Бинарное дерево
Министерство
образования Республики Беларусь
Учреждение
образования
Белорусский
государственный университет информатики и радиоэлектроники
Факультет
непрерывного и дистанционного обучения
Кафедра
программного обеспечения информационных технологий
Контрольная
работа
Бинарные
деревья
Минск
- 2011
Введение
Цель работы:
) Изучить нелинейные динамические
структуры данных в виде бинарного дерева.
) Научиться решать прикладные задачи
с помощью структуры данных бинарное дерево.
Построить дерево двоичного поиска,
вывести его на экран компьютера любым способом (графически, вложенными скобками
или отступами)
Текст программы размещен в
приложении.
бинарный дерево компьютер программа
Построение дерева
Построение дерева состоит в
последовательном вводе простых чисел из массива в следующей последовательности:
5, 4, 8, 6, 1, 7, 3, 9. Дерево строится, начиная с корня. Алгоритм построения:
Если узел пустой, то число
помещается в него.
Если же он непустой, то входное
число сравнивается с числом узла. В случае, если он больше, то он рекурсивно
переносится в правое поддерево; если же меньше - в левое.
Таким образом, мы получим бинарное
дерево поиска (рис. 1).
Рисунок 1 - Построенное бинарное
дерево
В представлении дерева применялись
отступы. Перед представлением необходимо определить высоту дерева. Высота
дерева определяется как максимальный путь ее прохождения сверху-вниз. В данном
случае высота дерева (переменная h) равна 4.
Представление дерева строится на
двух массивах и на цикле, начиная со значения высоты дерева до 1. При данной
итерации из одного массива в выходную строку с установленными отступами при
помощи функции sc(s), где s - число, определяемое значением итерации (уровнем
дерева) в зависимости от местоположения узла (листа) в дереве, выносятся узлы
(листья) дерева одного уровня. При этом потомки этих узлов заносятся в другой
массив (т.е. в массив помещаются узлы и листья следующего уровня по итерации).
Первоначально в один массив заносится корень дерева, а его потомки в другой
массив. Если у узла нет потомка, в массив заносится цифра 0 (либо два нуля,
если это лист). Если же вместо узла - 0, то здесь проверяется последний ли
уровень дерева. В случае отрицательного ответа - в массив помещаются два нуля.
Это необходимо, чтобы корректно рассчитать количество отступов на данном уровне
дерева, в частности между листьями 3 и 7. В
конечном счете, получаем представление дерева, показанное на рис. 2
Рисунок 2 - Представление дерева
Реализовать три обхода дерева:
сверху-вниз, слева-направо и снизу- вверх. Вывести обходы на экран компьютера.
Рекурсивные
алгоритмы прохождения бинарного дерева по каждому из способов обходов включают
3 одинаковых процедуры, где нужно пройти корень поддерева, левое поддерево
текущего корня и правое поддерево текущего корня. Направление обхода однозначно
определяет последовательность выполнения указанных процедур.Сверху-вниз. Прямой
порядок прохождения означает обход в направлении сверху-вниз, когда после
посещения очередного разветвления продолжается прохождение вглубь дерева, пока
не пройдены все потомки достигнутого узла. По этой причине прямой порядок
прохождения часто называют нисходящим, или прохождением в глубину.
Рисунок 3 - Обход сверху-вниз
Слева-направо. При симметричном
порядке дерево проходится слева-направо, порождая лексиграфически упорядоченную
последовательность ключей узлов. Симметричность порядка выражается в том, что
если бинарное дерево отразить относительно вертикальной оси, поменяв местами
левые и правые узлы, то симметричный порядок прохождения заменится на
противоположный лексиграфический.
Рисунок 4 - Обход слева-направо
Снизу-вверх. Если применяется концевой
порядок прохождения, то получается обход дерева снизу-вверх, когда в момент
посещения любого узла все его потомки уже пройдены, а корень дерева проходится
последним. Из-за этой особенности обхода, концевой порядок часто называют
восходящим или обратным относительно прямого.
Рисунок 5 - Обход снизу-вверх
Выполнить симметричноправую прошивку
дерева.
Под прошивкой дерева понимается
замена по определенному правилу пустых указателей на сыновей указателями на
последующие узлы, соответствующие обходу. Симметричноправая прошивка
подразумевает обход слева-направо.
