Задачи к экзамену по общей математике

Задачи к экзамену по общей математике

1. Задание 1

-процентный раствор некоторого вещества массой 7 кг смешали с 3 кг 20-процентного раствора этого же вещества. Рассчитайте процентную концентрацию получившегося раствора.

Решение:

1. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в каждом растворе:

В первом:  (кг).

Во втором:  (кг).

В общем: 2,1+0,6=2,7 (кг)

2. Рассчитаем общую массу раствора:

+3=10 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию получившегося раствора:

кг. - 100%

,7 кг - x %

%

Ответ: 27%.

2. Задание 1

В емкость, в которой находилось 5 кг раствора, добавили 2 кг 40-процентного раствора этого же вещества. Концентрация образовавшегося раствора 30%. Рассчитайте процентную концентрацию раствора, находившегося в емкости изначально.

Решение:

1. Рассчитаем общую массу раствора:

+2=7 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества в общем растворе:

кг - 100%

x кг - 30 %

 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого во втором растворе:

Ч0,4=0,8 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в первом растворе:

,1-0,8 =1,3 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию раствора, находившегося в емкости изначально:

5 кг. - 100%

,3 кг - x %

%

Ответ: 26%.

3. Задание 1

В емкость, в которой находилось 5 кг 28-процентного раствора, добавили 1 кг этого же вещества, но другой концентрации. В результате получился 30-процентный раствор. Рассчитайте процентную концентрацию раствора, который добавляли в емкость.

Решение:

1. Рассчитаем общую массу раствора:

+1=6 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества в общем растворе:

кг - 100%

x кг - 30 %

 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в первом растворе:

Ч0,28=1,4 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого во втором растворе:

,8- 1,4 =0,4 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию раствора, который добавляли в емкость:

1 кг. - 100%

,4 кг - x %

%

Ответ: 40%.

. Задание 1

-процентный раствор некоторого вещества массой 8 кг смешали с 5 кг 14-процентного раствора этого же вещества. Рассчитайте процентную концентрацию получившегося раствора.

Решение:

1. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в каждом растворе:

В первом: 8Ч0,4=3,2 (кг).

Во втором: 5Ч0,14=0,7 (кг).

В общем: 3,2+0,7=3,9 (кг)

. Рассчитаем общую массу раствора:

+5=13 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию получившегося раствора:

кг. - 100%

,9 кг - x %

%

Ответ: 30%.

5. Задание 1

В емкость, в которой находилось 8 кг раствора, добавили 2 кг 32-процентного раствора этого же вещества. Концентрация образовавшегося раствора 64%. Рассчитайте процентную концентрацию раствора, находившегося в емкости изначально.

Решение:

1. Рассчитаем общую массу раствора:

+2=10 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества в общем растворе:

кг - 100%

x кг - 64 %

 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого во втором растворе:

Ч0,32=0,64 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в первом растворе:

,4- 0,64 =5,76 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию раствора, находившегося в емкости изначально:

8 кг. - 100%

,76 кг - x %

%

Ответ: 72 %.

. Задание 1

В емкость, в которой находилось 5 кг 18-процентного раствора, добавили 2 кг этого же вещества, но другой концентрации. В результате получился 32-процентный раствор. Рассчитайте процентную концентрацию раствора, который добавляли в емкость.

Решение:

1. Рассчитаем общую массу раствора:

+2=7 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества в общем растворе:

кг - 100%

x кг - 32 %

 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в первом растворе:

Ч0,18=0,9 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого во втором растворе:

,24- 0,9 =1,34 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию раствора, который добавляли в емкость:

2 кг. - 100%

,34 кг - x%

%

Ответ: 67%.

7. Задание 1

-процентный раствор некоторого вещества массой 9 кг смешали с 4 кг 23-процентного раствора этого же вещества. Рассчитайте процентную концентрацию получившегося раствора.

Решение:

1. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в каждом растворе:

В первом: 9Ч0,62=5,58 (кг).

Во втором: 4Ч0,23=0,92 (кг).

В общем: 5,58+0,92=6,5 (кг)

. Рассчитаем общую массу раствора:

+4=13 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию получившегося раствора:

кг. - 100%

,5 кг - x %

%

Ответ: 50%.

