Полный исследование устойчивости и качества управления для разомкнутой и замкнутой систем
Введение
В теории автоматического регулирования основными являются проблемы:
устойчивости, качества переходных процессов, статической и динамической
точности, автоколебаний, оптимизации, синтеза и отождествления. Задачи общей
теории автоматического регулирования заключаются в решении перечисленных
проблем.
Задача коррекции состоит в повышении динамической точности САР в
переходных режимах. Она возникает, поскольку стремление снизить ошибки
регулирования в типовых режимах, приводит к необходимости использования таких
значений общего коэффициента усиления, при которых без принятия специальных мер
(внедрения пассивных звеньев) система оказывается неустойчивой.
Синтез системы имеет конечной целью отыскание:
) рациональной структуры системы
) установление оптимальных величин параметров отдельных звеньев.
Задача повышения точности САР обычно предполагает существенный пересмотр
ее структуры. Возможны замены или добавления отдельных звеньев в контуре.
1. Теоретическая часть
.1 Устойчивость
Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное
состояние после вывода ее из состояния равновесия и прекращения действия
возмущения. Устойчивость - это одно из основных требований, предъявляемых к
системе. Если система не устойчива, то она не работоспособна. Рассмотрим
математическое понятие устойчивости.
Движение линейной системы автоматического управления
описывается линейным, неоднородным уравнением:
при этом правая часть - входное воздействие, а левая - реакция
выхода.
1.1.1 Формулировку 1-й теоремы Ляпунова
Теорема Ляпунова (об устойчивости по первому приближению).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Решение
, 
системы
асимптотически устойчиво, если все собственные значения матрицы 
, 
имеют
отрицательные действительные части, если же хоть одно собственное значение
имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение неустойчиво.
1.1.2 Критерий Рауса-Гурвица
Рассмотрим условия отрицательности всех действительных частей корней
уравнения
с
действительными коэффициентами.
Необходимым
условием отрицательности всех действительных частей корней уравнения являются
неравенства 
, 
.
Матрица
вида
получаемая
заменой чисел 
с индексами 
или 
нулями, называется матрицей Гурвица.
Критерий
Рауса -Гурвица
Для
отрицательности всех действительных частей корней уравнения
необходимо
и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы
Гурвица:
1.1.3 Критерий Найквиста
Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем.
Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой
системы судить об устойчивости замкнутой системы.
Пусть
l корней характеристического уравнения разомкнутой системы находятся в
правой полуплоскости, а остальные (n - l) корней - в левой
полуплоскости. Тогда, для того чтобы замкнутая система была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ее
разомкнутой системы с ростом 
от 0 до 
охватывала точку (-1, j0) в положительном
направлении, т. е. против движения часовой стрелки, l/2 раз.
В
частности, если разомкнутая система устойчива (и, следовательно, l = 0),
то, для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно,
чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ее разомкнутой системы не
охватывала точку (-1, j0).
1.2 Показатели качества управления
К системам автоматического регулирования предъявляются требования не
только устойчивости процессов регулирования. Для работоспособности системы не
менее необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при
обеспечении определенных показателей качества процесса управления.
Если исследуемая САР является устойчивой, возникает вопрос о том,
насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет
ли оно технологическим требованиям объекта управления. На практике качество
регулирования определяется визуально по графику переходной характеристики.
Однако, имеются точные но более сложные математические методы, дающие
конкретные числовые значения.
Классификация показателей качества состоит из нескольких групп:
· прямые - определяемые непосредственно по переходной
характеристике процесса,
· корневые - определяемые по корням характеристического
полинома,
· частотные - по частотным характеристикам,
· интегральные - получаемые путем интегрирования функций.
1.2.1 Определение прямых показателей качества управления
Прямыми показателями качества процесса управления, определяемые
непосредственно по переходной характеристике являются:
1. Установившееся значение выходной величины Yуст,
2. Степень
затухания 
,
. Время
достижения первого максимума tmax,
. Время
регулирования tp,
. Ошибка
регулирования Ест (статистическая или среднеквадратическая
составляющие),
. Перерегулирование
у,
. Динамический
коэффициент регулирования Rd,
. Показатель
колебательности М.
Переходная характеристика, снятая на объекте управления, имеет
колебательный вид и представлена на рис. 1.
