Геометрические свойства кривых второго порядка
Исследовать и изучить геометрические свойства кривых
второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии
пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а
также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной
декартовой системах координат.
Постановка задачи
Дано уравнение кривой
второго порядка:
. (1)
Задание. Для данного уравнения кривой
второго порядка с параметром :
I. Определить зависимость типа кривой
от параметра с помощью
инвариантов.
II. Привести уравнение кривой при к каноническому виду,
применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
III. Найти фокусы, директрисы,
эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
IV. Получить уравнения канонических
осей в общей системе координат.
V. Построить график кривой в
канонической и общей системах координат.
Получение
канонической системы координат. Построение графиков
I. Тип кривой второго порядка в
зависимости от параметра
В прямоугольной
декартовой системе координат кривая второго порядка задается в общем виде
уравнением:
,
если хотя бы один из
коэффициентов , , отличен от нуля.
Для уравнения кривой
второго порядка (1) имеем:
Теперь определим тип
данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка
вычисляются по формулам:
;
;
.
Для данной кривой они
равны:
1). Если , то уравнение кривой (1) определяет
кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического
типа. При этом ,
то есть: если , то
уравнение (1) определяет параболу.
2). Если, то данная кривая — центральная.
Следовательно, при данная
кривая — центральная.
·
Если , то уравнение (1)
определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического
типа. Но при этом .
В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если, то уравнение (1) определяет эллипс.
·
Если , то уравнение (1)
определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического
типа.
а) Если и , то уравнение (1) определяет две
пересекающиеся прямые. Получим:
Следовательно, если , то уравнение (1)
определяет две пересекающиеся прямые.
б) Если и , то данная кривая — гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу.
Используя полученные результаты,
построим таблицу:
Значение
параметра β
|
|
|
|
|
|
Тип кривой
|
Эллипс
|
Парабола
|
Гипербола
|
Две
пересекающиеся прямые
|
Гипербола
|
II. Переход от общего уравнения кривой к
каноническому
Рассмотрим теперь случай,
когда, и исследуем
данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из
вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает
вид:
(2.1)
Приведем уравнение кривой
(2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и
поворота координатных осей.
Мы установили, что данная
кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому
виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала
координат в точку . При
этом координаты произвольной
точки плоскости в
системе координат и
координаты в новой
системе координат связаны
соотношениями
Подставляя эти выражения
в уравнение (2.1), получим:
(2.2)
Раскрывая скобки и
приводя подобные члены, получим:
(2.3)
В уравнении (2.3)
коэффициенты при приравняем
к нулю. Получим систему уравнений относительно
(2.4)
Решив систему (2.4),
получим:
Центр кривой имеет координаты , . Поставим найденные значения в уравнение (2.3). В новой системе
координат в уравнении
(2.3) коэффициенты при равны
нулю и уравнение примет вид
,
. (2.5)
Так как , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5)
мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол
координаты произвольной точки плоскости в системе
координат и координаты
в новой системе
координат связаны
соотношениями
(2.6)
Подставляя (2.6) в
уравнение (2.5), получим
Раскроем скобки и
приведем подобные члены
Приводя подобные члены,
получим уравнение
(2.7)
Теперь выберем такой угол
, что в уравнении (2.7)
коэффициент при произведении равен нулю. Получим уравнение относительно
синуса и косинуса угла :
. (2.8)
Разделим правую и левую
части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если (то есть ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному
тригонометрическому тождеству . Получим уравнение
. (2.9)
Решая уравнение (2.9),
получим
, .
Зная значение тангенса,
можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса,
получаем:
Возьмем для определенности
. Тогда соответствующие
значения синуса и косинуса есть
, (2.10)
Подставляя (2.10) в
уравнение (2.7), получаем:
и преобразовав данное
уравнение, получим уравнение вида:
И, соответственно,
уравнение
(2.11)
— это каноническое
уравнение исходной гиперболы.
III. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и
асимптоты кривой
Пусть и — фокусы, — эксцентриситет, — центр, а — директрисы данной гиперболы. Известно, что
фокусы имеют координаты: ,
, где и . Для данного уравнения гиперболы (2.11)
получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , .
Эксцентриситет гиперболы
(2.11)
.
Директрисы гиперболы
задаются уравнениями: и
. Подставляя найденные
значения и , получаем:
Прямые и в канонической системе координат называются асимптотами
гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:
IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат
Теперь напишем уравнения
осей новой системы в
исходной системе координат .
Так как система — каноническая для данной
гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — , то есть оси и проходят через точку .
В пункте II было установлено, что угловой
коэффициент оси .
Уравнение прямой,
проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или , где в роли точки выступает центр гиперболы точка .
Так как ось перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или .
V. Построение графиков гиперболы
Используя полученные в
ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе
координат (см. рис. 1)
и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Вывод
Таким образом, из
вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип
кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот
осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к
каноническому.
Список используемой литературы
1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и
аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна:
Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.:
Физматлит , 2002.
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М:
Наука, 1966.
4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике
для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.:
Наука, 1993.