Расчёт системы автоматического регулирования
Расчёт
системы автоматического регулирования
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
.
Получение расчетных передаточных функций объекта
.
Методика получения формул МПК, МПК с О, ММЧК
.
Расчет параметров настройки ПИ регулятора по МПК, МПК с О, ММЧК
.
Построение оптимальных графиков переходных процессов по МПК, МПК с О, ММЧК и
определение по ним прямых показателей качества
.
Методика получения формул МПК, МПК с О, МЧК и МЧК с О
.
Расчет параметров настройки ПИ регулятора по МПК, МПК с О, МЧК и МЧК с О
.
Построение оптимальных графиков переходных процессов по МПК, МПК с О, МЧК и МЧК
с О и определение по ним прямых показателей качества
.
Анализ полученных результатов
Литература
автоматическое регулирование
переходный процесс
ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваемые методы предназначены для анализа
переходных процессов и качества линейных непрерывных систем автоматического
регулирования, находящихся под действием типового детерминированного единичного
воздействия.
Задачи анализа и синтеза автоматических систем
регулирования с одним входом и выходом принципиально решены. Анализ переходных
процессов с математической точки зрения сводится к определению общего решения
неоднородного дифференциального уравнения, описывающего систему при заданных
начальных условиях и воздействиях, а также к анализу влияния изменения
параметров системы на вид этого решения. Такой анализ можно производить с
применением многих точных и приближенных методов, но их практическая реализация
даже для простых АСР сопряжена с большим числом не сложных, но громоздких и
кропотливых расчетов, требующих вычисления корней, определения постоянных
интегрирования и построения кривой переходного процесса. В связи с этим особое
значение приобретают различные приближенные методы оценки процесса, не
требующие построения кривых переходных процессов. Поэтому в теории
регулирования анализ переходных процессов заменяют анализом качества,
заключающемся в оценке характеристик переходного процесса, называемых прямыми
показателями качества (времени переходного процесса, максимального и статического
отклонения и т.д.), а также в установлении верхних границ для этих показателей
без непосредственного решения дифференциальных уравнений системы.
1
Получение расчетных передаточных функций объекта
По заданной передаточной функции объекта
по табл. 1 [1] находим
где
обусловливаемых прямыми показателями
качества (времени перехого процсса, максимального татического отклонения и
т.д.), а также в установлении верхних границ для этих показателей без
непосредственного решения
дифференциальных уравнений системы.Получение расчетных передаточных
функций объекта.По заданной передаточной функции объекта
EMBED Equation.2
по табл. 1 [ 1 ] находиEquation.2
Где EMBEDEqaion.2 EMBE
Equation.2 EMBм расчетная передаточная функция объекта имеет вид:
Для расчета по МПК, МПК с О, ММЧК
будем использовать передаточную функцию вида где Тк=Ти+s=51,7+18,3=70 с, а для
расчета по МПК, МПК с О, МЧК и МЧК с О
2.МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ ФОРМУЛ МПК, МПК
с О, ММЧК
.1 МПК в общем виде
Исходные данные:
.Передаточная функция объекта:
.Структурная схема:
.Оптимизируем отработку скачка
задания: хзд(t)=1(t).
.Критерий оптимальности:
Время разгона экспоненты выбираем
так, чтобы скорость изменения регулируемого параметра не превышала заданного
значения. Обычно
Тзд=tзд.
Требуется определить для конкретной
передаточной функции объекта структуру типового регулятора и так рассчитать
параметры его динамической настройки, чтобы при отработке скачка задания
регулируемая величина соответствовала критерию оптимальности.
Решение задачи:
Из структурной схемы находим
передаточную функцию регулятора:
После подстановки Wоб и Wх,хзд получим:
Для устранения передаточной функции
звена чистого запаздывания решаем это уравнение графическим путем. В результате
получаем:
Формула после
подстановки конкретных значений Тзд и Wоб получить структуру
регулятора, а затем формулы для расчета его параметров настройки.
