Обработка статистической информации о надежности линии привода 3-го формирующего ролика 1-й моталки
Обработка статистической
информации о надежности исследуемого объекта
Первое, что необходимо иметь - это
документ, в котором зарегистрированы моменты отказов оборудования. Виды таких
документов рассмотрены в первой главе пособия.
Такой документ будем называть
первичной статистической совокупностью. Рассмотрение и осмысление такого
документа затруднительно с целью представить себе характер распределения.
Первый шаг к осмыслению материала -
это его упорядочение, расположение в порядке возрастания значений наработок.
Полученный ряд будем называть упорядоченной статистической совокупностью. По
упорядоченной статистической совокупности уже можно построить статистическую
функцию распределения.
Характерной особенностью работ при
проведении испытаний на надежность в процессе эксплуатации изделий является
повышенная опасность грубых ошибок. Для статистической информации о надежности
сравнительна высока вероятность попадания в выборку аномальных реализаций либо
как результат ошибки, например в фиксации момента отказа, либо как результат
ошибки при классификации отказов.
Исходные данные:
Вариант №4
Линия привода 3-го формирующего
ролика 1-й моталки.
Наработки, сут.:
14,8,8,7,9,36,75,41,70,48,22,15,18,8,23,57.
1. Упорядочение
исходной выборки наработок до отказа
Упорядочим исходную выборку:
,8,8,8,9,14,15,18,22,23,36,41,48,57,70,75
N=16 шт.
Проверка принадлежности
необычайно малой или большой наработки к исходной выборке может быть
осуществлена с помощью F-распределения
для заданного уровня значимости 
и фактического числа
наработок (табл. 1 прил.) [1]
Если выполняется равенство
(1.1)
то наработка необычно
малая и не должна приниматься во внимание.
Если выполняется
равенство
(1.2)
то наработка необычно
большая и ее следует отбросить,
где r - число наработок до отказа;
tmin
- минимальное значение наработки;
tmax
- максимальное значение наработки.
Процентили F-распределения находятся из табл. 1 прил. [1]
В соответствии с
формулой (1.1) находим:
выборка статистический экспоненциальный распределение
Из табл. 1 прил. для =0,05
Следовательно, наработка
до отказа t1 = 7 сут. не является необычно малой и ее нельзя исключать из
выборки.
По формуле (1.2)
находим:
По табл. 1 прил. для =0,05
[1]
Вывод - наработка t = 75 сут. не является необычно большой и ее нельзя исключать из
выборки.
2.
Проверка статистических гипотез
2.1 Проверка
статистической гипотезы о соответствии экспоненциальному распределению
Для проверки статистической гипотезы
наиболее мощным является критерий Бартлетта:
, (2.1)
где 
-
оценка средней наработки до отказа;
r
- число наработок до отказа;
ti
- значение i-той наработки.
Все вычисления сведем в
таблицу:
Таблица 1
|
N
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
|
|
 7
|
8
|
8
|
8
|
9
|
14
|
15
|
18
|
22
|
23
|
36
|
41
|
48
|
57
|
70
|
75
|
28,7
|
-
|
|
|
 2
|
2,1
|
2,1
|
2,1
|
2,2
|
2,6
|
2,7
|
2,9
|
3,1
|
3,2
|
3,6
|
3,7
|
3,9
|
4
|
4,2
|
4,3
|
-
|
48,6
|
|
Выполняется условие:
;
где 
для
заданного уровня значимости , числа отказов r находится из табл. 5 прил., следовательно гипотеза о
принадлежности выборки к экспоненциальному распределению не отвергается.
Проверку можно осуществить и с
помошью критерия Пирсона:
, (2.2)
где 
-
теоретическая частота, 
-
число интервалов.
Все вычисления сведем в
таблицу:
Таблица 2
|
1-12
|
12-24
|
24-36
|
36-48
|
48-60
|
60-75
|
|
|
|
 5
|
5
|
1
|
2
|
1
|
2
|
|
|
|
 0.31
|
0,31
|
0,0625
|
0,125
|
0,0625
|
0,125
|
|
|
|
 0.14
|
0,14
|
0,06
|
0,0077
|
0,06
|
0,0077
|
0,425
|
|
Число интервалов - 
.
Протяженность интервалов
- 
.