8. Задание 1

В емкость, в которой находилось 5 кг раствора, добавили 4 кг 20-процентного раствора этого же вещества. Концентрация образовавшегося раствора 30%. Рассчитайте процентную концентрацию раствора, находившегося в емкости изначально.

Решение:

1. Рассчитаем общую массу раствора:

+4=9 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества в общем растворе:

кг - 100%

x кг - 35 %

 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого во втором растворе:

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в первом растворе:

,15- 0,8 =2,35 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию раствора, находившегося в емкости изначально:

5 кг. - 100%

,35 кг - x %

%

Ответ: 47%.

9. Задание 1

В емкость, в которой находилось 6 кг 14-процентного раствора, добавили 2 кг этого же вещества, но другой концентрации. В результате получился 30-процентный раствор. Рассчитайте процентную концентрацию раствора, который добавляли в емкость.

Решение:

1. Рассчитаем общую массу раствора:

+2=8 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества в общем растворе:

кг - 100%

x кг - 30 %

 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого в первом растворе:

Ч0,14=0,84 (кг).

. Рассчитаем массу сухого вещества, растворённого во втором растворе:

,4- 0,84 =1,56 (кг).

. Рассчитаем процентную концентрацию раствора, который добавляли в емкость:

2 кг. - 100%

,56 кг - x %

%

Ответ: 78%.

1. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -1,5

. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -16

3. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 6,5

. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 2,25

. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: - 14

. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 5,5

. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -3,5

. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: - 9.

9. Задание 2

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -5,5

1. Задание 3

Решите неравенство

Решение:

1. Найдем область определения переменной x:

x > 0

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

 - посторонний корень.

Ответ:

2. Задание 3

Решите неравенство

Решение:

2. Найдем область определения переменной x:

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

Ответ:

3. Задание № 3

Решите неравенство

Решение:

3. Найдем область определения переменной x:

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

 посторонний корень.

Ответ:

4. Задание № 3

Решите неравенство

Решение:

4. Найдем область определения переменной x:

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

 посторонний корень.

Ответ:

5. Задание 3

Решите неравенство

Решение:

5. Найдем область определения переменной x:

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

Ответ:

6. Задание 3

Решите неравенство

Решение:

6. Найдем область определения переменной x:

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

 посторонний корень.

Ответ:

7. Задание 3

Решите неравенство

Решение:

7. Найдем область определения переменной x:

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

 посторонний корень.

Ответ:

8. Задание 3

Решите неравенство

Решение:

8. Найдем область определения переменной x:

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

 - посторонний корень

Ответ:

9. Задание 3

Решите неравенство

Решение:

9. Найдем область определения переменной x:

. Приведем логарифмы к одному основанию и решим неравенство:

Ответ:

1. Задание № 4

Найдите  если  и .

Решение:

 - посторонний корень, т.к.

Ответ:

. Задание 4

В треугольнике АВС угол С равен 90°. АВ=12. . Найдите длину стороны АС.

Решение:

Ответ: 8

3. Задание № 4

Найдите  если  и .

Решение:

- посторонний корень, т.к.

Ответ:

. Задание 4

В треугольнике АВС угол С равен 90°. АВ=7. . Найдите длину стороны ВС.

Решение:

Ответ: 6,3

. Задание № 4

Найдите  если  и .

Решение:

 - посторонний корень, т.к.

Ответ:

6. Задание 4

В треугольнике АВС угол С равен 90°. ВС=8. . Найдите длину стороны АВ.

Решение:

 (по определению котангенса и условию)

 (по свойству прямоугольного треугольника)

Из пропорции найдем катет ВС

 (основное тригонометрическое тождество)

Ответ: 10

. Задание № 4

Найдите  если  и .

Решение:

 - посторонний корень, т.к.

Ответ:

. Задание 4

В треугольнике АВС угол С равен 90°. АВ=7. . Найдите длину стороны ВС.

Решение:

Ответ: 9

. Задание 4

Найдите  если  и .

Решение:

 - посторонний корень, т.к.

Ответ:

. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

1. Область определения:

а) дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0.