Если , то получим ПИД-регулятор:
При малом значении t время дифференцирования
получается малым, им можно пренебречь и ПИД-регулятор превращается в
ПИ-регулятор.
.2 МПК в частном виде для объектов с
запаздыванием
Исходные данные:
.Передаточная функция объекта:
.Передаточная функция ПИ-регулятора:
.Структурная схема:
.Оптимизируем отработку скачка
задания: хзд(t)=1(t).
.Критерий оптимальности:
.
Рассчитать параметры оптимальной
динамической настройки ПИ-регулятора.
Алгоритм решения задачи:
.Находим передаточную функцию
замкнутой САР по задающему воздействию
(1);
.Находим передаточную функцию
разомкнутой системы с учетом, что Ти=Тк
(2);
Ти=Тк;
.Прямые показатели качества:
Величина перерегулирования Dхmax=4,3 %.
Время первого достижения
регулируемой величиной заданного значения t1=3,7 tу.
Полное время регулирования tп=6,1 tу.
2.3 МПК с учетом ограничений на
максимальную величину регулирующего воздействия для объектов с запаздыванием
Исходные данные те же.
Постановка задачи:
по заданной передаточной функции
объекта с ПИ-регулятором одноконтурной САР надо так подобрать параметры
настройки ПИ-регулятора, чтобы величина максимального регулирующего воздействия
не превышала допустимое значение.
Порядок определения оптимального
коэффициента усиления регулятора kр следующий:
.по заданной величине [хр]доп
и отношению Тк/tу определяем
соответствующее значение коэффициента x;
.по найденному значению коэффициента
x и отношению
Тк/tу находим по
графику относительный коэффициент усиления К;
.оптимальное значение коэффициента
усиления регулятора вычисляем по формуле
kp=K/kоб;
.оптимальное значение времени
интегрирования регулятора находим из условия Ти=Тк.
.по численному значению x находим нормированную кривую
оптимального переходного процесса и определяем прямые показатели качества.
2.4 ММЧК для расчета параметров
динамической настройки ПИ-регулятора и объекта с запаздыванием для отработки внутреннего
возмущения
Исходные данные:
.Передаточная функция объекта:
.Передаточная функция ПИ-регулятора:
.Структурная схема:
.Оптимизируем отработку единичного
скачка внутреннего возмущения: f1(t)=1(t).
.Критерий оптимальности:
при y=0,9.
Надо определить параметры настройки
ПИ-регулятора при внутреннем возмущении, удовлетворяющем критерию
оптимальности.
Получены следующие аналитические
зависимости параметров настройки ПИ-регулятора в функции относительной
постоянной времени объекта Т:
относительный коэффициент усиления
относительное время интегрирования
,
где относительная постоянная времени
объекта
время интегрирования регулятора ,
коэффициент усиления регулятора
По численному значению Т находим
нормированную кривую оптимального переходного процесса при отработке f1. С помощью
графика зависимости масштабного коэффициента от Т переходим к абсолютным
единицам.
3.РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ ПИ
РЕГУЛЯТОРА ПО МПК, МПК с О, ММЧК
.1 МПК в общем виде
Передаточная функция объекта:
Рассчитаем параметры ПИД-регулятора:
Время интегрирования:
Ти=Тк=70 с.
Коэффициент усиления регулятора:
.
Время дифференцирования:
с.
Так как tу мало, то
ПИД-регулятор превращается в ПИ-регулятор.
Передаточная функция ПИ-регулятора:
3.2 МПК в частном виде
Передаточная функция объекта:
Принимаем время интегрирования
регулятора Ти=Тк=70 с.
Коэффициент усиления регулятора:
.
Передаточная функция ПИ-регулятора:
.3 МПК с О
Передаточная функция объекта:
Ограничение на максимальную величину
регулирующего воздействия [xp]доп=1,3.
Относительная постоянная времени
объекта:
с.
