Собственные колебания пластин

  • Вид работы:
    Дипломная (ВКР)
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    369,80 kb
  • Опубликовано:
    2007-08-27
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Собственные колебания пластин

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Собственные колебания пластин

Выполнила:

студентка V курса математического факультета

Чураева Анна Сергеевна

Научный руководитель: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ С.А. Фалелеева

Рецензент: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Л.В. Ончукова

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г.     Зав. кафедрой                             М.В. Крутихина

«___»___________2005 г.     Декан факультета                        В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений............................................................................................................... 4

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия........................ 4

1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье...................................... 6

1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами..................................................................................................................... 8

Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран    11

2.1 Основные определения............................................................................. 11

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны................................ 12

2.3 Собственные колебания круглой мембраны............................................ 19

Заключение..................................................................................................... 28

Библиографический список........................................................................... 29

Приложение.................................................................................................... 30

Введение

 Математическая физика ставит своей задачей возможно более точное изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат математики. Объектом изучения математической физики могут служить только те  явления природы, которые поддаются измерению. Например, механическое движение, звук, теплота, свет и т. д.

Цели работы:

1. Изучить математическую литературу по данной теме.

2. Освоить основные методы решения задач математической физики и применить их к решению задач.

Задачи работы:

1. Решить двумерное уравнение колебаний мембраны при дополнительных условиях для прямоугольной и круглой мембраны.

2. Сравнить полученные результаты для обоих случаев с аналогичными задачами, решенными для других дополнительных условий.

Методы работы:

·   Изучение специальной литературы;

·   Решение задач.

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

 Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [4].

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия

  При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий.

Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под струной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени  t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t. Тогда  будет задавать отклонение струны от оси абсцисс.

(1.1.1)

 
Если концы струны   закреплены, то должны выполняться граничные условия

, .

Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

(1.1.2)

 
,

.

Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, где  и  – заданные функции точки.

(1.1.1¢)

 
Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия (1.1.1) принимают другой вид:

, ,

где  и  - заданные функции времени t.

Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.

В точке подвеса x=0 отклонение

;

на свободном конце x=l натяжение пружины

равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид

.

Если конец x=0 движется по определенному закону , а при x=l задана сила , то

.

Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x=l

 или ,

при котором конец x=l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.

Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид

.

Условие упругого закрепления при x=0 имеет вид

.

§ граничные условия 1-го рода  - заданный режим,

§ граничное условие 2-го рода  - заданная сила,

§ граничное условие 3-го рода  - упругое закрепление.

Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x=l. Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то граничные условия называются однородными [8].

1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье

Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье.

Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t>0 уравнению

(1.2.1)

 

в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где  дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.

Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида  (где  непрерывны в ,  непрерывны в ). Подставляя функцию  в уравнение (1.2.1) и деля обе части  уравнения на , получаем

.

Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция  удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе

.

(1.2.2)

 
Таким образом, должны выполняться тождественно

,

(1.2.3)

 
,

причем функция  должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях. Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения  уравнения (1.2.3) – собственными функциями краевой задачи.

Суть метода Фурье:

1) ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида . Для функции  получаем краевую задачу;

2) решаем краевую задачу для функции . Пусть  суть собственные функции этой задачи, а  - отвечающие им собственные значения;

3) для каждого собственного значения  находим решение уравнения (1.2.3);

4) таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетворяющим только граничному условию, являются функции вида ;

5) возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям .Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2].

1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение

(1.3.1)

 

является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а . Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.

В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.

Покажем, что выражение

(1.3.2)

 
,

где  – действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.

Продифференцируем по x выражение (1.3.2):

.

Подставляем полученные выражения в (1.3.1):

(1.3.3)

 
.

Обозначим через  - это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде .

Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины :  на .

(1.3.4)

 
Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождественно нулю, но , следовательно

.

Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной  в выражение  возьмем корень  характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е.  будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).

Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).

Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет

,

где  - произвольные постоянные, а  - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].

(1.3.5)

 
Если корни характеристического уравнения комплексные, , то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравнения действительные числа. В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет

.

Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3.1) будет

(1.3.6)

 
.

Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни , то одно частное решение будет иметь вид

.

Второе частное решение будет

.

Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде

(1.3.7)

 
.

Глава II Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны

2.1 Основные определения

В этой главе использованы следующие обозначения

·  - частная производная функции  по ;

·  - производная функция одной переменной.

(2.1.1)

 
.

В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны

.

В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса  с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат  и  и времени t:

.

Выражение для оператора  в полярных координатах имеет вид

,

Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде

(2.1.2)

 
.

В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде:

Система функций  называется ортогональной на интервале , если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю:  (). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом  [1].

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны

Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением

(2.2.1)

 

(2.2.1)

 

Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b1 и b2, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.

Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях

(2.2.2)

 

и граничных условиях

(2.2.3)

 

.

Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.

Функция  имеет вид

,

где  - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой

.

А коэффициенты  и  равны:

,

.

Найдем решение задачи при других граничных условиях.

Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях

(2.2.4)

 

и граничных условиях

(2.2.5)

 

.

(2.2.6)

 
Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция

(2.2.7)

 
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции  в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на  (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем

.

Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных (x,y), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

(2.2.8)

 
,

где  - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

(2.2.9)

 
Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции :

,

а для функции  следующую краевую задачу:

(2.2.10)

 

 Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть

(2.2.10)

 
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции  в уравнение  и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду

.

Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя  (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:

1.

2.

где  и  - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для  и  вытекают из соответствующих условий для функции .

,

,

.

Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:

(2.2.11)

(2.2.12)

 - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра  отрицателен, равен нулю, положителен.

1)   При  задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения  имеет вид

,

т. к. характеристическое уравнение  имеет корни .

Учитывая граничные условия, получаем:

т.к.  - действительно и положительно, то .

2)    При нетривиальных решений тоже не существует.

3)   При  общее решение уравнения  имеет вид

.

Учитывая граничные условия, получаем:

, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно

Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид

.

Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.

Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):

Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции

,

где  - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций  с весом единица была равна единице

.

Вычислим отдельно интегралы в равенстве:

(2.2.13)

 
Тогда,

 .

Число собственных функций, принадлежащих  зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения

.

Собственным значениям  соответствуют решения уравнения :

,

где  и  - произвольные константы.

Возвращаясь к начальной задаче для уравнения  с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид

.

Тогда общее решение запишется в виде

,

где  определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты  и  равны:

,

.

В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.

2.3 Собственные колебания круглой мембраны

Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.

(2.3.1)

 
Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид

.

Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях

(2.3.2)

 

(2.3.3)

 
и граничных условиях

.

Применим метод разделения переменных. Пусть

.

Подставляем полученное выражение для функции  в уравнение (2.3.1), получаем:

.

(2.3.4)

 
Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то , полученное равенство можно поделить на . Тогда

.

Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции

,

(2.3.5)

 
решением, которого будет функция (см. 2.2)

,

(2.3.6)

 

К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции .

Поделим данное равенство на :

Так как левая часть соотношения () функция только переменной r, а правая () - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . При данном предположении получаем:

1)   однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции :

Нетривиальные периодические решения для  существуют лишь при  и имеют вид (см. 2.2):

.

2)   уравнение для определения функции

(2.3.7)

 

(2.3.8)

 
Из граничных условий для функции  получаем граничные условия для функции :

Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.

Введем новую переменную

Подставляем выражение  в уравнение для определения функции  и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n-го порядка.

(2.3.9)

 

Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями

,

общее решение, которого имеет вид

,

где  - функция Бесселя первого рода,  - функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).

Из условия  следует, что , т. к. при .

Из условия  имеем

, где .

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений

,

(2.3.10)

 
которым соответствуют собственные функции

краевой задачи для нахождения функции . Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).

Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций  с весом r:

Для этого рассмотрим функции

Они удовлетворяют уравнениям

причем , а  не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на  и .

(2.3.11)

 

Переходя к пределу при , получаем неопределенность . Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя

,

получаем выражение для квадрата нормы:

(2.3.12)

 
т.к. , то

.

Итак, получаем:

1. Согласно (2.3.11) при , собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям , ортогональны с весом r .

2. Норма этих функций определяется формулой (2.3.12).

3. В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости:

Всякая непрерывная в интервале  функция , имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

,

причем коэффициенты разложения определяются формулой

.

Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения  две собственные функции . Составим их линейную комбинацию

.

Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций . Посчитаем сначала для собственных функций .

Аналогичные условия имеют место для функции .

Тогда выражение для нормы функции  можно записать в виде

Воспользуемся теоремой о разложимости:

всякая непрерывная функция  с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга.

Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам

Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде

Коэффициенты  определяются из начальных условий

Аналогичные формулы имеют место для  и, соответственно, для .

Решение подобной задачи о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны при тех же начальных условиях

и других граничных условиях

приведено в источнике [8], где были получены следующие результаты.

Коэффициенты  определяются из начальных условий

Аналогично для  и, соответственно, для .

Следовательно, для круглой мембраны при различных граничных условиях получены также разные функции, описывающие ее прогиб.

Заключение

В данной квалификационной работе были рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными, изучен один из наиболее распространенных методов решения подобных уравнений – метод Фурье, решены две краевые задачи для уравнения колебаний прямоугольной и круглой мембраны.

По результатам решения задач можно сделать следующий вывод:

· функция, описывающая прогиб мембраны напрямую зависит от своих граничных условий и от геометрической формы мембраны;

· при изменении формы мембраны задача на нахождение функции, характеризующей ее прогиб, значительно усложнилась. Возникла необходимость в изучении цилиндрических функций и их свойств.

В данной работе некоторые утверждения были взяты без доказательства либо без вывода. Например, уравнение колебаний прямоугольной мембраны использовалось без вывода, т. к. его рассмотрение требует более глубокого знания законов физики. Решение цилиндрического уравнения было взято в готовой форме, т. к. не являлось целью изучения этой работы.

Таким образом, можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Библиографический список

1.   Араманович, И. Г. Уравнения математической физики [Текст] / И. Г. Араманович, В. И. Левин. – М.: Наука, 1969. – С. 114 – 144.

2.   Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции [Текст] / В. Я. Арсенин. – М.: Наука, 1974. – С. 165 – 170.

3.   Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу: Учеб. для университетов и пед. вузов [Текст] / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий; Под. ред. В. А. Садовничего. – М.: Высшая школа, 1999. – С. 695.

4.   Вебстер, А. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, Ч. I [Текст] / А. Вебстер, Г. Сеге. – М.: Гос. технико-теоретическое издательство, 1933. – С. 189 – 200.

5.   Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы [Текст] / Г. Б. Двайт; Под ред. К. А. Семендяева. – М.: Наука, 1966. – С. 161 – 178.

6.   Матвеев, Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. пос. для студ. пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / Н. М. Матвеев. – М.: Просвещение, 1988. – С. 131 – 187.

7.   Розет, Т. А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике [Текст] / Т. А. Розет. – М.: «Советское радио», 1956. – С. 141 – 160.

8.   Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.: Наука, 1972. – С. 23- 44, 82-88, 426 – 427.

9.   Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа, Ч. I [Текст] / Г. М. Фихтенгольц, - СПб.: «Лань», 2002. – С. 448.

10. Янке, Е. Специальные функции. Формулы, графики таблицы [Текст] / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. – М.: Наука, 1977. – С. 176 – 241.

Приложение

Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к обыкновенному дифференциальному уравнению

называемому уравнением цилиндрических функций n-го порядка. Это уравнение часто называют также уравнением Бесселя n-го порядка.

(1)

 
Уравнение Бесселя -го порядка

(2)

 
или

где  - произвольное действительное или комплексное число, действительную часть которого можно считать неотрицательной.

Общее решение уравнения (2) может быть представлено в виде

,

где  - функция Бесселя первого рода,  - функция Бесселя второго рода  - го порядка или функция Неймана,  - произвольные постоянные.

Функция  любого положительного и целого отрицательного порядков отличается от всех остальных бесселевых функций тем, что они остаются конечными при .

Для действительного порядка  функции Бесселя и Неймана от действительного аргумента  будут действительными функциями , ; ,  при (рис. 1 и рис. 2).Функции  и  наиболее часто встречаются в приложениях и для них имеются подробные таблицы [5, 7, 10].

Рис. 1

 

Рис. 2

 

Похожие работы на - Собственные колебания пластин

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!