Теория статистики

Задание №1

Произведите группировку магазинов №№1…10 и 20…29 (см. Приложение 1) по признаку торговая площадь, образовав при этом пять групп с равными интервалами.

Сказуемое групповой таблицы должно содержать следующие показатели:

1.  число магазинов;

2.       размер торговой площади;

.        размер товарооборота;

.        размер издержек обращения;

.        численность продавцов;

.        размер торговой площади, приходящейся на одного продавца.

Примечание: В п.п. 2-5 показатели необходимо рассчитать в сумме и в среднем на один магазин.

Сделайте выводы.

Решение

Таблица с данными

Номер магазина	Товарооборот (млн.руб.)	Издержки обращения (млн.руб.)	Численность продавцов (чел.)	Торговая площадь (кв.м.)
1	148	20,4	64	1070
2	180	19,2	85	1360
3	132	18,9	92	1140
4	314	28,6	130	1848
5	235	24,8	132	1335
6	80	9,2	41	946
7	113	10,9	40	1435
8	300	30,1	184	1820
9	142	16,7	50	1256
10	280	46,8	105	1353
20	352	40,1	115	1677
21	101	13,6	40	990
22	148	21,6	50	1354
23	74	9,2	30	678
24	135	20,2	52	1380
25	320	40,0	140	1840
26	155	22,4	50	1442
27	262	29,1	102	1720
28	138	20,6	46	1520
29	216	28,4	96	1673

Размер интервала d находится по формуле:

 (1)

Xmax, Xmin - соответственно значения максимального и минимального признака;

n - количество интервалов.

d = (1848 - 678) / 5 = 234 кв.м..

Для отграничения групп в случае закрытых интервалов нижние границы последующих интервалов следует увеличить на 1 пункт по сравнению с верхними границами предыдущих интервалов.

Определим границы групп для нашей задачи. Нижняя граница первой группы равна минимальному значению факторного признака (торговой площади) в совокупности 678 кв.м. (Xmin).

Верхняя граница первой группы будет равна (Xmin + d = 678 + 234 = 912 кв.м.); второй группы соответственно - 1146 кв.м. (912+234); третьей - 1380 кв.м. (1146+234); четвертой - 1614 кв.м. (1380+234); пятой - 1848 кв.м. (1614+234).

Нижняя граница второй группы будет равна 913 кв.м. (912+1); третьей группы - 1147 кв.м. (1146+1); четвертой группы - 1381 кв.м. (1380+1); пятой группы - 1615 кв.м. (1614+1).

Отграничим каждую группу предприятий по торговой площади, обозначив нижнюю границу каждого следующего интервала числом, на 1 большим верхней границы предшествующего интервала (табл. 1).

Таблица 1. Группы магазинов по торговой площади

Группы магазинов по торговой площади, кв.м.	Шифр группы
678 - 912	А
913 - 1146	Б
1147 - 1380	В
1381 - 1614	Г
1615 - 1848	Д

В соответствии с шифрами перенесем сведения о каждом магазине по группам в разработочную таблицу 2, где отведем графы: номер группы, группы магазинов по торговой площади, номер предприятия по порядку из таблицы с данными, торговая площадь, товарооборот, издержки обращения, численность продавцов.

В разработочную таблицу сначала вписывают данные первой графы с шифром А. В нее войдут группы магазинов с торговой площадью от 678 кв.м. до 912 кв.м.

Затем введем итоговую строку, в которой в графе «Номер по порядку» подсчитывают число магазинов первой группы. Остальные группы магазинов по торговой площади в разработочной таблице формируют аналогично первой, подводя итоги по каждой из них.

