Обобщение и систематизация способов построения степенных функций во множестве рациональных, действительных и в поле комплексных чисел

Оглавление

Введение

1. Различные способы аналитического построения степенных функций

§1. Степенная функция с целым показателем

п.1 С натуральным показателем

п.2. Степенная функция с отрицательным целым показателем

§2. Функция корня

п.1 Функция арифметического корня

п.2 Функция корня при  - нечетном

п.3 Степенная функция с положительным рациональным показателем

п.4 Степенная функция с отрицательным рациональным показателем

§3. Степенная функция с действительным показателем

§4. Степенная функция с комплексным показателем

§5. Разложение степенной функции в биноминальный ряд

п.1 Производная степенной функции

п.2 Разложение степенной функции в биноминальный ряд

2. Описание электронного пособия и фондовых лекций

§1. Структура электронного пособия

Заключение

Литература

Введение

Понятие степенной функции возникло свыше 400 лет назад и имело практическую значимость. Понятия второй и третьей степени появилось в связи с определением площади квадрата и объема куба. Вавилоняне составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел.

Степенная функция играла важную роль в исследовании и развитии математики. Например, Декарт пользовался параболой, которая являлась графиком квадратичной функции для решения уравнения четвертой степени. Кубическую параболу французский математик, отец начертательной геометрии Г. Монж, использовал для построения действительных корней кубических уравнений.

Необходимость изучения степенной функции обнаруживалась как в самой математике, так и в ее приложениях в других науках и в технической практике. Например, кубическая парабола применяется на железнодорожных линиях, а квадратичная функция используется при строительстве шоссейных дорог на неровной местности в связи с вычислением площадей поперечных сечений насыпей и выемок. Аналогичные расчеты проводили строители при определении площади поперечного сечения, которая также зависит от глубины канала и рельефа местности.

Скорость равномерного движения выражается линейной функцией от времени движения: , а путь - квадратичными функциями:   и . Зная эти функции, можно еще до запуска ракеты определить скорость ее движения и высоту, на которой она будет находиться в любой момент ее движения.

В самой математике со степенной функцией приходится встречаться при изучении многих вопросов причем, не только в алгебре, но и в геометрии, особенно при решении задач.

степенная функция электронное пособие

Вот почему степенная функция изучается в курсе высшей математики особенно подробно. Рассматриваются различные способы аналитического построения степенной функции, но все же некоторые вопросы остаются неосвещенными.

Таким образом, целью данной курсовой работы является систематизация и обобщение основных способов построения степенных функций как во множестве рациональных и действительных чисел, так и в поле комплексных чисел.

Объектом исследования являются элементарные функции.

Предметом исследования являются степенные функции.

В ходе выполнения данной курсовой работы преследовались следующие задачи:

. Обобщение и систематизация основных способов построения степенных функций как во множестве рациональных и действительных чисел, так и в поле комплексных чисел.

. Особое внимание уделить функциям с рациональным показателем, а именно, функциям арифметического корня, функции корня при n - нечетном, а также функции с дробным положительным рациональным показателем.

. Исследование построения степенных функций с помощью разложения в ряд Маклорена и, как обобщение, биноминального ряда.

При решении этих задач использовались разнообразные методы исследования: анализ литературы по высшей математике, работ по истории математики, учебников и учебных пособий.

Практическая значимость исследования состоит в том, что:

. Разработан теоретический минимум по теме "Степенная функция" в виде электронного конспекта.

. Создано электронное пособие, содержащее обширный материал по вопросам данной темы, которые не рассматриваются в курсе высшей математики некоторых математических вузов, либо изучаются поверхностно.

Электронный конспект фондовых лекции может быть использован в учебном процессе для его усовершенствования и организации самостоятельной работы студентов.

Представленное электронное пособие может быть полезно студентам математического факультета, учителям математики для проведения факультативов в средних общеобразовательных школах, а так же уроков в классах (школах) с углубленным изучением математики.

