Многократные измерения физических величин

Многократные измерения физических величин

Оглавление

1. Решение задач

Задача № 1

Задача № 2

Задача № 3

Задача № 4

Задача № 5

Задача № 6

Задача № 7

Задача № 8

Задача № 9

Задача № 10

Список использованных источников

Задача № 1

При многократных измерениях физической величины получены данные, приведённые в таблице 1:

Таблица 1

Произвести обработку ряда измерений, предполагая их нормальное распределение и считая, что систематическая погрешность пренебрежимо мала или отсутствует. Определить доверительный интервал для среднего арифметического значения физической величины, соответствующий доверительной вероятности Р_д. Результат измерения, имеющий наибольшую по модулю остаточную погрешность, проверить на возможность его исключения как промах. Значение Р_д = 0,999; значение коэффициента Стьюдента t_s =4,49; значение t_Г = 2,969.

Решение:

1)      Определяем среднее арифметическое значение результатов измерения , мм, по формуле:

;

2) Определяем среднее квадратичное отклонение результатов измерения σ:

3)     
;

.

4) Определим доверительный интервал при заданной доверительной вероятности Р_д = 0,999, где коэффициент t_Г = 2,969:

;

мм.

4) Выявим наличие грубой погрешности (промаха) с помощью правила 3σ.

Так как число измерений невелико, то в этом случае промахом считается тот результат, если .

Ставим под сомнение 4-й результат измерения х₄ = 208 мм.

;

3σ = 3·2,3094 = 6,9282;

,6667<6,9282.

Данные результаты измерений не содержат грубых погрешностей.

Оценка:  мм.

Задача № 2

В паспорте импортного вторичного прибора, предназначенного для измерения температуры, указан диапазон измерения, равный [32...552] F и допускаемые пределы измерения атмосферного давления: [84... 108] кПа. Определить диапазон измерения данного прибора в °С допускаемое атмосферное давление в мм рт. ст.

Решение:

) Шкала температур по Фаренгейту связана со шкалой температур по Цельсию соотношением:

;

Учитывая соотношение, определим диапазон измерения температуры в °С:

°С;

°С .

°С;

) Диапазон измерения давления в мм рт.ст. связан с диапазоном измерения давления в Па соотношением:

Учитывая соотношение, определим диапазон измерения прибора в мм рт.ст.:

 мм рт.ст.;     мм рт.ст.;

 мм рт.ст..

Задача № 3

Определить посредством косвенных измерений удельное сопротивление ρ неизвестного сплава, если результаты прямых измерений сопротивления R одного метра, изготовленного из указанного сплава провода и его диаметра d, оказались соответственно равными 0,55 Ом и 0,8 мм. Результат полученного косвенного измерения округлить до четырех знаков после запятой. Оценить погрешность результата, если известны абсолютные погрешности измерения длины, сопротивления и диаметра провода: м, Ом, мм.

Решение:

Косвенные измерения позволяют определить значение искомой величины путём прямых измерений некоторых других величин, связанных с искомой определённой математической зависимостью:

Q = f(X, Y, Z,...).

) Удельное сопротивление ρ, Ом·мм²/м, определяется по формуле:

,

где S - площадь поперечного сечения провода, мм², определяется по формуле:

;

 Ом·мм²/м.

) Для данного случая определим абсолютную погрешность косвенного измерения по формуле:

;

)  Ом·мм²/м.

Задача № 4

Определить вместимость цилиндрического бака и погрешность ее определения по следующим средним результатам измерения внешнего периметра Р = (543 ± ± 2) см и толщины стенки бака δ = (0,4 ± 0,14) см. При измерении внутренней высоты бака равномерно по периметру были получены следующие результаты: 198,5; 199,3; 199,6; 199,9; 200,4; 200,8; 200,7; 200,5; 200,2; 199,7; 199,4; 199,0 и 198,6 см. Значение Р_д = 0,99; значение коэффициента Стьюдента t_s = 3,06.

Решение:

.        Проведём обработку результатов измерения h:

)        Определим среднее арифметическое значение результатов измерений:

;

см.

2)      Определим среднее квадратичное отклонение результата измерения σ:

;

.

3) Определим доверительный интервал при заданной доверительной
вероятности Р_д = 0,99, где коэффициент t_Г = 2,689:

;

;

;

см.

Внутренняя высота бака составляет 199,7±0,6426 см.

2.      Определим объём бака:

1)      ;

см³.

2)      Абсолютная погрешность косвенного измерения:

;

см³.

3)      Таким образом V = 53967,7300 ± 18890,5496 см³.

Задача № 5

Ток в цепи определяется путём измерения напряжения на составном резисторе (Рисунок 1). Резисторы R₁ и R₂ - прецизионные, сопротивлением (6 ± 0,2) и (12,00 ± 0,4) Ом, соответственно. Сопротивление резистора R₃, было измерено шесть раз и получены следующие результаты: 8,82; 8,78; 8,76; 8,74; 8,73; 8,69. После сборки схемы получены следующие показания вольтметра PVI по результатам шести измерений: 90,361; 90,357; 90,352; 90,346; 90,344; 90,341. Определить значение тока и абсолютную погрешность его измерения, считая внутреннее сопротивление вольтметра бесконечно большим. Р_д = 0,999.