Таблица 2. Разработочная таблица

Шифр группы	Группы магазинов по торговой площади, кв.м.	Номер магазина по порядку в таблице с данными	Торговая площадь, кв.м.	Товарооборот, млн.руб.	Издержки обращения, млн.руб.	Численность продавцов, чел.
А	678 - 912	23	678	74	9,2	30
Итого по группе А	-	1	678	74	9,2	30
Б	913 - 1146	1	1070	148	20,4	64
		3	1140	132	18,9	92
		6	946	80	9,2	41
		21	990	101	13,6	40
Итого по группе Б	-	4	4146	461	62,1	237
В	1147- 1380	2	1360	180	19,2	85
		5	1335	235	24,8	132
		9	1256	142	16,7	50
		10	1353	280	46,8	105
		22	1354	148	21,6	50
		24	1380	135	20,2	52
Итого по группе В	-	6	8038	1120	149,3	474
Г	1381-1614	7	1435	113	10,9	40
		26	1442	155	22,4	50
		28	1520	138	20,6	46
Итого по группе Г	-	3	4397	406	53,9	136
Д	1615-1848	4	1848	314	28,6	130
		8	1820	300	30,1	184
		20	1677	352	40,1	115
		25	1840	320	40,0	140
		27	1720	262	29,1	102
		29	1673	216	28,4	96
Итого по группе Д	-	6	10578	1764	196,3	767
ВСЕГО	-	20	27837	3825	470,8	1644

Итоговые данные по группам переносим в итоговую таблицу 3.

Таблица 3. Группировка магазинов по размеру торговой площади

Группы магазинов по торговой площади, кв.м.	Количество магазинов	Торговая площадь, кв.м.		Товарооборот, млн.руб.		Издержки обращения, млн.руб.		Численность продавцов, чел.		Размер торговой площади на 1 продавца, кв.м.
		всего	В среднем на 1 магазин	всего	В среднем на 1 магазин	всего	В среднем на 1 магазин	всего	В среднем на 1 магазин
2	3	4	5=4/3	6	7=6/ /3	8	9=8/ /3	10	11=10/3	12=4/10
678 - 912	1	678	678	74	74	9,2	9,2	30	30	22,6
913 - 1146	4	4146	1036,5	461	115,2	62,1	15,5	59	17,5
1147 - 1380	6	8038	1339,7	1120	186,7	149,3	24,9	474	79	16,9
1381 - 1614	3	4397	1465,7	406	135,3	53,9	17,9	136	45	32,3
1615 - 1848	6	10578	1763	1764	294	196,3	32,7	767	128	13,8
Итого	20	27837	1391,8	3825	191,2	470,8	23,5	1644	82	16,9

От группы к группе растет торговая площадь в среднем на 1 магазин, остальные показатели такой явной зависимости не показывают.

Задание №2

Используя построенный в задаче №1 интервальный ряд распределения магазинов по размеру торговой площади, определите:

1)  среднее квадратическое отклонение;

2)      коэффициент вариации;

)        модальную величину;

)        медианную величину.

Постройте гистограмму распределения и сделайте выводы.

Решение

Группы магазинов по торговой площади, кв.м.	Количество магазинов	Торговая площадь, кв.м.
		всего	В среднем на 1 магазин
678 - 912	1	678	678
913 - 1146	4	4146	1036,5
1147 - 1380	6	8038	1339,7
1381 - 1614	3	4397	1465,7
1615 - 1848	6	10578	1763
Итого	20	27837	1391,8

Для вычисления среднего квадратического отклонения делают следующие расчеты:

) определяется средняя арифметическая взвешенная (здесь - торговая площадь в среднем на 1 магазин = 1391,8);

2) рассчитывается отклонение вариант от их средней величины () - рассчитано в графе 4 таблицы 4;

) результаты предыдущих действий возводят в квадрат (графа 5 таблицы 4);

) квадраты отклонений графы 5 таблицы 4 умножают на веса (графа 6 таблицы 4);

Таблица 4. Данные для расчета вариации средней торговой площади

Торговая площадь в среднем на 1 магазин, кв.м. ()Кол-во магазинов ()

678	1	-713,8	509510,44	509510,44
1036,5	4	-355,3	126238,09	504952,36
1339,7	6	-52,1	2714,41	16286,46
1465,7	3	73,9	5461,21	16383,63
1763	6	371,2	137789,44	826736,64
Итого	20	-	-	1873869,53

5) суммируются полученные произведения (итоговая строка таблицы 4 графы 6);

6) находится общая дисперсия () по формуле:

;

σ = 1873869,53 / 20 = 93693,48.

