Иррациональное число

Иррациональное число

1. Иррациональное число́

Иррациона́льное число́ - это вещественное число <#"526853.files/image001.gif">, где m - целое число <#"526853.files/image002.gif">. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой «i» в полужирном начертании без заливки - . Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств <#"526853.files/image002.gif"> рационален <#"526853.files/image001.gif">, где m и n - целые числа <#"526853.files/image005.gif">.

Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда

Следовательно, n2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и  - иррациональное число.23 - иррациональное число

Допустим противное: log 23 рационален <#"526853.files/image001.gif">, где m и n - целые числа <#"526853.files/image007.gif">

Но 2m чётно, а 3n нечётно. Получаем противоречие.- иррациональное число

Другие иррациональные числа

Иррациональные числа ж(3) <#"526853.files/image008.gif"> для любого натурального n, не являющегося точным квадратомдля любого рационального x для любого положительного рационального

π, а также πn для любого натурального n

2. Трансценде́нтное число́

Трансценде́нтное число́ (от лат. Transcendere - переходить, превосходить) - это вещественное <#"526853.files/image002.gif"> - иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена  (и потому является алгебраическим).

Примеры

Основание натуральных логарифмов  <#"526853.files/image013.gif"> <#"526853.files/image014.gif">.

,  и , для любого ненулевого алгебраического числа <#"526853.files/image018.gif"> (по теореме Линдемана-Вейерштрасса <#"526853.files/image013.gif"> <#"526853.files/image019.gif">,  - алгебраическое число, и  - алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что  - трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число . Эта проблема была решена в 1934 году <http://ru.wikipedia.org/wiki/1934_%D0%B3%D0%BE%D0%B4> Гельфондом <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%84%D0%BE%D0%BD%D0%B4,_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%9E%D1%81%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87>, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

3. Число π

Число пи - одна из фундаментальных математических констант, равная отношению длины окружности к ее диаметру в пространстве с евклидовой (плоской) метрикой. Название числа происходит от греческой буквы "пи" (π), которой оно традиционно обозначается.

Число пи является иррациональным, то есть, не может быть выражено как отношение двух целых чисел и представляется бесконечной непериодической десятичной дробью. Число пи является трансцендентным, то есть, не является корнем какого-либо полинома с целыми коэффициентами.

Точное значение числа пи невозможно записать. На протяжении всей истории математики не прекращается работа по уточнению значения числа пи. О том, насколько далеко продвинулись математики, можно судить по количеству десятичных знаков числа пи, которое им удалось определить.

Четыре тысячи лет назад надежно были известны всего два первых знака числа пи. В начале XXI века с помощью многопроцессорных суперкомпьютеров определено более триллиона знаков десятичной записи сила пи. Во всей этой огромной последовательности цифр не выявлено никакой закономерности, позволяющей надежно или хотя бы вероятностно предсказывать дальнейшие знаки числа пи.

25/8 = 3,125 - Вавилония, начало XIX в. до н. э.

/81 ≈ 3,160 - Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)

/108 ≈ 3,139 - Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)

223/71 (3,1408) < π < 22/7 (3,1428) - Архимед, Греция, 250 г. до н. э.

,1416 - Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.

3,1415926 < π < 3,1415927 - Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.

,14159265359 - Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.

знаков - Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.

знаков - Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)

знаков - Джон Мэчин, Англия, 1706 г.

знаков - Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)

знаков - Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)

знаков - Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)

167 знаков - Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)

001 250 знаков - Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)

011 196 691 знаков - братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)

158 430 000 знаков - Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.

241 100 000 000 знаков - Ясумаса Канада, Япония, 2002 г. (HITACHI SR8000/MPP, 64 процессора, 600 часов счета)

000 000 000 050 знаков <http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html> - Александер Йи и Сингеру Кондо, Япония, 16 октября 2011 (десктоп 2×Intel Xeon X5680 @ 3,33 ГГц, 96 Гбайт RAM, 30 HDD общей емкостью 59 Тбайт, 191 день счета)

Волшебен не круг - волшебно ПИ число, Мир сводило с ума и сводит оно. Все материя - круг, шар, колесо, ПИ число-это в мир трансцендентный окно. Примечание: Значение числа "ПИ" известно с точностью до 500 миллиардов знаков, его первые цифры - 3.1415926535. В нем нет ни одной циклической последовательности и никогда не будет, сколько бы еще знаков ни вычислили.

1.   Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

2.      www.vokrugsveta.ru - <http://www.vokrugsveta.ru/vs/article/6304/> статья профессора Виталия Целищева «Все есть число?» <http://www.vokrugsveta.ru/vs/article/6304/> в журнале «Вокруг света» №9 (2816) за сентябрь 2008 г.

.        lenta.ru <http://lenta.ru/news/2011/10/20/pi/> - сообщение на сайте Лента.ру «π вычислили с точностью до 10 триллионов знаков» от 20.10.2011.

.        numberworld.org <http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html> - сайт авторов расчета 10 триллионов знаков числа π.

5.      В.Г. Спринджук, “Иррациональность значений некоторых трансцендентных функций”, Изв. АН СССР. Сер. матем., (1968).