Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве

Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1.   Индексы дефекта

2.      Преобразование Кэли и формулы Неймана

3.   Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Чтобы получить симметрическое расширение заданного оператора А нужно найти изометрическое расширение его преобразования Кэли V. Для этого выберем в дефектных подпространствах ,  два подпространства, F и G, равных размерностей и построим произвольный изометрический оператор V₁ c областью определения F и областью значений G.

Определим, далее, линейный оператор  с областью определения  и областью значений  формулами

при .

Очевидно,  есть изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V₁ мы получим все изометрические расширения  оператора V и каждое по одному разу.

Итак, чтобы найти некоторое симметрическое расширение  оператора А, следует перейти к преобразованию Кэли оператора А, найти по описанному выше методу некоторое расширение  оператора V и, наконец, вернуться к , выполнив преобразование Кэли над .

1. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА

Определение: Всякую функцию , которая каждому элементу относит некоторый элемент , называют оператором в пространстве Н с областью определения  и областью значений , состоящей из всех , где  пробегает все .

Тождественный оператор, т.е. оператор, переводящий каждый вектор сам в себя, будем обозначать . Область определения и область значение оператора будем обозначать , соответственно.

Если оператор  двум различным элементам из  относит различные элементы, то  имеет обратный оператор, который элементам из  относит элементы из . Обратный оператор обозначают символом , таким образом,

, .

Определение: Оператор  называется непрерывным в точке  (), если  (); это означает, что при любом  существует такое , что из ,   .

Если область определения  оператора  шире области определения  оператора , т.е. , и если  для любого элемента , то оператор  называют расширением оператора  ().

Определение. Оператор Т называется линейным, если его область определения D есть линейное многообразие и  для любых  и любых комплексных .

Определение. Оператор V, заданный на всем пространстве Н₁(D_V=H₁) и отображающий его на все пространство Н₂ (), называется изометрическим, если для любых  .

Определение. Линейный оператор А называется симметрическим, если

1)  область определения D_A плотна в Н и

2)      для любых двух элементов f, g из D_A имеет место равенство  

Определение. Значения параметра , для которых обратный оператор  существует, определен всюду в  и ограничен, называют регулярными значениями оператора Т. Все остальные точки комплексной плоскости образуют спектр оператора Т.

Определение. Резольвентой оператора Т называют зависящий от параметра  оператор , рассматриваемый на множестве всех тех значений , для которых он существует и для которых его область определения, т.е.  плотна в Н.

Пусть  - произвольный линейный оператор.

Определение: число  назовем точкой регулярного типа оператора , если существует такое , что при всех

.

Поэтому собственные значения оператора  не являются для него точками регулярного типа.

Если  точка регулярного типа оператора , то оператор  существует и ограничен, и обратно, если оператор  существует и ограничен, то есть точка регулярного типа.

Если  есть точка регулярного типа, то при  и любом  имеет место неравенство

.

Оно показывает, что множество точек регулярного типа всегда открыто. Это множество точек называется полем регулярности оператора .

Если  есть симметрический оператор и  , то при любом

.

Отсюда видно, что верхняя и нижняя половины -плоскости являются связными компонентами поля регулярности любого симметрического оператора.

Теорема: если  есть связная компонента поля регулярности линейного оператора , то размерность подпространства  одинакова для всех .

Условимся называть дефектным числом линейного многообразия  размерность его ортогонального дополнения  и будем писать

.

Определение: дефектное число линейного многообразия  для точек , принадлежащих данной связной компоненте поля регулярного оператора , называется дефектным числом оператора  в этой компоненте поля регулярности. При этом  называется дефектным подпространством оператора  для точки , а любой отличный от нуля элемент дефектного подпространства называется дефектным элементом.

Каждый симметрический оператор  имеет два дефектных числа, а именно одно () в нижней, другое () в верхней полуплоскости. Их называют также индексами дефекта оператора :

Индексы дефекта симметрического оператора образуют упорядоченную пару чисел .