) среднее квадратическое отклонение находится по формуле:

.

σ =  = 306,09 кв.м..

Коэффициент вариации признака (V) в совокупности представляет собой относительную колеблемость признака в совокупности, и рассчитывается по формуле:

. (4)

.

Мода () - это значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой:

 (5)

где - нижняя граница модального интервала (модальный - это интервал, имеющий наибольшую частоту; в нашем случае - это интервал 1147-1380, так как у него наибольшая частота (количество магазинов), равное 6);

h - ширина модального интервала (в нашем случае - 234);

- частота модального интервала (в нашем случае -6);

 - частота интервала, предшествующего модальному (в нашем случае - 4);

 - частота интервала, следующего за модальным (в нашем случае - 3).

Мо = 1147+234*((6-4)/((6-4)+(6-3)) = 1240,6 кв.м..

Медианой () называется варианта, которая делит ранжированный ряд на 2 равные части, находится по формуле:

, (6)

где  - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

 - ширина медианного интервала;

 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

 - частота i-го интервала, I = 1,2, …, K;

- частота медианного интервала.

Для определения медианного интервала необходимо рассчитывать накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит Ѕ суммы накопленных частот (в нашем случае - 20/2 = 10 магазинов):

Таблица 5

Интервал	Наколенная частота
678 - 912	1
913 - 1146	1+4=5
1147 - 1380	5+6=11

Таким образом, медианным является интервал с границами 1147 - 1380 чел. Тогда медиана равна:

+ 234*(1/2*20-5)/6 = 1342 кв.м..

На основе полученных данных можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднее количество торговой площади в размере 1240,6 кв.м. В то же время более половины магазинов имеет торговую площадь свыше 1342 кв.м. при средней торговой площади 1391,8 кв.м. Коэффициент вариации показывает, что торговая площадь отклоняется от средней на 22%, т.е. величина достаточно надежна. Типична для данной совокупности.

Задание №3

В результате 6%-ного выборочного обследования успеваемости студентов университета по результатам летней экзаменационной сессии получены следующие данные методом случайного бесповторного отбора:  Оценка в баллах	2	3	4	5	Итого:
Число студентов	28	70	90	12	200

Определите по университету в целом:

1.  С вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний балл успеваемости;

2.       С вероятностью 0,997 пределы, в которых находится доля студентов, получивших неудовлетворительную оценку.

Сделайте выводы.

Решение

Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний балл успеваемости.

Средний балл успеваемости найдем по формуле средней арифметической взвешенной:

(2*28+3*70+4*90+5*12) / 200 = 3,43 балла.

Зная численность выборки (n = 200 человек) и численность генеральной совокупности (N = 3333 чел., т.к. 200 человек - это единицы из 6%-ного обследования, то N=200*100/6), коэффициент доверия t=2 (при вероятности Р=0,954) вычислим предельную ошибку для среднего балла успеваемости по формуле:

 (7)

Необходимо рассчитать среднее квадратическое отклонение (формулы в задаче №2).

Расчет дисперсии () проведем на основе данных таблицы 6. Промежуточные расчеты оформим в графах 4, 5, 6.

Таблица 6. Данные для расчета дисперсии среднего балла успеваемости

Баллы успеваемости по группам ()Число студентов ()
2	28	2-3,43=-1,43	2,0449	57,2572
3	70	3-3,43=-0,43	0,1849	12,943
4	90	4-3,43=0,57	0,3249	29,241
5	12	5-3,43=1,57	2,4649	29,5788
Итого	200	-	-	129,02

Находится дисперсия () по формуле:

= 129,02 / 200 = 0,64.

=2* балла.