Теоретическая частота - 
Для 
и
к-2=6-2=4 по табл. 5 прил. находим - 
Так как соблюдается
неравенство:
,
то гипотеза о
принадлежности выборки к генеральной совокупности, описываемой экспоненциальным
распределением, не отвергается.
2.2 Проверка
статистической гипотезы о ее соответствии распределению Вейбулла
Возможность принадлежности исходной
выборки к распределению Вейбулла проверяем по критерию «S-статистика»:
, (2.3)
где 
-
весовой коэффициент, значения которого берутся из табл. 4 прил. [1]
- означает, что берется
целая часть числа.
Вычисления сведем в
таблицу:
Таблица 3
|
N
|
  
|
|
|
|
|
|
|
1
|
7
|
1,9
|
0,47
|
1,03
|
0,46
|
6,5
|
|
2
|
8
|
2,1
|
0
|
0,535
|
0
|
|
|
3
|
8
|
2,1
|
0
|
0,4
|
0
|
|
|
4
|
8
|
2,1
|
0
|
0,3
|
0
|
|
|
5
|
9
|
2,2
|
0,12
|
0,24
|
0,5
|
|
|
6
|
14
|
2,6
|
0,44
|
0,21
|
2,07
|
|
|
7
|
15
|
2,7
|
0,06
|
0,19
|
0,31
|
|
|
8
|
18
|
2,9
|
0,2
|
0,18
|
1,06
|
|
|
9
|
22
|
3,1
|
0,2
|
0,17
|
1,16
|
|
|
10
|
23
|
3,13
|
0,04
|
0,17
|
0,24
|
|
|
11
|
36
|
3,6
|
0,46
|
0,17
|
2,7
|
|
|
12
|
41
|
3,7
|
0,12
|
0,18
|
0,7
|
|
|
13
|
48
|
3,9
|
0,16
|
0,19
|
0,80
|
|
|
14
|
57
|
4,04
|
0,17
|
0,23
|
0,73
|
|
|
15
|
70
|
4,25
|
0,07
|
0,33
|
0,2
|
|
|
16
|
75
|
4,32
|
|
|
Из табл. 5 прил. для q=0.9 и r=16 находим: 
Следовательно гипотеза о
принадлежности выборки к распределению Вейбулла не отвергается.
2.3 Проверка
статистической гипотезы о соответствии выборки нормальному или логарифмически
нормальному распределению
Проверка осуществляется с
использованием критерия Пирсона:
, (2.4)
Осуществим разбиение на
интервалы:
.
.
Вычисление теоретических
частот сведем в таблицу:
Таблица 4
Границы интервалов Середина
интервалов 
|
  
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1-12
|
6
|
 -1,17
|
-0,50
|
-0,38
|
0,3
|
0,31
|
|
|
2
|
12-24
|
18
|
-1,17
|
-0,59
|
-0,38
|
-0,22
|
0,14
|
0,06
|
|
3
|
24-36
|
30
|
-0,59
|
0
|
-0,22
|
0
|
0,06
|
0,06
|
|
4
|
36-48
|
42
|
0
|
0,59
|
0
|
0,22
|
0,19
|
0,25
|
|
5
|
48-60
|
54
|
0,59
|
1,17
|
0,22
|
0,38
|
0,9
|
0,12
|
|
6
|
60-75
|
68
|
1,17
|
 0,38
|
0,5
|
0,5
|
0,19
|
|
из табл. 5 прил.
Определим критерий
согласия Пирсона:
Следовательно, гипотеза
о принадлежности исходной выборки к нормальному распределению отвергается.
3.