Рис. 1 - Определение показателей качества по переходной характеристике
Установившееся значение выходной величины Yуст
Установившееся значение выходной величины Yуст определяется по
переходной характеристике, представленной на рис.1.
Степень
затухания
Степень
затухания определяется по формуле:
где
А1 и А3 - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной характеристики рис.1.
Время достижения первого максимума tmax
Время достижения первого максимума tmax определяется по
переходной характеристике, представленной на рис.1.
Время регулирования tp
Время регулирования tp определяется согласно рис.1
следующим образом: Находится допустимое отклонение Д, например, задано Д = 5%Yуст
и строится «зона» толщиной 2 Д (см. рис.1). Время tp
соответствует последней точке пересечения Y(t) с данной границей. То
есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от
установившегося значения.
Настройки регулятора необходимо выбирать так, чтобы обеспечить минимально
возможное значение общего времени регулирования, либо минимальное значение
первой полуволны переходного процесса.
В непрерывных системах с типовыми регуляторами это время бывает
минимальным при так называемых оптимальных апериодических переходных процессах.
Дальнейшего уменьшения времени регулирования до абсолютного минимума можно
достичь при использовании специальных оптимальных по быстродействию систем
регулирования.
Ошибка регулирования Ест
Статическая ошибка регулирования Ест = Ув - Ууст,
где Ув - входная величина (см. рис.1). В некоторых САР наблюдается
ошибка, которая не исчезает даже по истечении длительного интервала времени -
это статическая ошибка регулирования Ест. Данная ошибка не
должна превышать некоторой наперед заданной величины. У регуляторов с
интегральной составляющей ошибки в установившемся состоянии теоретически равны
нулю, но практически незначительные ошибки могут существовать из-за наличия зон
нечувствительности в элементах системы.
Перерегулирование у
Величина перерегулирования у зависит от вида отрабатываемого сигнала. При
отработке ступенчатого воздействия (по сигналу задания) - см. рис.1 величина
перерегулирования у определяется по формуле:
где
значения величин Ymax и Yуст определяются согласно рис.1.
При
отработке возмущающего воздействия, величина перерегулирования у определяется
из соотношения:
где
значения величин Xm и X1 определяются согласно рис. 2.
Рис. 2 - График переходного процесса при отработке возмущения
Динамический коэффициент регулирования Rd
Динамический коэффициент регулирования Rd определяется из
формулы:
где
значения величин Y1 и Y0 определяются согласно рис. 3.
Величина динамического коэффициента Rd характеризует степень
воздействия регулятора на процесс, т.е. степень понижения динамического
отклонения в системе с регулятором и без него.
Показатель колебательности М
Показатель колебательности M характеризует величину максимума
модуля частотной передаточной функции замкнутой системы (на частоте резонанса)
и, тем самым, характеризует колебательные свойства системы. Показатель
колебательности наглядно иллюстрируется на рисунке 4.
Рис. 4 - График модуля частотной передаточной функции замкнутой системы
Условно считается, что значение М = 1,5 - 1,6 является оптимальным для
промышленных САР, т.к. в этом случае у обеспечивается в районе от 20% до 40%.
При увеличении значения M колебательность в системе возрастает.
.2.2 Определение частотных запасов устойчивости и показателей качества
Частотные показатели качества замкнутой САУ в переходном режиме могут
быть определены по АФЧХ системы в разомкнутом состоянии. Они позволяют оценить
устойчивость замкнутых систем косвенным путем с помощью частотных
характеристик. Доказательство частотных критериев основано на принципе
аргумента. Особенно удобны для этой цели логарифмические амплитудная и фазовая
характеристики.
Запас устойчивости характеризуют двумя показателями: запасом устойчивости
по усилению и запасом устойчивости по фазе.
Запас
устойчивости по усилению определяется величиной g =1/|H(jw0)|, где w0
- частота, на которой 
(рис. 5,а). Запас устойчивости g показывает, во
сколько раз должен измениться (увеличиться) модуль передаточной функции
разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе
устойчивости. Требуемый запас устойчивости зависит от того, насколько в
процессе работы может возрастать коэффициент передачи системы по сравнению с
расчетным.
Запас
устойчивости по фазе оценивается величиной угла
где
частота wсp , называемая частотой среза, определяется условием |H(jwcp)|=1
(рис. 5, б).