Вычислим пределы среднего балла:

. (8)

,43 - 0,11 ≤ 3,43 ≤ 3,43+0,11

,32 ≤ 3,43 ≤ 3,54

При заданной вероятности коэффициент доверия t = 2. Из условия определим долю студентов, получивших неудовлетворительную оценку, в общем количестве (частость W):

W = m / n = 28 / 200 = 0,14, или 14%.

Зная численность выборки (n = 200 человек) и численность генеральной совокупности (N = 3333 человек, исходя из того, что это 6%-ная выборка), коэффициент доверия t = 2 (при вероятности Р=0,954), вычислим предельную ошибку выборки для генеральной доли студентов с неудовлетворительной оценкой () по формуле:

. (9)

или 4,8%.

Определим пределы удельного веса студентов с отметкой неудовлетворительно:

. (10)

,14 - 0,048 ≤ р ≤ 0,14 + 0,048

,092 ≤ р ≤ 0,188

,2% ≤ р ≤ 18,8%.

Ответ: с вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) можно гарантировать, что доля студентов с оценкой неудовлетворительно будет находиться в пределах от 9,2% до 18,8%. С вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) можно утверждать, что средний размер балла колеблется от 3,32 до 3,54.

Задание №4

Имеются данные о численности (среднесписочной) работников предприятия за 2000-2005 гг.:

Годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Численность работников (чел.)	1215	1100	1280	1320	1370	1440

На основе этих данных:

. Для анализа динамики численности работников предприятия за 2000-2005 гг. вычислите следующие показатели динамики:

.1. абсолютный прирост (на цепной и базисной основе);

.2. темпы роста и прироста (цепные и базисные);

.3. Средний абсолютный прирост и средний темп прироста.

Интенсивность развития ряда динамики изобразите графически.

. Произведите анализ общей тенденции развития численности работников:

.1. фактические и теоретические уровня ряда динамики нанесите на график;

.2. используя полученную модель, рассчитайте возможную численность работников в 2007 г.

Сделайте выводы.

Решение

Для анализа динамики используют абсолютное отклонение (абсолютный прирост), темпы роста и темпы прироста. Все эти показатели вычисляются двумя способами - цепным и базисным. При цепном способе каждый показатель сравнивается с показателем предыдущего периода, при базисном способе каждый показатель сравнивается с показателем самого первого периода. Абсолютное отклонение определяется вычитанием из величины отчетного периода величины прошлого периода. Темп роста определяется делением величины отчетного периода на величину прошлого периода и умножением на 100. Темп прироста определяется вычитанием из темпа роста 100%. Также рассчитывается абсолютное содержание 1% прироста делением цепного абсолютного прироста на цепной темп прироста.

Средний абсолютный прирост (∆ср) находится по формуле:

∆ср = ∑∆ц.с. / m, (11)

где ∑∆ц.с. - сумма абсолютных приростов, рассчитанных по цепному способу;

m - количество абсолютных приростов.

Найдем средний абсолютный прирост численности работников:

(-115+180+40+50+70)/5 = 45 чел.

Среднегодовой темп роста (Тр.ср) находится по формуле:

Тр.ср = Пn/П1 *100, (12)

где n - количество периодов;

Пn, П1 - соответственно показатели последнего и первого периодов.

Средний темп прироста определяется как разница между темпом роста и 100%.

Найдем средний темп роста:

.

Найдем средний темп прироста:

,5 - 100 = 3,5%.

Интенсивность развития численности работников представим на рисунке 2.

Рис. 2. Интенсивность развития динамики численности работников

Как видно из рисунка 2, в 2001 году было снижение численности работников, а затем постепенно произошел рост показателя вплоть до 2005 года.

Аналитическое выравнивание - метод выявление тенденции, когда уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: yt = f(t). Уравнение, которым выражается зависимость уровней динамического ряда от фактора времени t, называется уравнением тренда.

Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления.

Построим уравнение тренда методом аналитического выравнивания. Для этого исходные данные представим в виде таблицы 8.