Оценивание параметров распределений
3.1 Аналитические методы
получения точечных оценок
Экспоненциальное
распределение
Для получения точечной
оценки параметра 
экспоненциального
распределения используют статистику:
при плане [NUN]
. (3.1)
Распределение Вейбулла
Для получения точечных
оценок параметров «а» и «b»
распределения Вейбулла используются статистики при плане [NUN]:
; 
;
(3.2)
Вычисление параметров
«а» и «b» по формулам (3.2) сведем в таблицу:
Таблица 5
|
N
|
   
|
|
|
|
|
|
|
1
|
7
|
1,9
|
0.017
|
0,033
|
-0.043
|
-0,08
|
|
2
|
8
|
2,1
|
0.022
|
0,046
|
-0.046
|
-0,1
|
|
3
|
8
|
2,1
|
0,056
|
-0.047
|
-0,1
|
|
4
|
8
|
2,1
|
0.032
|
0,08
|
-0.047
|
-0,1
|
|
5
|
9
|
2,2
|
0.036
|
0,08
|
-0.046
|
-0,1
|
|
6
|
14
|
2,6
|
0.041
|
0,11
|
-0.044
|
-0,11
|
|
7
|
15
|
2,7
|
0.047
|
0,127
|
-0.041
|
-0,12
|
|
8
|
18
|
2,9
|
0.052
|
0,15
|
-0.036
|
-0,11
|
|
9
|
22
|
3,1
|
0.058
|
0,18
|
-0.030
|
-0,09
|
|
10
|
23
|
3,13
|
0.064
|
0,2
|
-0.022
|
-0,07
|
|
11
|
36
|
3,6
|
0.071
|
0,256
|
-0.012
|
-0,042
|
|
12
|
41
|
3,7
|
0.079
|
0,30
|
0.002
|
0,008
|
|
13
|
48
|
3,9
|
0.088
|
0,34
|
0.021
|
0,0081
|
|
14
|
57
|
4,04
|
0.099
|
0,4
|
0.048
|
0,19
|
|
15
|
70
|
4,25
|
0.114
|
0,5
|
0.094
|
0,4
|
|
16
|
75
|
1,9
|
0.147
|
0,64
|
0.252
|
1,1
|
|
=
3,41=0,
098
|
|
; 
.
Нормальное распределение
Для получения точечных
оценок параметров нормального распределения 
и 
используют
статистики:
при плане [NUN]
; 
,
(3.3)
Получим:
;
.
3.2 Графическое
оценивание параметров распределений
Графическое оценивание
параметра экспоненциального распределения.
Значения эмпирической функции
распределения для экспоненциального распределения рассчитываются по
зависимости:
, (3.4)
Получим:
; 
;
;
;
; 
;
;
;
; 
;
;
;
; 
;
;
.
Наносим на вероятностную
сетку (см. прил. 1) точки с координатами:
[7; 6], [8; 12], [8;
18], [8; 24], [9; 30], [14; 36], [15; 42], [18; 48], [22; 54], [23; 60], [36;
66], [41; 72], [48; 78], [57; 84], [70; 90], [75; 96] и проводим через них
прямую. Абсцисса точки с ординатой 63.8 соответствует величине 28.7, тогда
параметр:
.
Графическое оценивание
параметров распределения Вейбулла.
Оценивание параметров
распределения Вейбулла можно найти по вероятностной сетке (см. прил. 2),
используя зависимость:
; (3.5)
,
где 
-
накопленная интенсивность отказов.
Вычисление накопленной частоты
отказов производят в следующей последовательности:
наработки до отказа и до
цензурирования выстраиваются в вариационный ряд;
- для каждого значения вычисляются
соответствующие значения оценки накопленной интенсивности отказов:
; 
,
где 
-
инверсионный номер изделия, то есть ранг, отсчитанный с конца вариационного
ряда.
Если точки с
координатами [lnLi; lnti] на вероятностной сетке удовлетворительно апроксимируются
прямой, то переходят к оценке точечных значений параметров a и b.
Пересечение полученной
прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой y=0,
дает точку, абсцисса которой характеризует точечную оценку параметра а.
Точка пересечения
прямой, проведенной из специальной точки А параллельно построенной прямой, со
шкалой b дает искомую оценку параметра b.
Оценка параметра а равна
абсциссе точки пересечения построенной прямой и линией, проведенной из точки с
ординатой F(x)=0,623 или у=0.
Вычисления накопленной
частоты сведем в таблицу 6.
Наносим на вероятностную сетку точки
с координатами [x=t; y=lnΛi] и проводим через них
прямую.
Пересечение прямой с линией,
проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой y=0, дает оценку параметра а:
а=33.
Из точки А проводим луч параллельно
построенной прямой до пересечения со шкалой b. Точка пересечения дает оценку
параметра b=1.35.
