Расчет прямой балки на прочность и жесткость. Построение эпюр

Расчет прямой балки на прочность и жесткость. Построение эпюр

Задание 1. Геометрические характеристики плоских сечений

Цель работы: Развитие навыков самостоятельного расчета геометрических характеристик, закрепление знаний основных теоретических зависимостей между геометрическими характеристиками плоских сечений.

Задача 1

Для данного плоского сечения с одной осью симметрии определить:

положение центра тяжести сечения;

положение главных центральных осей;

главные центральные моменты инерции.

Дано:

Сечение согласно рисунку 1,

. Вычерчиваем заданное сечение в масштабе, с указанными размерами, выбираем вспомогательные оси координат z, y, параллельные сторонам сечения.

. Наносим на чертеж центры тяжести  каждой простой фигуры и определяем их координаты  относительно выбранной системы координат ; i=1, 2,…., n.

3. Определяем в выбранной системе координат z, y положение центра тяжести с составного сечения:

. наносим на чертеж центр тяжести С и центральные оси составного сечения  с началом в центре тяжести С.

. Определяем для каждой простой фигуры осевые моменты инерции .

. Находим осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно его центральных осей .

Задача 2

Для заданного плоского несимметричного сечения, составленного из двух прокатных профилей, определить:

положение центра тяжести сечения,

положение главных центральных осей,

главные центральные моменты инерции.

Дано:

Сечение профилей согласно рисунку 3,

Данные сечения профиля 1 и 2 согласно таблице 1:

Таблица 1

. Вычерчиваем заданное сечение в масштабе, указываем размеры, выбираем вспомогательные оси координат z, y, параллельные сторонам сечения.

. Наносим на чертеж центры тяжести  каждой простой фигуры и определяем их координаты  относительно выбранной системы координат ;

. Определяем в выбранной системе координат z, y положение центра тяжести составного сечения:

. Определяем для каждой простой фигуры осевые моменты инерции  и центробежный момент инерции  относительно центральных осей фигуры по таблицам ГОСТов моментов инерции прокатных профилей.

. Находим осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно его центральных осей.

. Находим положение главных центральных осей составного сечения и наносим их на чертеж.

. Определяем главные центральные моменты инерции составного сечения .

Проверяем правильность вычисления:

а) 1047,19+5783,25  = 5571,94+1258,5

,44 = 6830,44

б)

Задание 2. Внутренние силовые факторы

Задача 1

Для стержня построить эпюры продольных сил

Дано:

1. Находим реакцию заделки NА

 -N_A+F₃+F₂+F₁+q∙0,6; N_A =12+20+50+30∙0,6=100кН

2. Разбиваем стержень на участки

Сечение I-I (л.ч.) 0≤x≤0,3

 -N_A+N_x1=0 ; N_x1=100кН

Сечение II-II (л.ч.) 0≤x≤0,6

 -N_A+ F₃+q∙x+ N_x2=0

При х=0, N_x2=N_A- F₃=100-12=88кН

х=0,6, N_x2= N_A- F₃-0,6q=100-12-18=70кН

Сечение III-III (п.ч.) 0≤x≤0,6

 N_x3- F₂-F₁=0, N_x3= F₂+F₁=20+50=70кН

Сечение IV-IV (п.ч.) 0≤x≤0,3

 N_x4-F₁=0, N_x4= F₁=50кН

Задача 2

Для вала построить эпюры крутящих моментов

Дано:

1. Находим М0

2. Разбиваем вал на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0≤x≤0,6

Сечение II-II (л.ч.) 0≤x≤0,3

Сечение III-III (л.ч.) 0≤x≤0,3

Сечение IV-IV (л.ч.) 0≤x≤0,6

Задача 7

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки

Дано:

1. Опоры заменяем соответствующими реакциями, и находим их.

2. Разбиваем балку на участки

Сечение I-I (л.ч.) 0≤x≤1,5

Сечение II-II (л.ч.) 0≤x≤1,5

Задача 3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки

Дано:

1. Находим реакции заделки.

2. Разбиваем балку на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0≤x≤3

Задача 4

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки

Дано:

1. Опоры заменяем соответствующими реакциями, и находим их.