,

б) сам тангенс существует, когда косинус не равен 0, поэтому:

,

. Если дробь существует и равна нулю, то ее числитель равен 0.

 - посторонний корень (см. область определения)

,

Ответ: ,

. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

1. Область определения:

а) Дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0, а корень существует из неотрицательного числа, поэтому

,

. Дробь равна 0 если ее числитель равен 0.

Для решения уравнения выполним замену переменной. Пусть

 - посторонний корень, т.к. cos x не может быть больше 1

Выполним обратную замену:

Учитывая область определения ,

Ответ: ,

. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

2. Область определения:

а) Дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0, поэтому

,

. Дробь равна 0 если ее числитель равен 0.

Для решения уравнения выполним замену переменной. Пусть

Выполним обратную замену:

.

 - исключается областью определения;

2.

 - исключается областью определения;

Ответ: ,  ,

. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

1. Область определения:

а) Дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0, а корень существует из неотрицательного числа, поэтому

,

. Дробь равна 0, если ее числитель равен 0.

Для решения уравнения выполним замену переменной. Пусть

 - посторонний корень, т.к. cos x не может быть больше 1

Выполним обратную замену:

Учитывая область определения

,

Ответ:

. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

1. Область определения:

а) дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0.

,

б) сам тангенс существует, когда косинус не равен 0, поэтому:

,

. Если дробь существует и равна нулю, то ее числитель равен 0.

По формуле косинуса двойного угла , поэтому

 - посторонний корень (см. область определения)

,

Ответ:

,

. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

3. Область определения:

а) Дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0, поэтому

,

,

. Дробь равна 0, если ее числитель равен 0.

Для решения уравнения выполним замену переменной. Пусть

Выполним обратную замену:

.

 - исключается областью определения;

2.

 - исключается областью определения;

Ответ: ,  ,

. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

2. Область определения:

а) дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0.

,

. Если дробь существует и равна нулю, то ее числитель равен 0.

Или

  - исключается областью определения

Ответ:

8. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

4. Область определения:

а) Дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0, поэтому

,

. Дробь равна 0, если ее числитель равен 0.

Для решения уравнения выполним замену переменной. Пусть

Выполним обратную замену:

.

 - исключается областью определения;

.

Ответ:  

9. Задание 5

Решите уравнение

Решение:

5. Область определения:

а) Дробь существует, когда ее знаменатель не равен 0, поэтому

,

. Дробь равна 0, если ее числитель равен 0.

Для решения уравнения выполним замену переменной. Пусть

Выполним обратную замену:

.

 - исключается областью определения;

.

Ответ:  

1. Задание 6

В пространстве заданы точки

; ; .

Найдите угол между векторами  и  (вычислите и укажите в ответе косинус).

Решение:

Пусть ,

,

Тогда

Ответ: 0,6

2. Задание 6

Найдите расстояние от точки D₁(-1; -5;5) до плоскости δ, которая задана уравнением

x+2y-6z-39=0.

Решение:

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

Подставим вместо x₀, y₀, z₀ координаты точки D, а вместо a, b, c, d - коэффициенты прямой δ:

Ответ: 8

. Задание 6

В пространстве заданы точки ; ; . Найдите угол между векторами  и  и угол между ними (вычислите и укажите в ответе косинус).

Решение:

,

Тогда

Ответ: 0,5

. Задание 6

Найдите расстояние от точки R(3;-5;2) до плоскости ρ, которая задана уравнением x+18y-6z+23=0.

Решение:

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

Подставим вместо x₀, y₀, z₀ координаты точки R, а вместо a, b, c, d - коэффициенты прямой ρ:

Ответ: 4

. Задание 6

В пространстве заданы точки

; ;

Найдите угол между векторами  и ; (вычислите и укажите в ответе косинус).

Решение:

Пусть ,

,

Тогда

Ответ: - 0,6

. Задание 6

Найдите расстояние от точки F(-5;-1;2) до плоскости φ, которая задана уравнением 12x+4y-3z+31=0

Решение:

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

Подставим вместо x₀, y₀, z₀ координаты точки F, а вместо a, b, c, d - коэффициенты прямой φ:

Ответ: 3

. Задание 6

В пространстве заданы точки

; ;

Найдите угол между векторами  и  (вычислите и укажите в ответе косинус).