Историческая справка. Развитие понятия степени. Символы и термины. Понятие степени, возникшее свыше 400 лет назад и первоначально означавшее произведение конечного числа равных сомножителей (степень с натуральным показателем). На протяжении веков неоднократно обобщалось и обогащалось по содержанию. Понятия второй и третьей степени числа появились, возможно, в связи с определением площади квадрата и объема куба. Вавилоняне составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел. Название квадраты и кубы для второй и третьей степени чисел древнегреческого происхождения. У Диофанта имеются специальные названия для первых шести натуральных степеней неизвестного, образованные комбинациями слов "дюнамис" (квадрат) и "кюбос" (куб) на основе аддитивного принципа. У него даны специальные названия и места первых отрицательных степеней неизвестного. Индийские ученые оперировали степенями с натуральными показателями до девяти включительно, называя их с помощью комбинации трех слов: "ва" (вторая степень, от слова "варга"-квадрат), "гха" (третья степень от "гхана"-тело, куб) и "гхома" (слово, указывающее на сложение показателей). Применялся мультипликативный принцип как основной: "ва-гха", например, означало шестую степень (2*3), "ва-ва-ва" - восьмую, "ва-гха-гхама" - пятую (2+3). Следует отметить, что до XVI века понятие степени относилось обычно не к числу вообще, а лишь к неизвестным в уравнениях. Средневековые математики, писавшие на арабском языке, решая уравнения, нередко исходили из квадрата неизвестного , называя его "мал" (имущество); само неизвестное называлось "жидр" (вообще, корень растения, а в данном случае - квадратный корень из ). При переводе на латынь в XII в. неизвестное стали называть res (вещь) или radix (корень), квадрат неизвестного - census (имущество), а позже potentia (сила, вероятно, прямой перевод диофантова дюнамис). Термин "степень" и есть перевод слова potentia. С тех пор и сохранился термин корень уравнения в смысле решения [3].

Как известно, итальянские математики пользовались термином cosa (по - итальянски - вещь) для обозначения неизвестного.

В 1494 году в Италии появилась одна из первых печатных книг по математике - "Сумма (знаний) по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" Луки Пачали. В ней неизвестное обозначается co (cosa), вторая его степень - ce (censo), третья - cu (cubo) и т.п. Эти обозначения были использованы и замечательным итальянским математиком Тармалья и проникли даже в Германию. Под влиянием итальянских математиков находился французский ученый Никола Шюке, живший в XV веке в Лионе, где находилось много эмигрантов из Италии. Шюке внес большой вклад в алгебру, и разработал ряд целесообразных символов для обозначения степени, предвосхитив в известной мере достижения ученых XVII века. Так, например, он писал … вместо современных …, явно вводя таким образом понятие показателя степени [3].

В конце XVI в.С. Стевин выражение  записал так: 3 (3) +5 (2) - 4 (1) +6.

Ученик Стевина - голландский математик Альберт Жирар в своей книге "Новое изобретение в алгебре" (1629) пишет (2) 17 вместо нашего . Современная запись  была введена Декартом в его "Геометрии" (1637).

Декарт не пользовался показателем для записи второй степени, т.е. записывал aa вместо . Лейбниц же применял знак , считая, что упор должен быть сделан на унификацию символики [3].

1. Различные способы аналитического построения степенных функций

§1. Степенная функция с целым показателем

п.1 С натуральным показателем

Степенной функцией с натуральным показателем  называют функцию

, где . (1)

Определение этой функции общеизвестно  для  и  для .

Из самого её определения следует, что при любом натуральном k

 и .

Функция  определена на всей числовой оси [9].

а) Пусть  - нечётно, то есть , тогда функция  - нечётная.

Если , то , а потому график функции  проходит через начало координат (рис.1) [4].

Исследуем функцию  на монотонность.

Вначале проведём это исследование на полусегменте  [9].

Пусть  имеем:

.

Так как , то , а так как  и , то и , следовательно, , то есть функция (1) монотонно возрастает на полусегменте  [4].

Поскольку функция  нечётная, то на полусегменте   монотонно возрастает, так как если , то .