Из приведенной выше теоремы вытекают следующие три предложения.

°. Если симметрический оператор имеет вещественную точку регулярного типа, то его дефектные числа равны: . То же справедливо относительно изометрического оператора, если он имеет точку регулярного типа на единичной окружности.

°. Если  - симметрический оператор, то любое невещественное число является для сопряженного оператора  собственным значением: кратности , если , и кратности , если .

°. Дефектные числа изометрического оператора  могут быть определены с помощью следующих равенств:

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ И ФОРМУЛЫ НЕЙМАНА

Пусть - какое-нибудь вещественное число, а  пробегает . Будем полагать, что . Тогда

                          (1)

преобразование Кэли  замкнутого симметрического оператора . Оператор  выражается через оператор  формулой . При этом областью определения  оператора  является .

В силу формул (1)                             (2)

и поэтому .              (2^’)

Утверждение. Индексы дефекта  оператора  совпадают с индексами дефекта оператора .

Действительно, по определению, . Но , следовательно, . С другой стороны, снова по определению,  и , так что .

Теорема 1. Если оператор V - изометрический и многообразие  плотно в Н, то определяемый формулой (2’) оператор А - симметрический, а оператор V есть его преобразование Кэли.

Теорема 2. Пусть А₁ и А₂ - симметрические операторы, а V₁ и V₂ - их преобразования Кэли. Для того чтобы оператор А₂ был расширением оператора А₁, необходимо и достаточно, чтобы оператор V₂ был расширением оператора V₁.

Таким образом теорема 2 сводит вопрос о симметрических расширениях заданного оператора А к вопросу об изометрических расширениях его преобразования Кэли.

Известно, что замкнутые линейные многообразия F и G могут служить соответственно областью определения и изменения изометрического оператора тогда и только тогда, когда равны их размерности, тогда изометрические расширения оператора V могут быть получены следующим образом.

Выберем в дефектных подпространствах ,  два подпространства, F и G, равных размерностей и построим произвольный изометрический оператор V₁ c областью определения F и областью значений G.

Определим, далее, линейный оператор  с областью определения  и областью значений  формулами

при .

Очевидно,  есть изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V₁ мы получим все изометрические расширения  оператора V и каждое по одному разу.

Из приведенных выше рассуждений следует, в частности, что оператор А является максимальным симметрическим (самосопряженным) тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли V является максимальным изометрическим оператором.

Поэтому имеют место следующие теоремы.

Теорема 3. Для того чтобы симметрический оператор был максимальным, необходимо и достаточно, чтобы одно из его дефектных чисел равнялось нулю. Для того чтобы симметрический оператор был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы оба его дефектных числа равнялись нулю.

Теорема 4. Пусть А - произвольный симметрический оператор с индексами дефекта . Оператор А всегда можно расширить до максимального. Если , то среди таких расширений нет самосопряженных; если  и ,  конечны, то любое максимальное расширение оператора А является самосопряженным; если же дефектные числа ,  бесконечны и равны, то среди максимальных расширений имеются как самосопряженные, так и несамосопряженные.

Теорема. Пусть А - произвольный симметрический оператор с областью определения D_A, a  и  (>0) - какая-нибудь пара его дефектных подпространств. Для области определения D_A* оператора А* имеет место следующее определение в виде прямой суммы трех линейных многообразий:

Доказательство. Покажем, что любой элемент f из D_A* представим в виде

f = f₀ + g+ g,                      (1)

где f₀  D_A, g_z , g _; при этом следует заметить, что вместе с (1) будет иметь место формула

.                    (1’)

Пусть . Разложим элемент  на составляющие в ортогональных подпространствах  и :

.

но ; поэтому

,

откуда заключаем, что

,

т.е.

или .

Для окончания доказательства теоремы осталось установить, что представление (1) каждого элемента  единственно. Допуская противное, примем, что

.                        (2)

Применяя к обеим частям этого равенства оператор А*, получаем

.                             (2’)

Умножая далее (2) на z и вычитая из (2’), получаем

,

откуда, вследствие ортогональности слагаемых, следует, что ; точно также получим, что ;

следовательно, .