Решение:

Пусть ,

,

Тогда

Ответ: 0,9

. Задание 6

Найдите расстояние от точки M(-1;2;5) до плоскости μ, которая задана уравнением

x-7y+6z+45=0.

Решение:

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

Подставим вместо x₀, y₀, z₀ координаты точки M, а вместо a, b, c, d - коэффициенты прямой μ:

Ответ: 5

9. Задание 6

В пространстве заданы точки

; ; .  и . Найдите угол между векторами  и  (вычислите и укажите в ответе косинус).

Решение:

Пусть

,

,

Тогда

Ответ: 0,8

процент уравнение функция вероятность

1. Задание 7

Найдите точку минимума функции

Решение:

Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому

. Найдем производную функции y(x).

. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

 - исключается областью определения.

.        Исследуем знак производной в окрестностях точки .

В окрестностях точки  производная меняет знак с «-» на «+», значит это точка минимума функции.

Ответ: 0,5

. Задание 7

Определите участки монотонности функции

Решение:

Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому

. Найдем производную функции y(x).

2. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

3. Исследуем знак производной в окрестностях точек  

В окрестностях точки  производная меняет знак с «+» на «-», значит это точка максимума функции.

В окрестностях точки  производная меняет знак с «-», на «+», значит это точка минимума функции.

. Учитывая область определения, находим участки монотонности функции.

Функция убывает на интервале .

Функция возрастает на интервалах  и .

Ответ: Функция убывает на интервале  и возрастает на интервалах  и .

. Задание 7

Найдите максимальное значение функции  на интервале .

Решение:

Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому

. Найдем производную функции y(x).

. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

 - находится за пределами интервала .

. Исследуем знак производной в окрестностях точки .

В окрестностях точки  производная меняет знак с «+» на «-», значит это точка максимума функции.

. Наибольшее значение на интервале (0;2) функция достигает в точке максимума . Вычислим значение функции в точке

Ответ: -3.

. Задание 7

Определите участки монотонности функции

Решение:

Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому

. Найдем производную функции y(x).

. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

. Исследуем знак производной в окрестностях точек

В окрестностях точки  производная меняет знак с «+» на «-», значит это точка максимума функции.

В окрестностях точки  производная меняет знак с «-», на «+», значит это точка минимума функции.

. Учитывая область определения, находим участки монотонности функции.

Функция убывает на интервале .

Функция возрастает на интервалах  и .

Ответ: Функция убывает на интервале  и возрастает на интервалах  и .

5 Задание 7

Найдите точку максимума функции

Решение:

Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому

. Найдем производную функции y(x).

. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

. Исследуем знак производной в окрестностях точек

,

В окрестностях точки  производная меняет знак с «+» на «-», значит это точка максимума функции.

В окрестностях точки  производная меняет знак с «-», на «+», значит это точка минимума функции.

Ответ: 2,5

Задание 7

Найдите точку максимума функции

Решение:

Функция представляет собой дробь. Дробь существует, когда ее знаменатель отличен от 0. Поэтому область определения функции  можно найти, решив неравенство , 

Функция определена на интервалах  и . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому

. Найдем производную функции y(x).

. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

. Исследуем знак производной в окрестностях точек

В окрестностях точки  производная меняет знак с «+» на «-», значит это точка максимума функции.

В окрестностях точки  производная меняет знак с «-», на «+», значит это точка минимума функции.

Ответ: -1,2

. Задание 7

Найдите точку минимума функции

Решение:

Функция представляет собой дробь. Дробь существует, когда ее знаменатель отличен от 0. Поэтому область определения функции  можно найти, решив неравенство ,

Функция определена на интервалах  и . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому

. Найдем производную функции y(x).

. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

3. Исследуем знак производной в окрестностях точек  

В окрестностях точки  производная меняет знак с «+» на «-», значит это точка максимума функции.

В окрестностях точки  производная меняет знак с «-», на «+», значит это точка минимума функции.

. Вычислим минимальное значение функции

Ответ: 1

. Задание 7

Определите участки монотонности функции

Решение:

Функция определена на интервале . Для определения на ней участков монотонности найдем с помощью производной экстремумы функции.

