ni
|
M i
|
ni
|
Mi
|
ni
|
M i
|
ni
|
M i
|
ni
|
M i
|
0,03
|
1,65
|
0,39
|
1,47
|
0,79
|
1,19
|
1,13
|
0,82
|
1,42
|
0,39
|
0,09
|
1,61
|
0,48
|
1,42
|
0,87
|
1,12
|
1,19
|
0,74
|
1,47
|
0,29
|
0,15
|
1,59
|
0,56
|
1,38
|
0,94
|
1,05
|
1,25
|
0,65
|
1,53
|
0,19
|
0,22
|
1,56
|
0,64
|
1,31
|
1,01
|
0,97
|
1,31
|
0,56
|
1,59
|
0,09
|
0,31
|
1,51
|
0,72
|
1,25
|
1,07
|
1,37
|
0,47
|
1,65
|
0
|
В данной курсовой работе необходимо найти аппроксимирующую
зависимость скорости расхода воздуха M в косозубом шестеренном пневмодвигателе К3М от
числа оборотов вала n в безразмерных величинах.
Для того чтобы выбрать аналитическую зависимость, нужно
построить график эмпирических данных по таблице 2 (рис. 2).
Рис. 2. График зависимости таблично заданных значений Mi и ni.
По положению точек можно выбрать вид аналитической
зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами
известных кривых.
Проанализировав полученный график, можно сделать вывод, что
подходящим видом зависимости будет являться: линейная и полиноминальная второй
степени, так как графики этой функции похожи на кривую зависимости
экспериментальных данных.
1. Расчетные формулы
1.1
Метод наименьших квадратов
В любую аналитическую формулу входят постоянные коэффициенты,
величина которых существенно влияет на вид функции и на её значение.
Следовательно, в нашем случае коэффициенты, будут переменными параметрами, и
функция запишется в общем виде:
(1.1)
где - подбираемые коэффициенты, Mi - i-ые значения расхода воздуха, n - число оборотов вала.
Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов
отклонений найденной теоретической функции от заданных эмпирических значений
будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов таким образом (т.е. в выборе одной кривой
из множества), чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.
(1.2)
где - коэффициенты аппроксимации,
Для того чтобы найти набор коэффициентов , при которых достигается минимум функции S, определяемой формулой (1.1), используем необходимое
условие экстремума функции нескольких переменных равенство нулю частных
производных.
Таким образом, нахождение коэффициентов , сводится к решению системы:
(1.3)
Если коэффициенты входят линейно, то система дифференциальных уравнений в частных
производных преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Эта
система может быть решена любым методом: методом Гаусса, матричным методом, по
формулам Крамера и т.д.
Конкретный вид системы (1.3) зависит от того, из какого класса
эмпирических формул мы ищем зависимость (1.1).
В случае линейной аппроксимации формула (1.2) примет вид:
Возьмем две частные производные первого порядка и приравняем их к
нулю. Система уравнений (1.3) примет вид:
Разделим уравнения на 2 и раскроем скобки:
Вынесем неизвестные и за знак суммы, так как они не зависят от
индекса «i», и перенесем слагаемые, не содержащие
неизвестных, в правую часть. Окончательно получим систему линейных
алгебраических уравнений с двумя неизвестными и :
(1.4)
В случае квадратичной аппроксимирующей зависимости, вида (1.1.1), выполнив аналогичные
преобразования, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с
тремя неизвестными и :
(1.5)
1.2
Оценка статистических параметров системы
Напомним некоторые статистические оценки. Наблюдаемые
значения величин ni, Mi можно рассматривать как выборочные значения двух случайных
величин n
и M. По выборочным данным
можно найти выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения n и M, а также выборочный
коэффициент корреляции, а именно:
(1.6)
(1.7)
Для вычисления можно применить и более простые формулы, которые выводятся в
курсе теории вероятностей с помощью простых алгебраических преобразований:
(1.8)
(1.9)
Здесь - выборочные средние величин n, M; - выборочные квадратичные отклонения
величин n, M; r - выборочный коэффициент корреляции.
