Задачи на определение вероятностей
Теория вероятностей
вероятность прибор надежность
1. Достаточным условием сдачи коллоквиума
является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту.
Студент не знает ответов на 8 вопросов из тех 40, которые могут быть
предложены. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум?
Решение.
Обозначим события:
А - «студент сдаст коллоквиум» (студент ответит
на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем)
- «студент не
сдаст коллоквиум» (студент не ответит ни на один из двух вопросов, предлагаемых
преподавателем)
Так события А и противоположные,
то 
.
Найдем вероятность 
.
Число исходов m, благоприятствующих наступлению
события ,
равно числу комбинаций, каждая из которых состоит из 2 вопросов, выбираемых из
8 (число вопросов невыученных студентом), т.е. 
.
Общее число исходов n равно числу комбинаций по
2 вопроса, выбираемых из 40 предлагаемых преподавателем, т.е. 
.
Тогда
.
Ответ: 
2. Рабочий обслуживает одновременно четыре
станка, из которых на первом вероятность нарушения нормальной работы в течение
часа после проверки составляет 0,1, на втором - 0,15, на третьем - 0,2, на
четвертом - 0,25. Какова вероятность бесперебойной работы всех четырех станков
на протяжении часа?
Решение.
Рассмотрим событие
А - «все четыре станка бесперебойно работают в
течение часа после проверки».
Событие А можно представить в виде произведения
четырех независимых событий А1, А2 , А3 , А4: 
,
где 
-
«i-тый станок бесперебойно работает в течение часа после проверки»
По условию задачи известны вероятности событий 
:
.
Тогда вероятности событий :
.
Найдем вероятность 
:
( - независимы, 
)
Ответ: 
3. Прибор, установленный на борту самолета, может
работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в
условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим осуществляется в
80% всего времени полета, условия перегрузки - 20%. Вероятность выхода прибора
из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1; в условиях перегрузки -
0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.
Решение.
Рассмотрим событие А - «прибор работает
правильно за время полета»
Возникают две гипотезы:
В1 - «условие нормального крейсерского полета»
В2 - «условия перегрузки»
Исходя из условия задачи, определим вероятности
гипотез:
.
Определим условные вероятности:
,
где событие -
«показания прибора неправильные» является противоположным к событию А.
.
Ответ: 
4. Имеется 3 урны: в первой - 3 белых и 5 черных
шаров, во второй - 4 белых и 5 черных, в третьей - 7 белых (черных нет). Некто
выбирает наугад одну урну и вынимает один шар. Этот шар оказался белым. Найти
вероятность того, что шар вынут из второй урны.
Решение.
Рассмотрим событие А = «вынут белый шар».
Возникают три гипотезы:
В1 - «шар вынут из первой урны»
В2 - «шар вынут из второй урны»
В3 - «шар вынут из третьей урны».
Определим вероятности гипотез:
.
Определим условные вероятности:
.
По условию задачи необходимо найти условную
вероятность 
. По формуле Байеса
находим:
Ответ: 
5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель
при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность двух попаданий при трех
выстрелах.
Решение. Обозначим событие: А - «стрелок попал в
цель».
По условию задачи известна вероятность события 
.
По схеме Бернулли имеем:
.
- посторонний
корень, т.к. 
.
Необходимо найти 
.
По схеме Бернулли имеем:
.
Ответ: 
6. Вероятность появления события А в одном
испытании равна р. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях
событие А произойдет: а) т раз; б) от 
до
раз.
а) 
;
б) 
.
Решение.
а) Применяя формулу Бернулли можем записать: 
,
где 
-
вероятность противоположного события.
Вычисление точного значения 
по
формуле Бернулли вызывает технические сложности, поэтому решим поставленную
задачу приближенным способом с помощью локальной теоремы Лапласа:
, где 
.
Тогда 
,
(приложение
1).
б) Решим поставленную задачу приближенным
способом с помощью интегральной теоремы Лапласа:
,
где 
.
Находим:
.
Тогда 
.
Ответ: а) 
б)
