Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задание № 1. Даны точки А, В, С: А(5;6), В(4;-5), С(-4;5).

Построить: векторы  и .

Найти: 1) векторы  и ;

) модули векторов  и ;

) скалярное произведение .

Решение:

.

.

.

Ответ: 1) ; ;

) ; ;

) .

Задание № 2. Даны точки А, В, С: А (5;6), В (4;-5), С (-4;5).

Найти: а) уравнение прямой АВ;

б) уравнение высоты АD;

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ВС.

Решение:

а) уравнение АВ:

.

б) уравнение высоты АD:

. уравнение ВС:

.

. угловой коэффициент :

.

. угловой коэффициент :

.

. уравнение AD:

.

в) уравнение прямой :

.

Ответ: а) ; б) ; в) .

Задание № 3. Дана система линейных уравнений:

Найти: а) определитель основной матрицы системы А;

б) обратную матрицу А-1;

в) решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение: а)

.

б) А-1:

 ~  ~  ~  ~

, , .

, .

.

в)

,

,

.

,

.

Ответ: а) ; б) ; в) , .

Задание № 4. Решить систему линейных алгебраических уравнений

 ~  ~

Пусть  в 1-ом уравнении базисная, тогда элемент  - разрешающий. Первая строка, третий столбец - разрешающие. Разделим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (). Запишем разрешающую строку после этого преобразования.

, , , .

, , , .

Пусть  в 3-ем уравнении базисная, тогда элемент  - разрешающий. Третья строка, первый столбец - разрешающие. Разделим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (). Запишем разрешающую строку после этого преобразования.

, , .

, , .

~

Запишем эквивалентную систему линейных уравнений:

Ответ: , , .

Задание № 5. Выполнить действия с матрицами:

а) ; б) .

Решение:

а) .

б) .

Ответ: а) ; б) .

Задание № 6. Решить задачу линейного программирования:

Предприятие планирует выпуск двух продукций I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, С. Потребность  на каждую единицу -го вида продукции -го вида сырья, запас  соответствующего вида сырья и прибыль  от реализации единицы -го вида продукции заданы таблицей:

Для производства двух видов продукции I и II с планом  и  единиц составить целевую функцию прибыли  и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.

В условиях задачи 1 составить оптимальный план (,) производства продукции, обеспечивающей максимальную прибыль . Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом).

Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль .

Решение:

Пусть предприятие производит  единиц продукции I и  единиц продукции II. Тогда задачу линейного программирования на максимум можно записать следующим образом:

 →  - целевая функция.

Ограничения по ресурсам:

А:

В:

С:

Введем в каждое неравенство дополнительную балансовую переменную со знаком «+», получим систему ограничений в виде системы линейных уравнений:

Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на основные (базисные) и неосновные (свободные):

Запишем расширенную матрицу системы размером .

На первом этапе за основные можно принять , , . Если выбранные по этому правилу базисные переменные имеют те же знаки, что и соответствующие им свободные члены, то полученные базисные решения будут допустимыми.

Основные переменные: , , .

Неосновные переменные: , .

Выразим основные переменные через неосновные

Запишем первое базисное решение, приравняв неосновные переменные к 0, т. е. , .

- это решение является допустимым.

Выразим целевую функцию через неосновные переменные

 →

Функцию  можно увеличить за счет увеличения любой из неосновных переменных, входящих в выражение для  с положительными коэффициентами. Для определенности выберем . Исходя из условия неотрицательности переменных, из системы можно выбрать наиболее возможное значение переменной :

При  переменная  обращается в 0 и переходит в неосновные переменные, а  - в основные.

Основные: , , .

Неосновные: , .

Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего уравнения для :

Таким образом, получим новую систему:

Запишем второе базисное решение:

 - допустимое решение.

Выразим целевую функцию через новые неосновные переменные:

 →

Полученное базисное решение  не является оптимальным, поскольку возможно дальнейшее увеличение целевой функции  за счет переменной , имеющей положительный коэффициент. Из системы следует, что наиболее возможное значение для :

Второе уравнение системы является разрешающим, при этом переменная  переходит в основные, а  - в неосновные.

Основные: , , .

Неосновные: , .

Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего для :

Таким образом получим систему.

Запишем третье базисное решение:

Выразим целевую функцию через новые неосновные переменные:

 → .

Это выражение не содержит положительных коэффициентов при неосновных переменных, поэтому значение функции  максимальное.

Экономический смысл полученного решения: прибыль предприятия максимальна при реализации  единиц продукции I и  единиц продукции II. Дополнительные переменные , ,  показывают остатки ресурсов. При оптимальном плане производства , т. е. остатки ресурсов А и В равны 0, а остатки ресурса С равны 3 и 5 единицам соответственно.