. Найдем производную функции y(x).

. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

. Исследуем знак производной в окрестностях точек  

В окрестностях точки  производная меняет знак с «+» на «-», значит это точка максимума функции.

В окрестностях точки  производная меняет знак с «-», на «+», значит это точка минимума функции.

. Учитывая область определения, находим участки монотонности функции.

Функция убывает на интервале .

Функция возрастает на интервалах  и .

Ответ: Функция убывает на интервале  и возрастает на интервалах  и .

. Задание 7

Найдите точку минимума функции

Решение:

Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому

. Найдем производную функции y(x).

. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.

. Исследуем знак производной в окрестностях точек

В окрестностях точки  производная меняет знак с «+» на «-», значит это точка максимума функции.

В окрестностях точки  производная меняет знак с «-», на «+», значит это точка минимума функции.

. Вычислим минимальное значение функции

Ответ: 3,5

1. Задание 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

;;

Решение:

Для отыскания уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: , где заданной точкой А(x₀;y₀) будет точка касания. Угловым коэффициентом касательной является значение производной в точке x₀. Поэтому

. Найдем координаты точки касания:

А(3;16)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

. Задание 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

а) ;x₀=1;

Решение:

Для отыскания уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: , где заданной точкой А(x₀;y₀) будет точка касания. Угловым коэффициентом касательной является значение производной в точке x₀. Поэтому

. Найдем координаты точки касания:

А(1;3)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

3. Задание 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

а) ;x₀=9;

Решение:

Для отыскания уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении:

где заданной точкой А(x₀;y₀) будет точка касания. Угловым коэффициентом касательной является значение производной в точке x₀. Поэтому

. Найдем координаты точки касания:

А(9;50)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

4. Задание № 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

а) ;x₀=2;

Решение:

Для отыскания уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: , где заданной точкой А(x₀;y₀) будет точка касания. Угловым коэффициентом касательной является значение производной в точке x₀. Поэтому

. Найдем координаты точки касания:

, А(2;7)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

5. Задание 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

а) ; x₀= -2;

Решение:

Для отыскания уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: , где заданной точкой А(x₀;y₀) будет точка касания. Угловым коэффициентом касательной является значение производной в точке x₀. Поэтому

. Найдем координаты точки касания:

А(-2;10)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

. Задание 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

а) ;x₀=3;

Решение:

Для отыскания уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: , где заданной точкой А(x₀;y₀) будет точка касания. Угловым коэффициентом касательной является значение производной в точке x₀. Поэтому

. Найдем координаты точки касания:

А(3;-4)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

. Задание № 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

; x₀=6;

Решение:

. Найдем координаты точки касания:

А(6;25)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

. Задание 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

а) ;x₀=4;

Решение:

Для отыскания уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: , где заданной точкой А(x₀;y₀) будет точка касания. Угловым коэффициентом касательной является значение производной в точке x₀. Поэтому

. Найдем координаты точки касания:

А(4;-9)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

. Задание 8

Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

;x₀=3;

Решение:

Для отыскания уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: , где заданной точкой А(x₀;y₀) будет точка касания. Угловым коэффициентом касательной является значение производной в точке x₀. Поэтому

. Найдем координаты точки касания:

А(3;8)

. Найдем производную функции и вычислим ее значение в точке касания:

. Подставим вычисленные значения в исходную формулу:

Ответ:

1. Задание 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=1 x=6.

Решение:

Ответ: 4 кв.ед.

2. Задание № 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=2 x=3.

Решение:

Ответ: 9 кв.ед.

3. Задание 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=1 x=3.

Решение:

Ответ: 98 кв.ед.

4. Задание 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=2 x=3.

Решение:

Ответ: 13 кв.ед.

5. Задание 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=1 x=12.

Решение:

Ответ: 2 кв.ед.

6. Задание 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=1 x=2.

Решение:

Ответ: 27 кв.ед.

7. Задание 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=0 x=1.

Решение:

Ответ: 7,6 кв.ед.

8. Задание 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=2 x=4.

Решение:

Ответ: 111 кв.ед.

9. Задание 9

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: сверху

Снизу - осью абсцисс, а слева и справа прямыми x=5 x=11.

