Методика изучения комплексных чисел в общеобразовательной школе

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованиягорода Москвы

"Московский городской педагогический университет"

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики его преподавания

Дипломная работа

По теме

Методика изучения комплексных чисел в общеобразовательной школе

Москва, 2010

Оглавление

комплексное число изучение школа

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические и методические основы изучения в школе теории комплексных чисел

.1 Элементы истории возникновения и становления теории комплексных чисел

.2 Исторический обзор изучения комплексных чисел в советской и российской общеобразовательной школе: программы и учебники

.3 Психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста

.4 Психолого-педагогические особенности восприятия темы «Комплексные числа» в старших классах

.5 Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа для 10 - 11 классов, содержащих тему «Комплексные числа»

Выводы по главе 1

Глава 2. Методическое обеспечение изучения комплексных чисел в 10 классе общеобразовательной школы

.1 Тематическое и поурочное планирование по учебнику

А.Г. Мордковича, Семенова П.В. «Алгебра и начала анализа»,10 класс

.2 Контрольно-проверочные материалы по теме «Комплексные числа»

.3 Экспериментальная проверка методических разработок

Выводы по главе 2

Заключение

Библиография

Введение

комплексное число математический анализ педагогический

Современное общество предъявляет выпускнику школы достаточно высокие требования. Эти требования касаются и общей культуры выпускника и научной культуры. В нашем случае мы будем говорить о математической культуре, а еще точнее - об алгебраической.

С первого класса и до окончания школы главным понятием алгебры является понятие числа. Изучение чисел идет последовательно - натуральные числа, дроби, целые числа, иррациональные, действительные. На этом общеобразовательная программа ставит точку, оставляя существенный пробел в знаниях ученика, так как естественным и логически правильным является формирование более общего понятия - понятия комплексного числа. И на это есть несколько причин. Во-первых, тема «Комплексные числа» традиционно входила в программы по математике старшей школы с углубленным изучением математики. Во-вторых, эта тема включена в государственный стандарт среднего (полного) образования по математике (профильный уровень). В частности, приведем выдержку из стандарта (раздел «Числовые и буквенные выражения»): «Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры». (Курсивом в тексте стандарта выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников).

В-третьих, комплексные числа важны как область математики, в которой в полную силу работают знания и умения, полученные учащимися при обучении алгебре и тригонометрии.

И в-четвертых, переход от действительных чисел к комплексным является завершающим шагом во всем изучении понятия числа в школьном курсе математики.

К старшим классам ученики обладают уже достаточно зрелым математическим развитием: они в состоянии понимать и уважать нужды самой математической науки. Введение комплексных чисел представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий, логической простоты и завершенности. Понятие о числе выстраивается в единое стройное целое. Кратко говоря, множество комплексных чисел получается из множества действительных чисел «добавлением» только одного нового числа , для которого , и всех линейных комбинаций вида  с действительными коэффициентами  и . При «добавлении» единственного корня специального квадратного уравнения  мы переходим к числам, в которых и любое квадратное, и любое кубическое, и любое уравнение -й степени имеет корни.

Вполне естественно также, что только в старших классах уместен полный, систематизирующий взгляд на развитие понятия числа.

Актуальность исследования определяется тем, что учащиеся должны иметь представление о множестве комплексных чисел, операций над ними, их различных приложений. В тоже время методических разработок по изучению комплексных чисел в школе в настоящее время сравнительно мало.

Объектом исследования является методика преподавания темы «Комплексные числа» в старших классах.

Целью исследования является разработка и практическая реализация тематического и поурочного планирований, контрольно-проверочных материалов по теме «Комплексные числа».

Научная проблема исследования состоит в разработке наиболее эффективных заданий для организации повторения и углубления знаний старшеклассников по теме «Комплексные числа».

Для решения проблемы были сформулированы следующие задачи:

)        проследить процесс становления темы «Комплексные числа» в Российской школе;

)        выявить психолого-педагогические и методические особенности преподавания темы «Комплексные числа» в старших классах;

)        разработать тематическое и поурочное планирование по теме «Комплексные числа» по учебнику А.Г.Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра и начала математического анализа»;

)        разработать контрольно - проверочных тестовых заданий по теме «Комплексные числа» по учебнику А.Г.Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра и начала математического анализа»;

)        произвести экспериментальную проверку разработанных материалов.

Основные методы исследования: изучение соответствующей психолого-педагогической, математической и методической литературы; анализ содержания школьных учебников по теме "Комплексные числа"; беседы с учителями и школьниками.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе математической подготовки учащихся в системе общего среднего образования.

Глава 1. Психолого-педагогические и методические основы изучения в школе теории комплексных чисел

.1 Элементы истории возникновения и становления теории комплексных чисел

Человечество всегда сталкивалось с проблемами неразрешимости каких - либо задач и искало, иногда успешно, иногда нет, пути их решения. Например, в математике, для того чтобы любое уравнение  имело корни, положительных чисел оказалось недостаточно и за два века до н.э. китайскими математиками были введены отрицательные числа. Отрицательные числа помогли описывать единым образом изменение величин.