Функция  непрерывна на всей числовой оси, как  - непрерывных функций .

По теореме о бесконечно больших функций функциях получаем, что  и  [2].

б) Пусть  - чётно, то есть .

Тогда функция  - чётная функция. Очевидно также, что при чётном   не принимает отрицательных значений.

Если , то , следовательно, график функции проходит через начало координат (рис.2.).

Эта функция строго возрастает при , так как при  имеем: .

А на полуоси  функция строго убывает, так как если , то .

Функция  непрерывна на всей числовой прямой, как произведение  - функций , непрерывность которых уже доказана [4].

По теоремам о бесконечно больших функциях получаем, что  и .

п.2. Степенная функция с отрицательным целым показателем

Степенной функцией с целым отрицательным показателем называют функцию, где (2)

Для  выражение  не определяют, так что областью определения функции (2) является совокупность двух интервалов  и  [9].

а) Пусть  - нечётное,.

Функция  непрерывна на всей числовой прямой, исключая точку0.

Как и в случае натурального показателя  нечётна.

Так как при положительных  и  из неравенства  следует неравенство , то на интервале  функция (2) монотонно убывает. Отсюда в свою очередь следует, что в интервале  функция монотонно убывает, то есть функция строго убывает на области определения, при этом , ,  и  [4].

б) Пусть  - четное, .

Тогда функция непрерывна на всей области определения, исключая точку 0.

Функция  чётна, то есть она неотрицательна для всех  из области определения.

При положительных  и  из неравенства  следует, что на интервале  функция монотонно убывает. А в интервале  функция монотонно возрастает, так как при  следует неравенство .

При этом, , ,  и  [2].

§2. Функция корня

п.1 Функция арифметического корня

По доказанному выше функция

  (3)

монотонна на  и, следовательно, имеет обратную функцию  [4].

Так как функция  на полусегменте  принимает, очевидно, лишь неотрицательные значения, то отсюда следует, что и у функции, обратной к (3), и область определения, и множество значений есть полусегмент .

Эту обратную функцию обозначают  и называют арифметическим корнем  - ой степени из .

Из определения обратной функции следует, что , то есть, что , и, значит,  есть число,  - ая степень которого равна подкоренному числу , а для любого  [9].

График функции , получается из графика функции , отражением относительно прямой  (рис.5).

Этот график, как и график функции y, проходит через начало координат. Кроме того, поскольку , то и  [2].

Заметим, далее, что так как функция (1) монотонно возрастает на , то и обратная ей функция  монотонно возрастает в своей области определения, то есть также на .

Выясним теперь, можно ли построить функцию, обратную функции  и в области отрицательных значений .

Если  - четное число, то функция  принимает одни лишь неотрицательные значения и вопрос о построении такой функции отпадает, так что, если при четном  записью  представлена функция, обратная к (1), то в этой записи, по необходимости,  [9].

Для любых натуральных значений  и  при  верно равенство

. (4)

В самом деле, в силу свойств степеней с натуральным показателем .

При  справедливо равенство

. (5)

Чтобы доказать это равенство, достаточно заметить что  - е степени обеих частей равны , причем обе части равенства (5) неотрицательны.

Если , а  - четное число, обе части равенства (5) определены, но равенство уже может не иметь места. Дело в том, что при нечетном  и четном  в области  имеем , но . Поэтому вместо равенства (5) следует писать в этом случае

 (6)

в такой форме оно верно для любых .

Вместо  пишут также .

Равенства (1) - (3) принимают вид:

 [2].

Отметим также некоторые свойства арифметического корня.

. В соответствии с определением арифметического корня для всех  верны равенства  и .

. , при .

. , при .

. .

Действительно, в соответствии с определением арифметического корня корнем -ой степени из числа  называется такое число, -ая степень которого равна , то есть =, если .

Пусть левая часть записанного равенства представляет собой корень -ой степени из числа .

Обозначим левую часть равенства за . Если возведем  в степень  и получим в результате , то данное свойство будет доказано.

Возведем правую часть равенства, то есть  в  - ую степень .