Рисунок 1 - Схема измерения тока

Решение:

)        Определим среднее арифметическое значение результатов измерений резистора R₃ и вольтметра PVI соответственно:

;

Ом;

;

В.

2)      Определим среднее квадратичное отклонение результата измерения σ:

;

;

;

.

3) Определим арифметическую погрешность при заданной доверительной вероятности Р_д = 0,999, где значение коэффициента Стьюдента при шести измерениях равен t_s = 6,86.

;

;

;

Ом.

;

;

;

В.

В итоге имеем: R₃ = 8,7533±0,1201 Ом; U = 90,3500±0,0206 В.

)   Определим значение силы тока при полученных данных измерений.

;

А.

5)      Определим абсолютную погрешность косвенного измерения по формуле:

;

В итоге имеем: I = 15,3413±0,7532А.

Задача № 6

Определить значения температурных коэффициентов сопротивления α и β некоторого сплава, из которого изготовлен проволочный резистор с номинальным сопротивлением (при 20 ⁰С), равным R₂₀ = 1000 Ом. В результате измерений, проведенных при температурах θ₁ = 10 ⁰С и θ₂ = 40 ⁰С, сопротивления резистора оказались равными R₁ = 999,08 Ом и R₂ = 1000,42 Ом, соответственно.

Решение:

Зависимость между сопротивлением металлического проводника и его температурой имеет вид:

.

По результатам двух измерений составляем систему уравнений:

Следовательно, зависимость между сопротивлением металлического проводника и его температурой будет иметь вид:

.

В данной задаче я пользовался методом совместных измерений

Задача № 7

Какой класс точности должен иметь измерительный прибор с пределами измерения 0 ... X_К, чтобы в точке шкалы 0,7X_К погрешность измерения не превышала ± 2,5% ?

Решение:

) Поправка измерений δ определяется по формуле:

,

где ∆ - абсолютная погрешность, X - измеряемая величина.

Значит, абсолютная погрешность:

.

2) Приведенная погрешность определяется по формуле:

;

.

) Класс точности прибора оценивается по приведённой погрешности. Данный прибор должен иметь класс точности γ = 1,75.

Задача №8

Два пружинных манометра с пределами измерения 0...500 и 0...100 имеют пределы основной погрешности (класс точности) ± 0,5 и ± 1,5 %, соответственно. Сравнить погрешности измерения этими манометрами давления Р = 39,7 кПа. Выбрать из них прибор, обеспечивающий более точное измерение данного давления, и записать для этого случая доверительный интервал, в котором находится измеряемая величина.

Решение:

1) Определим предел абсолютной погрешности каждого из манометров.

;

кПа;

;

кПа.

) Относительная погрешность давления Р = 39,7 кПа составляет:

;

;

;

.

Выбираем второй прибор, обеспечивающий более точное измерение заданного давления.

3) Определим доверительный интервал для заданного давления.

Задача № 9

Комбинированный цифровой прибор (мультиметр) предназначенный для измерения напряжения, тока и сопротивления, имеет диапазоны измерения указанных физических величин и класс точности для каждого диапазона, приведённых в таблице 9.1. При измерениях на цифровом табло прибора получены значения, укатанные в таблице 9.2. Определить относительные и абсолютные погрешности измерений. Записать окончательные результаты последних, используя правила округления.

Таблица 9.1

Таблица 9.2

Решение:

Предел допускаемой основной относительной погрешности определяется по формуле:

,

где X - измеренное значение физической величины;

X_K - верхнее значение диапазона измерений данного прибора;

c/d - класс точности.

Абсолютная погрешность измерения определяется по формуле:

.

Результаты вычислений сводим в таблицу 10.3.

Таблица 10.3

Задача № 10

Определить основную погрешность (класс точности), цену деления и чувствительность амперметра магнитоэлектрической системы (его шкала имеет 100 делений) с пределом измерения I_MAX = I₅, калибруемого с помощью эталонного ручного потенциометра (например, прибора типа УПИП-60М). Точкам шкалы I_i (где i = 1, 2, ... 5) калибруемого амперметра РА1 (рисунок 10) соответствует значения напряжения U_0i, измеренные потенциометром на прецизионном (образцовом) резисторе R₀. Средние значения результатов измерений, полученные на прямом и обратном ходах, а также исходные данные для расчета сведены в таблицу 10.

Рисунок 10 - Схема калибровки амперметра

Таблица 10 - Исходные данные для расчёта

Решение:

1)   Определим значения точек шкалы I, калибруемого амперметра:

;

А;

А;

А;

А;

А.

2)      Определим абсолютную погрешность измерений:

;

;

;

;

;

.

3)      Определим приведённую погрешность амперметра:

магнитоэлектрический физический измерение погрешность промах

.

Так как в условии задачи сказано, что I_MAX = I₅, то X_K = 1 А:

.

По приведённой погрешности определяем класс точности - 0,28.

4)      Определим цену деления прибора:

;

А.

5)      Определим чувствительность:

;

.

Список использованных источников

1. Попов В.К. Метрологическое обеспечение средств измерения [Текст]: методические указания к выполнению курсовой работы / В.К. Попов. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2004. - 27 с.