Статистическая обработка результатов многократных наблюдений параметров датчика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский Государственный университет аэрокосмического приборостроения

Преподаватель Румянцев В.В.

Курсовая работа

На тему: «Статистическая обработка результатов многократных наблюдений параметров датчика»

Вариант 41

Выполнила студентка

гр. 7711ВЦ Вавилова Т.А.

Санкт - Петербург

г.

Содержание

Введение

.        Устройство, описание характеристики прибора

.        Задание

.1 Определение оценок математического ожидания и СКО по выборке

.2 Отбраковка грубых и аномальных результатов

.3 Преобразование выборки в вариационный ряд. Построение гистограммы и полигона эмпирической функции распределения

.4 Интервальное оценивание среднего

.5 Формулировка и проверка гипотезы тождественности теоретического и эмпирического закона распределения выборки

Литература

Введение

Порядок и методику выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями, обработки наблюдений и оценки их погрешностей регламентирует ГОСТ 8.207-76. Методы статистической обработки результатов измерений сводятся к определению числовых оценок параметров соответствующих законов распределения. Поэтому необходимо знание методов определения по экспериментальным данным числовых характеристик законов распределений.

Исследуемая схема:

При статистической обработке результатов наблюдений выполняют следующие операции:

1. Исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений.

Систематические погрешности исключают путем:

·   ликвидации источников погрешностей до начала измерения;

·   исключения погрешностей в процессе измерения способами замещения, компенсации погрешности по знаку, противопоставления, симметрических наблюдений;

·   внесения вычисленных поправок в результат измерения.

Результат наблюдений, в который введены поправки с целью устранения систематических погрешностей, считается исправленным.

1. Вычисление:

а) среднего арифметического (центра распределения погрешностей) исправленных результатов наблюдений, принимаемого за результат измерения;

б) оценки среднего квадратического отклонения результата наблюдения и измерения;

в) доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерения (при этом проверяют гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению).

1.      Устройство, описание и характеристики прибора

Абсолютное значение уровня или отклонение уровня от номинального значения измеряется уровнемерами. Измерение уровня происходит как в открытых сосудах, так и в ёмкостях, находящихся под давлением. Уровнемеры можно разделить на приборы узкого и широкого диапазона измерения. Уровнемеры узкого диапазона имеют нулевую точку в середине шкалы, соответствующую требуемой высоте уровня, и деления, показывающие отклонения от нормального уровня в обе стороны от нуля. Уровнемеры второй группы имеют одностороннюю шкалу. Деления шкалы в этом случае показывают высоту уровня над дном сосуда.

Приборы для измерения уровня материалов подразделяются на визуальные (с непосредственными наблюдениями за положением уровня); поплавковые, у которых чувствительным элементом является поплавок, погруженный в измеряемую жидкость. Кроме того, имеются уровнемеры пружинные с чувствительным элементом в виде пружины, где давление столба жидкости уравновешивается упругой деформацией пружины; емкостные, у которых используется изменение электрической емкости датчика при измерении уровня измеряемой среды; контактные; радиоактивные, основанные на учете изменения протекающего через измеряемую среду потока излучения при изменении уровня.

Визуальные уровнемеры применяют для измерения уровня жидкостей. Они построены по принципу сообщающихся сосудов. Уровнемер имеет стекло, закрепляемое так, что середина его находится на высоте требуемого уровня. При этом высота стекла должна охватывать всю зону колебания уровня.

Поплавковые уровнемеры. Измерение уровня жидкости при помощи поплавка, частично погруженного в жидкость, основано па том, что поплавок в сосуде может перемещаться по вертикали, фиксируя тем самым уровень жидкости. При достижении верхнего или нижнего положения контролируемого уровня поплавок при помощи переключателей замыкает электрические сигнальные цепи. Переключатели можно присоединить к устройствам, которые изменяют уровень жидкости (насосы, кран и т. п.), или устройствам сигнализации.

Мембранный уровнемер предназначен для измерения уровня жидкости в резервуарах. Принцип действия этого прибора основан на уравновешивании давления гидростатического столба жидкости силой упругой деформации мембраны.

Давление измеряемой жидкости подается к мембране. Под действием давления мембрана прогибается, а вместе с ней прогибается и пружина. Мембрана перемещает стрелку.