На основании первого свойства арифметического корня выражение в прямоугольных скобках есть , то есть , следовательно, , значит,  есть корень  - ой степени из .

Остается доказать, что , так как по условию арифметического корня , то  - в целой степени , где .

. , где .

Действительно,  уже доказано, докажем . Рассмотрим , тогда .

Если , то  можно переписать следующим образом, воспользовавшись правилом возведения в степень при целых показателях, можно записать , то есть  является , то есть , но , значит, .

п.2 Функция корня при  - нечетном

При нечетном  функция , рассмотренная на интервале , монотонна уже во всем этом интервале, причем,  при , поэтому теперь она имеет обратную функцию с областью определения . Эту функцию также обозначают через

 (7)

и называют корнем  - ой нечетной степени из .

Множество значений этой функции есть также интервал ; она будет, как и функция , монотонно возрастающей в  [9].

График рассматриваемой функции является зеркальным отражением графика функции  в 1-ой и 2-ой координатной плоскости [2].

Отметим также же, что при любом натуральном  и , очевидно .

п.3 Степенная функция с положительным рациональным показателем

Определим функцию  для дробного положительного рационального показателя .

Любое рациональное положительное число  может быть (и притом единственным образом) представлено в виде частного двух взаимно простых натуральных чисел  и , то есть . Исходя из этого, по определению полагают:

 ₍8).

При таком определении каждому , при котором  существует, сопоставляется единственное число , и, следовательно, здесь  есть функция от . Её и называют степенной функцией с положительным рациональным показателем (степенная функция с целым положительным показателем может быть рассмотрена как частный случай () функции (8), и оговорка, что рациональный показатель  является дробным, излишне) [9]. Для степеней с рациональными показателями справедливы все свойства степеней с рациональными показателями:

.

.

. ;

.

. .

Установим область определения функции (8). При нечётном , функция (7) определена на , поэтому при нечётном  и функция (8) имеет областью существования . Если же  - чётное число, то прежде всего  - нечётно (иначе дробь  была бы сократимой). Но функция (7) при чётном  определена только при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, в (8) должно быть , или, что то же ( - нечётно) , то есть при чётном , область существования функции (8) есть полусегмент .

Отсюда , так как в противном случае в силу монотонности степенной функции было бы , что противоречит (*).

В частности, при любом натуральном

.

При чётном  (-нечётно) функция (8) является чётной: , а при нечётном  и нечётном  - нечётной: .

Исследуем теперь  на монотонность. Вначале проведём это исследование на . Выше было показано, что функция  при натуральном  монотонно возрастает на , так, что если , то при  и . Но функция  (только обозначением аргумента отличающаяся от функции ) монотонно возрастает на , поэтому при  и , или , то есть  при , и, значит,  монотонно возрастает на .

Если  чётно, то функция (8) определена только на этом полусегменте, и поэтому при чётном  дальнейшего исследования этой функции на монотонность проводить не нужно. Пусть теперь  нечётно. Тогда функция (8) определена и на . И можно проводить дальнейшее исследование на монотонность.

Если и  чётно, то, по доказанному выше, функция (8) нечётна и значит, монотонно возрастает и на полусегменте , если же  чётно, точно, также по доказанному выше, эта функция чётна и, следовательно, монотонно убывает на .

Легко понять теперь, что при  чётном и  чётном функция (8) не монотонна в , тогда как при  нечётном и  нечётном она монотонно возрастает во всём интервале .

На рисунке изображены графики функций  для чётных значений .

Рассмотрели степенную функцию с положительным рациональным показателем .

п.4 Степенная функция с отрицательным рациональным показателем

Если теперь  есть отрицательное рациональное число, то под снова будем понимать по определению функцию .

Положим, , где  взаимно простые натуральные числа. Функция  определена всюду, где определена функция , кроме точки , и поэтому имеет своей областью существования интервал  при четном  и совокупность двух интервалов  при нечетном .