Известно, что линейное уравнение (1.5), называемое в статистике
уравнением линейной регрессии, проходит через точку , а коэффициент a2,
называемый в статистике коэффициентом регрессии, связан с коэффициентом
корреляции r. Имеют место следующие соотношения:
(1.10)
, (1.11)
Коэффициент корреляции характеризует меру линейной связи между
величинами n, M и может принимать значения в пределах от -1 до 1. Чем ближе к
единице | r |, тем теснее линейная связь между n, M. Если | r | = 1, то M линейно
зависит от n, т.е. выполнено соотношение:
Mi=a1+a2ni,
поэтому ошибка представления эмпирических данных равна 0.
1.3
Оценка точности аппроксимации
аппроксимация excel точность формула
Мера ошибки при аппроксимации функции в соответствии с данным
выше определением равна:
.
С целью оценки относительной погрешности при аппроксимации функции
рассматривают величину суммарной погрешности по отношению к общему разбросу
данных. Общий разброс данных складывается из отклонений теоретических значений
от среднего и эмпирических значений от теоретических. Вводятся обозначения:
(1.12)
(1.13)
, (1.14)
В случае линейной функции получим:
(1.15)
В случае квадратичной функции:
(1.16)
По аналогии легко написать формулу для вычисления ошибки
аппроксимации функцией любого вида.
Отметим, что для аппроксимирующей функции, линейной относительно
параметров, верно:
Относительная ошибка аппроксимации есть отношение
.
Величина
(1.17)
называется коэффициентом детерминированности и характеризует меру
точности аппроксимации табличных данных. Если h2 =
1, то ошибка аппроксимации равна 0 и теоретические значения совпадают с эмпирическими.
2. Расчеты, выполненные в Microsoft Excel
Для того, чтобы получить коэффициенты для записи систем
уравнений (1.4) и (1.5), произвели расчеты в Microsoft Excel. Результаты
вычислений приведены в таблице (Приложение 1).
Таблица составлена следующим образом:
Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения .
Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения .
Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.
Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.
Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.
Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.
Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.
Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.
Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.
Последующие шаги сделаны с помощью автосуммирования .
Шаг 11. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ (A2:A26).
Шаг 12. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ (B2:B26).
Шаг 13. В ячейку C27вводим формулу =СУММ (C2:C26).
Шаг 14. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ (D2:D26).
Шаг 15. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ (E2:E26).
Шаг 16. В ячейку F27вводим формулу =СУММ (F2:F26).
Шаг 17. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ (G2:G26).
Аппроксимируем функцию линейной функцией . Определим коэффициенты и . Используя итоговые суммы таблицы 2,
расположенные в ячейках A26, B26, C26 и D26, запишем систему:
решив которую, получим и .
Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид:
График этой функции представлен в разделе 3. (рис. 3.1)
Результаты решения системы представлены в таблице 2.1.
Таблица 2.1. Решение системы для линейной аппроксимации
В таблице 2.1 в ячейках A32:B33 записана формула {=МОБР
(A28:B29)}.
В ячейках E32:E333 записана формула {=МУМНОЖ (A32:B33, C28:C29)}.
Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Определим коэффициенты , и . Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26,
B26, C26, D26, E26, F26 и G26 запишем систему:
решив которую, получим , и .
Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид:
График квадратичной аппроксимации
представлен в разделе 3 (рис 3.2)
Таблица 2.2. Решение системы для квадратичной аппроксимации
В таблице 2.2 в ячейках A41:C43 записана формула {=МОБР
(A36:C38)}.
В ячейках F41:F43 записана формула {=МУМНОЖ (A41:C43,
D36:D38)}.
Вычислим среднее арифметическое и по формулам:
Результаты расчета и представлены в таблице 2.3.
Таблица 2.3. Расчет среднего арифметического
В ячейке B54 записана формула =A26/25.
В ячейке B55 записана формула =B26/25.
Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и
коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде
таблицы.
Таблица составляется следующим образом:
Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$B$54)*(B1-$B$55).
Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.
Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$B$54)^2.
Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.
Шаг 5. В ячейку L2вводим формулу =(B2-$B$55)^2.
Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.
Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($E$32+$E$33*A2-B2)^2.
Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.
Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу
=($F$41+$F$42*A2+$F$43*A2^2-B2)^2.
Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования
Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ (J2:J26).
Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ (K2:K26).
Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ (L2:L26).
Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ (M2:M26).
Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ (N2:N26).
Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции (только для
линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности. Результаты расчетов
представлены в таблице 2.4.
Таблица 2.4. Расчеты коэффициента корреляции и коэффициента
детерминированности
В таблице 2.4 в ячейке B57 записана формула
=J26/(K26*L26)^(1/2).
В ячейке B58 записана формула =1 - M26/L26.
В ячейке B59 записана формула =1 - N26/L26.
Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная
аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.
3. Построение графиков в Excel
Представим графическую интерпретацию полученных уравнений,
сравнив их с эмпирическими данными.
3.1
Линейная аппроксимация
Построение графика линейной аппроксимации, имеющей вид:
Рис. 3.1. График линейной аппроксимации
3.2
Квадратичная аппроксимация
Построение графика квадратичной аппроксимации, имеющее вид:
Рис. 3.2. График квадратичной аппроксимации
3.3
Построение прямой линии тренда
Строим график исходной эмпирической функции. Затем для
построения линии тренда выполним следующие действия: выделяем на диаграмме ряд
полученных точек и правой кнопкой мыши вызываем контекстное меню, выбираем
команду - Добавить линию тренда. В диалоговом окне команды выбираем тип
«линейная» и параметры: «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на
диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)».
Рис. 3.3. График линейной аппроксимации
3.4
Построение квадратичной линии тренда
Выполняется аналогично пункту 3.3, но на вкладке «Тип»
выбираем тип «Полиномиальная» и степень аппроксимирующего полинома равной 2.
Рис. 3.4. График квадратичной аппроксимации
Полученные при построении линии тренда значения коэффициента
детерминированности для всех зависимостей совпадают с истинными значениями
(Табл. 2.4). Это указывает на то, что вычисления верны.
4. Расчёты в Mathcad
В математическом пакете MathCAD реализовано несколько
различных возможностей определения оптимальных коэффициентов для выбранного
вида уравнения регрессии с использованием специальных функций.
4.1
Решение задачи в Mathcad стандартными средствами
Ввод данных произведен в векторном виде. (Приложение 4)
Вычисление коэффициентов линейной функции a и b:
Используем встроенные функции slope и intercept для
определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация данных прямой
линией). Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция
intercept - точку пересечения графика с вертикальной осью.
Рис. 4.1. График линейной аппроксимации
Вычисление коэффициентов квадратичной функции:
Теперь попытаемся подобрать полиномы второй степени, в
качестве аппроксимирующей функции. Для этих целей служат встроенные функции
regress и interp. Функция regress является вспомогательной, она подготавливает
данные, необходимые для работы функции interp. Извлечение субматрицы из матрицы
производится при помощи функции submatrix. Функция length указывает на число
элементов в векторе k.
Квадратичная аппроксимирующая зависимость будет иметь вид:
Рис. 4.2. График квадратичной аппроксимации
4.2.
Решение задачи в Mathcad с помощью функции linfit
Функция linfit, которая определяет оптимальные значения
коэффициентов для выбранной функции.
Для проверки значений коэффициентов, я выбрал квадратичную
функцию, так как она точнее определяет зависимость между заданными величинами.
В результате вычислений, представленных ниже коэффициенты,
вычисленные в MathCAD, совпали с данными Excel, что говорит о правильности расчетов.
Воспользовавшись ранее введенными данными, провел необходимые
вычисления:
Рис. 4.3. Квадратичная аппроксимация
Значит, квадратичная функция имеет вид:
.
Заключение
В ходе данной курсовой работы были рассмотрены различные виды
аппроксимаций функции.
В результате проведенных расчетов, можно сделать вывод о том,
что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает эмпирические данные,
т.к. коэффициент детерминированности квадратичной аппроксимации R2=0,999 выше, чем
коэффициент детерминированности линейной R2=0,9526, поэтому мы
выбираем её в виде аппроксимирующей функции как более подходящую.
Вычисления независимых расчётов сходятся, следовательно, -
расчёты верны. В результате получились следующие формулы:
.
Библиографический список
1. Методические
указания по выполнению курсовой работы для студентов специальностей 150402 и
150404: Санкт-Петербургский горный институт им Г.В. Плеханова, 2010 г.
2. Очков
В.Ф. Mathcad для студентов и инженеров. - М.: КомпьютерПресс, 1999.