Факторные модели и процессы формирования дохода

Факторные модели и процессы формирования дохода

Министерство образования и науки Российской Федерации

Филиал Уральского экономического университета в г. Нижний Тагил

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине:

Моделирование РЦБ

На тему:

Факторные модели и процессы формирования дохода

Выполнил: студент группы 1Ф11-3:

Красильникова Н.А.

Проверил: Масленников И.Б.

г. Нижний Тагил 2012

Содержание

Введение

.   Однофакторные модели

2.      Свойства однофакторных моделей

.        Метод пространственной выборки

Вывод

Список литературы

Введение

Целью современной теории портфеля является разработка методов, с помощью которых инвестор может выбрать оптимальный для себя портфель из бесконечного числа возможных. Для решения вопроса о включении каждой рассматриваемой ценной бумаги в портфель инвестору нужно оценить ее ожидаемую доходность и стандартное отклонение вместе со всеми ковариациями между этими ценными бумагами. Используя такие оценки, инвестор может определить кривую эффективного множества Марковица. После этого для данной безрисковой ставки инвестор может найти касательный портфель и определить положение линейного эффективного множества. Наконец, инвестор может произвести инвестицию в этот касательный портфель и сделать заем или выдать кредит по безрисковой ставке. При этом сумма займа или кредита зависит от предпочтений инвестора относительно соотношения риска и доходности.

Задача определения кривой эффективного множества Марковица может быть сильно упрощена с помощью введения процесса формирования дохода (returngeneratingprocess). Процессом формирования дохода называется статистическая модель, которая описывает, как образуется доход по ценной бумаге. В гл. 8 был рассмотрен один из таких процессов, известный как рыночная модель. Согласно рыночной модели, доходность по ценной бумаге является функцией доходности по индексу рынка. Однако существует много других типов процессов формирования дохода по ценным бумагам.

В факторных (или индексных) моделях (factormodels) предполагается, что доходность ценной бумаги реагирует на изменения различных факторов (или индексов). В случае рыночной модели предполагается, что имеется только один фактор - доходность по индексу рынка. Однако для попыток точно оценить ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации ценных бумаг многофакторные модели потенциально более полезны, чем рыночная модель. Это объясняется тем, что фактические доходности по ценным бумагам оказываются чувствительными не только к изменению индекса рынка, и в экономике, вероятно, существует более одного фактора, влияющего на доходность ценных бумаг.

Факторная модель представляет собой попытку учесть основные экономические силы, систематически воздействующие на курсовую стоимость всех ценных бумаг. При построении факторной модели неявно предполагается, что доходности по двум ценным бумагам коррелированы (т.е. изменяются согласованно) только за счет общей реакции на один или более факторов, определенных в этой модели. Считается, что любой аспект доходности ценной бумаги, не объясненный факторной моделью, является уникальным или специфическим для данной ценной бумаги и, следовательно, не коррелирован с уникальными аспектами доходностей других ценных бумаг. В результате факторная модель является мощным средством управления портфелем инвестиций. Она может дать необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций для каждой ценной бумаги, что является необходимым условием для определения кривой эффективного множества Марковица. Она также может быть использована для характеристики чувствительности портфеля к изменениям факторов.

На практике все инвесторы явно или неявно применяют факторные модели. Это связано с тем, что невозможно рассматривать взаимосвязь каждой ценной бумаги с каждой другой по отдельности, так как объем вычислений при расчете ковариаций ценных бумаг растет с ростом числа анализируемых ценных бумаг.

Сложная картина дисперсий и ковариаций начинает пугать воображение в случае десятка ценных бумаг, не говоря уже о сотнях или тысячах. Даже огромных возможностей быстродействующих компьютеров становится недостаточно для построения эффективных множеств при большом числе ценных бумаг.

Поэтому абстракция является существенным шагом при определении кривой эффективного множества Марковица, и факторные модели дают необходимый уровень абстрактности. Они предлагают инвестиционным менеджерам метод, позволяющий выделить в экономике важные факторы и оценить, насколько различные ценные бумаги и портфели инвестиций чувствительны к изменениям этих факторов.