 на интервале  монотонно убывает, а на интервале  (-нечётное) монотонно возрастает при четном  и монотонно убывает при . Рассмотрим еще случай , но тогда степенная функция принимает вид: . При  такая функция не определена, а для остальных значений аргумента она тождественно с функцией , а потому её свойства слишком просты, чтобы на них стоило останавливаться.

Эта функция при любом рациональном  монотонна на : монотонно возрастает при  и монотонно убывает при  [9].

§3. Степенная функция с действительным показателем

Пусть  - произвольное вещественное число. Определим общую степенную функцию

Из определения степенной функции следует, что при  она представляет собой возрастающую, а при  убывающую функцию.

Рассмотрим предельное значение степенной функции при . Докажем, что

Действительно, пусть  - любая сходящаяся к нулю справа последовательность значений аргумента . Так как , то из свойств показательной функции вытекает, что  при  и  при . Естественно положить теперь  при  и считать это выражение неопределенным при .

Докажем непрерывность степенной функции в любой точке  положительной бесконечной полупрямой . Для этого достаточно установить, что эта функция непрерывна в каждой точке  указанной полупрямой слева и справа. Докажем, например, непрерывность этой функции в точке  слева (непрерывность справа доказывается аналогично). При этом ради определённости будем считать . Обратимся к формуле . Пусть  - любая сходящаяся слева к  последовательность значений аргумента степенной функции, так что . Так как логарифмическая функция непрерывна, то последовательность где , сходится к , причем, все элементы  отличны от  (в самом деле, поскольку при  логарифмическая функция возрастает, то справедливо неравенство ). В силу непрерывности показательной функции последовательность  сходится к . Иными словами, последовательность, представляющая собой последовательность  значений степенной функции, соответствующую последовательности , сходится к , то есть, к . Непрерывность степенной функции в точке  слева доказана. Аналогично доказывается непрерывность этой функции в точке  справа. Но непрерывность функции в точке  слева и справа означает, что функция непрерывна в этой точке. Отметим, что если , то степенная функция  непрерывна также и в точке .

Замечание. Отметим, что если показатель  степенной функции представляет собой рациональное число , где  - нечетное целое число, то степенную функцию  можно определить на всей числовой оси, полагая для  , если  и , четное,

, если  и , нечётное.

§4. Степенная функция с комплексным показателем

Рассмотрим функцию:

 (9)

где  есть натуральное число, большее единицы. Функция, обратная этой, есть

 (10)

Функция  имеет производную, отличную от нуля во всякой конечной точке плоскости, кроме начала координат. Следовательно, во всякой такой точке сохраняются углы при отображении с помощью функции .

Посмотрим, как ведёт себя наша функция в окрестности нулевой точки. Для этого введём полярные координаты: , после чего равенство (9) даст:

. (11)

Из второго равенства (11) видно, что углы в нулевой точке не сохраняются, а увеличиваются в  раз. Конформизм углов нарушается и в бесконечно удалённой точке плоскости , потому, что функция  в окрестности  совпадает с данной функцией. Точки 0 и будут точками разветвления функции .

Особенность точек 0 и , а также название их точками разветвления будут ещё более ясным, если мы заметим, что каждой точке плоскости , кроме этих двух, соответствует  различных точек плоскости . Из соотношений (11) видно, что окружности с центром в нулевой точке плоскости переменного  переходят на плоскости  тоже в окружности ; полупрямым, выходящим из нулевой точки , будут соответствовать тоже полупрямые .

Возьмём на плоскости переменного  угол, величиной , образуемый положительной действительной осью и полупрямой, выходящей из нулевой точки рис.10. этот угол  с помощью функции (9) отобразиться на всю плоскость переменного , разрезанную на положительной полуоси рис.11. Действительно, при  угол ; при  угол .

Рассмотрим теперь некоторые простейшие отображения, связанные с функцией . Совершенно ясно, что эта функция даёт возможность отобразить угол величины  рис.12., на верхнюю полуплоскость рис.13.

