Решение линейных уравнений в Microsoft Excel

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра «Информационные технологии»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»

Выполнила Корпенко К.С.

Гр. ЗБ-12

Проверил Иоффе Лев Аркадьевич

Гомель, 2011

Содержание

Введение

Раздел 1. Влияние компьютера на здоровье человека

Раздел 2. Определить корни уравнения в Microsoft Excel с точностью до шестого знака после запятой

Раздел 3. Решить систему линейных уравнений методом вычисления определителей и матричным способом в Microsoft Excel

Заключение

Литература

Введение

Главной целью работы является закрепление знаний, полученных на практических занятиях, выполнением контрольной работы средствами Microsoft Excel.

Раздел 1. Влияние компьютера на здоровье человека

Влияние компьютера на здоровье человека - одна из спорных тем, горячо обсуждаемых современными врачами. До сих пор не доказано его прямое вредное воздействие на человеческий организм. Существуют лишь определенные факторы, располагающие к возникновению проблем со здоровьем у людей, являющихся активными пользователями компьютеров.

Впрочем, при соблюдении правильного режима работ их вредоносное воздействие можно свести к минимуму.

Рассмотрим основные аспекты длительной работы за компьютером:

1.       Работающий за компьютером человек длительное время должен сохранять относительно неподвижное положение, что негативно сказывается на позвоночнике и циркуляции крови во всем организме (застой крови). Особенно сильно застой крови выражен на уровне органов малого таза и конечностей. При длительных нарушениях циркуляции крови <#"532505.files/image001.gif">

Рисунок 2.1 - График функции f(x) = 5x - 8ln(x) - 8

Для более точного нахождения корня уравнения может применяться метод половинного деления или метод дихотомии, основанный на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [a,b], такое, что f(a)×f(b)<0 , затем определяется знак функции на середине отрезка [a,b], в точке . Если он противоположен знаку функции в точке а, то корень локализован на отрезке [а, с], если же нет - то на отрезке [с,b]. Схема метода дихотомии приведена на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Алгоритм метода дихотомии можно записать так:

1.       Представить решаемое уравнение в виде (2.1).

2.       Выбрать а, b и вычислить

.        Если f(a)×f(b)<0, то а = a; b = с, иначе а = c; b = b.

.        Если критерий сходимости не выполнен (b-a)<e, то перейти к п. 2.

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности e количество вычислений n определяется условием, или n ~ log₂ => при исходном единичном интервале и точности 6 знаков (e ~ 10^-6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации (рисунок 2.4) этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

Рисунок 2.4 - Блок-схема метода половинного деления

Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:

а)

б)

в)

Рисунок 2.5 - Последовательность итераций метода дихотомии при поиске корней уравнения 5x-8ln(x)-1=0: а - на отрезке [0.5,1]; б - на отрезке [3.5,4]; в - режим отображения формул

Раздел 3: Решить систему линейных уравнений методом вычисления определителей и матричным способом в Microsoft Excel

матричный компьютер линейный уравнение

Систему линейных уравнений вида:

 (3.1)

Решением СЛАУ называется совокупность чисел x_i (i=1, 2, …, n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество.

Для решения СЛАУ:

 (3.2)

представим эту (3.2) систему в матричном виде: AX = B, где А - матрица коэффициентов системы уравнений, Х - вектор неизвестных и В - вектор правых частей.

В этом случае неизвестные x₁,x₂, x₃ и x₄ вычисляются по формуле:

,i=1, …, 4

Где ∆ - определитель матрицы A, ∆_i - определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

Методом Крамера (методом вычисления определителей).

Решение СЛАУ можно найти по формулам Крамера:

 (3.3)

где det А = |А| - определитель матрицы системы (главный определитель), det А_i = |A_i|

(i=1, 2, ..., n) - определители матрице, (вспомогательные определители), которые получаются из А заменой i-го столбца на столбец свободных членов В. Линейная алгебраическая система несовместна (не имеет решений), если det А = 0.

Рисунок 3.1 - Формирование вспомогательных матриц

Для Реализации этого метода в MS Excel:

.        введём матрицу А и вектор b на рабочий лист.

.        Сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рисунок 3.1).

.        Чтобы вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку H8 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B2:E5. (рисунок 3.2)

Рисунок 3.2 - Мастер функций

.        Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

H9=МОПРЕД(B7:E10),

H10=МОПРЕД(B12:E15),

H11=МОПРЕД(B17:E20),

H12=МОПРЕД(B22:E25).

В результате в ячейке H8 хранится главный определитель, а в ячейках H9:H12 - вспомогательные.

