Основы линейного программирования

Основы линейного программирования

1. Решить задачу линейного программирования

Строим графики

1.      2х1+х2=4 (0,4) и (1,2)

2.      х1+2х2=6 (0,3) и (2,2)

.        х1+х2=3 (1,2) и (2,1)

f: 3х1+2х2=0 (0,0) и (2,-3)

OABCD- многоугольник решений системы. Оптимальные решения - в вершинах многоугольника. Смещая параллельно самой себе линию целевой функции f, пока многоугольник условий не окажется ниже этой прямой. Это произойдет, если прямая f займет положение (предельное) в точке В (1,2):

Значит f (1,2)=3*1+2*2=7

. Составить и решить задачу линейного программирования

Предприятию требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,3‰ и с долей зольных примесей не более 3,25%. Содержание примесей в трех сортах угля приведены в таблице.

Цена килограмма угля сортов А и Б составляет 30 рублей, а сорта В - 45 рублей.

Составьте задачу линейного программирования о пропорциях смеси углей минимальной цены, удовлетворяющей ограничениям на содержание примесей. Найдите оптимальные пропорции смеси.

Решение

Введем переменные x1 - количество 1 вида угля, x2 - количество 2 вида угля, x3 - количество 3 вида угля. На переменные накладывается условие неотрицательности.

Таким образом, получим следующую математическую модель:

= 30x1 +30x2 +45x2 → min

 0,6x1 +0,4x2 +0,2x2 60,

2x1 +4x2 +3x2  40,

x1 ³ 0,

x2 ³ 0.

Для этого подготовим исходные данные. Внесите следующие данные и функции, указанные в таблице 1.

Таблица 1.

Исходные данные

В ячейке E3 используется функция для вычисления значения целевой функции f = c1x1 + c2x2+ c3x3, где c1 и c2 и c3 - значения коэффициентов целевой функции; x1, x2, x3 - искомые значения неизвестных. Затем в меню «Сервис» выбираем команду «Поиск решения». Если данной команды нет, то Сервис | Надстройки | Поиск решения.

Вводим следующие значения: в поле «Установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки $F$3; в поле «Равной» выбираем «минимальному значению»; В поле «Изменяя ячейки» вводим диапазон ячеек $B$2:$D$2.

Щелкаем по кнопке «Добавить». Вводим ограничения:

Выполним процедуру, щелкнув по кнопке «Выполнить». Если решение будет найдено, то появится сообщение: «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены». Выбрав «Сохранить найденное решение», получим таблицу результатов.

Таблица 2.

Результаты

Делаем вывод, что оптимальное решение X*(0; 0; 0,0517), f(X*)=2,33.

. Математическая статистика

. Проверяющий в течение контрольного периода записывал время ожидания нужного автобуса (в минутах) и получил следующие данные:

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму.

Найти среднее время ожидания и исправленное среднее квадратическое отклонение для выборки. Построить доверительные интервалы надежности 95% и 99% для среднего времени ожидания автобуса.

Решение

Имеем выборку из = 40 элементов, Xmin = 0,27

Xmax = 9,66

Длина интервала h = =  = 1,565

Получим группировки по интервалам

По формулам определим

Pi =  - относительную частоту и плотность относительной частоты

P=

= 9/40 = 0,225 P*1 = 0,14= 4/40 = 0,1 P*2 = 0,064= 5/40 = 0,125 P*3 = 0,08= 5/40 = 0,125 P*4 = 0,08= 8/40 = 0,2 P*5 = 0,128= 9/40 = 0,225 P*6 = 0,14

Гистограмма частот:

Найдем среднее время ожидания нужного автобуса

Где X - середина интервала.

№интервала          Левая граница   Правая граница Частота   Середина

Интервалов

Выборочное среднее Хв = 5,2295

Выборочная дисперсия

Дв = (X- Xв)2Pi

Дисперсия Дв = 8,641

Среднее квадратичное отклонение

 =  = 2,94.

Исправленная выборочная дисперсия

S2 = Дв, S2 =8,641  8,863

Исправленное квадратичное отклонение   2,98.

Построим доверительные интервалы

Хв - t < m < Хв + t

Надежность 95%, т.е.  = 0,95,

 = 0,475, тогда t = 1,96

,2295 - *1,96 < m < 5,2295 + *1,96

,2295 - 0,9242 < m < 5,2295 + 0,9242

,3053 < m < 6,1537

Надежность 99%, т.е.  = 0,99

(t) = 0,495, t = 2,58

,2295 - *2,58 < m < 5,2295 + *2,58

,2295 - 1,2165 < m < 5,2295 + 1,2165

,013 < m < 6,446

. Корреляционный анализ

Находим выборочные средние

Вычислим коэффициент корреляции

Вычислим

=(3-3,5)(22-3,5)+(4,2-3,5)(31,7-26,73)+(2,8-3,5)(21-26,73)+(5,2-3,5)(35,9-26,73)+(4,4-3,5)(33,7-26,73)+(3,9-3,5)(30-26,73)+(2,9-3,5)(20-26,73)+(4,3-3,5)(41,1-26,73)+(2,7-3,5)(18,8-26,73)+(1,6-3,5)(13,1-26,73)=76,112

Тогда коэффициент корреляции

Таким образом, коэффициент корреляции достаточно близок к 1 и связь между Х и У тесная. Т.к. >0, то связь между Х и У прямая: чем больше объем производства, тем больше затраты.

А=

В=

С=

Решение

Находим , где

 - определитель матрицы В

транспонированная из алгебраических дополнений

Тогда

Находим

Находим

5. Теория вероятности

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Составить закон распределения числа выигрышей среди четырех случайно выбранных билетов. Построить многоугольник распределения.

Решение

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2, т.е. р=0,2

Вероятность проигрыша q=1-p,q=1-0,2=0,8

Случайным образом выбирают 4 билета.

При решении задачи используем теорему Бернулли

, тогда

Проверка

линейный программирование случайный величина

Закон распределения случайной величины

Многоугольник распределения

. Матрицы и операции над ними

Выполнить умножение матриц АВ-1С

. Решения системы уравнений методом Крамера

Находим определители третьего порядка

(-1,3,0) - решение системы