Зададимся задачей отобразить полукруг с центром в нулевой точке радиуса единицы на верхнюю полуплоскость. Сначала отобразим отрезок от - 1 до +1 в положительную действительную полуось так, чтобы точке - 1 соответствовала точка 0, а точке +1 - точка . В качестве отображающей функции можно взять:

_{. (}12)

Легко видеть, что, действительно, такая функция удовлетворяет требуемым условиям, так как при изменении  от - 1 до +1 функция  пробегает, возрастая, все значения от 0 до

Посмотрим, во что эта функция будет переводить полуокружность. Имеем:

. (13)

Когда точка  пробегает полуокружность от 1 до - 1, то  меняется от 0 до  значит,  будет изменяться по положительной мнимой полуоси. Заметим, что когда точка описывает полуокружность в положительном направлении рис.14, то область полукруга остаётся слева. Из предыдущих формул (12) и (13) нетрудно видеть, каково будет направление соответствующего обхода на плоскости .

На нашем чертеже рис.14 оно обозначено стрелками. Так как отображенная область должна находиться также слева при обходе переменным  полуоси  и полуоси , то отсюда заключаем, что наш полукруг с помощью функции (12) отобразится на координатный угол плоскости  рис.15. Для того, чтобы преобразовать полученный координатный угол в верхнюю полуплоскость, нужно взять: .

Итак, искомая функция напишется таким образом:

 (14)

Как отобразить сектор с углом равным , радиуса единица на верхнюю полуплоскость? Очевидно, что функция  будет переводить этот сектор в полукруг. Этот же последний с помощью уже знакомой нам функции (14) мы можем отобразить на верхнюю полуплоскость. Таким образом, искомая функция есть

 (15)

Как отобразить область, заключённую между двумя пересекающимися под углом  окружностями на верхнюю полуплоскость? Обозначая через и  вершины данного двуугольника рис.16., берём линейную функцию

 (16)

Эта функция переведёт точку  в точку 0, точку  в . Следовательно, одну дугу окружности линейная функция (16) переведёт в один луч, выходящий из нулевой точки, другую дугу окружности в другой луч, составляющий с первым угол , так как функция (16) в точке  имеет производную, отличную от нуля. Остаётся отобразить угол, ограниченный двумя только что упомянутыми лучами, на полуплоскость. Это мы умеем делать. Итак, искомая функция имеет вид

. (17)

Степенная функция может быть определена следующим видом

. (18)

Она определена для всякого комплексного  и любого комплексного . В силу многозначности  степенная функция (18) многозначна. Каждому значению независимой переменной , как правило, соответствует счетное множество значений степени . Если в правой части (18) брать определённую ветвь , то будем получать соответствующую ветвь степенной функции.

 (19)

В частности, если взять главное значение логарифма (k = 0), то получим главное значение степени :

.

Отдельные ветви степенной функции, то есть однозначные функции (19), являются регулярными функциями на плоскости с разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси, так как их можно там дифференцировать по обычному правилу.

Общее определение степенной функции указывает на то, что эта функция бесконечнозначна. Однако некоторые частные виды степенной функции являются функциями однозначными или же многозначными, но не бесконечнозначными, как следовало бы из (18). Например, известно, что функция , где  - натуральное, одночлена, так как она получается независимой переменной  с помощью однозначного действия умножения. Функция многозначна, но известно, что каждому значению  отвечает ровно  различных значений. Выясним, как эти известные факты получаются из общего определения (18).

а) Пусть . Исходя из определения (18), получаем:

полученное выражение не содержит  и, следовательно, функция  однозначна.

б) Пусть . В силу определения (18) получаем:

 (20)

,

то есть пришли к тому же числу, которое уже было получено при .

Так же значение суммы в скобках при  совпадает с там значением, которое было при  и так далее. Если , то получим:

то есть то же число, которое уже было при ; при , получим то же число, которое уже было при , и так далее.

Итак, формула (11) даёт для каждого  ровно  различных значений функции, которые получаются, например, при .

При всех , отличных от  и , где  и  целые, формула (18) определяет бесконечнозначную функцию [1].

§5. Разложение степенной функции в биноминальный ряд

п.1 Производная степенной функции

Для начала найдём производные от некоторых простейших функций. Пусть .