Для решения уравнений вида  потребовалось введение дробных чисел. Известно, что за два тысячелетия до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби [10]

В VIII веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, и то, что из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет, например, такого числа , чтобы выполнялось равенство . В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В 1545 году итальянский математик Д. Кардано (1501 - 1576) предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда, при , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что  [28]. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными, и стремился не применять их, ведь с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли (ок. 1526 - 1572), в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Далее комплексные числа применялись в различных вопросах алгебры, но практических применений пока не имели. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Рене Декарт [35].

Вообще математики XVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIX века относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Рене Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Д. Кардано) [10]. Г. Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а  считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Многие ученые этого периода пытались интерпретировать комплексные числа на прямой линии и применять к таким понятиям, как например, температура, время и др., не требующим плоскостного изображения [28].

Позднее, Л. Эйлер (1707 - 1783) ввел в математику символ , где  ( - это первая буква латинского слова imaginarius, что значит «мнимый», «воображаемый») [10].

Также Л. Эйлером была выведена формула , которая впоследствии была названа его именем, хотя до Эйлера этой формулой владел английский математик Р. Котес (1682 - 1716) [35]. Эта формула позволила:

·        доказать периодичность экспоненциальной функции;

·        вывести логарифмы комплексных чисел.

Более строгую теорию нового множества чисел, которые были названы комплексными, развил немецкий ученый Карл Гаусс (1777 - 1855), который также дал их геометрическое толкование, позволившее преодолеть многие трудности в их понимании. Хотя до Гаусса геометрическое толкование встречается у датского землемера К. Веселя (1745 - 1818) и французского математика Аргана (1768-1822). К. Гаусс в 1831 году дал глубокое обоснование комплексных чисел и их приложений в математике. После того как появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых» или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные.

В XIX веке О. Коши (1789-1857), Г. Риман (1826-1866), и К. Вейерштрасс (1815-1897) на базе комплексных чисел создали новую математическую дисциплину - теорию функций комплексного переменного, которая играет важную роль в современной математике [28].

С развитием науки и техники становилось все более ясным, что без комплексных чисел нельзя обойтись во многих практических делах. Широкое применение нашли комплексные числа в электротехнике, гидродинамике, картографии, в теории самолета и многих других отраслях. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли российские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н.Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. Сейчас трудно указать область физики, механики, технических дисциплин, где не применялись бы комплексные числа [35].

Следует отметить, что комплексные числа имеют большое познавательное и практическое значение. Их изучение в курсе математики средней общеобразовательной школы является весьма актуальным [10].

.2       Исторический обзор изучения комплексных чисел в советской и российской общеобразовательной школе: программы, учебники

Рассмотрим программы средней школы по математике, учитывая объем и содержание темы «Комплексные числа» в различные периоды развития советской и российской школы.

Выделим несколько этапов:

I этап: 1917 - 1932г.г.

II этап: 1933 - 1965г.г.

III этап: 1965 - 1967г.г.

IV этап: 1968 г. - по настоящее время

I этап (1917-1932г.г.).

В эти годы понятия о комплексных числах входили в обязательную программу по математике. В программы, по которым работали школы до 1932 года, изучались лишь мнимые числа. Комплексные числа и идея расширения понятия числа в программу этих лет не входили. Мнимые числа использовались лишь в двух темах: «простейшие преобразования и действия со степенями и корнями» и «решение квадратных уравнений». Перед школьниками ставилась задача о необходимости извлечения квадратного корня из отрицательного числа и потребность установления числа корней квадратного уравнения. Этим объяснялось введение мнимых чисел. Впервые в школу было введено рассмотрение комплексных чисел в 1932 году. По программе этого года следует вводить комплексные числа в 8-м классе при исследовании квадратных уравнений. Программой предусмотрено изучение следующих вопросов: запись мнимого числа через i; степени i; комплексное число; сопряжённые комплексные числа; сумма и произведение комплексных чисел; разложение суммы квадратов двух чисел на произведение двух сопряжённых комплексных чисел" [31].

II этап (1932 - 1965 г.г.) С 1933 и до 1935 года, комплексные числа в школе изучаются уже в значительно большем объёме. Школьников знакомят с ними в 8 классе, а более подробно изучают в 9 классе, где кроме действий над комплексными числами дается их геометрическое представление. В 1935-1937 г.г. впервые в программу 10 класса включаются комплексные числа (действия над ними, их тригонометрическая форма). Их изучение дается в темах «Расширение понятия о числе» и «Обобщение понятия о числе» [31].