Теорема доказана.

Найдем теперь  при любом . В соответствии с (1) и (1’), имеем , где , и

.

Так как сумма первых трех слагаемых вещественна, то

,

где в квадратных скобках снова стоит вещественная величина, а потому окончательно находим

.                           (3)

В соответствии с формулой (3) область D_A* состоит из трех (нелинейных) многообразий Г⁺ (совокупность элементов f, для которых , Г^- ((совокупность элементов f, для которых  вещественно). Элемент

принадлежит Г⁺, Г^- или Г⁰, смотря потому, будет ли

 или  (если ).

Найдем теперь для области определения  любого симметрического расширения  оператора А представление, аналогичное формуле (1).

Чтобы подчеркнуть зависимость подпространств F и G от z, будем писать F_z и G_z. Таким образом,

.

или, полагая

₁= - V^', .

Из  следует, что при

                  (4)

будет .              (4')

Формулы (1) и (4) будем называть соответственно первой и второй формулой Неймана.

Из первой формулы Неймана непосредственно следует для размерности D_A* по модулю D_A формула:

.             (5)

Вторая формула Неймана совместно с равенством (4’) описывает все симметрические расширения  заданного оператора А. Если, в частности, оператор А имеет равные дефектные числа и  есть его самосопряженное расширение, то в формуле (4) элемент  будет пробегать все подпространство , а  - все . Обратно, если в (4) элемент  пробегает все , а - все , то оператор будет самосопряженным расширением оператора А. Если индексы дефекта оператора А и его симметрического расширения суть (m, n) и (m-p, n-p), где , то из второй формулы Неймана вытекает соотношение

. ФОРМУЛА КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ ЗАДАННОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

Теорема 1. Все самосопряженные расширения оператора с равными и конечными дефектными числами имеют один и тот же непрерывный спектр.

Теорема 2. При произвольном расширении оператора с равными и конечными индексами дефекта (,) до самосопряженного оператора кратность собственных значений повышает не более чем на  единиц (в частности, новые собственные значения имеют кратность, не превосходящую ).

Теорема3. Если - вещественная точка регулярного типа симметрического оператора А с индексом дефекта , то существует самосопряженное расширение  оператора А, для которого число  является собственным значением кратности .

Доказательство. Пусть  означает линейное многообразие всех решений уравнения

.

В силу теоремы об инвариантности дефектного числа в поле регулярности число измерений многообразия  линейно независимы, ибо в противном случае число  было бы собственным значением оператора А.

Положим

                            (1)

и пусть  означает оператор, совпадающий с оператором А* на , так что число  будет собственным значением оператора  кратности .

Покажем, что оператор  самосопряженный.

Для этого достаточно установить, что оператор  симметрический, ибо из (1) следует, что

.

Если  и - произвольные элементы из  и

то

откуда следует симметричность оператора.

В заключении отметим еще одну теорему, относящуюся к числу решений уравнения

при вещественных .

Теорема. Если А - симметрический оператор с индексами дефекта  и  - вещественное число, не принадлежащее точечному спектру оператора А, то число  решений уравнения

                  (2)

не превосходит дефектного числа .

Для доказательства достаточно построить с помощью многообразия  решения уравнения (2) область  по формуле (1), где основа .

.

Теорема доказана.

Пусть А₁ и А₂ - два самосопряженных расширения симметричного оператора А с индексом дефекта ,

Всякий оператор С, удовлетворяющий условиям

                         (3)

естественно называть общей частью операторов А₁ и А₂.

Среди операторов С, удовлетворяющих условиям (3), существует, очевидно, такой, который является расширением любой общей части операторов А₁ и А₂; такой оператор назовем максимальной общей частью операторов А₁ и А₂. Максимальная общая часть либо является расширением оператора А, либо совпадает с А; в последнем случае расширения А₁ и А₂ будем называть взаимно простыми.