Если принять, что доходности ценных бумаг подвержены влиянию одного или более факторов, то первоначальной целью анализа ценных бумаг является определение этих факторов и чувствительности доходностей ценных бумаг к их изменению. Формальное утверждение о существовании такой связи называется факторной моделью доходности ценных бумаг. Начнем обсуждение с простейшей формы такой модели - однофакторной модели.

1. Однофакторные модели

Некоторые инвесторы утверждают, что процесс формирования дохода по ценным бумагам описывается одним-единственным фактором. Например, они могут считать, что доходности ценных бумаг реагируют на предсказанный темп роста валового внутреннего продукта (ВВП). Табл. 1.1 и рис. 1.1 иллюстрируют один из способов наполнения содержанием подобных утверждений.

Таблица 1.1

2,9% = ВВП6

Рис. 1.1. Однофакторная модель

Пример

Горизонтальная ось на рис. 1.1 соответствует предсказанному темпу прироста ВВП, а вертикальная ось - доходности акций компании Widget. Каждая звездочка на графике представляет собой комбинацию доходности акций Widget и темпа прироста ВВП для соответствующего года согласно табл. ПЛ. С помощью метода простой регрессии данные были аппроксимированы прямой линией. (Слово простой означает, что в правой части уравнения имеется лишь одна переменная, в этом случае - ВВП3.) Эта прямая имеет положительный наклон, равный двум, что указывает на существование положительной связи между скоростью прироста ВВП и доходностью по акциям компании Widget. Более высокие темпы прироста ВВП соответствуют более высоким доходностям.

Связь между предсказанным темпом прироста ВВП и доходностью акций компании Widget может быть выражена в виде уравнения:

r₁ = а + bВВП₁ + е₁ , (ll.l)

где r₁ - доходность акций т период t;

ВВП₁- предсказанный темп прироста ВВП за период г,₁ - уникальная, или специфическая, доходность за период t;

b - чувствительность (sensitivity) к предсказанному темпу

прироста ВВП;

а - нулевой фактор для ВВП.

На рис. 1.1 нулевой фактор равен 4% за период. Это доходность, которая ожидалась бы для акций Widget, если бы предсказанный темп прироста ВВП равнялся нулю. Чувствительность акций Widget к предсказанному темпу прироста ВВП (Ь) равна двум, что совпадает с наклоном прямой линии на рис. 1.1. Это значение указывает на то, что более высокий предсказанный прирост ВВП ассоциируется с более высокой доходностью акций Widget. Если предсказанный прирост ВВП равен 5%, то акции Widget дадут доходность 14% (4% + 2 х 5%). Если предсказанный прирост ВВП будет на 1% больше, т.е. составит 6%, то доходность должна быть на 2% больше, т.е. равняется 16%.

В итоге однофакторная модель, представленная рис. 11.1 и уравнением (11.1), отражает доходность акций Widget за любой конкретный период в виде суммы трех элементов:

. Элемент, одинаковый для всех периодов (член а).

. Элемент, который меняется от периода к периоду и зависит от предсказанного темпа прироста ВВП (член bВВП;).

. Элемент, специфический для конкретного рассматриваемого периода (член e₁).

. Свойства однофакторных моделей

факторный модель доходность инвестиция

Особый интерес представляют два свойства однофакторных моделей. Касательный портфель

Во-первых, предположение о том, что доходности всех ценных бумаг реагируют на единственный общий фактор, значительно упрощает задачу определения касательного портфеля. Для определения его состава инвестор должен оценить все ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации. В однофакторной модели это можно сделать, оценив а., Ь. и се1 для любой из N рискованных ценных бумаг.

Необходимо также иметь ожидаемое значение фактора Fu его стандартное отклонение af. Используя все эти оценки в уравнениях (1.3), (1.4) и (1.5), можно вычислить ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации ценных бумаг. С помощью этих параметров можно определить кривую эффективного множества Марковица. Наконец, отсюда может быть определен касательный портфель для заданной безрисковой ставки.