Таблица 8. Расчет уравнения тренда для динамики численности работников предприятия

Годы        Численность работников, чел.(y)  t             t

yt

yt
2000	1215	1	1	1215	1146,4275
2001	1100	2	4	2200	1089,9985
2002	1280	3	9	3840	1259,2855
2003	1320	4	16	5280	1315,7145
2004	1370	5	25	6850	1372,1435
2005	1440	6	36	8640	1428,5725
ИТОГО	7725	21	91	28025	7612,142

Получаем уравнение типа:

yt = a0 + a1*t.

Для расчета параметров a0 и a1 решается следующая система нормальных уравнений:

na0 + a1∑t = ∑y∑t + a1∑t = ∑yt, (13)

где n - число показателей ряда динамики (в нашем случае их 6);

t - условное обозначение фактора времени порядковыми номерами;

y - фактические значения показателей (в нашем случае - численность работников).

В качестве расчетных параметров добавим в таблицу 4 графы 3 и 4. В графе 3 значения t возводим в квадрат, в графе 4 находим произведение yt. В систему нормальных уравнений подставляем данные итоговой строки, в которой предварительно произведем суммирование:

a0 + 21a1 = 7725 *3,5

a0 + 91a1 = 28025

Умножим каждый член первого уравнения на 3,5, а затем вычтем из второго уравнения первое:

a0 + 91a1 = 28025

a0 + 73,5a1 = 27037,5.

a0 + 17,5a1 = 987,5.

a1 = 56,429.

Подставим его значение в первое уравнение, чтобы рассчитать параметр a0:

a0 +21*56,429 = 7725.

a0 = 1089,9985.

Уравнение тренда примет вид:

Yt = 1089,9985 + 56,429t

Подставляя в него значения t для каждого года, найдем выровненные (теоретические) значения и занесем их в графу 5 таблицы 4. Например, для 2000 года (1-й год) получим:

,9985+56,429*1 = 1146,4275 чел.;

для 2001 года (2-й год) получим:

,9985+56,429*2=1202,8565 чел. и т.д.

Если расчеты сделаны правильно, то итог колонки 5 должен совпасть с итогом колонки 1, в нашем случае так и получилось (разница в цифрах получилась из-за сокращений при расчетах).

,9985 + 56,429*8 = 1541,4305 чел.

На рисунке 3 представим выровненные (теоретические) и фактические значения численности работников.

Рис. 3. Фактические и теоретические значения численности работников

Ответ: за 6 рассматриваемых месяцев численность работников в среднем возросла на 45 чел., или на 3,5%.

По годам наибольший прирост наблюдался в 2002 году по сравнению с 2001 годом в размере 16,4%, или 180 чел. В 2005 году за каждым процентом прироста «скрывалось» 13,7 чел., во всех остальных годах - меньше.

Была спрогнозирована численность работников на 2007 год с помощью аналитического выравнивания по прямой - 1541 чел.

Задание №5

Реализация продукта «Т» на рынках города характеризуется за два периода следующими данными:

Рынок	Модальная цена (руб. за 1 кг)		Количество (т)
	август	ноябрь	август	ноябрь
1	33,28	42,03	145	120
2	30,44	45,2	182	148
3	36,82	44,36	112	110
4	31,48	39,8	210	175

Определите:

1.  Индексы цен переменного и постоянного состава.

2.       Индекс влияния структурных сдвигов.

.        Прирост средней цены в абсолютных величинах - общий и за счет действия отдельных факторов.

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов. Сделайте выводы по полученным результатам.

Решение

Индекс цен переменного состава представляет собой отношение полученных средних значений:

. (14)

Получаемая величина характеризует изменение средней цены рассматриваемой продукции.

Для оценки воздействия на данное изменение структуры реализации продукции по разным объектам рассчитывается индекс структурных сдвигов:

. (15)

Индекс цен фиксированного состава не учитывает влияние структурных изменений:

. (16)

В таблице 11 представим вспомогательные данные для расчета.