В Объяснительной записке к программе 1938 г. составители прямо указывают, что "в курсе алгебры 10-го класса перед введением комплексных чисел желательно привлечь внимание учащихся к идее эволюции понятия числа и сообщить краткие исторические сведения. Необходимо сообщить учащимся, что комплексные числа играют очень значительную роль в современной технике, в частности в авиации и электротехнике". В 1938 году общее название темы "Обобщение понятия о числе" было заменено названием "Комплексные числа" [24]. Но, несмотря на такие рекомендации в Объяснительной записке, самостоятельно вопросы расширения понятия числа не включались в программы вплоть до 1964 года.

В программу 1964 года была включена тема "Обобщение понятия числа "Комплексные числа" в следующем объёме (таблица 1):

Таблица 1

В 1965 году из программы исключён вопрос "Основная теорема алгебры" (без доказательства).

Из таблицы видно, что если вопросы расширения понятия числа в какой-то степени затрагивались в программах средней школы, то вопросы приложений совсем не были развиты.

Характеризуя постановку преподавания комплексных чисел в общеобразовательных школах нашей страны на этом этапе, В.М. Кухарь пишет, «… за последнее время наметились три различных взгляда в постановке вопроса об изучении комплексных чисел. Первый взгляд сводился к необходимости внести изменения в изучение этой темы в средней школе с тем, чтобы учащиеся получили понятие о реальном содержании мнимых чисел. Второе мнение сводится к полному исключению этой темы из школьной программы по математике. Третье мнение сводится к тому, чтобы в средней школе ограничиться одним только понятием о комплексных числах, без рассмотрения их свойств и действий над ними. Изъятие из программы средней школы комплексных чисел, имеющих исключительно важное значение в современной механике и технике, противоречит целям политехнического обучения. По нашему мнению, количество часов, отведённых программой на изучение темы, надо сохранить, но в основу введения мнимых и комплексных чисел надо положить идею дальнейшего расширения и обобщения понятия о числе, показав реальную сущность и практическое применение. Мириться дальше с таким положением, когда учащиеся оперируют с мнимыми числами, реального смысла которых они не понимают, ни в коем случае нельзя. Выход из такого положения надо искать прежде всего в постановке вопроса об изучении комплексных чисел в средней школе».

III этап (1965 - 1967г.г.).

К середине 20 века выявилось отставание математической подготовки учащихся средней школы в теории комплексных чисел.

Действующая программа средней школы по математике мало способствовала формированию у учащихся правильного научного представления о понятии комплексного числа и его роли в общей идее расширения понятия числа.

Учащиеся допускали логические ошибки, не понимали реального значения комплексных чисел, полностью отсутствовали представления о приложениях комплексных чисел. В сознании учащихся этот раздел представлялся как формально-логическая игра, не имеющая никакого отношения к реальному миру. Эти недочеты отмечали многие ведущие математики и методисты страны [24]. Например, С.И. Новоселов, писал, «У учащихся возникают вопросы: какой реальный смысл числа и какие отношения окружающего мира оно отражает? Не находя ответа на эти вопросы, учащиеся невольно приходят к выводу, что вся теория комплексных чисел является фикцией. К сожалению, и в настоящее время среди молодежи, оканчивающей среднюю школу, можно встретить недоверчивое отношение к комплексному числу, как к чему-то несуществующему».

Н.Я. Виленкин в статье «Гибрид из мира идей или как комплексные числа стали прилагательными» прямо пишет: «Даже и теперь те, кто сталкивается с математикой лишь в средней школе, убеждены: никаких практических применений комплексные числа не имеют и иметь не могут, они придуманы лишь для того, чтобы портить жизнь школьникам.

Невозможно же, в самом деле, взвесить  кг хлеба или отмерить метров сукна! Ведь даже само обозначение i для  напоминает, что это число воображаемое, придуманное - оно происходит от латинского слова imaginarius - воображаемый, мнимый». Учитывая это, можно сделать вывод, что учащиеся лишь формально усваивают понятие комплексного числа и недостаточно глубоко вникают в его суть. В 1965 году был предложен проект программы средней школы по математике, где изучение комплексных чисел предлагалось начинать в 10 классе в курсе алгебры в темах (таблица 2):

Таблица 2

При изучении темы «Аксиоматический метод в математике. Расширение понятия числа» учащихся предполагалось знакомить с такими понятиями, как группа, кольцо, поле, изоморфизм, и задачами расширения понятия числа.

В теме «Комплексные числа и многочлены» учащиеся должны были знакомиться с тригонометрической формой комплексного числа, с формулой Муавра и извлечением корня n - ой степени из комплексного числа.

В 1966 году был предложен проект программы, где тема «Комплексные числа» была включена второй темой в курс алгебры 10 класса, и на ее изучение отводилось 20 часов.