Величина
Dj показывает, насколько должна измениться фазовая характеристика
разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе
устойчивости. Запас устойчивости по фазе обычно считается достаточным, если
|Dj| ³
30°.
Рис.
5
Анализ
устойчивости с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик
Во
многих случаях разомкнутую систему управления можно представить в виде
последовательного соединения n типовых звеньев с передаточными функциями 
. При этом передаточная функция разомкнутой системы
определяется произведением
.
Логарифмическая
амплитудно-частотная характеристика
будет
равна сумме ЛАХ отдельных звеньев:
.
Поскольку
ЛАХ многих элементарных звеньев могут быть аппроксимированы отрезками прямых
линий, то ЛАХ 
разомкнутой системы управления также будет представлена
в виде отрезков прямых линий, имеющих наклоны к оси частот, кратные 20
децибелам на декаду.
1.3 Анализ разомкнутой и замкнутой систем
Анализ разомкнутой и замкнутой систем должен включать:
§ Анализ устойчивости разомкнутой системы по расположению полюсов.
§ Построение графиков переходного процесса и импульсной переходной функции
и определение по ним прямых показателей качества
§ Построение годографа Найквиста. Определение устойчивости и запасов
устойчивости.
§ Проверка устойчивости замкнутой системы но критерию Рауса-Гурвица
1.3.1 Анализ устойчивости разомкнутой системы по расположению
полюсов. Определение
числа правых полюсов
Устойчивость систем зависит от структуры и параметров
системы. При расчете систем автоматического управления возникает задача
опреде-ления диапазона изменения варьируемых параметров системы, при кото-рых
она устойчива.
Область устойчивости - это совокупность значений параметров
системы, при которых она устойчива.
Коэффициенты характеристического уравнения являются функциями
от параметров системы, и они определяют расположение корней в комплексной
плоскости, при изменении параметров корни перемещаются в комплексной плоскости
и система может стать не устойчивой.
Для определения областей устойчивости можно использовать
различные методы, наиболее часто используют метод D - разбиения. D-разбиение
может быть выполнено по одному и более параметрам.
1.3.2 Построение графиков переходного процесса и импульсной
переходной функции и определение по ним прямых показателей качества
Графическое представление переходных и импульсных функций называют
временными характеристиками. Временные характеристики представляют процессы,
происходящие в динамическом и статическом режимах. Переходной функцией h(t) называют функцию, описывающую сигнал на выходе при условии,
что на вход подано единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных
условиях. График переходной функции, представляющий собой зависимость функции h(t) от времени t,
называют переходной характеристикой. В том случае, если амплитуда единичного
ступенчатого воздействия отлична от единицы получают разновидность переходной
характеристики, которая называется кривой разгона.
Импульсной дикцией или весовой функцией w(t)
называют функцию, описывающую реакцию на единичное импульсное воздействие при
нулевых начальных условиях. График зависимости функции w(t) от времени называют импульсной переходной (импульсной
характеристикой).
1.3.3 Построение годографа Найквиста. Определение
устойчивости и запасов устойчивости
Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и
достаточно, чтобы при изменении w от -Ґ до +Ґ годограф разомкнутой системы W(jw)
(АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку
(-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит
знаменатель W(jw).
1. Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W(jw)
не должен охватить точку (-1, j0).
2. Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть
устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.
. Годограф W(jw) всегда начинается на оси
"+1". Но при порядке астатизма равном r, по причине
устремления W(jw) к Ґ (при w®0), видимая часть годографа
появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке.
Свойства годографа Найквиста
1. Годограф Найквиста спиралевиден.
2. При w®Ґ годограф W(jw)®0, т.к. нет безинерционных
систем. Рис. 6
. Годограф статических САР начинается из точки на вещественной
оси.
. Для положительных и отрицательных частот годографы зеркально
симметричны относительно оси "+1".
. Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению
годографа в Ґ и приращению его фазы на -180°.
1.3.4 Проверка устойчивости замкнутой системы по критерию
Рауса-Гурвица
Возьмем характеристический полином:
Составим из коэффициентов этого полинома определитель:
Этот определитель имеет n строк и n столбцов.
В главной диагонали оказываются последовательно все коэффициенты, кроме a0.
Условие устойчивости заключается в требовании положительности
определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.