Таблица 6
|
I
|
  
|
|
|
|
|
|
1
|
16
|
7
|
0,063
|
0,063
|
-2,76
|
|
2
|
15
|
8
|
0,066
|
0,129
|
-2,05
|
|
3
|
14
|
8
|
0,071
|
0,20
|
-1,61
|
|
4
|
13
|
8
|
0,077
|
0,27
|
-1,28
|
|
5
|
12
|
9
|
0,083
|
0,36
|
-1,02
|
|
6
|
11
|
14
|
0,091
|
0,45
|
-0,80
|
|
7
|
10
|
15
|
0,10
|
0,55
|
-0,60
|
|
8
|
9
|
18
|
0,11
|
0,66
|
-0,40
|
|
9
|
8
|
22
|
0,13
|
0,79
|
-0,20
|
|
10
|
7
|
23
|
0,14
|
0,93
|
-0,07
|
|
11
|
6
|
36
|
0,17
|
1,10
|
0,09
|
|
12
|
5
|
41
|
0,20
|
1,30
|
0,26
|
|
13
|
4
|
48
|
0,25
|
1,55
|
0,44
|
|
14
|
3
|
57
|
0,33
|
1,88
|
0,63
|
|
15
|
2
|
70
|
0,50
|
2,38
|
0,87
|
|
16
|
1
|
75
|
1,00
|
3,38
|
1,22
|
Графическое оценивание
параметров нормального распределения.
Значения эмпирической функции
распределения для нормального распределения рассчитываются по зависимости:
. (3.6)
Получим:
; 
;
;
;
; 
;
;
;
; 
;
;
;
; 
;
;
.
На вероятностную сетку
(см. прил. 3) наносим точки с координатами:
[17;
4], [25; 10], [29; 16], [43; 22], [57; 28], [96; 35], [115; 41], [142; 47], [155; 53], [170; 59], [174; 65], [180; 72], [190; 78], [230; 84], [235; 90], [260; 96].
4.
Оценивание показателей безотказности
Значения показателей безотказности,
определяемые по результатам испытаний, являются оценками показателей
надежности.
За значения показателей надежности
принимают точечную оценку или границы доверительного интервала (нижнюю (НДГ) и
верхнюю (ВДГ) границы).
Экспоненциальное
распределение.
Средняя наработка:
сут. (4.1)
Нижняя доверительная
граница средней наработки:
, (4.2)
сут.
Значения критерия
хи-квадрат приведены в табл. 5 прил [1]
Гамма-процентная
наработка:
сут. (4.3)
Вероятность безотказной
работы:
. (4.4)
Интенсивность отказов:
.
Распределение Вейбулла.
Средняя наработка:
сут. (4.5)
Значения гамма-функция
Г(х) приведены в табл. 6 прил. [1]
Нижняя доверительная
граница средней наработки:
сут. (4.6)
Значения квантили
распределения статистики 
приведены
в табл. 7 прил. [1]
Гамма-процентная
наработка:
сут. (4.7)
Вероятность безотказной
работы:
(4.8)
Интенсивность отказов:
(4.9)
5.
Восстановление работоспособного состояния
Металлургическое оборудование
является восстанавливаемой системой и поэтому, время ее функционирования во
много раз больше средней наработки на отказ.
В этом случае среднее число отказов
на интервале [0, t] приближенно равно:
отказа, (5.1)
Если система
восстанавливается путем замены входящего в его состав отказавшего элемента и
функционирует время 
,
то необходимое число запасных элементов 
, необходимых для
непрерывной работы системы до момента времени 
равно:
, (5.2)
Распределение Вейбулла.
для года
шт.
для месяца
шт.
Для
определения гарантированного количества запасных частей, используется
распределение Пуассона, которое позволяет подсчитать вероятность отказов менее
или равных r:
, (5.3)
Вероятность того, что в год 4
запасных частей достаточно составляет 70%.
И вероятность более 4 отказов за год
составляет:
Вывод: выполнив данную
курсовую работу, я провела анализ исходных данных с целью установления закона
распределения отказов, дала точечную оценку параметров распределений, оценила
показатели безотказности. Оценку параметров распределений провела двумя
способами: аналитически и графическим методом. Так как графический метод
наиболее точен, то установили, что совокупность наработок принадлежит к
распределению Вейбулла с параметрами: а=33
и b=1.35.
Литература
1. Методические указания по выполнению практических занятий для
студентов
специальности 15.04.00. «Металлургические машины и оборудование»,
Магнитогорск: МГТУ, 2007. 46 с.;
. Жиркин Ю.В. Надежность, эксплуатация и ремонт металлургических
машин:
Учебник. - Магнитогорск: МГТУ, 2002. 330 с.