И, наконец, в 1967 году в журнале «Математика в школе» был опубликован «Проект программы средней школы по математике», в котором впервые в истории советской школы было предложено в дополнение к урокам математики ввести факультативные занятия с изучением на них специального курса «Дополнительные главы и вопросы математики». Согласно этому проекту тема «Комплексные числа» из обязательной программы была исключена и введена в курс «Дополнительные главы и вопросы математики». В объяснительной записке к проекту программы сказано: «Составители с большим сожалением отказались в общеобразовательной программе от темы «Комплексные числа». Но они считают, что сохранение ее в том сокращенном объеме, в каком она представлена в действующей программе, мало целесообразно. Зато в курсе «Дополнительные главы и вопросы математики» удалось поместить эту тему достаточно рано и использовать эти числа в ряде приложений».

Действительно, тема «Комплексные числа» в программе курса «Дополнительные главы и вопросы математики» на факультативных занятиях была представлена в более широком объеме, чем это было раньше во всех ранее существовавших программах. И в 1967 году, после обсуждения проекта, была утверждена программа по математике для средней школы. Согласно этой программе изучение комплексных чисел предусматривалось только на факультативных занятиях по математике в 9-ых и 11-ых классах в следующем объеме (таблица 3):

Таблица 3

Исключение темы «Комплексные числа» из программы общеобразовательной средней школы вызвало многочисленные возражения со стороны учителей, методистов и преподавателей ВУЗов. «Изучение комплексных чисел только на факультативных занятиях лишит большую часть учеников школы получить какое-либо представление о них. Для этой части будущих специалистов (если они не будут продолжать своего математического образования) комплексные числа останутся неизвестными. Изъятие этой темы обеднит уровень не только математического, но и общего развития учащихся, нанесет ущерб воспитанию у них диалектического мировоззрения».

«По не вполне ясным обоснованным причинам из «последнего» варианта проекта программы исключена тема «Комплексные числа». Мы за изучение этого вопроса в курсе элементарной математики, а не в курсе «высшей». «Разделяем сожаление составителей проекта программы об исключении из программы средней школы комплексных чисел. Без понятия комплексного числа изложение теории квадратных уравнений остается очень неполным».

IV этап (1968г. - по настоящее время).

Прошедшая в 1968 году модернизация общеобразовательного курса математики привела тому, что до настоящего времени раздел «Комплексные числа» в обычных школах не изучается. В школах с углубленным изучением математики на самостоятельное изучении раздела отводится 20 часов в следующем объеме:

1.       Развитие понятия комплексного числа: натуральные, целые, рациональные и действительные числа.

2.       Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия с комплексными числами. Сопряженные комплексные числа.

.        Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

.        Комплексная область. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

.        Комплексные корни многочлена.

Как можно заметить, и здесь изучение темы «Комплексные числа» ведется очень абстрактно, оторвано от жизни и не оставляет никаких следов в сознании учащихся. О широком применении комплексных чисел учащиеся школ, как правило, не знают.

1.3     Психолого-педагогические особенности подросткового возраста

Определение мышления.

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, одной из основных задач современного школьного обучения.

В психологии мышление определяется как процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности [31], как особого рода теоретическая и практическая деятельность, предлагающая систему включенных в неё действий и операций ориентировочно - исследовательского, преобразовательного и познавательного характера [16], как социально - обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового [22]. Сущность его в отражении: - общих и существенных свойств предметов и явлений, в том числе и таких свойств, которые не воспринимаются непосредственно; - существенных отношений и закономерных связей между предметами и явлениями.

Мышление играет поистине огромную роль в познании. Оно расширяет границы познания, дает возможность выйти за пределы непосредственного опыта ощущений и восприятия, знать и судить о том, что человек непосредственно не наблюдает, не воспринимает. Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений, которые в данный момент не существуют. Мышление перерабатывает информацию, которая содержится в ощущениях и восприятии, а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике [11].

Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.

На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.

Специфическим результатом мышления может выступить понятие - обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях [21].

Особенности мышления старшеклассников

Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений применять на практике приемы и операции мышления. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и всё более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приёмами умственной деятельности модернизируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения. Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять её на практике.

Для старших школьников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Старшеклассник сначала старается понять значимость приема мыслительной деятельности, а затем уже и освоить его, если он действительно значим. Изменяются и мотивы учения, т.к. они приобретают для старшеклассника важный жизненный смысл [22].

Ведущее значение в мышлении старшеклассника занимает абстрактное мышление, но роль конкретного мышления отнюдь не умаляется: приобретая обобщенное знание, конкретное мышление выступает в виде технических образов, схем, чертежей и т.п., оно становится носителем общего, а общее выступает как выразитель конкретного. Овладение абстрактными и теоретическими знаниями приводит к изменению у старшеклассников самого течения мыслительного процесса [27]. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно - следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий [26].

Все сказанное говорит о высокой степени развития теоретического мышления, многостороннем и глубоком проявлении внутренней речи, «доказывающего» мышления. Мышление юношей и девушек становится диалектическим: они не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности и рассматривают явления, события, процессы в непрерывном движении, изменениях и превращениях, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют операции и приемы мышления и пытаются совершенствовать их в процессе учебной деятельности.