2. Разбиваем балку на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0≤x≤2,3

При х=0:

Сечение II-II (л.ч.) 0≤x≤1

Задача 5

Построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, для рамы

Дано:

1. Находим реакции опор.

1. Разбиваем раму на участки

Сечение I-I (п.ч.) 0≤x≤0,8

Сечение II-II (п.ч.) 0≤x≤1,5

Сечение III-III (л.ч.) 0≤x≤2,2

Сечение IV-IV (л.ч.) 0≤x≤1,5

Проверяем равновесие узлов

Узел С:   

Узел D:   

Задача 6

Построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, для рамы

Дано:

2. Находим реакции опор

балка сечение прочность жесткость

1.
Разбиваем раму на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0≤x≤2,3

Сечение II-II (л.ч.) 0≤x≤1

Сечение III-III (п.ч.) 0≤x1,1

Сечение IV-IV (п.ч.) 0≤x≤1,1

Проверяем равновесие узлов

Узел С:   

Задание 3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении - сжатии прямого стержня

Задача 1

Для стержня

- построить эпюры продольной силы N, нормальных напряжений σ, перемещение поперечных сечений u.

-   определить площадь поперечного сечения стержня из условия прочности.

Дано:

[σ] = 160 МПа, Е= МПа

1. Находим реакцию заделки NА.

-NA -F1+F2+q∙0,5=0; NA= -F1+F2+q∙0,5=-50+25+25=0кН

2. Разбиваем стержень на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0≤x≤0,5

 -NA+Nx1; Nx1= NA=0кН

Сечение II-II (л.ч.) 0≤x≤0,5

 -NA+q∙x+Nx2=0; Nx2= NA-q∙x ; Nx2/x=0=0кН; Nx2/x=0,5=-25кН

Сечение III-III (п.ч.) 0≤x≤0,5

 Nx3+F1=0; Nx3=-50кН

[σ] = 160 МПа, σmax=50/A МПа

3. Перемещение поперечных сечений

; ;

;

;;

;

; ;

Задача 2

Для стального стержня ступенчатого стержня (Е=2∙10⁵МПа) круглого сечения, жестко закреплённого одним концом и нагруженного сосредоточенными силами, требуется:

- Определить реакцию заделки;

-   построить эпюры продольной силы N, нормальных напряжений σ, перемещение поперечных сечений u;

-   определить общее удлинение (укорочение) стержня;

-   определить прочность стержня, [Ϭ]=160МПа;

-   дать характеристику напряженного состояния.

Дано:

[σ] = 160 МПа, Е= МПа.

1. Находим реакцию заделки N_А.

-N_A +F₁+F₂+F₃=0; N_A= F₁+F₂-F₃=11+11-16,5=5,5кН

2. Разбиваем стержень на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0≤x≤0,13

-N_A+N_x1; N_x1= N_A=5,5кН

Сечение II-II (л.ч.) 0≤x≤0,2

-N_A +N_x2+F₁=0; N_x2= N_A- F₁; N_x2=-5,5кН;

Сечение III-III (п.ч.) 0≤x≤0,6

_x3+F₃=0; N_x3=-16,5кН

[σ] = 160 МПа, σ₁=5,5∙10³/2,2∙10^-4=25 МПа

σ₂=-5,5∙10³/2,2∙10^-4=-25 МПа

σ3=16,5∙10³/4,4∙10^-4=-37,5 МПа

Перемещение поперечных сечений.

 ;

;

;

;

;

Задача 3

Для стержневой системы требуется:

- найти внутренние усилия в стержнях 1 и 2 и построить эпюры продольных сил N;

-   определить площади поперечных сечений стержней 1 и 2 из условия прочности, найти размеры d,а;

-   найти перемещение точки В.

1) Определяем внутренние усилия в стержнях 1 и 2:

N_x1-F∙sin60˚=0→ N_x1=F∙sin60˚=20∙0,866=17,32кН

N_x2-F∙cos60˚=0→ N_x2=-F∙cos60˚=-20∙0,5=-10кН

2)
Определяем площадь поперечного сечения стержней 1 и 2 из условия прочности, находим размеры d,a.