Дифференциальными манометрами можно измерять уровень жидкости в сосудах, находящихся под давлением или без него. Диапазон измеряемого уровня очень широк: от миллиметров до нескольких метров. Кроме того, результаты измерения можно передавать на расстояние различными способами (пневматическим; электрическим и т. п.).

Схему измерения уровня в открытом резервуаре дифманометром применяют, например, для измерения уровней в резервуарах водонапорных башен. Дифманометр при помощи трубки присоединяют к резервуару, уровень в котором измеряют. Величина перепада давления в камерах дифманометра равна давлению столба жидкости в резервуаре.

Обычно дифманометр устанавливают ниже дна резервуара. В связи с этим для устранения влияния на показания дифманометра столба жидкости в соединительной трубке устанавливают уравнительный сосуд, который заполняют той же жидкостью, что и резервуар.

При измерении уровня в открытом резервуаре уравнительный сосуд устанавливают на отметке минимального уровня и соединяют в верхней части с атмосферой, а для поддержания постоянства уровня жидкости в уравнительном сосуде предусматривают слив в дренаж через запорный вентиль. При контроле уровня жидкости в резервуаре, находящемся под давлением, уравнительный сосуд также соединяется с резервуаром.

Емкостные уровнемеры предназначены для контроля и сигнализации положения уровня материала в резервуарах, бункерах и т. п. Контролируемыми средами могут быть жидкие, гранулированные, мелкокусковые и другие материалы.

Емкостный сигнализатор уровня состоит из электронного блока и электрода, соединенных кабелем. Электронный блок прибора состоит из генератора высокой частоты, электрически связанного с емкостным электродом.

Принцип действия сигнализатора уровня основан на изменении величины емкости электрода в зависимости от изменения уровня сред. Генератор настроен таким образом, что при изменении емкости изменяется анодный ток и срабатывает реле, включенное в анодную цепь лампы, и, следовательно, происходит замыкание или размыкание контактов реле.

Контактные уровнемеры. Дистанционный контроль заполнения бункеров сыпучим материалом можно вести приборами с контактной системой. На различной высоте в стенке бункера последовательно устанавливают контактные устройства, к которым подключают сигнальные лампочки, находящиеся на диспетчерском пульте. Контакты замыкаются при давлении на них сыпучих материалов. Число горящих ламп на пульте дает возможность грубо, по ступеням следить за наполнением бункеров.

Радиоактивные уровнемеры. Способ такого измерения основан на том, что при прохождении радиоактивных лучей через вещество интенсивность их падает. Источник и приемник (счетчик) гамма-излучения устанавливают в одной горизонтальной плоскости, но с разных сторон сосуда, в котором измеряют уровень. Когда уровень опускается ниже плоскости, переходящей через источник и приемник, интенсивность лучей, поступающих в счетчик, резко увеличивается. С повышением уровня выше отсчетной плоскости резко понижается и даже прекращается поступление гамма-лучей к счетчику. Измеряя интенсивность поглощения, можно определить положение уровня.

Для измерения уровня обычно используют радиоактивные изотопы, а для определения интенсивности излучения - ионизационные камеры, которые подключают к электронному усилителю, имеющему счетное или сигнальное устройство.

Для измерения уровня жидкости применяют реостатный датчик (реостатный уровнемер). Действие такого датчика (рис. 1) основано на преобразовании линейного перемещения троса в изменение омического сопротивления реостата.

Рис. 1. Реостатный датчик

Поплавок 8, воспринимающий измеряемый уровень через трос 7, передает шкиву 6 момент, вызывающий поворот вала 3. Этот поворот передается движку 2, который скользит по поверхности реостатного преобразователя 1, в результате чего сопротивление реостата изменяется. Реостат включается в цепь измерительного прибора. Пружина 4 является возвратной; стопорный кулачок 5 предохраняет движок реостата от поворота. Груз 9 осуществляет натяг троса; его масса в несколько раз больше массы поплавка, и масса последнего формально отнесена к массе груза. Груз жестко связан с поплавком.

.        Задание

Дана выборка, состоящая из 35(n) значений наблюдений:

.7954 201.0350 201.3435 198.2183 199.4384 200.1320 200.9349

.4840 200.0322 200.8534 198.7674 200.8668 199.9703 196.6965

.5793 200.4722 201.0887 201.6002 201.8810 198.4941 198.9623

.3860 199.1175 199.3512 199.5562 200.6655 199.6490 199.9112

.1890 200.1880 200.3290 202.1653 200.5705 201.1986 201.7837

.1 Определение оценок математического ожидания и СКО по выборке

.Вычисление математического ожидания исправленных результатов наблюдений.