Однако в некоторых исследованиях отмечаются и недостатки мышления старшеклассников. Так, немалое их число проявляют склонность к необоснованным рассуждениям, умозрительным философствованиям, оперированию абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания, к выдвижению оригинальных идей, вытекающих из неопределенных ассоциаций или фантастических вымыслов и домыслов [21]. Нередки случаи, когда существенное оценивается как менее значимое, чем несущественные, не всегда правильно или широко проводится перенос знаний, наблюдается слабое развитие речи, склонность к некритическому отношению к усваиваемым знаниям. Встречаются хорошо успевающие ученики, которые преувеличивают свои умственные способности и поэтому успокаиваются на достигнутом. Но все это, как обычно указывают авторы, касается только меньшинства старшеклассников или их отдельных представителей, а основная масса достигает достаточно высокого уровня развития мыслительных способностей и хорошо подготовлена к дальнейшей учебной и познавательной деятельности [27].

Учебная деятельность остается основным видом деятельности старшего школьника. Углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы, также учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности. Для того, чтобы достаточно глубоко усваивать программу, необходимо развитие теоретического мышления. Трудности, которые нередко испытывает в процессе учения старшеклассник, прежде всего связаны с неумением учиться в этих новых условиях.

Возникает противоречие между уровнем учебной деятельности, который сложился и закрепился у некоторых учащихся за время обучения в средних классах школы, и требованиями, которые предъявляет учебная деятельность в старших классах, и является движущей силой умственного развития старших школьников.

Отношение старших школьников к учению тоже изменяется. Ученики взрослеют, обогащается их опыт; они понимают, что стоят на пороге самостоятельной жизни. Растет их сознательное отношение к учению, которое приобретает непосредственный жизненный смысл. Старшеклассники отчетливо сознают, что необходимым условием полноценного участия в будущей трудовой жизни общества является наличный фонд знаний, умений и навыков, полученное в школе умение самостоятельно приобретать знания, или, как говорят, самообучаться. Потребность в знаниях - одна из самых характерных черт современного старшеклассника [15].

В числе некоторых других особенностей отношения к учению старших школьников следует отметить избирательное отношение к учебным предметам, причина этому - наличие у многих юношей и девушек сложившихся интересов, связанных с их профессиональной направленностью [18].

В последнее время появляется явное повышение интереса к учению. Это связано с тем, что наметились определенные сдвиги в организации учебного процесса: во-первых, учителя успешнее реализуют принцип активного и самостоятельного мышления учащихся, что повышает их интерес к учению; во-вторых, обучение начинает больше индивидуализироваться: учителя находят возможности приобщать к активной деятельности сильных учащихся и уделять больше внимания слабым [16].

Психология является необходимой базой методики любого учебного предмета, в том числе и математики. Знакомство с психологическими теориями и концепциями помогает учителю глубже понять основные направления в совершенствовании учебного процесса по математике [11].

Психолого-педагогическая функция образования включает воспитание математической культуры учащихся. Сюда входят знания и умения в формировании которых математика участвует наряду с другими школьными предметами, и также те знания и умения, которые составляют специфику самой математики.

Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана и компьютерная грамотность. Развитие науки и техники, высокий интеллектуальный уровень специалистов-все это приводит людей к необходимости пополнять свои знания и стремиться к повышению квалификации. Это выдвигает перед школой задачу всемерного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов [19].

Важнейшая задача обучения математике - пробудить у школьников потребность активно мыслить, преодолевать трудности при решении разнообразных задач, искать наиболее рациональные пути решения этих задач. Научить их доказывать существование вводимых математических понятий, опровергать ложные предложения, проверять правильность обратного предложения и т.д.- такими логическими умениями должен овладеть школьник [30].

При построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления, как:

1   умение сравнивать - сопоставлять объекты познания с целью нахождения сходства и различия между ними;

2   умение анализировать - мысленное расчленение предмета познания на части;

3   умение синтезировать - мысленное соединение отдельных элементов в единое целое;

4   умение абстрагировать - мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. Это умение особенно важно для математических наук, т.к. многие математические понятия являются абстрактными объектами;

5   умение обобщать - мысленное выделение общих свойств в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы (от частного к общему); мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах их свойств в виде общего понятия (от общего к частному);

6   умение конкретизировать - может выступать в двух формах: мысленный переход от общего к единичному или восхождение от абстрактно-общего к конкретно частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего [15].

Если соотнести содержание пунктов 1.1. и 1.3., то можно сделать следующий вывод: изучение комплексных чисел в школе способствует развитию мышления и математической культуры школьников

.4 Психолого-педагогические особенности восприятия темы «Комплексные числа» в старших классах

Помимо общих целей обучения перед учителем математики стоят другие, специфические цели, определяемые особенностями педагогической науки. А конкретнее - формирование и развитие математического, логического, абстрактного мышления, формирование математической и общей культуры учащихся.

