (8), гамма-функция Г(x) принимает положительные значения при х > 0.

Покажем теперь, что функция J_v(x) имеет вещественные корни. Для этого обратимся к асимптотическому разложению функции Бесселя (29):

Из этой формулы видно, что при беспредельном удалении x: вдоль положительной части оси Ох второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю, а первое - бесчисленное множество раз изменяется от -1 к +1. Отсюда непосредственно вытекает, что функция J_v(x) имеет бесчисленное множество вещественных корней.

Таким образом, приходим к следующему результату: если > -1, то функция J_v(x) имеет все корни вещественные.

Заметим, кроме того, что из разложения (14), содержащего только четные степени, непосредственно вытекает, что корни J_v(x) будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и обратными по знаку, так что достаточно рассматривать только положительные корни.

Пусть k₁=, k₂=, где µ_i и µ_l-два различных положительных корня уравнения.

Тогда формула (33) дает непосредственно следующее свойство ортогональности функций Бесселя:

При k₂ - >правая часть этого равенства становится неопределенной так как числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим

Положив в формуле (22) х=µ и приняв во внимание, что есть корень уравнения (35), получим

и формулу (37) можно записать еще следующим образом:

Таким образом, мы имеем

(> -1)

где µ_i и µ_j-положительные корни уравнения J_V(x)=0.

Рассмотрим теперь более общее уравнение

где α и β-заданные вещественные числа.

5. Применение теории функций Бесселя к анализу скин-эффекта

Переменный ток в отличие от постоянного не распределяется равномерно по сечению проводника, а имеет большую плотность у его поверхности. Это явление называют скин-эффектом (по-английски skin - кожа).

Рассмотрим, для простоты, бесконечный однородный цилиндрический провод () по которому течет переменный ток. Будем предполагать, что полный ток I= I₀e^iwt, протекающий через сечение провода, известен.

Пренебрегая токами смешения по сравнению с током проводимости и считая процесс установившимся, т.е. зависящим от времени по закону e^iwt, получим, после сокращения на множитель e^iwt, уравнения Максвелла в виде:

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

где . Уравнения (3) и (4) в данном случае, очевидно, следуют из уравнений (1) и (2).

Введем цилиндрическую систему координат () так, чтобы ось z совпадала с осью провода. Тогда в силу осевой симметрии тока все величины можно считать зависящими только от переменной r.

Так как в нашем случае вектор Е направлен вдоль оси z, то из уравнений (1) и (2) будем иметь:

Исключая отсюда H, найдем:

Введем граничное условие на поверхности провода при r=R. Для этого воспользуемся тем, что нам известен полный ток I₀, протекающий по цилиндру.

Запишем первое уравнение Максвелла (1) в интегральной форме:

где С - контур, охватывающий провод, Н_s - тангенциальная составляющая вектора H на С. Если в качестве такого контура взять окружность r=R, то получим:

или

Отсюда, пользуясь соотношением (2), находим:

Таким образом, мы должны решить уравнение Бесселя:

при граничном условии -

и условии ограниченности при r = 0:

Общее решение уравнения (5') имеет вид:

где J₀ и N₀ - функции Бесселя первого и второго рода, А и В - постоянные, подлежащие определению.

Функция N₀ имеет логарифмическую особенность при r=0. Поэтому в силу условия (8) B= 0 и, следовательно,

Коэффициент A определим из граничного условия (7):

Отсюда для плотности тока получаем:

В правой части этой формулы стоят функции Бесселя от комплексного аргумента:

Обычно пользуются для этих функций следующими обозначениями:

Нетрудно найти выражения для вещественных функций ber x и bei x, пользуясь разложением функций Бесселя в ряд. Например,

откуда получаем:

Нетрудно убедиться подобным же образом, что

В приложениях встречаются также производные: ber₀' x и bei₀' x причем

Пользуясь введенными функциями, выражение (12) для тока можно записать в виде:

или

Вычисляя абсолютную величину этого выражения, получим:

Величиной, характеризующей распределение тока по сечению, является отношение:

Так же отмечу, что скин-эффект широко используется на практике для закалки металлов.

Заключение

В данной курсовой работе рассмотрено уравнение Ф.В. Бесселем, относительно его применения в таких науки как математика, физика, астрономия и др.

Доказали такие важные свойства уравнения Бесселя как

Применили данное уравнение к такому физическому процессу как скин-эффект.

Список литературы

1.   Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики / Под ред. Г.И. Марчука: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

2.       Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - 4-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 688 с.

.        Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебник. 7-е изд. / Тихонов А.Н., Самарский А.А. - М.: Изд-во МГУ; Изд-во «Наука», 2004. - 798 с.

.        Шарма Дж.Н., Сингх К. Уравнения в частных производных для инженеров. М.: - Техносфера, 2002. - 320 с.

5.   Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Изд-во «Наука», 1964. - 286 с.

6.       Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учебник. - 2-е изд., перераб. и дополненное. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 336 с.

.        Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Изд-во «Наука», 1967. - 436 с.

.        Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 700 с.

.        Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.: Изд-во «Мир», 1963. - 488 с.

.        Годунов С.Г. Уравнения математической физики. - М.: Изд-во «Наука», 1971. - 416 с.

.        Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. - М.: Изд-во «Мир» Выпуск 1, 1969. - 424 с.

.        Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. - М.: Изд-во «Мир» Выпуск 2, 1970. - 352 с.

.        Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. - М.: Изд-во «Мир» Выпуск 3, 1970. - 344 с.

.        Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 416 с.

.        Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. - М.: Выс.школа, 1962. - 767 с.

.        Кузнецов А.В. Методы математической физики: Учеб. пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2004. - 200 с.

.        Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. - М.: ОГИЗ Том 1, 1933. - 525 с.

.        Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

.        Прямые и обратные задачи математической физики: Сборник / Под ред. А.Н. Тихонова, А.А. Самарского. - М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1991. - 258 с.

.        Сабитов К.Б. Уравнения математической физики: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2003. - 255 с.

.        Уроев В.М. Уравнения математической физики. - М., В. Секачев, ИФ «Яуза», 1998. - 373 с.