По Т=1,6 с и [xp]доп=1,3
по рис. 3.7.(б) [1] находим x=0,8
и относительный коэффициент усиления К=0,4.
Коэффициент усиления регулятора:
.
Время интегрирования регулятора:
Передаточная функция ПИ-регулятора:
.4 ММЧК
Передаточная функция объекта:
Относительная постоянная времени
объекта:
с.
Относительный коэффициент усиления:
Коэффициент усиления регулятора:
Относительное время интегрирования:
Время интегрирования ПИ-регулятора:
с.
Передаточная функция ПИ-регулятора:
4
Построение оптимальных графиков переходных процессов
по МПК, МПК с О, ММЧК и определение по ним прямых показателей качества
4.1 МПК
Прямые показатели качества:
Перерегулирование:
Dхmax=4,3
%.
Время первого достижения регулируемой величиной
заданного значения:
t1=3,7
tу=3,7
43,7=161,7 с.
Полное время регулирования:
tп=6,1
tу=6,1
43,7=266,6 с.
.2 МПК с О
По рис 3.8. (б) при x=0,8
определяем график оптимального переходного процесса. Перерегулирование
отсутствует, а время первого достижения регулируемой величиной заданного
значения равное полному времени регулирования:
t1=tп=6,3
tу=6,3
43,7=275,3 с.
4.3 ММЧК
Прямые показатели качества:
Так как Т=1,6 с, что меньше 3 с, то оптимальный
переходный процесс определяем по рис. 3.15 [1], а масштабный коэффициент mх
по рис. 3.14 (б).
mх=0,55.
Максимальная динамическая ошибка регулирования:
Dхmax=
mх
коб=0,55 1,7=0,935.
Время появления максимальной динамической
ошибки:
tmax=2
tу=2
43,7=87,4 с.
Полное время регулирования:
tп=10
tу=10
43,7=437 с.
5.Методика получения
формул МПК, МПК с О,
МЧК и МЧК с О
.1 МПК в
частном виде для объектов без запаздывания
Исходные данные:
.Передаточная функция объекта:
2.Передаточная функция
ПИ-регулятора:
.Структурная схема:
.Оптимизируем отработку скачка
задания: хзд(t)=1(t).
.Критерий оптимальности:
.
Рассчитать параметры оптимальной
динамической настройки ПИ-регулятора.
Алгоритм решения задачи:
.Находим передаточную функцию
замкнутой САР по задающему воздействию
(1);
.Находим передаточную функцию
разомкнутой системы с учетом, что Ти=Т1
(2);
.Подставим (2) в (1) и после
преобразований получим формулы для расчета параметров оптимальной динамической
настройки ПИ-регулятора
Ти=Тк;
.Прямые показатели качества:
Величина перерегулирования Dхmax=4,3 %.
Время первого достижения
регулируемой величиной заданного значения t1=4,7 s.
Полное время регулирования tп=6,3 s.
5.2 МПК с учетом ограничений на
максимальную величину регулирующего воздействия для объектов без запаздывания
Исходные данные те же.
Постановка задачи:
по заданной передаточной функции
объекта с ПИ-регулятором одноконтурной САР надо так подобрать параметры
настройки ПИ-регулятора, чтобы величина максимального регулирующего воздействия
не превышала допустимое значение.
Порядок определения оптимального
коэффициента усиления регулятора kр следующий:
.по найденному значению коэффициента
x и отношению
Т1/s находим по
графику относительный коэффициент усиления К;
.оптимальное значение коэффициента
усиления регулятора вычисляем по формуле
kp=K/kоб;
.оптимальное значение времени интегрирования
регулятора находим из условия
Ти=Т1.
.по численному значению x находим нормированную кривую
оптимального переходного процесса и определяем прямые показатели качества.
5.3 МЧК для объектов
без запаздывания
Исходные данные:
.Передаточная функция объекта:
2.Передаточная функция
ПИ-регулятора:
.Структурная схема:
.Оптимизируем отработку единичного
скачка внутреннего возмущения: f1(t)=1(t).