Общая чувствительность ценных бумаг к фактору устраняет необходимость непосредственного вычисления ковариации между ценными бумагами. Эти ковариации уже учтены в чувствительностях ценных бумаг к фактору и в его дисперсии.

Диверсификация

Второе интересное свойство однофакторных моделей имеет отношение к диверсификации. Ранее было показано, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска и снижению собственного риска. Это свойство относится и к любой однофакторной модели, если заменить слова рыночный и собственный на факторный и нефакторный . Первый член в правой части уравнения (1.4) (b2a2f) называется факторным риском (factorrisk) ценной бумаги, а второй (а2.) называется нефакторным риском (nonfactorrisk) ценной бумаги.

В однофакторной модели дисперсия портфеля задается выражением:

Уравнение (1.6а) показывает, что общий риск любого портфеля можно представить в виде двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельной ценной бумаги, приведенным в уравнении (1.4). В частности, первый и второй члены правой части уравнения (1.6а) являются факторным и нефакторным рисками портфеля соответственно.

По мере того как портфель становится более диверсифицированным (т.е. содержащим больше ценных бумаг), каждая доля X₁ становится меньше. Однако это не приведет к значительному уменьшению или увеличению b_p, если специально не предпринималась попытка сделать это путем добавления ценных бумаг с относительно малыми или большими значениями b соответственно. Как видно из уравнения (1.6б), это связано с тем, что b является просто взвешенным средним чувствительностей ценных бумаг b_i, в котором весами служат значения X_i. Таким образом, диверсификация приводит к усреднению факторного риска.

Однако по мере того как портфель становится более диверсифицированным, можно ожидать уменьшения нефакторного риска s²_ep. Это можно показать, рассматривая уравнение (1.1 бв). Предположив, что в каждую ценную бумагу инвестирована одна и та же сумма, это уравнение может быть переписано при замене Х₁ на 1/N следующим образом:

Величина внутри квадратных скобок является средним нефакторным риском для отдельных ценных бумаг. Но нефакторный риск портфеля составляет лишь 1/N часть этой величины из-за множителя 1/N перед скобками. По мере того как портфель становится более диверсифицированным, число N ценных бумаг в нем растет. При этом 1/Nуменьшается, что, в свою очередь, уменьшает нефакторный риск портфеля. Проще говоря, диверсификация уменьшает нефакторный риск.

3. Метод пространственной выборки

Метод пространственной выборки (gross-sectional approaches) менее распространен, чем метод временных рядов, но часто оказывается не менее мощным средством. Построение модели начинается с оценки чувствительности ценных бумаг к определенным факторам. Затем для некоторого периода времени оцениваются значения этих факторов на основе анализа доходностей ценных бумаг и их чувствительности к факторам. Этот процесс повторяется для большого числа временных интервалов, что позволяет дать оценки для стандартных отклонений факторов и их корреляций.

Заметим, что метод пространственной выборки совершенно отличен от метода временных рядов. В последнем методе известны значения факторов, а чувствительности к ним оцениваются. После чего анализ проводится для одной ценной бумаги на большом числе временных интервалов, затем для другой ценной бумаги и т.д. В методе пространственной выборки известны чувствительности, а оцениваются значения факторов. В этом методе чувствительности иногда называются атрибутивными (attribute). Анализ в этом методе проводится для одного временного интервала и группы ценных бумаг, затем для другого временного интервала и той же группы бумаг и т.д. С целью иллюстрации метода пространственной выборки мы переходим к рассмотрению примеров однофакторной и двухфакторной моделей.