. Поскольку переменные , ,то допустимые планы будут располагаться в I четверти координатной плоскости.

Ограничение определяет полуплоскость. Для ее определения построим прямую : . Определим координаты 2-х точек на этой прямой.

Для определения полуплоскости задаваемой неравенством возьмем произвольную точку не лежащую на прямой. Удобно взять точку О (0;0). Координаты этой точки удовлетворяют неравенству: . Таким образом, неравенство задает полуплоскость содержащую т. О (0;0).

Рассмотрим неравенство. Прямая : .

Для определения полуплоскости выберем т. О (0;0), которая удовлетворяет неравенству: .

Рассмотрим ограничение. Прямая : .

Для определения полуплоскости выберем т. О (0;0), которая удовлетворяет неравенству: .

Таким образом, получена замкнутая область, замкнутый четырехугольник ОАВС - область допустимых планов или область допустимых решений.

Рассмотрим целевую функцию . Известно, что данная функция задает прямую линию, а само выражение представляет собой скалярное произведение вектора  и перпендикулярного ему вектора . Для всех точек какой-либо прямой перпендикулярной  целевая функция имеет одно и то же значение. Возрастание целевой функции происходит в положительном направлении . Построим вектор  и перпендикулярную ему прямую . Так как в задаче необходимо найти целевой функции, то последней общей точкой (точкой выхода) прямой  из ОДР будет являться точка В. Таким образом, оптимальное решение находится в вершине В, находящейся на пересечении прямых  и , т. е. координаты точки В определяются решением системы уравнений:

Решение этой системы , . При этом значение целевой функции . Таким образом, максимальная прибыль в размере  денежных единиц может быть достигнута при производстве  единиц продукции I и  единиц продукции II.

Задание № 7. Решить транспортную задачу.

На складах , ,  хранится , ,  единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям , , , заказы которых составляют , ,  единиц груза соответственно. Стоимости перевозок  единицы груза с -го склада -му потребителю указаны в соответствующих клетках транспортной таблицы:

Суммарная мощность поставщиков равна:

Суммарный спрос потребителей равен:

Модель данной транспортной задачи - открытая. Введем фиктивного потребителя со спросом  единиц. Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя равна 0. Получаем закрытую модель.

Решаем ее распределительным методом. Воспользуемся методом минимальной стоимости.

Шаг № 1. Заполняем клетку с нулевой стоимостью, например, клетку (1, 4). . Исключаем четвертый столбец.

Шаг № 2. Заполняем клетку (3, 2). . Исключаем третью строку.

Шаг № 3. Заполняем клетку (1, 1). . Исключаем первую строку.

Шаг № 4. Заполняем клетку (2, 1). . Исключаем первый столбец.

Шаг № 5. Заполняем клетку (2, 3). . Исключаем третий столбец и вторую строку.

Проверяем выполнение условия .

Для этого плана находим оценки строк и столбцов.

Затем получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (3, 1), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (3, 1) - (2, 1) - (2, 2) - (3, 2).

. Клетка (3, 1) становится отмеченной, а клетка (3, 2) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

Получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (1, 2), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (1, 2) - (1, 1) - (2, 1) - (2, 2).

. Клетка (1, 2) становится отмеченной, а клетка (1, 1) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

Получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (2, 4), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (2, 4) - (1, 4) - (1, 2) - (2, 2).

. Клетка (2, 4) становится отмеченной, а клетка (1, 4) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

Получим матрицу оценок клеток:

Матрица оценок не содержит отрицательных чисел. Таким образом, получен оптимальный план поставок, который окончательно можно представить в виде таблицы

Суммарные затраты на перевозку груза равны:

 ден. ед.

При этом поставщик  должен поставить 100 единиц груза потребителю . Поставщик  должен поставить 80 единиц груза потребителю , 20 единиц груза потребителю , 40 единиц груза потребителю . Поставщик  должен поставить 110 единиц груза потребителю . 60 единиц груза останется на складе у поставщика .

Задание № 8. Найти производные  функций:

а)

.

б)

.

в)

.

Задание № 9. Для функции

Найти: а) интервалы монотонности, локальные экстремумы;

б) интервалы выпуклости вверх (вниз), точки перегиба;

в) построить эскиз графика;

г) написать уравнение касательной к графику в точке с абсциссой .

Решение:

Область определения функции

Область значений функции

Нули функции и интервалы знакопостоянства:

Определить четность, нечетность функции

 - функция общего вида.

Непериодическая

Исследование функции на монотонность

Первая производная функции:

 или

вектор матрица транспортный задача

Исследование функции на выпуклость, вогнутость.

Вторая производная:

 или  или

Нет решений.

Выпуклая книзу при

Выпуклая кверху при .

уравнение касательной к графику в точке с абсциссой .

Эскиз графика