Рисунок 6 - Симметричноправая
прошивка дерева
Процедура прошивки, в которой
осуществляется обход, проводит поиск листьев и узлов, для которых требуется
прошивка (в частности это листья 3, 7, 9 и узел 4). Когда этот лист или узел
обнаруживается, инициализируется дополнительная процедура, которая таким же
обходом находит узел, к которому прошивается лист или узел, найденный первичной
процедурой (3, 7, 9 и 4). Такими узлами являются 4, 5 и 8.
Выводы:
в ходе выполнения работы были
изучены нелинейные динамические структуры данных в виде бинарного дерева;
была решена задача, связанная со
структурой данных - бинарное дерево (создание, представление, обходы и прошивка
дерева).
Приложение
bin_tree;n = 8;pnode = ^node;
node = record
v : integer;
right, left : pnode;
lf, rf : boolean;
end;root : pnode;
st : boolean; {флажок для
определения прошито ли дерево}
v : integer;
right, left : pnode;
j, h, i, answ, answ2 : integer;m :
array[1..n] of integer = (5,4,8,6,1,7,3,9);
{------------ create of tree
-------------}Insert(var root: pnode; X: integer);
{Дополнительная процедура,
создающая и инициирующая новый узел}
procedure CreateNode(var p :
pnode; n : integer);
begin
new(p);
p^.v := n;
p^.left := nil;
p^.right := nil;
end;
if root = nil then
CreateNode(root, X) {создаем новый
узел дерева}
else
with root^ do
begin
if v < X then
Insert(right, X)
if v > X then
Insert(left, X)
else
{Действия, производимые в
случае повторного внесения
элементов в дерево}
begin
writeln('Такой элемент уже
есть');
exit;
end;
end;
;
{--------- View of tree
--------------------}ViewTree(root : pnode);mas1, mas2 : array[1..8] of
integer;
q, m1, m2 : integer;
Sch, Chl, Chr : pnode;
{функция для определения количества
отступов}
function sc(s : integer) : integer;
var c, c1, w : integer;
begin
c := 0;
sc := 0;
s := s-1;
if s = 0 then
exit;
for w := 1 to s do
begin
c1 := 1+2*c;
c := c1;
end;
sc := c1;
end;
{поиск узла или листа дерева по
значению v}
procedure Search(root : pnode; s :
integer);
begin
if root^.v = s then
begin
Sch := root;
exit;
end;
if root = nil then
exit
else
begin
Search(root^.right, s);
Search(root^.left, s);
end;
end;
{занесение потомков узлов дерева
одного уровня во 2-ой массив}
procedure ToMas2;
begin
if Sch^.left <> nil then
begin
Chl := Sch^.left;
m2 := m2+1;
mas2[m2] := Chl^.v;
end
else
begin
m2 := m2+1;
mas2[m2] := 0;
end;
if Sch^.right <> nil then
begin
Chr := Sch^.right;
m2 := m2+1;
mas2[m2] := Chr^.v;
end
else
begin
m2 := m2+1;
mas2[m2] := 0;
end;
{занесение потомков узлов дерева
следующего уровня в первый массив}
procedure ToMas1;
begin
if Sch^.left <> nil then
begin
Chl := Sch^.left;
m1 := m1+1;
mas1[m1] := Chl^.v;
end
else
begin
m1 := m1+1;
mas1[m1] := 0;
end;
if Sch^.right <> nil then
begin
Chr := Sch^.right;
m1 := m1+1;
mas1[m1] := Chr^.v;
end
else
begin
m1 := m1+1;
mas1[m1] := 0;
end;
end;
{если уровень дерева не является
последним - заносим 2 нуля в первый массив}
procedure NilToMas1;
begin
if i > 1 then
begin
m1 := m1+1;
mas1[m1] := 0; {первый ноль}
m1 := m1+1;
mas1[m1] := 0; {второй ноль}
end;
end;
{если уровень не последний -
заносим нули во второй массив}
procedure NilToMas2;
begin
if i > 1 then
begin
m2 := m2+1;
mas2[m2] := 0;
m2 := m2+1;
mas2[m2] := 0;
end;
end;
mas1[1] := root^.v;
m1 := 1;
m2 := 0;
for i := h downto 1 do
begin
writeln;
{отображаем первый элемент
уровня}
if mas1[1] = 0 then
begin
NilToMas2;
write('':(sc(i)+1));
end
else
begin
write('':sc(i), mas1[1]);
Search(root, mas1[1]);
ToMas2;
end;
{отображаем остальные элементы,
если уровень дерева не содержит корень}
if m1 > 1 then
begin
if mas1[q] = 0 then
begin
NilToMas2;
write('':(sc(i+1)+1));
end
else
begin
write('':sc(i+1),
mas1[q]);