Общий прирост средней цены () находится по формуле:

. (17)

Изменение средней цены под влиянием изменения структуры:

. (18)

Изменение средней цены под влиянием изменения цен на отдельных рынках:

. (19)

Совокупное влияние факторов на изменение средней цены:

 = . (20)

Таблица 9. Вспомогательные данные для расчета индексов

Рынок

Объём производства продукции, т

Цена продукции, руб. / кг

Объем реализации, тыс.руб.

  август ()ноябрь ()август

()ноябрь ()август

()ноябрь ()
1	145	120	33,28	42,03	4825,6	5043,6	3993,6
2	182	148	30,44	45,2	5540,08	6689,6	4505,12
3	112	110	36,82	44,36	4123,84	4879,6	4050,2
4	210	175	31,48	39,8	6610,8	6965	5509
Итого	649	553	-	-	21100,32	23577,8	18057,92

= 42,636/32,512 = 1,311.

= 32,654/32,512 = 1,004;

= 1,306.

= 10,124 руб.

= 0,142 руб.

руб.

Ответ: В среднем цена по рынкам за период повысилась на 31,1%. В целом по полученному значению индекса структурных сдвигов мы можем сделать вывод: за счет не сильных структурных сдвигов в объемах реализации продукции средняя цена увеличилась лишь на 0,4%, или на 0,142 руб., т.е. осталась практически неизменной. Индекс фиксированного состава составляет 1,306. Т.е., если бы структура реализации продукции по рынкам не изменилась, средняя цена повысилась бы на 30,6%., или на 9,982 руб. Влияние на цену структурных сдвигов было практически нулевое.

Задание №6

Имеется следующая информация о деятельности торгового дома за два периода:

Товарные группы	Продано товаров в сопоставимых ценах (тыс.руб.)		Среднее изменение цен (%)
	Январь	Март
А	1200	2300	+150
Б	800	1800	+250
В	650	1900	+190
Г	1200	2650	+165
Д	1300	2900	+130
Итого	5150	11550	-

Определите:

1.  Индивидуальные и общие индексы цен, физического объема, товарооборота; покажите их взаимосвязь.

2.       Прирост товарооборота в марте по сравнению с январем (общий и за счет действия отдельных факторов).

Сделайте выводы по полученным результатам.

Решение

Введем обозначения для формул:

1 и 0 как знаки в показателях - соответственно показатель отчетного и прошлого (базисного) периода;

р - цена;

q - количество продукции.

Индивидуальный индекс цены:

. (21)

Индивидуальный индекс количества:

. (22)

Индивидуальный индекс товарооборота:

. (23)

Взаимосвязь между индексами такая же, как и между показателями:

. (24)

Индивидуальные индексы цен найдем на основе процентного изменения цен:

группа А: (100+150)/100 = 2,5;

группа Б: (100+250)/100 = 3,5;

группа В: (100+190)/100 = 2,9;

группа Г: (100+165)/100 = 2,65;

группа Д: (100+130)/100 = 2,3.

Найдем товарооборот в действующих ценах марта, увеличив продажу товаров в сопоставимых ценах за март на индекс цен:

группа А: 2300 * 2,5 = 5750;

группа Б: 1800 *3,5 = 6300;

группа В: 1900 * 2,9 = 5510;

группа Г: 2650 * 2,65 = 7022,5;

группа Д: 2900 * 2,3 = 6670;

ИТОГО: 31252,5 тыс.руб.

Найдем индивидуальный индекс товарооборота делением товарооборота за март в действующих ценах на товарооборот за январь:

группа А: 5750 / 1200 = 4,792;

группа Б: 6300 / 800 = 7,875;

группа В: 5510 / 650 = 8,477;

группа Г: 7022,5 / 1200 = 5,852;

группа Д: 6670 / 1300 = 5,131.