Для того чтобы расширения А₁ и А₂ были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы одновременное выполнение условий

                          (4)

вело принадлежность  к .

Если максимальное число линейно независимых по модулю  векторов, удовлетворяющих условиям (4), равно , то максимальная общая часть А₀ операторов А₁ и А₂ имеет индексы дефекта . В этом случае операторы А₁ и А₂ могут рассматриваться как взаимно простые самосопряженные расширения оператора А₀.

Задачей настоящего пункта является вывод формулы, связывающей резольвенты двух самосопряженных расширений оператора А. Пусть - фиксированное самосопряженное расширение, а и  - их резольвенты. Пусть, далее  - любая общая точка регулярности операторов  и В (в частности,  может быть произвольным невещественным числом).

Чтобы не выделять случая, когда  и В не являются взаимно простыми расширениями оператора А, будем рассматривать их как взаимно простые расширения их максимальной общей части А₀, имеющей индексы (r, r), где

Положим  и . Для разности резольвент будем иметь

                                 (5)

Последнее вытекает из того, что при любом  

.

Выберем как-нибудь  линейно независимых векторов  из  и  линейно независимых векторов  из . Из (3) для любого  следует

.                                   (6)

Согласно (4) константы  являются линейными функционалами от , и можно положить  .

Так как, в силу (5) и линейной независимости векторов , при любом , ортогональном к , должно быть

 ,

то  ,

т.е.  ,                                      (7)

и (4) принимает вид

=.           (8)

Заметим, что матричная функция , определенная на множестве общих точек регулярности операторов  и , является неособенной.

Предположение  влечет в силу (7) линейную зависимость векторов  , что означает существование вектора , удовлетворяющего условиям ,  .

Для вектора  получаем из (6) =0, а это противоречит взаимной простоте операторов  и , как расширений оператора .

Опуская в (8) элемент  и рассматривая  как операторы, получаем для любого значения  из множества общих точек регулярности операторов и В формулу

                                             (9)

Левая и правая части формулы (8) являются регулярными аналитическими вектор-функциями от . Покажем, что   могут быть определены как регулярные аналитические вектор-функции от , и получим соответствующую этому выбору формулу для матричной функции .

С этой целью возьмем какое-нибудь фиксированное значение  и введем оператор  с областью определения  и областью значений .

Оператор  определяется формулами

,  ,

из которых следует, что осуществляемое им отображение Н на Н взаимно однозначно.

В частном случае, при  оператор  приводит к преобразованию Кэли оператора  и отображает дефектное подпространство . Покажем, что вообще .

Выберем произвольный базис  и докажем, что .

Имеем

т.е.  . При этом в силу взаимной однозначности отображения, осуществляемого оператором , векторы  образуют базис в , и мы можем принять, что векторы  в любой точке регулярности оператора  определены формулами

 ,

и, следовательно, являются регулярными аналитическими вектор-функциями от .

С помощью функционального уравнения резольвенты легко проверить, что в таком случае для любых двух регулярных точек  и  оператора  имеют место равенства

.                                         (10)

Теперь значение матричной функции  при любом  (регулярном для  и ) определяется по ее значению ; для нахождения соответствующей формулы воспользуемся функциональным уравнением резольвенты

.                                 (11)

С другой стороны, в силу (7)

                     (12)

Подставляя правые части (12) в (11), получаем (13):

Если с помощью (10) приведем сумму второго и третьего слагаемого в правой части к виду

,

и после этого приведем в (13) подобные члены, то получим

Отсюда, в силу линейной независимости векторов ,

и, далее, в силу линейной независимости

или, в матричном виде,

.

Умножая последнее равенство справа на  и слева на , получаем искомое соотношение

                                                    (14)

Нетрудно проверить, что из (14) для любых двух общих регулярных точек  и  операторов ,  следует

.

пространство симметрический оператор

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.  Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М., 1966. - 544 с.

2.      Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. - 4-е изд., испр. - М. ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 488с.