Говоря конкретнее об алгебраической культуре, стоит отметить, что в общеобразовательных классах не рассматривается понятие комплексного числа, ограничиваются лишь изучением действительных чисел. Но в старших классах школьники уже обладают достаточно зрелым математическим образованием и в состоянии понимать необходимость расширения понятия о числе. С точки зрения общего развития, знания о комплексных числах находят применение в естественных науках и технике, что немаловажно для школьника в процессе выбора будущей профессии. Авторы некоторых учебников включают изучение данной темы как обязательной в свои учебники по алгебре и началам математического анализа для профильных уровней, что предусмотрено государственным стандартом.

Рассмотрим подробнее, с какими сложностями приходится сталкиваться и учителю, и учащимся в процессе изучения темы «Комплексные числа».

Для начала сразу отметим, что данная тема вводится как обязательная лишь в старших классах профильного уровня. А к старшим классам мышление у школьников становится более глубоким, полным, разносторонним. Изменяются мотивы учения.

Однако даже в старших классах у многих школьников плохо развито абстрактное мышление, или очень сложно представить себе «мнимую, воображаемую» единицу, понять различия между координатной и комплексной плоскостью. Или же наоборот, школьник оперирует абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания.

В.А. Сухомлинский отмечал, что трудности учения в старших классах связаны со сложившейся ранее установкой на запоминание, заучивание обобщений, не основанных на самостоятельном анализе фактов. Причина трудностей, которые испытывают некоторые ученики - старшеклассники, заключается, по мнению педагога, в неумении пользоваться обобщающими понятиями в целях познания окружающей действительности, а неумение это рождается потому, что обобщающие понятия, выводы, умозаключения не формируются путем исследования явлений и фактов, а заучиваются [15].

Старшие ребята сами отмечают, что многие из них плохо подготовлены к обучению в X-XI классах. У них нет умения самостоятельно работать с учебными материалами, они не умеют обрабатывать материалы, поступающие из других, внеучебных источников.

С методической точки зрения тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

Изучение этой темы преследует следующие основные цели:

1.       повышение математической культуры учащихся;

2.       углубление представлений о понятии числа;

.        дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.

После изучения темы “Комплексные числа” ученики должны иметь четкое представление о комплексных числах, знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, иметь представление о геометрической модели комплексных чисел, решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами.

Однако по теме «Комплексные числа» на данный момент существует ограниченное количество учебных пособий, методических разработок, учебно-методических комплексов. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приёмов обучения данной теме.

.5 Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, содержащих тему «Комплексные числа»

Существует небольшое количество авторов, включающих тему «Комплексные числа» в свои учебники для средних общеобразовательных учреждений.

В учебнике для математических классов Н.Я.Виленкина, О.С.Ивашева-Мусатова, С.И.Шварцбурда «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа» вводится в 11 классе. Изучение темы предлагается во втором полугодии 11 класса после того, как в 10 классе был изучен раздел тригонометрии, а в 11 - интеграл и дифференциальные уравнения, показательная, логарифмическая и степенная функции, многочлены. В учебнике тема «Комплексные числа и операции над ними» разбита на два параграфа: Комплексные числа в алгебраической форме; Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Рассмотрение темы «Комплексные числа и операции над ними» начинается с рассмотрения вопроса о решении квадратных уравнений, уравнений третьей и четвертой степени и, как следствие, выявляется необходимость введения «нового числа i». Сразу же даются понятия комплексных чисел и действий над ними: нахождение суммы, произведения и частного комплексных чисел. Далее дается строгое определение понятия комплексного числа, свойства операций сложения и умножения, вычитания и деления. В следующем пункте говорится о сопряженных комплексных числах и некоторых их свойствах. Далее рассматривается вопрос об извлечении квадратных корней из комплексных чисел и решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

В следующем параграфе рассматриваются: геометрическое изображение комплексных чисел; полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел; умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра, применение комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств; извлечение корня из комплексного числа; основная теорема алгебры многочленов; комплексные числа и геометрические преобразования, функции комплексного переменного.

Как мы видим, материал учебника достаточно обширен, рассчитан на большое количество часов и включает в себя как все необходимые начальные знания по разделу «Комплексные числа», так и некоторые углубления [8].

В учебнике С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа рассматривается в 11 классе после изучения всех тем, т.е. в конце школьного курса алгебры. Тема разделена на три параграфа: Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел; Тригонометрическая форма комплексных чисел; Корни многочленов, показательная форма комплексных чисел. Содержание параграфов достаточно объемное, содержится много понятий, определений, теорем. В параграфе «Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел» содержится три раздела: алгебраическая форма комплексного числа; сопряженные комплексные числа; геометрическая интерпретация комплексного числа. Параграф «Тригонометрическая форма комплексного числа» содержит определения и понятия необходимые для введения понятия тригонометрической формы комплексного числа, а также алгоритм перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической форме записи комплексного числа. В последнем параграфе «Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел» содержится три раздела: корни из комплексных чисел и их свойства; корни многочленов; показательная форма комплексного числа.