Исходя из взаимосвязи индексов, рассчитаем индивидуальные индексы физического объема, разделив индивидуальные индексы товарооборота на индексы цен:

группа А: 4,792 / 2,5 = 1,917;

группа Б: 7,875 / 3,5 = 2,25;

группа В: 8,477 / 2,9 = 2,923;

группа Г: 5,852 / 2,65 = 2,208;

группа Д: 5,131 / 2,3 = 2,231.

Для расчёта общего (агрегатного) индекса цен может быть применена формула Пааше:

 (25)

= 2,706.

группировка интервал отклонение вариация

Индекс агрегатный физического объёма будет иметь вид:

. (26)

= 2,243.

Для расчета общего индекса товарооборота применяется формула:

. (27)

= 31252,5 / 5150 = 6,068.

 = * = 2,706 * 2,243 = 6,068.

Найдем влияние факторов на абсолютное изменение товарооборота.

Общее изменение стоимости (Δpq) находится по формуле:

Δpq = . (28)

Δpq = 31252,5 - 5150 = +26102,5 тыс.руб.

Изменение стоимости под влиянием изменения физического объема

(Δpq(q)): Δpq(q) = -. (29)

Δpq(q) = 11550 - 5150= 6400 тыс.руб.

Изменение стоимости под влиянием изменения цен

(Δpq(р)): Δpq(р) =  - . (30)

Δpq(р) =31252,5 - 11550 = 19702,5 тыс.руб.

Совокупное влияние факторов должно дать общее изменение стоимости:

Δpq(q) + Δpq(р) = Δpq. (31)

+ 19702,5 = 26102,5 тыс.руб.

Вывод: Как видно из расчетов, цены в среднем возросли на 170,6%, при этом физический объем увеличился на 124,3%. Общая сумма товарооборота возросла на 506,8%, или на 26102,5 тыс.руб. В том числе за счет увеличения физического объема - на 6400 тыс.руб., а под влиянием роста цен - на 19702,5 тыс.руб. Следовательно, основное влияние оказал рост цен на изменение товарооборота, что можно оценить отрицательно.

Задание №7

Имеются следующие данные о работниках предприятия:

Уровень образования	Уровень производительности труда
	высокий	низкий
Имеют образование по специальности	117 a	10 b
Не имеют образования по специальности	20 c	53 d

Для оценки тесноты связи между уровнем образования и уровнем производительности труда определите коэффициент ассоциации и сделайте выводы.

Решение

Коэффициент ассоциации определяет тесноту взаимосвязи пары признаков, измеренных по альтернативной номинальной шкале и подсчитывается по формуле:

, (32)

a, b, c, d - значения признаков в клетках матрицы сопряженности <#"540747.files/image078.gif">= 6001 / 6401 = 0,937.

Если коэффициент имеет положительный знак (+), то связь положительная, и, наоборот, при отрицательном знаке (-) - связь отрицательная.

По абсолютному значению коэффициента (от 0 до 1) оцениваем количественную меру связи:

если = 0 - корреляция отсутствует (данные факторы между собой нейтральны);

если 0,09 0,19 - статистическая взаимосвязь очень слабая;

если 0,2 0,49 - статистическая взаимосвязь слабая;

если 0,5 0,69 - статистическая взаимосвязь средняя;

если 0,70 0,99 - статистическая взаимосвязь сильная.

Т.о., на основании расчетного делается вывод о том, что между исследуемыми признаками существует слабая (средняя, сильная) положительная (отрицательная) связь.

Вывод: Получилось значение =0,937, следовательно, можно говорить, что между уровнем образования и уровнем производительности труда взаимосвязь сильная.

 

Задание №8

Рассчитайте парный коэффициент корреляции между объемом товарооборота и размером издержек обращения для магазинов №№ 5..10 и 20…29.