.Критерий оптимальности:
при y=0,95.
Надо определить параметры настройки ПИ-регулятора
при внутреннем возмущении, удовлетворяющем критерию оптимальности.
Методика вывода формул для расчета
параметров настройки ПИ-регулятора.
1.Запишем передаточную функцию
замкнутой системы при скачкообразном внутреннем воздействии:
.Запишем передаточную функцию
объекта и регулятора в относительных единицах времени:
;
где r=s p, T=T1/s, Iи=Ти/s.
.Обозначим коэффициент усиления
разомкнутой системы
К=кр коб;
Тогда
Где
, , ,
4.Воспользовавшись методикой
Вышнеградского, изменим масштаб
, где
Тогда
где , ,
.В диаграмме Вышнеградского
требуется найти одну точку, которая бы удовлетворяла критерию оптимальности.
Эта точка имеет координаты А1=2,539, А2=1,853.
.Путем преобразований получаем
рабочие формулы:
;
;
;
.По значению относительной
постоянной времени находим масштабные коэффициенты и определяем прямые
показатели качества:
Dхmax=mx
kоб;max=tmax
mt s;п=tп mt s.
5.4 МЧК для объектов без
запаздывания с ограничением максимальной величины регулирующего воздействия
Исходные данные те же.
Надо определить параметры настройки
ПИ-регулятора при внутреннем возмущении, удовлетворяющем критерию оптимальности.
Методика вывода формул.
.Запишем передаточную функцию
замкнутой системы при скачкообразном внутреннем воздействии:
.Запишем передаточную функцию
замкнутой системы по задающему воздействию:
.
3 Запишем
передаточную функцию как изменение [хр]доп от времени при
скачкообразном внутреннем возмущении:
4.Для линейных
САР последовательно соединенные звенья можно менять местами. Следовательно,
ограничить максимальную величину регулирующего воздействия можно, так подобрав
параметры оптимальной динамической настройки ПИ-регулятора, чтобы максимальная
величина регулируемого параметра не превышала допустимой величины регулирующего
воздействия.
.Критерию оптимальности
соответствуют следующие значения коэффициентов Вышнеградского: А1=А2=2.
В результате рабочими формулами для расчета параметров настройки ПИ-регулятора
являются:
;
;
;
.
.По значению относительной
постоянной времени находим масштабные коэффициенты и определяем прямые
показатели качества:
Dхmax=mx
kоб;max=tmax
mt s;п=tп mt s.
6.РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ ПИ
РЕГУЛЯТОРА ПО МПК, МПК с О, МЧК, МЧК с О
.1 МПК
Передаточная функция объекта:
Принимаем время интегрирования
регулятора Ти=Т1=51,7 с.
Коэффициент усиления регулятора:
.
Передаточная функция ПИ-регулятора:
.2 МПК с О
Передаточная функция объекта:
Ограничение на максимальную величину
регулирующего воздействия [xp]доп=1,3.
Относительная постоянная времени
объекта:
с.
По Т=2,8 с и [xp]доп=1,3
по рис. 3.7.(а) [1] находим x=0,85
и относительный коэффициент усиления К=1.
Коэффициент усиления регулятора:
.
Время интегрирования регулятора:
Ти=Т1=51,7 с.
Передаточная функция ПИ-регулятора:
.3 МЧК
Передаточная функция объекта:
Относительная постоянная времени
объекта:
Коэффициент усиления разомкнутой
системы:
Коэффициент усиления регулятора:
.
Относительное время интегрирования:
Время интегрирования ПИ-регулятора:
с.
Передаточная функция ПИ-регулятора:
6.4 МЧК с О
Передаточная функция объекта по
регулирующему воздействию:
Относительная постоянная времени
объекта:
Коэффициент усиления разомкнутой
системы:
Коэффициент усиления регулятора:
.