Материал учебника представлен в небольшом объеме, но вполне достаточном для понимания учащимися сути комплексных чисел и овладением минимальных знаний о них. В учебнике небольшое количество упражнений и не рассматривается вопрос о возведении комплексного числа в степень и формула Муавра [4].

В учебнике Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова, М.В. Ткачевой, Н.Е. Федоровой, М.И. Шабунина «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс тема «Комплексные числа» рассматривается после изучения тем «Производная и ее применения» и «Интеграл». Тема разбита на 9 параграфов (два из которых со звездочкой), практическую часть - упражнения к главе «Комплексные числа» и раздел «Историческая справка». В первом параграфе «Определение комплексных чисел» рассматривается разрешимость уравнений в тех или иных множествах и вводятся новые числа, которые вместе с действительными числами образуют множество комплексных чисел. Дается определение комплексных чисел. Во втором параграфе «Сложение и умножение комплексных чисел» вводятся определения сложения и умножения комплексных чисел, переместительное, сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения комплексных чисел. В третьем параграфе «Модуль комплексного числа» вводится понятие сопряженного комплексного числа и определение модуля комплексного числа. В параграфе «Вычитание и деление комплексных чисел» операция вычитании вводится как обратная операции сложения комплексных чисел, а операция деления - как обратная операции умножения комплексных чисел. Пятый параграф «Геометрическая интерпретация комплексных чисел» разбит на три пункта: «Комплексная плоскость», «Геометрический смысл модуля комплексного числа», «Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел». Вводятся понятия комплексной плоскости, действительной и мнимой осей. В параграфе «Тригонометрическая форма комплексного числа» рассматриваются понятия аргумента комплексного числа, алгебраической формы комплексного числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа, переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме записи комплексного числа. Седьмой параграф «Свойства модуля и аргумента комплексного числа» идет в данном учебнике под звездочкой, что подразумевает необязательное его изучение. В данном параграфе рассматриваются произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме, а также формула Муавра. В следующем параграфе «Квадратное уравнение с комплексными неизвестными» рассматривается квадратное уравнение и выявляется, в каких случаях и сколько корней оно имеет. Далее переходят к рассмотрению корня из отрицательного числа и к решению квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Последний параграф темы «Комплексные числа» - «Примеры решения алгебраических уравнений» - в учебнике отмечен звездочкой и рассматривает 4 разных типа задач. В конце материал обобщается и делается вывод, который называют основной теоремой алгебры.

В данном учебнике каждый параграф темы «Комплексные числа» изложен кратко и содержит минимум информации по теме, также содержит несколько несложных примеров и небольшое количество упражнений. Некоторые сведения, которые другие авторы в своих учебниках вводят как обязательные, в данном учебнике находятся в параграфах, отмеченных звездочкой, например, формула Муавра, умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, а также основная теорема алгебры. Упражнений по теме «Комплексные числа» в учебнике мало и они, в основном, не сложные для выполнения, хотя присутствует несколько задач повышенной трудности [2].

В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа», профильный уровень, 10 класс тема «Комплексные числа» вводится во втором полугодии 10 класса сразу после изучения тем «Действительные числа» и «Тригонометрия». Такое размещение не случайно: и числовая окружность, и формулы тригонометрии находят активное применение при изучении тригонометрической формы комплексного числа, формулы Муавра, при извлечении из комплексного числа квадратного и кубического корней. Тема «Комплексные числа» представлена в 6-ой главе и разбита на 5 параграфов: комплексные числа и арифметические операции над ними; комплексные числа и координатная плоскость; тригонометрическая форма записи комплексного числа; комплексные числа и квадратные уравнения; возведение комплексного числа в степень, извлечение кубического корня из комплексного числа.

Понятие комплексного числа вводится как расширение понятия о числе и невозможности выполнения некоторых действий в действительных числах. В учебнике представлена таблица с основными числовыми множествами и операциями, допустимыми в них. Перечисляются минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа, и затем вводится понятие мнимой единицы, определение комплексного числа, равенство комплексных чисел, их сумма, разность, произведение и частное.

От геометрической модели множества действительных чисел переходят к геометрической модели множества комплексных чисел. Рассмотрение темы «Тригонометрическая форма записи комплексного числа» начинается с определения и свойств модуля комплексного числа. Далее рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа, определение аргумента комплексного числа и стандартная тригонометрическая форма комплексного числа.

Далее изучается извлечение квадратного корня из комплексного числа, решение квадратных уравнений. И в последнем параграфе вводится формула Муавра и выводится алгоритм извлечения кубического корня из комплексного числа.

Также в рассматриваемом учебнике в каждом параграфе параллельно с теоретической частью рассматривается несколько примеров, иллюстрирующих теорию и дающих более осмысленное восприятие темы. Приведены краткие исторические факты.