Решение:

Ответ: 2 кв.ед.

. Задание 10

По опыту прошлых лет известно, что вероятность того, что молодые специалисты, прибывшие на предприятие, будут способны к управленческой работе, равна 0,4. В этот раз прибыло 5 молодых специалистов. Какова вероятность, что двое из них будут способны к управленческой работе? (Ответ округлите до сотых).

Дано:

p=0,4=5=2

Найти:

P(A)

Решение:

Пусть А - событие двое из молодых специалистов будут склонны к административной работе

Ответ: 0,35

. Задание 10

В ходе тестирования испытуемому предлагают из 10 открыток выбрать 3 наиболее понравившиеся. Среди предлагаемых открыток 4 с пейзажами, а остальные с изображением животных. Какова вероятность, что очередной респондент выберет 2 открытки с пейзажами?

Дано:

n=10

m=4

k=2

Найти:

P(A)

Решение:

Пусть А - событие двое из молодых специалистов будут склонны к административной работе

Ответ: 0,3

. Задание 10

В лагерь отдыха прибыло 40 школьников. Среди них 28 - девочки. По документам 16 детей из этой группы имеют проблемы со зрением. Какова вероятность, что первым на медосмотр зайдет девочка с проблемой со зрением?

Дано:

n=40

m₁=28

m₂=16

Найти:

P(С)

Решение:

Пусть А - событие первой на медосмотр зайдет девочка

Пусть В - событие первым на медосмотр зайдет ребенок с проблемой со зрением

Тогда событие С - первой зашла девочка с плохим зрением

Ответ: 0,28

. Задание 10

Надежность показаний прибора 0,9. Снято 5 показаний. Какова вероятность, что 4 из них без погрешностей? (ответ округлите до тысячных).

Дано:

p=0,9

n=5

k=4

Найти:

P(A)   

Решение:

Пусть А - событие 4 из 5 показаний без погрешностей.

Ответ: 0,328

. Задание 10

В трудовом коллективе отделения 8 человек: 2 мужчин и 6 женщин. В командировку направляют 3 специалистов из этого отделения. Какова вероятность, что в эту группу будут назначены 2 женщины? Ответ представьте в виде обычной дроби).

Дано:

N = 8

M = 6

K = 2

Найти:

P(A)

Решение:

Пусть А - событие «двое из направляемых в командировку - женщины.

Ответ:

6. Задание 10

В группе 25 студентов. Среди них 18 - девушки. По итогам контрольной работы у 20 студентов из этой группы положительные результаты. Какова вероятность, что первой для разбора случайным образом будет взята тетрадь студентки с положительной оценкой?

Дано:

n=25

m₁=18

m₂=20

Найти:

P(С)

Решение:

Пусть А - событие «взята тетрадь студентки».

Пусть В - событие взята работа с положительным результатом

Тогда событие С - первой взята работа студентки с положительной оценкой за контрольную работу

Ответ: 0,576

7. Задание 10

Для написания реферата студент отобрал 8 книг: 5 - отечественных авторов и 3 - зарубежных. Но в библиотеке на руки выдают одновременно только 5 книг. Какова вероятность, что из 5 оставленных для получения книг будут 4 книги отечественных авторов ? (Ответ представьте в виде обычной дроби).

Дано:

n=8

m=5

k=4

Найти:

P(A)

Решение:

Пусть А - событие «4 из 5 - книги отечественных авторов»

Ответ:

. Задание 10

Для написания реферата студент отобрал 10 книг: 7 - отечественных авторов и 3 - зарубежных. Но в библиотеке на руки выдают одновременно только 5 книг. Какова вероятность, что все оставленные студентом для получения книги будут книги отечественных авторов ? (Ответ представьте в виде обычной дроби).

Дано:

n=8

m=5

k=4

Решение:

Пусть А - событие «4 из 5 - книги отечественных авторов»

Ответ:

9. Задание 10

Надежность показаний прибора 0,9. Снято 5 показаний. Какова вероятность, что все 5 показаний будут без погрешностей? (ответ округлите до сотых

Дано:

p=0,9

n=5

k=5

Решение:

Пусть А - событие 5 из 5 показаний без погрешностей.

Ответ: 0,59