Относительное время интегрирования:
.
Время интегрирования ПИ-регулятора:
с.
Передаточная функция ПИ-регулятора:
7
Построение оптимальных графиков переходных процессов
по МПК, МПК с О, МЧК и МЧК с О и определение по ним прямых показателей качества
7.1 МПК
Прямые показатели качества:
Перерегулирование:
Dхmax=4,3
%.
Время первого достижения регулируемой величиной
заданного значения:
t1=4,7
s=4,7
18,3=86 с.
Полное время регулирования:
tп=6,3
s=6,3
18,3=115 с.
.2 МПК с О
По рис 3.8. (а) при x=0,85
определяем график оптимального переходного процесса. Перерегулирование
отсутствует, а время первого достижения регулируемой величиной заданного
значения равное полному времени регулирования:
t1=tп=8,1
s=8,1
18,3=148,2 с.
7.3 МЧК
Прямые показатели качества:
По Т=2,83 по рис.3.11. [1] определяем масштабный
коэффициент mx=0,24
и временной масштабный коэффициент mt=1,32.
По рис.3.10. [1] определяем относительное время
появления максимальной динамической ошибки tmax=1,79
с и tп=9
с.
Максимальная динамическая ошибка регулирования:
Dхmax=mx
kоб=0,24
1,7=0,4
Время появления максимальной динамической
ошибки:
tmax=tmax
mt
s=1,79 1,32 18,3=43,2 c.
Полное время регулирования:
tп=tп
mt
s= 9 1,32 18,3=217,4 с.
.4 МЧК с О
Прямые показатели качества:
По Т=2,83 по рис.3.16.(б) [1] определяем
масштабный коэффициент mx=0,31
и временной масштабный коэффициент mt=1,32.
По рис.3.16.(а) [1] определяем относительное
время появления максимальной динамической ошибки tmax=2
с и tп=12
с.
Максимальная динамическая ошибка регулирования:
Время появления максимальной динамической
ошибки:
tmax=tmax
mt
s=2 1,32 18,3=48,3 c.
Полное время регулирования:
tп=tп
mt
s= 12 1,32 18,3=289,9 с.
8.Анализ полученных
результатов
Сводная таблица полученных результатов.
Метод
|
Для
оптимизации f1
|
Для
оптимизации f2
|
|
Dxmax
|
tmax
|
tп
|
kp
|
t1
|
tп
|
МПК
|
|
|
|
0,83
|
86
|
115
|
МПК
с О
|
|
|
|
0,59
|
148,2
|
148,2
|
МПК
с t
|
|
|
|
0,47
|
161,7
|
266,6
|
МПК
с О с t
|
|
|
|
0,24
|
275,3
|
275,3
|
ММЧК
|
0,935
|
87,4
|
437
|
|
|
|
МЧК
|
0,4
|
43,2
|
217,4
|
|
|
|
МЧК
с О
|
0,53
|
48,3
|
289,9
|
|
|
|
Все графики оптимальных переходных процессов
представлены на рис. 2.
Выводы
1 В
МПК всех видов чем больше коэффициент усиления регулятора, тем меньше время
первого достижения регулируемой величиной заданного значения и полное время
регулирования.
2 В
МПК с О хоть и отсутствует перерегулирование, но время первого достижения
регулируемой величиной заданного значения больше, чем при МПК.
3 В
методах для оптимизации f1
чем больше максимальная динамическая ошибка, тем больше время полного
регулирования.
4 Преимущество
экспресс-методов перед методами МЭИ состоит в том, что они менее трудоемки, так
как не требуют построения кривых переходных процессов, а анализ переходных
процессов заменяют анализом качества, заключающемся в оценке характеристик
переходного процесса, называемых прямыми показателями качества.
Литература
1.Кулаков
Г.Т. Инженерные экспресс-методы расчета промышленных систем регулирования: Спр.
Пособие. - Мн.: Выш. шк., 1984. - 192 с.