Таблица с данными

Номер магазина	Товарооборот (млн.руб.)	Издержки обращения (млн.руб.)
5	235	24,8
6	80	9,2
7	113	10,9
8	300	30,1
9	142	16,7
10	280	46,8
20	352	40,1
21	101	13,6
22	148	21,6
23	74	9,2
24	135	20,2
25	320	40,0
26	155	22,4
27	262	29,1
28	138	20,6
29	216	28,4

Решение

Выразим линейную форму зависимости в виде уравнения регрессии:

 (33)

Решить это уравнение можно при условии, что параметры и примут числовые значения. Их можно найти по следующей системе нормальных уравнений:

 (34)

где х - значения факторного признака, в нашем примере суммы товарооборота;

y - значения результативного признака - издержек обращения;

n - число парных значений факторного и результативного признаков = 16. Приступая к расчетам , исходные данные предварительно ранжируем (располагаем по возрастанию значений факторного признака - издержек обращения).

Таблица 10. Данные для составления уравнения регрессии

Номер п/п              Товарооборот, млн.руб. (х)            Издержки обращения, млн.руб. (y)             

5	235	24,8	55225	5828	29,117	615,04
6	80	9,2	6400	736	11,153	84,64
7	113	10,9	12769	1231,7	14,977	118,81
8	300	30,1	90000	9030	36,651	906,01
9	142	16,7	20164	2371,4	18,338	278,89
10	280	46,8	78400	13104	34,333	2190,24
20	352	40,1	123904	14115,2	42,677	1608,01	101	13,6	10201	1373,6	13,586	184,96
22	148	21,6	21904	3196,8	19,034	466,56
23	74	9,2	5476	680,8	10,457	84,64
24	135	20,2	18225	2727	17,527	408,04
25	320	40,0	102400	12800	38,969	1600
26	155	22,4	24025	3472	19,845	501,76
27	262	29,1	68644	7624,2	32,246	846,81
28	138	20,6	19044	2842,8	17,875	424,36
29	216	28,4	46656	6134,4	26,915	806,56
Итого	3051	383,7	703437	87267,9	383,7	11125,33

Итоговые данные граф 2-5 подставляем в систему нормальных уравнений (2):

16 *190,6875

 

Каждый член первого уравнения умножаем на 190,6875, и из второго вычитаем первое:

,4375= 14101,10625

Подставим значение  в первое уравнение и найдем параметр :

Уравнение регрессии примет вид:

Подставляя в него значения х, найдем выровненные значения . Так, при товарообороте 235 () выровненное значение издержек обращения составит:

И так далее подставляем все значения товарооборота.

Выровненные значения помещены в таблицу 1 в графу 6. Нужно, чтобы сумма выровненных значений была приблизительно равна сумме фактических значений результативного признака, в нашем случае так и есть.

Приступая ко второму этапу корреляционного анализа, определим коэффициент корреляции по формуле:

. (35)

Ведя расчеты по ней, пользуемся данными итоговой строки таблицы 10 и определяем:

;

Средние квадратические отклонения по признакам х и y найдем по формулам:

 (36)

где и - средние значение по x и y мы уже нашли.

Среднюю величину из квадратов переменных х рассчитываем по формуле:

Также найдем среднюю величину из квадратов переменных y:

Следовательно, средние квадратические отклонения будут равны:

Коэффициент корреляции составит:

Для качественной оценки тесноты связи можно воспользоваться таблицей (по шкале Чеддока):

Значение коэффициента корреляции	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика тесноты связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Как видно из расчетов, полученный нами коэффициент корреляции, равный 0,939, говорит о сильной связи между товарооборотом и издержками обращения. Следовательно, спрогнозировав товарооборот, можно будет получить и прогнозную сумму издержек обращения.

Ответ: полученный нами коэффициент корреляции, равный 0,939, говорит о сильной связи между товарооборотом и издержками обращения.

Список литературы

1. Башина О.Э. Общая теория статистики: Учебник - 5-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 440 с. 2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2006. -656 с.

. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 368 с.

. Минашкин В.Г., Козарезова Л.О. Основы теории статистики: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 144 с.

. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: учебник для вузов. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 408 с.

. Статистика: Учебник / под ред. В.С. Мхитаряна. - М.: Экономистъ, 2006. - 671с.