[Ϭ]≥N_x1/A→ A₁= N_x1/[Ϭ]=17,32∙10³/140∙10⁶=1,24см²

[Ϭ]≥N_x2/A→ A₂= N_x2/[Ϭ]=10∙10³/140∙10⁶=0,7см²

А₁=π∙d²/4→ d=√4A/π=1,26см

А₂=а² → а=√А=0,84см

)   Определяем перемещение точки В:

∆l₁= N_x1∙x/A∙E=17,32∙1,1∙10³/0,8∙10¹¹∙1,24∙10^-4=19,21∙10^-4м

∆l₂= N_x2∙x/A∙E=-10∙0,64∙10³/0,8∙10¹¹∙0,7∙10^-4=-11,42∙10^-4м

Задание 4. Расчеты на прочность и жесткость при кручении прямого вала

Цель работы: усвоение методики расчета на прочность и жесткость прямых стержней (валов) при кручении

Задача 1

Для вала, требуется:

- найти момент М₀;

-   построить эпюры крутящего момента и максимальных касательных напряжений;

-   определить из условия прочности диаметр вала;

-   найти углы закручивания на участках вала и полный угол закручивания вала. Построить эпюру углов закручивания по длине вала.

Данные: a = 0,2м;

М₁ = 400Н∙м; М₂ = 320Н∙м; М₃ = 320Н∙м; М₄ = 0Н∙м;

[τ] = 25МПа; G = 8∙10⁴ МПа.

Схема вала:

1. Составить уравнение равновесия внешних моментов относительно оси вала и найти момент заделки:

∑М =0: - М_а - М₁ + М₂ + М₃ - М₄ = 0;

М_а = -400 + 320 + 320=240Н∙м.

М_а =240Н∙м

2. Разбить вал на участки и методом сечений определить крутящий момент и касательные напряжения на каждом участке:

где j - номер участка;

М_i - внешние моменты, приложенные к отсеченной части вала.

·  Сечение I - I (в. ч.) (0 ≤ x₁ ≤ 0,2)

М_кр1│₀ = М_кр1│_0,2 =240 Н∙м;

τ₁│₀ = τ ₁│_0,2 = М₁/W_p= 240/W_p

·  Сечение II - II (в. ч.) (0 ≤ x₂ ≤ 0,2)

М_кр2│₀ = М_кр2│_0,2 = М₁-М₂ = 80 Н∙м;

τ ₂│₀ = τ ₂│_0,2 = 80/W_p

·  Сечение III - III (в. ч.) (0 ≤ x₃ ≤ 0,8)

М_кр3│₀ = М_кр3│_0,4 = М₁-М₂-М₃= -1,5 + 1,5= 0 кН∙м;

τ ₃│₀ = τ ₃│_0,8 = 0/W_p

·  Сечение IV - IV (в. ч.) (0 ≤ x₄ ≤ 0,8)

М₄│₀ = М₄│_0,8 = - М_a - М₁ + М₂+ М₃= 400-320-320 = -240 Н∙м;

τ ₄│₀ = τ ₄│_1.2 = -240/W_p.

Эпюра касательных напряжений:

3. Построить эпюры крутящих моментов и наибольших касательных напряжений. Найти опасное сечение вала из условия прочности:

τ _max = M_{k max} / W_p ≤ [τ],

отсюда

W_p ≥ M_{k max} /[τ] = 400 / 25 ∙10⁶ = 16∙10^-6 м³ =16см³

W_p = πd³/16 - момент сопротивления сечения при кручении, для круглого сечения, следовательно

Подбираем ближайший диаметр - d_пр=50мм.