Имеем

то есть, производная  есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо  - линейная функция и скорость её изменения постоянна.

Если , то

Пусть , тогда

легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции  при . Докажем, что и вообще производная от  при любом целом положительном показателе  равна .

Имеем

Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:

.

Значит, .

В правой части последнего равенства стоит сумма  слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому

 [4].

Итак, степенная функция  при целом положительном имеет производную, равную .

При  из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.

Докажем, что этот результат верен и для любого показателя , например,

.

Логарифмируем функцию , считая :

.

Дифференцируя, получим , откуда .

Если , то для тех показателей степени, при которых функция определена, её можно записать в виде , дифференцируя полученное выражение как сложную функцию, снова придём к доказываемой формуле.

Таким образом, производная степенной функции , где -любое вещественное число, равна показателю степени , умноженному на степень аргумента с показателем, меньшим на единицу, то есть .

п.2 Разложение степенной функции в биноминальный ряд

Разложим в ряд Маклорена функцию , где  - любое действительное число.

Последовательно находим:

При  имеем:

.

Таким образом,

,

где остаточный член может быть определён по интегральной формуле

.

Приняв во внимание, что в нашем случае , можем написать:

.

Применив к интегралу теорему о среднем и, обозначив, через , где , значение  лежащее между 0 и , и удовлетворяющее теореме о среднем, получим:

 (21)

Так как по признаку Д’Аламбера , а следовательно, ряд сходится абсолютно при  и расходится при , остаётся показать, что остаточный член  при стремится к нулю.

Множитель  в формуле (21), есть произведение трёх величин, из которых две ограничены, а третья - стремится к нулю, при . Поэтому, .

Таким образом, разложение

 ₍22)

имеет при всех значениях , удовлетворяющих условию .

Если  - целое положительное число, то ряд заканчивается на члене  и превращается в известную формулу бинома Ньютона. В общем случае, разложение (22) даёт обобщение бинома Ньютона для любого действительного показателя . В этом общем случае разложение (22) называется биноминальным рядом.

Частные случаи биноминального ряда:

 [4].

2. Описание электронного пособия и фондовых лекций

В настоящее время активно разрабатываются компьютерные инструментальные средства для ведения учебных занятий. Практически по всем направлениям учебных дисциплин создаются электронные пособия. Которые являются в большей степени инструментом обучения и познания, и его структура и содержание зависят от целей его использования.

Поэтому и было создано электронное пособие по теме "Различные способы аналитического построения степенных функций".

В электронном пособии рассматриваются различные способы аналитического построения степенных функций, а именно, исследуются различные способы их построения во множестве рациональных, действительных и комплексных чисел, а так же с помощью биноминального ряда. Особое внимание уделяется функциям с рациональным показателем и функции арифметического корня.

При запуске программы электронного пособия появляется заставка с названием соответствующей темы. Заставка через несколько секунд становится невидимой, а на экране отображается главное меню. Главное меню состоит из опций, соответствующих названиям параграфов. Опции, рядом с которыми помещён значок "+", имеют подпункты, появляющиеся при щелчке мышкой по этому значку. Выход из программы осуществляется по нажатии кнопки "выход".

§1. Структура электронного пособия

Электронное пособие по теме "Различные способы аналитического построения степенных функций" содержит все структурные единицы, указанные в требованиях к подобным средствам обучения.

1. Титульный экран. Титульный экран содержит название пособия.

. Оглавление. Оглавление достаточно подробно обеспечивает оперативный доступ к сравнительно небольшим содержательным частям электронного пособия и является максимально обозримым, то есть находится на одном экране. Кроме того, оглавление позволяет:

переходить к любой части электронного пособия;

закончить работу;

возвратиться к титульному листу;

обратиться к списку литературы.

Электронное пособие содержит следующие разделы.