Search(root, mas1[q]);
ToMas2;
end;
end;
m1 := 0;
{на следующий уровень}
if i = 1 then
break
else
i := i-1;
writeln;
if mas2[1] = 0 then
begin
NilToMas1;
write('':(sc(i)+1));
end
else
begin
write('':sc(i), mas2[1]);
Search(root, mas2[1]);
ToMas1;
end;
for q := 2 to m2 do
begin
if mas2[q] = 0 then
begin
NilToMas1;
write('':(sc(i+1)+1));
end
else
begin
write('':sc(i+1),
mas2[q]);
Search(root, mas2[q]);
ToMas1;
end;
end;
m2 := 0;
{на следующий уровень}
end;;
{------------- Прямой порядок
прохождения -------------}PrintDown(level : integer; root : pnode);
{в этом обходе заодно рассчитаем
высоту дерева h для его представления}
if root = nil then
exit;
with root^ do
begin
{для прошивки дерева
устанавливаем флажки}
if right = nil then
rf := false;
lf := false;
{определяем высоту дерева}
if (left = nil) and (right = nil)
then
begin
j := j+1;
if h < j then
{высотой дерева является его
максимальный путь прохождения}
h := j;
j := 0;
end;
writeln('':2*level, v);
j := j+1;
PrintDown(level+1, left);
PrintDown(level+1, right)
{--------------- Симметричный
порядок прохождения -------}PrintLex(level : integer; root : pnode);
if root = nil then
exit;
with root^ do
begin
PrintLex(level+1, left);
writeln('':2*level, v);
PrintLex(level+1, right);
end;
{----------- Концевой порядок
прохождения ----------}PrintUp(level : integer; root : pnode);
if root = nil then
exit;
with root^ do
begin
PrintUp(level+1, left);
PrintUp(level+1, right);
writeln('':2*level, v);
end;
{------------ прошивка ------------------------------}Threading(x
: pnode);p : pnode;
stop : boolean;
{устанавливаем указатель}
procedure rightPointer(y :
pnode; i : integer);
begin
if stop = true then
exit;
j := j+1; {подсчитываем число
рекурсий}
if y = nil then
exit;
with y^ do
begin
rightPointer(left, i);
if (j > i) and (rf =
true) then
begin
j := 0;
writeln('Прошиваем ',
x^.v, ' элемент с ', v);
x^.right := y;
{сворачиваем рекурсию}
stop := true;
{помечаем, что узел или
лист прошит}
x^.lf := true;
exit;
end;
if lf = true then
exit;
rightPointer(right, i);
end
end;
i := i+1; {подсчитываем число
рекурсий}
if x = nil then
exit;
with x^ do
begin
rf := true; {помечаем, что узел
или лист посещался}
Threading(left);
if (rf = true) and (right = nil)
then
{если узел не прошит}
begin
stop := false;
{прошиваем его}
rightPointer(root, i);
end;
if (left = nil) and (right = nil)
then
{прошиваем лист}
begin
stop := false;
rightPointer(root, i);
end;
writeln(' ',v);
if lf = true then {если узел или
лист прошит}
exit; {выходим}
end;;
{------------- формирование дерева
---------------}Cycle;i := 1 to n do
Insert(root, m[i]);;
{----------------------------------------------------}
Cycle;
{определим высоту дерева обходом
сверху-вниз}
PrintDown(1, root);
writeln('Выберите действие');
while true do
begin
writeln('1 - провести обход, 2 -
отобразить дерево, 3 - выполнить прошивку, 4 - выход');
readln(answ);
case answ of
1 :
begin
if st = true then
writeln('Обход невозможен -
дерево прошито')
else
begin
writeln('Выберите обход: 1
- сверху-вниз, 2 - слева-направо, 3 - снизу-вверх');
readln(answ2);
case answ2 of
1 :
begin
writeln('Обход
сверху-вниз:');
PrintDown(1, root);
end;
2 :
begin
writeln('Обход
слева-направо:');
PrintLex(1, root);
end;
3 :
begin
writeln('Обход
снизу-вверх:');
PrintUp(1, root);
end;
end;
end;
end;
2 :
if st = true then
writeln('Дерево прошито - его
представление невозможно')
else
begin
writeln('Представление
дерева:');
{вызоваем процедуру
представления дерева}
ViewTree(root);
end;
3 :
begin
if st = true then
writeln('Дерево уже
прошито')
else
begin
writeln('Прошивка:');
i := 0;
j := 0;
Threading(root);
st := true;
end;
end;
4 : exit;
end;
writeln;
end;.