W_p = 3,14∙(5)³ / 16 = 24,5cм³ = 24,5∙10^-6 м³

Определяем на каждом участке касательные напряжения:

τ₁│₀ = τ ₁│_0,2 = 400/24,5∙10^-6 = 16,32МПа;

τ ₂│₀ = τ ₂│_0,2 = 80/24,5∙10^-6 =3,2МПа;

τ ₃│₀ = τ ₃│_0,4 = -240/24,5∙10^-6=9,8МПа;

4. Определить угол закручивания на каждом участке по формуле:

,

где М_kj - крутящие моменты на участках;

l_j - длина участков;

G - модуль сдвига, G = 8∙10⁴ МПа;

J_p - момент инерции при кручении

J_p = π∙d⁴/32 = 3,14∙0,05⁴ / 32 = 6,13∙10^-7м³

·  сечение I-I (л. ч.) (0 ≤ l₁ ≤ 0,4)

·  сечение II-II (л. ч.) (0 ≤ l₂ ≤ 0,2)

·  сечение Ш-III (л. ч.) (0 ≤ l₃ ≤ 0,2)

Задание 5. Расчеты на прочность и определение перемещений балок при изгибе

Цель работы - усвоение методики расчета на прочность балок при прямом изгибе.

Задача 1

Для балки требуется:

построить эпюру поперечной силы и изгибающего моментов;

из условия прочности определить размеры прямоугольного и двутаврового сечений балки и сравнить балки с этими сечениями по расходу материала;

определить наибольшие касательные напряжения в обоих сечениях балки, проверить выполнения прочности по касательным напряжениям;

построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении балки.

Данные: F₁ = 24kH; F₂ = 8kH; h/b = 2,5;

M₁ = 12кН*м; M₂= 10kH*м;q=8kH/ м, а=1,4м, в=2,6м

[σ] = 160МПа.,[τ]=0,5[σ]

Схема балки:

Ход работы

1. Определить реакции опор:

∑М_А = 0: -q∙2,6∙2,7+F∙1,4-M+М_з = 0;

М_з = q∙2,6∙2,7-F∙1.4+ М =56.16+ 10-33,6 = 32,56кН.

∑y = 0: R_B -q∙2,6+F= 0;

R_B =q∙2,6-F= -3,2кН.

. Разбить вал на участки, ось x совместить с продольной осью балки, а начало координат взять на левом конце балки. Составить аналитические выражения поперечной силы и изгибающего момента в продольном сечении на каждом участке:

·  Сечение I - I (л. ч.) (0 ≤ x₁ ≤ 2.6)

Q_y = q∙ x₁;

Q₁│₀ = q∙ 0= 0кН;

Q₁│_2,6 = q∙ 2,6=20,8кН.

M_z = -М- q∙ x₁²/2;

М₁│₀ = -10 кН∙м

М₁│_1,0 = -10 - 8∙2,6²/2 = -37,04 кН∙м

·  Сечение II - II (п. ч.) (0 ≤ x₂ ≤ 1,4)

Q_y = R_В;

Q₂│₀ = Q₂│_1,4 = 3,2 кН.

M_z = R_В∙x₂;

М₂│₀ = -М_з +R_В∙x₂ =-М_з =32,56кН∙м

М₁│_1,4 = -37,04 кН∙м.

3. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента

4. По эпюре изгибающего момента найти опасные сечения, в котором возникает наибольший изгибающий момент M_{z max}. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить момент сопротивления поперечного сечения балки:

σ _max = M_{z max} / W_p ≤ [σ],

отсюда

W_z ≥ M_{z max} /[σ] = 37,04∙10³ / 160 ∙10⁶ = 0,23∙10^-3 м³ =230см³

a) По найденному значению W_z находим размеры поперечного сечения:

W_z = b∙h²/6,

где h=2,5b, отсюда W_z = b∙(2,5b) ²/6 следовательно:

b = 6∙10^-2м.

h = 2,5∙b = 2,5∙6∙10^-2 = 15∙10^-2м,

h = 15∙10^-2м.

b) Подбираем по таблице номер стандартного двутаврового сечения:

номер двутавра - №22, W_z = 230 см³.

с) Сравниваем балки с заданными сечениями по расходу материала:

площадь прямоугольника:

A₁ = h∙b = 6∙15∙10^-2 = 98∙10^-4 м² =90 см²,

площадь двутавра:

A₂ = 30,6см²,

n = A₁/ A₂ = 90 / 30,6 = 2.9

Двутавр экономичнее прямоугольного сечения в 2,9 раз.

5. Определить наибольшее касательное напряжение в точках поперечного сечения, лежащих на нейтральной линии.