В условия устойчивости в качестве их части входит
требование положительности всех коэффициентов уравнения (необходимое условие
устойчивости). Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого
необходимого, но недостаточного условия устойчивости. При его невыполнении,
естественно, отпадает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.
Следовательно, так как а0 > 0, а1 > 0, а2 >
0, а3 > 0, а4 > 0 - необходимое условие
выполняется, 1> 0, 2 > 0, 3
> 0, 4 > 0 - достаточное условие выполняется, то есть
система по критерию Рауса-Гурвица устойчива.
2. Расчетная часть
Дано: передаточная функция нескорректированной системы WHCK(s) заданы требования к качеству
управления для замкнутой системы.
|
№ вар.
|
 K
|
T1
|
T2
|
T3
|
v
|
σ, %
|
TP
|
C1
|
C2
|
|
|
1
|
 20
|
0,6
|
6
|
90
|
1
|
30
|
180
|
0,02
|
0,04
.1 Полный анализ устойчивости и качества управления для
разомкнутой и замкнутой систем
Передаточная функция разомкнутой системы
 
 
Передаточная
функция замкнутой системы:
 
Воспользовавшись преобразованием Лапласа, получим изображение переходной
функции
 ,
т.к.
 
Таким образом, переходная функция представляет собой обратное
преобразование Лапласа от передаточной функции звена, деленной на s.
Переходную характеристику скорректированной САУ, получаем через обратное
преобразование Лапласа, и сделаем это следующим образом:
Данная функция имеет вид:
Рис. 6 - Переходная характеристика нескорректированной исследуемой САУ
Из рисунка 6 видно, что исследуемая САУ неустойчива.
2.2 Оценка устойчивость замкнутой нескорректированной системы
регулирования по критерию Гурвица
Этот
критерий позволяет сказать, где находятся корни характеристического уравнения,
не решая его. Их коэффициентов характеристического уравнения  , составляют сначала главный определитель Гурвица
следующим образом:
Характеристическое
уравнение для данной САУ имеет следующий вид:
s4 + 597,64s3 + 93,6s2
+ s + 20 = 0
Для
устойчивости системы необходимо и достаточно чтобы все диагональные миноры
данного определителя были >0.
Составим
определитель Гурвица.
САУ
по критерию Гурвица - неустойчива, так как не все диагональные миноры
положительны.
2.3 Оценка устойчивости замкнутой системы по критерию
Найквиста
Устойчивость замкнутой системы определяем по АФХ разомкнутой. Сначала
определим устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица. Определим
характеристическое уравнение разомкнутой системы:
D(s) = 1,6s4 + 8,84s3
+ 40,3s2 + s
Составим определитель Гурвица.
Так как последний определитель равен 0, то разомкнутая система находиться
на границе устойчивости, и при построении графика его необходимо дополнить
дугой до положительной вещественной полуоси. И для устойчивости замкнутой
системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала
точку с координатами (-1; j0).
Характеристическое уравнение разомкнутой системы
 ,
где
s заменим
на j×w и
получим следующее выражение:
Где
 -
действительная компонента АФХ
 - мнимая
компонента АФХ
Рис. 7
Так как точка с координатами [-1; j0] находится под графиком, то по критерию Найквиста система
считается неустойчивой.
Замкнутая система неустойчивая, т.к. разомкнутая система охватывает точку
-1,j0
2.4 Частотные характеристики (построить АФЧХ, ЛАХ)
Применение частотных передаточных функций позволяет получить частотные
характеристики автоматических систем:
Амплитудная
частотная характеристика (АФЧХ):  .
Логарифмическая
амплитудная характеристика (ЛАХ):  .
Фазовая
частотная характеристика (ФЧХ):  .
Вещественная
частотная характеристика (ВЧХ): 
Мнимая
частотная характеристика (МЧХ): 
Частотная передаточных функций
 .
Тогда
 , где  -
действительные части, а  - мнимые части.
 
  .
   
  .
Рис. 8
.5 Метод Солодовникова
Метод Солодовникова позволяет построить корректирующее звено для
имеющейся системы так, чтобы обеспечит требуемые типовые показатели качества и
запас устойчивости по амплитуде и фазе.
В.В. Солодовников доказал, что в любой системе имеются следующие
зависимости между основными показателями качества переходного процесса и Р(ω).
