Расчёт плоской рамы на устойчивость
Контрольная
работа
"Расчёт
плоской рамы на устойчивость"
Задача 10
Расчёт плоской рамы на устойчивость
Задание
Рис.
Исходные данные:
α=F1/F2 , l1 = 12 м, l2 = 12 м, h1
= 12 м, I1 :
I2 = 1,0
Для данной рамы требуется:
Определить значение критических сил, используя метод
перемещений.
Решение
1.
Степень кинематической неопределимости системы
За основные неизвестные в расчёте по методу перемещений
принимаются независимые угловые и линейные перемещения расчётных узлов. Число
основных неизвестных называется степенью кинематической неопределимости системы
и вычисляется по формуле
уравнений рама эпюра устойчивость
nk = n + n, где
n - степень угловой
подвижности узлов - число неизвестных углов поворота жёстких
внутренних (неопорных) узлов, равное числу таких узлов плоской системы;
n - степень линейной
подвижности узлов - число независимых неизвестных линейных перемещений всех
узлов системы, включая опорные.
Для определения n можно использовать
вспомогательную шарнирную систему, получаемую из заданной рамы введением
цилиндрических шарниров во все жёсткие узлы - внутренние и опорные.
В рассматриваемой раме расчётным является узел B . Узел - жёсткий,
поэтому n = 1. Она имеет одну степень свободы - для
превращения её в геометрически неизменяемую требуется наложить на один из
расчётных узлов одну линейную связь. Следовательно,
n = nл.с.= 1, и рама
дважды кинематически неопределима ( nk = n + n = 1+ 1
= 2). За основные неизвестные принимаются угол поворота
жёсткого узла B (обозначаем их Z1 ) и горизонтальное линейное перемещение Z2 узла C.
Рис.
Основную систему получаем наложением на жёсткий узел B угловой связи (подвижное
защемление), а также -- горизонтальной (по направлению основного неизвестного Z2) линейной связи под
номером 2.
ОСМП
Рис
Для основных неизвестных приняты следующие правила знаков:
положительный угол поворота Z1 - по ходу
часовой стрелки;
положительное линейное перемещение Z2 - вправо.
Канонические
уравнения
Канонические уравнения метода перемещений (КУМП), получаем
систему уравнений для определения Z1 , Z2 в каноническом виде:
Свободные члены уравнений при расчёте на устойчивость равны нулю,
тк нагрузки условные, а дополнительные связи накладываются на уравновешенную
систему.
Для определения коэффициентов rjk при неизвестных zk необходимо знать погонные жёсткости ij = EIj / lj и коэффициенты продольных сил сжатых
элементов
Погонные жёсткости стержней рамы:
Коэффициенты продольных сил сжатых элементов при
Построение эпюр изгибающих моментов в основной системе. Эпюры в единичных
состояниях ОСМП
Задаём равное единице смещение первой (k = 1) введённой связи - угол поворота Z1 = 1 - и представляем вызванное им
деформированное состояние основной системы. При этом деформируются элементы АВ,
ВС, СД , примыкающие к узлу С, их концевые сечения поворачиваются на один и тот
же угол (условие совместности перемещений / деформаций). Стойка АВ
испытывает изгиб со смещением от действия силы F1 (продольно-поперечный
изгиб). Поэтому эпюра носит нелинейный характер.
Для определения r
Коэффициенты канонических уравнений во втором (от Z2 = 1) единичном состоянии основной системы.
Для определения r
Рис.
Решение
системы канонических уравнений метода перемещений
Если оба неизвестных отличны от нуля и определитель равен
нулю.
Это решение характеризует потерю устойчивости исходной формы
равновесия системы и возникновение качественно новой формы равновесия- с
изгибом стержней. Именно это состояние и представляет практический интерес.
Раскрыв определитель получаем уравнение устойчивости:
В данной задаче уравнение имеет вид 
Решаем уравнение устойчивости
при 
при 
При изменении знака функция переходит через ноль. Значит корень
уравнения D(ν1) = 0 расположен в интервале от 1 до 2.
при 
При помощи линейной интерполяции определяем значение ν1
Вычисляем критические значения продольных сил в стойках и
соответствующие критические силы P1кр и P2кр :
Определяем приведённые длины стоек
μj -
коэффициент приведения длины;
Приведённые длины используют при выполнении практических расчётов.