Однофакторные модели

На рис. 1.3 приведен гипотетический пример связи между доходностями акций нескольких типов за определенный период времени и одним из атрибутов ценных бумаг - ставкой дивиденда - для каждого типа акций. Каждая точка относится к одному определенному типу акций, показывая их доходность и ставку дивиденда в рассматриваемом временном интервале. В этом примере акции с более высокой ставкой дивиденда имеют тенденцию к более высокой доходности, чем акции с низкой ставкой дивиденда. В то время как рис. 1.З (пример метода пространственных выборок) основан на использовании данных по различным типам акций для одного момента времени, рис. 1.1 (пример метода временных рядов) основан на данных по одному типу акций для различных моментов времени.

Для того чтобы получить количественное выражение связи, показанной на рис. 1.З, статистическим методом простой регрессии было проведено приближение точек прямой линией. Уравнение для прямой на рис. П.З имеет вид:

r_it=4+0.5b_it,

или в более общем виде:

r_it=a₁+b_itF_t,

где r_it- ожидаемая доходность акций типа i в период t при условии, что фактическое значение фактора равнялось F₁;

а₁ - нулевой фактор в период r,_it - ставка дивидендов акций типа i в период r,

F_t - фактическое значение фактора в период t.

Вертикальное смещение а: дает ожидаемую доходность типичных акций с нулевой ставкой дивиденда. Поэтому, как и в случае уравнения (1.1), оно называется нулевым фактором. На рис. 1.3 он равен 4%. Наклон, равный 0,5, соответствует приросту ожидаемой доходности на каждый процент ставки дивиденда. Поэтому он представляет собой фактическое значение фактора ставки дивиденда (F_t) в рассматриваемом временном интервале.

Из этого примера видно, что метод пространственной выборки использует чувствительности для оценки значений факторов. Поэтому такие факторы называются эмпирическими. В методе временных рядов, напротив, известные значения факторов используются для получения оценок чувствительности ценных бумаг. Такие факторы называются фундаментальными (fundamental).

Фактическая доходность по любой данной ценной бумаге может лежать выше или ниже прямой линии благодаря нефакторному компоненту доходности. Поэтому полное описание соотношений факторов в рассматриваемой однофакторной модели дается уравнением:

_it =4 + 0,5b_it + e_it

где е обозначает нефакторную доходность ценной бумаги / во временном интервале t. Ценная бумага X имела ставку дивиденда 6%. Поэтому согласно уравнению она имела в этот период ожидаемую доходность, равную 7% (4 + 0,5 х 6). Поскольку ее фактическая доходность равнялась 9%, то ее нефакторная доходность составила +2% (9%-7%).

В периоды, подобные тому, акции с высокой ставкой дивиденда приносят больший доход, чем акции с низкой ставкой дивиденда. Это указывает на положительность фактора ставка дивиденда в этом временном интервале. Однако в другом временном интервале акции с низкой ставкой дивиденда могут дать большую доходность, чем акции с высокой ставкой дивиденда. Прямая регрессии на соответствующей диаграмме шла бы вниз, и фактор ставки дивиденда был бы отрицательным. Кроме того, в некоторых временных интервалах связь между ставкой дивиденда и обычной доходностью может вообще отсутствовать. В этом случае прямая регрессии горизонтальна, а фактор ставки дивиденда равен нулю.

Вывод

Итак, факторная модель соответствует процессу формирования дохода, связывающему доходности ценных бумаг с изменениями одного или нескольких общих факторов.

Предполагается, что любой аспект доходности ценной бумаги, не объясненный факторной моделью, является специфическим для данной ценной бумаги и, следовательно, не коррелирован со специфическими компонентами доходностей других ценных бумаг.

Рыночная модель является частным примером факторной модели, в которой фактором является доходность по рыночному индексу.

Предположение о том, что доходности ценных бумаг реагируют на общие для них факторы, значительно упрощает задачу вычисления кривой эффективного множества Марковица.

Чувствительность портфеля к фактору равна взвешенной средней чувствительностей составляющих его ценных бумаг. При этом весами служат доли, в которых ценные бумаги входят в портфель. Полный риск для ценной бумаги складывается из факторного риска и нефакторного риска.

Список литературы:

1. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2001. - XII, 1028 с.