§ σ% > 18%, если есть "горб", т.е. Рмах
> Р0;
§ σ% < 18%, если нет горба;
Рис. 9
Диаграммы Солодовникова устанавливают связь между σ%,
tпп, Рмах и ωс - частотой среза системы, то есть той частотой, где
усиление системы равно 1 или L(ωс) = 0.
Рис. 10
§ σ% > 18%, если есть "горб", т.е. Рмах
> Р0;
L(ωс) = 0, то есть ωс = 4Дб.
  .
Сделаем предположение, что первое корректирующее устройство (W correct 1) является коэффициентом, т.е. его передаточная
функция записывается в виде:
 где K1 примем равным 0,01
Далее
составим эквивалентную передаточную функцию данного участка системы:
 
Теперь
перейдем к синтезу последовательного корректирующего устройства:
Исходя
из требований к скорректированной системе, в установившемся режиме статическая
ошибка должна быть равна нулю (с0=0), соответственно, порядок
астатизма данной системы равен единице (υ=1).
Найдем
нормированную передаточную функцию (n=4):
Так
как система имеет астатизм первого порядка и степень полинома знаменателя равна
четырем, воспользуемся приложением А.1, откуда получим:
μ=0.79, A1=2.6, A2=3.8, A3=2.8
Для
того чтобы перейти к желаемой передаточной функции, необходимо ввести
коэффициент масштаба времени:
 , где Tзаду -
заданное время регулирования, τн - время работы нормированной переходной функции.
Далее
воспользуемся соотношением (р=sz) и перейдем к желаемой передаточной функции:
Найдем
передаточную функцию корректирующего устройства:
Окончательно:
Проверка
устойчивости скорректированной системы
Логарифмическая
амплитудная характеристика (ЛАХ): .
Фазовая
частотная характеристика (ФЧХ): .
Устойчивая
в разомкнутом состоянии система
будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза
не достигает - (-180°).
Система
устойчива.
Запас
устойчивости по фазе 180º,
по амплитуде 20 Дб.
Качественно
построим амплитудно-фазовую характеристику (АФХ)
Для проверки устойчивости используем частотный критерий
устойчивости Найквиста:
Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф
АФХ разомкнутой системы не охватывал точку с координатами (-1, j 0).
В нашем случае годограф не охватывает точку с данными
координатами, соответственно, делаем вывод, что система устойчива.
2.6 Переходная характеристика и определение показателей
качества скорректированной системы
Рис. 11 - Переходная характеристика скорректированной системы
По переходной характеристике определим основные показатели качества:
Время регулирования: Ту=20 с = Tзаду
Величина перерегулирования:
 < σзад
Коэффициенты
ошибок C0, С1, С2 определяем следующим
образом:
C0= [ ]S=0; C1=[ ]S=0; C2=[ ]S=0, где Фξ - передаточная функция замкнутой скорректированной
системы.
Для
нахождения первой и второй производной передаточной функции воспользуемся
программным продуктом MatCad:
S =0
C1=[]S=0=9.934·10-3 < c1зад =0.022=[]S=0= 1.98 ·10-3 < c2зад =0.04
Вывод
Проведя исследования нескорректированной системы автоматического
управления, мы выяснили, что она является неустойчивой, и ее качественные
показатели не соответствуют необходимым. Для исследования системы были
использованы критерии устойчивости Гурвица, Найквиста, а также использовались
программные продукты Matlab,
MatCad, что сильно упростило задачу
исследования.
Скорректированная система автоматического управления является устойчивой,
и ее качественные показатели соответствуют необходимым.
система автоматическое управление устойчивость
Литература
1.
Бронштейн
И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. -
М.: Наука, 1986.
2.
Брюханов
В.Н. и др. Теория автоматического управления. - М: Высшая школа, 2000.
3.
Егупов
Н.Д., Пупков К.А., Баркин А.И. Синтез регуляторов систем автоматического
управления. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
4.
Ким
Д.П., Дмитриева Н.Д. Сборник задач по теории автоматического управления.
Линейные системы. ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 168 с.
5.
Лукас
В.А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.
6.
Сборник
задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В.А.
Бесекерского. - M.: Наука, 1978.
7.
Справочник
по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского - М.: Наука,
198 - 712 с.
Похожие работы на - Полный исследование устойчивости и качества управления для разомкнутой и замкнутой систем
|