Наиболее эффективной оценкой центра распределения погрешностей для распределения погрешностей, близких к нормальному закону, является среднее арифметическое х.

Несмещённой, состоятельной, эффективной оценкой для генерального среднего математического ожидания нормального распределения является выборочное среднее х, определяемое по формуле

где x1; x2 ….;xn - совокупность значений случайной величины.

n - число наблюдений.

. Оценка среднего квадратического отклонения результата наблюдения.

где S(x) - оценка среднего квадратического отклонения результата измерения;

х - результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);

xi - i-й результат наблюдений.

По формуле (1):

По формуле (2):

2.2 Отбраковка грубых и аномальных результатов

наблюдение погрешность распределение выборка

Отбраковка грубых и аномальных результатов проводится с целью исключения их из дальнейшей обработки. Если эти результаты не являются промахами, то необходимо подвергнуть результаты статистическому анализу. Существуют различные критерии отбраковки. Наиболее часто употребляемый критерий, основан на использовании значений интеграла вероятности,

 (3)

т.е. на предположении, что результаты измерений распределены по нормальному закону.

Порядок действий по этому критерию следующий.

По формулам (1) и (2) определяют оценки математического ожидания х и среднеквадратического отклонения S; для сомнительного результата хс вычисляют величину

 (4)

по таблице интеграла вероятности находят значение Ф(zc), если величина 2Ф(zc) близка к единице, то результат считается грубым и может быть отброшен. После его исключения из выборки вычисления по формулам 1 - 2 повторяются.

Частным случаем рассмотренного критерия является широко применяемое правило “трех сигм“, в соответствии, с которым погрешность  считается грубой, если она превосходит 3S.

Для этого находим S по формуле:

Отсюда S

Ни одна из погрешностей  не превосходит , следовательно грубых погрешностей нет и мы ничего не отбрасываем.

.3 Преобразование выборки в вариационный ряд. Построение гистограммы и полигона эмпирической функции распределения

Вариационный ряд имеет вид:

196.6965 197.1890 198.2183 198.4840 198.4941 198.5793 198.7674 198.9623

.1175 199.3512 199.4384 199.5562 199.6490 199.7954 199.9112 199.9703

.0322 200.1320 200.1880 200.3290 200.3860 200.4722 200.5705 200.6655

.8534 200.8668 200.9349 201.0350 201.0887 201.1986 201.3435 201.6002

.7837 201.8810 202.1653

Строим интервальный ряд. Значение длины интервала I должно быть круглым числом, поэтому выберем I= 0,5. При этом в пределах от 196.6965 до 202.1653 число интервалов N=11. Подсчитав ni отсчётов в каждом интервале и определив частности по формуле (6), представим интервальный ряд в виде таблицы 1.

 (6)

где ni - число результатов в i - ом интервале.

От частостей переходят к эмпирической плотности вероятности

 (7)

Таблица 1

Полученные результаты оформляют графически. По оси абсцисс х откладываются интервалы и на них, как на основаниях, строятся прямоугольники с высотами  Получается ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, которую называют гистограммой. Полная площадь ее, как следует из способа построения, равна 1.

Иногда эмпирическую плотность вероятности отображают с помощью полигона - ломаной линии, отрезки которой последовательно соединяют средние точки интервалов.

2.4 Интервальное оценивание среднего

Интервальным или доверительным оцениванием называют оценивание, при котором по данным выборки определяют интеграл, накрывающий истинное значение оцениваемого параметра с заданной вероятностью. Интегральное оценивание особенно необходимо при малом объеме выборки, когда точечная оценка мало надёжна.

Сущность интервального оценивания сводиться к определению характеристик точности и надежности выборочного результата при отнесении его к генеральной совокупности. Доверительный интервал характеризует точность выборочного результата, а доверительная вероятность - его надежность .Чем меньше доверительный интервал и чем больше доверительная вероятность, тем точнее и надежнее разультат.

Интервальная оценка может быть представлена в виде:

где ε - положительная величина.