а) касательное напряжение прямоугольника:

где Q_y - наибольшая поперечная сила, определяемая по эпюре поперечных сил, Q_y = 20,8∙10³ кН.

А - площадь прямоугольника, A₁=90∙10^-4 м².

b) касательное напряжение двутавра:

где Q_y - наибольшая поперечная сила, определяемая по эпюре поперечных сил,

Q_y = 20,8∙10³ кН,

S_z^отс- статический момент полусечения, S_z^отс = 131 см³,

J_z - осевой момент инерции, J_z = 2550см⁴ =2790∙10^-8м,

b_y - ширина поперечного сечения по нейтральной линии,

b_y = 5.4мм = 5.4∙10^-3м

,

[σ] = 160МПа, [τ] = 80МПа,

τ^max = 3,5МПа ≤ 80МПа

τ^max = 19,8МПа ≤ 80МПа

Прочность по касательным напряжениям обеспечено.

6. Построить эпюры σ и τ в опасном сечениях.

Все сечения 2 участка равноопасны:

М_z^max = -37,04кН∙м = -37,04∙10³Н∙м,

Q_y^max = 20,8кН∙м = 20,8∙10³Н.

Для прямоугольника:

Для двутавра:

Ответ: b = 6∙10^-2м, h = 15∙10^-2м, № 22, τ^max = 3,5МПа, τ^max = 19,8МПа.

Задача 2

Для балки требуется:

построить эпюру поперечной силы и изгибающего момента;

определить из условия прочности размеры поперечного квадратного сечения балки;

определить прогибы и углы поворотов сечений D или C.

Данные: M = 5кН*м; q=8kH/ м, а=1,6м, в=2,4м

[σ] = 180МПа.

k = 1,5; q = 2кН/м;

l = 1,2м; [σ] = 160МПа; Е = 2,0∙10⁵МПа.

Схема балки:

Ход работы

1. Определить реакции опор:

∑М_а = 0: -R_B∙4 -M+q∙2,4∙2,8 = 0;

R_B = (-M+q∙2,4∙2,8)/ 4= 12,19 кНм.

∑y = 0: R_B +R_A -q∙2,4= 0;

R_A = -R_B +q∙2,4 = -12,19 + 8∙2,4= 7,01кН

2. Разбить вал на участки, ось x совместить с продольной осью балки, а начало координат взять на левом конце балки. Составить аналитические выражения поперечной силы и изгибающего момента в продольном сечении на каждом участке:

·  Сечение I - I (л. ч.) (0 ≤ x₁ ≤ 1,6)

Q_y = R_A;

Q₁│₀ = Q₁│_1.6 = R_A = 7,01кН;

M_z = F∙x₁

М₁│₀ = 0 кН∙м

М₁│_1,6 = 7,01∙1,6 = 11,2кН∙м

·  Сечение II - II (л. ч.) (0 ≤ x₂ ≤ 2,4)

Q_y = -R_B+q∙x₂;

Q₂│₀ =-R_B=-12,19

Q₂│_2,4 =7,01 кН;

M_z =R_B∙ x₂-q∙x₂∙ x₂/2;

М₂│₀ = 0 кН;

М₂│_2,4 = R_B∙ x₂-q∙x₂∙ x₂/2= 2,4∙12,19- 8∙2,4²/2= 6,2 кНм

2. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

4. Из условия прочности находим размер поперечного сечения:

σ _max = M_{z max} / W_z ≤ [σ],

отсюда

W_z ≥ M_{z max} /[σ] = 11,2∙10³ / 180 ∙10⁶ = 62∙10^-6 м³ =62см³

По найденному значению W_z находим размеры поперечного сечения:

W_z = a³/6,

a = 7,2cм.

Ответ: a = 7,2cм.

Задача 3

Балка изготовлена из материала, у которого [Ϭ_р]=[Ϭ_с]υ. Требуется:

- построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента;

-   из условия прочности по нормальным напряжениям найти размер а заданного сечения балки и определить высоту h и ширину b сечения, расположить сечение относительно нагрузки рационально с учетом условия экономичного использования материала;

-   построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасных сечениях.