.        Воспользуемся формулами Крамера (3.3) и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку J9 введём формулу =H11/$H$8. Затем скопируем её содержимое в ячейки J10, J11 и J12.

Сделаем проверку решения, для этого подставим в нашу систему полученные значения:

.        В ячейку L9 вводим формулу =B2*$J$9+C2*$J$10+D2*$J$11+E2*$J$12. Затем копируем её содержимое в ячейки L10, L11 и L12, получившиеся в результате вычислений ответы совпали с ответами в исходном примере - Система решена верно.

Рисунок 3.3 - Результаты вычислений СЛАУ методом Крамера

Матричный способ решения СЛАУ.

Этот способ достаточно прост. Обе части матричного равенства АХ = В умножим слева на обратную матрицу А^-1:

^-1AX = A^-1B.

Так как A^-1A = Е , где Е - единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы), то решение системы= A^-1В.

То есть для решения системы необходимо найти для матрицы А обратную A^-1 и умножить ее справа на вектор-столбец В свободных членов.

Рассмотрим решение системы (3.2) матричным способом.

.        Введём матрицу А в ячейки B28: E3.

.        Ячейки диапазона G28: G31 заполняем значениями правых частей уравнений системы (b):

.        В ячейке B33 чтобы вычислить определитель матрицы А, вызываем Мастер функций и в категории Математические щелкнем на имени функции мопред, которая возвращает величину определителя матрицы. Откроется диалоговое окно Аргументы функции для функции мопред. В поле Массив указываем диапазон ячеек G28: G31.

.        Выделяем диапазон ячеек E33:E36, предназначенный для отображения найденного решения.

.        Поместим курсор в строку формул и вызовем Мастер функций. Выбираем функцию МУМНОЖ, которая возвращает результат умножения матриц и заполняем диалоговое окно Аргументы функции следующим образом:

.        Завершите ввод формулы не традиционным щелчком на кнопке OK, а комбинацией клавиш Ctrl Shift Enter. Нажимать их следует последовательно и не отпускать 1-2 секунды, пока не зафиксируется одновременное нажатие всех трех клавиш. Фрагмент электронной таблицы, реализующей решение, приведен на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 - Результаты вычислений СЛАУ матричным способом

Для проверки результатов выполните умножим матрицы коэффициентов при неизвестных системы А на столбец со значениями найденного решения X. В результате должен получиться столбец чисел, отличающихся от значений вектора b на величину погрешности расчета или совпадающих с этими значениями.

.        Выделяем диапазон ячеек G33:G36 и вводим в строку формул

.        = МУМНОЖ(B28:E31;E33:E36) и нажмите комбинацию клавиш Ctrl Shift Enter.

.        Введенная формула преобразуется к виду {=МУМНОЖ(B28:E31;E33:E36)}, а на рабочем листе появится результат проверки решения системы уравнений. Как видно на рисунке 3.4 система уравнений (3.2) решена правильно.

Заключение

Закрепили знания, полученные на практике, выполнив задания контрольной работы:

ответили на теоретический вопрос;

определили корни уравнения в Microsoft Excel с точностью до шестого знака после запятой;

Решили систему линейных уравнений методом вычисления определителей и матричным способом в Microsoft Excel.

Литература

1.       Гунн Г.Е. Компьютер: как сохранить здоровье : Рекомендации для детей и взрослых, СПб.: Нева; М. : Олма-Пресс, 2003

.        Как сохранить и улучшить зрение : Сб. М. : КРОН-ПРЕСС, 1995

.        Беляев А.А. Частная неврология, СПб. : Лань, 2002

.        Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Математика и информатика» для студентов специальности 230500 «Социально-культурный сервис и туризм»

. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Математика и Информатика» РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ EXCEL. А.Г.Пимонов., М.А.Тынкевич.

. Учебно-методическое пособие для студентов безотрывной формы обучения специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ. Л.А.Иоффе, Т.Л.Шинкевич, Т.А.Голдобина. Гомель-2010

. Морозевич,А.Н. Основы экономической информатики: учеб.пособие/-Мн.:БГЭУ, 2006

. Леонтьев,В.П. Новейшая энциклопедия Интернет/-М.:ОЛМА-ПРЕСС, 2003

. Левчук,Е.А. Технологии организации, хранения и обработки данных:учеб.пособие-2-е изд.-Мн.:Выш.шк.,2005

. Цырлин,М.И. Основные требования к оформлению пояснительных записок курсовых и дипломных проектов(работ):учеб.-метод.пособие- Гомель: БелГУТ,2007.