§1. Степенная функция во множестве рациональных чисел

.1Степенная функция с натуральным показателем

.2 Степенная функция с отрицательным целым показателем

1.3 Степенная функция с рациональным показателем

§2. Степенная функция во множестве действительных чисел с произвольным показателем

§3. Биноминальный ряд

.1 Производная степенной функции

.2 Биноминальный ряд. Формула Ньютона

§4. Степенная функция в поле комплексных чисел

Литература

. Полное изложение учебного материала (необходимое условие создания хорошего электронного пособия), а именно текста, графиков, таблиц, иллюстраций. На каждой странице пособия в явном виде представлены только текст, небольшие графические элементы, вставленные непосредственно в текст, а так же элементы управления процессом изучения материала.

Все графические составляющие размещены непосредственно по контексту.

. Список авторов оформлен на отдельной странице.

Программа имеет удобный интерфейс, который позволяет при изучении теории обратиться к конкретному примеру или помощи при рассмотрении примера обратиться к теории и помощи для данного примера, возможность в любой момент перейти к следующему виду, прохождение теста или выход из программы.

Кроме электронного пособия еще представлен электронный конспект фондовых лекции, который набран в двух вариантах в текстовом редакторе “Word" - стандартным (14-м) шрифтом и более крупным (36-м). Первый вариант предназначен непосредственно для работы студентов вуза в компьютерном зале. Второй вариант конспекта предназначен преподавателям для визуализации материала во время чтения лекций, что облегчит работу при проведении аудиторных занятий.

Данное учебное пособие и электронный конспект фондовых лекции могут быть полезны студентам математического факультета, учителям математики для проведения факультативов в средних общеобразовательных школах, а так же уроков в классах (школах) с углубленным изучением математики.

Заключение

В курсовой работе представлена теоретическая часть, соответствующая учебной программе математических вузов, в виде электронного конспекта фондовых лекций и электронное пособие по теме "Степенная функция".

Во время выполнения курсовой работы был обобщен и систематизирован материал, содержащий основные способы построения степенных функций как во множестве рациональных и действительных чисел, так и в поле комплексных чисел. Особое внимание уделено функциям с рациональным показателем, а именно, функциям арифметического корня, функции корня при n - нечетном, а также функции с положительным рациональным показателем и исследованию построения степенных функций с помощью разложения в ряд Маклорена и, как обобщение, биноминального ряда.

На основании систематизации материала были созданы электронный конспект лекций и электронное пособии, содержащее обширный материал по вопросам данной темы, которые не рассматриваются в курсе высшей математики некоторых математических вузов, либо изучаются поверхностно.

Электронный конспект лекции и электронное пособие могут быть использованы в учебном процессе для самостоятельной работы учащихся, и служить хорошим подспорьем в подготовке к практическим занятиям, коллоквиуму и экзамену, что повышает уровень знаний у учащихся.

Материал курсовой работы будет полезен преподавателям при подготовке к практическим и лекционным занятиям, а также студентам желающим расширить и систематизировать свои знания по теме "Степенные функции".

Литература

1. Бохан И.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа Том II: Учеб. пособие. - М.: Просвещение, 1965. - 380 с.

. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С. Математический анализ. Часть I: Введение в анализ. - М.: Просвещение, 1973. - 270 с.

. Глейзер Г.И. История математики. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1983 - 137 с.

. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ: Учеб. пособие. - Мн.: Высш шк., 1990. - 428 с.

. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа Часть 1. - М.: Наука, 1971. - 440 с.

. Калинин И.А. Электронный учебник // Математика в школе. 2000. №8.75 - 76 с.

. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Учеб. для вузов. Изд.14-е, стер. - М.: Высш. Шк., 1999. - 432 с.

. Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства в курсе математики средней школы. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1972 - 143 с.

. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. Том I. - М.: Просвещение, 1966. - 325 с.3.

. Вулих А.Г. Математический анализ. - М.: 1982. - 310с.

. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебное пособие для студентов вузов. В 2-х томах. Том 1. - М.: Высшая школа, 1988. - 712с.: ил.

. Немыцкий В.А. Курс математического анализа. - СП.: 1996. том 1. - 180с.

. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления - М.: Просвещение, 1969. - 613 с. Том 2.