Интервал , обозначающий область возможных значений , которая с вероятностью  накроет истинное значение искомого параметра , называется доверительным интервалом, а вероятность P=ζ доверительной вероятностью.

Доверительный интервал можно находить при двух разных случаях:

.точность измерений заранее известна

.точность измерений заранее неизвестна

.Если точность измерений заранее известна.

В этом случае в предположении, что погрешности измерения подчиняються нормальному закону, интервальное оценивание можно производить с помощью функции Лапласа.

Задаемся доверительной вероятностью γ. Оценка  при большом числе измерений распределена нормально около  со среднеквадратическим отклонением.

Следовательно: γ =

Отсюда:

Или при  ;

Величину  по известной вероятности γ/2 находим по таблице Лапласа, после чего находим искомую величину

 , (6)

которая и определит доверительный интервал.

.Если точность измерений заранее неизвестна.

В этом случае оценку  и в выражении для заданной доверительной вероятности используют теперь эту величину вместо  в предыдущем случае.

.

Статистика  распределена по закону Стьюдента,(так называемое t - распределение) с плотностью

 ,

где k = n-1 - число степеней свободы;

Г- гамма-функция.

Соответственно для доверительной вероятности, обозначая

, имеем ,

где функция

имеет смысл вероятности того, что . Эта функция табулирована для значений  в зависимости от k и γ (или риска β=1-γ).

По этим таблицам для γ и k находят значение , а по нему искомую величину

.

Таким образом, построение доверительной оценки в данном случае по сравнению с предыдущим сводиться к замене  на  и использованию вместо таблиц функции Лапласа таблиц t-распределения Стьюдента.

Точность измерений нам заранее известна, поэтому относительно данной нам выборки воспользуемся первым случаем.

Для интервального оценивания математического ожидания зададимся доверительной вероятностью γ=0,95. Точность измерения заранее неизвестна, поэтому для определения доверительного интервала ε используем распределение Стьюдента.

k=n-1 - число степеней свободы

γ=0,95

k=35-1=34

tγ,k=2.048

Доверительный интервал:

В результате получаем доверительный интервал:

2.5 Формулировка и проверка гипотезы тождественности теоретического и эмпирического закона распределения выборки

Необходимо проверить гипотезу Н0, состоящую в том, что случайная величина x распределена по нормальному закону f(x), относительно гипотезы Н1, предполагающей, что она не подчиняется этому распределению. Критерии, по которым проверяется исходная гипотеза, называется критериями согласия. Их несколько: c2 Пирсона, Колмогорова, Смирнова и другие.

Рассмотрим наиболее часто употребляемый c2 -критерий. Его применение предопределяется тем, что: 1) не надо знать априори параметры предполагаемого теоретического распределения, оперируют с их оценками, определяемыми по выборке, 2) из всех других критериев он отличается наибольшей мощью, т. е. минимальной вероятностью ошибки второго рода.

.        Находим по выборке из n результатов измерений оценки математического ожидания и дисперсии в генеральной совокупности

По формуле (1):

По формуле (5):

S=

3.        ,

где - начало,  - конец интервала

4.      Определение теоретического числа результатов в каждом интервале

5.      Вычисление критерия согласия

 =

.        Задаются уровнем значимости a=, где p - доверительная вероятность, и по таблицам c2 - распределения для заданного уровня значимости и числа степеней свободы k=N-r-1, где r - число параметров предполагаемого распределения, определяемых по выборке (для нормального закона r=2), находят критическое значение . Если рассчитанное значение c2 < , то гипотезу принимают, в противном случае - отвергают.

p = 0.95

a = |1-0.95|=0.05=6-2-1=3

a=0,05

=7,82

c2 > - Н0 отвергаем, Н1 принимаем.

Литература

1. И.Ф. Шишкин "Основы метрологии, стандартизации и контроля качества." Изд. Стандартов; М.-1988.

2. В. Г. Глаголевский "Электрорадиоизмерения и обработка результатов наблюдений" : Учебное пособие/ Под ред. В. Г. Глаголевского; ЛИАП. Л., 1987. 80 с.: ил.

3. Интернет:

<http://masterstroy.org/stroymaterialy/proizvodstvo_zhbi_izdeliy/izmerenie_urovnya_zhidkostey3/>

<http://sokiche.chooseme.ru/effects/catalog/est/byId/description/1212/index.html>