Отдельным издание выпущен задачник, в котором к каждому параграфу темы «Комплексные числа» приводятся задания трех разных уровней - легкие, средние и задания повышенной трудности [3].

В учебнике М.И. Башмакова, Б.М. Беккер, В.М. Голохового «Задачи по математике. Алгебра и анализ» последняя глава посвящена теме «Комплексные числа». Отметим сразу, что данная книга представляет собой не просто сборник задач. Задачи объединяются в циклы, которые начинаются с рассмотрения конкретных примеров, простых вопросов, постепенно переходя к более общим и трудным вопросам. Перед текстом отдельных задач, а также в начале параграфов помещен небольшой теоретический вводный текст, где сообщаются необходимые сведения: формулы, определения новых понятий и т.п. Таким образом изучение материала по данной книге можно проводить самостоятельно, а также задачник можно использовать независимо от того или иного учебного пособия. В конце книги ко всем задачам даны краткие указания, а к наиболее трудным, отмеченным звездочкой, задачам даны решения. Тема «Комплексные числа» разбита на три параграфа: «Действия над комплексными числами», «Комплексная плоскость», «Корни многочленов». Комплексные числа вводятся как расширение множества вещественных чисел. В первом параграфе «Действия над комплексными числами» рассматриваются следующие операции над комплексными числами: сложение комплексных чисел, нахождение обратного числа, комплексно -сопряженного, извлечение квадратного корня из комплексного числа. В параграфе «Комплексная плоскость» вводится понятие комплексной плоскости; определение модуля и аргумента комплексного числа; тригонометрическая форма записи комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра; равенство комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; кубический корень из единицы; разложение по формуле Бинома Ньютона. В последнем параграфе «Корни многочленов» вводится основная теорема алгебры, приводится разложение многочлена на линейные множители с комплексными коэффициентами, рассматривается вопрос о кратности корня. Объем предлагаемого для изучения материала достаточно велик, изложен очень кратко и для каждого понятия количество заданий небольшое. Но в целом учебник дает достаточное полное представление о комплексных числах, их применении и значении в математике [6].

И наконец, рассмотрим учебник, по которому почти век училась вся Россия. Это учебник А.П. Киселева.

В учебнике «Алгебра Ч.II» А.П. Киселева тема «Комплексные числа» представлена в 9 главе после тем «Логарифмы» и «Исследование уравнений». Тема «Комплексные числа» разбита на 6 пунктов: «Мнимые числа», «Комплексные числа», «Действия над комплексными числами», «Геометрическое изображение комплексного числа», «Тригонометрическая форма комплексного числа», «Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме». Изучение темы начинается с понятия мнимого числа, которое уже встречалось в учебнике ранее. В первом пункте вводится обозначение мнимых чисел и дано несколько примеров. В следующем пункте «Комплексные числа» вводится определение комплексного числа, сопряженные и противоположные комплексные числа. В пункте «Действия над комплексными числами» вводятся операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения квадратного корня из комплексного числа. Рассматривается несколько примеров для каждой операции. В третьем пункте «Геометрическое изображение комплексного числа» вводятся понятия вещественной оси и мнимой оси, приводится обоснование того, что комплексное число может быть геометрически представлено точкой плоскости. Здесь же вводится понятие модуля комплексного числа. В данном пункте содержится только теоретический материал. В пункте «Тригонометрическая форма комплексного числа» определяются понятия модуля и аргумента комплексного числа, рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа. В последнем пункте «Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме» рассматриваются операции умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа.

В учебнике в виде сносок приводятся краткие исторические факты по изучаемому материалу. Материал представлен в большом объеме, приведено большое количество примеров и задач для самостоятельного решения [12].

Нами разработаны тематическое и поурочное планирования, контрольно-проверочные материалы к учебнику А.Г. Мордковича, П.В. Семенова по теме «Комплексные числа».

Выводы по главе 1

. Понятие о числе развивалось долгие века. Находя способы решения ранее неразрешимых задач, человечество открывало новые законы и выдвигало новые теории. Таким образом возникновение и развитие теории комплексных чисел было вполне естественным и закономерным.

. В школьную программу 1917-1932 г.г. изучение самих комплексных чисел и идея расширения числа не включались. Школьников знакомили только с понятием мнимых чисел. В 1933-1967 программа дополнилась некоторыми понятиями, связанными с комплексными числами и давалось их геометрическое представление. Однако при изучении данной темы не было никаких практических приложений и связи с реальной жизнью. В 1967 г. тема «Комплексные числа» была исключена из курса средней школы и попала в раздел «Дополнительные главы и вопросы математики», где излагалась уже в более широком объеме, но ее изучение предлагалось только на факультативных курсах.

. Тема «Комплексные числа» в настоящее время исключена из обязательной программы. Однако авторы учебников для старших профильных классов по алгебре и началам математического анализа включают данную тему в свои учебники.

. При построении занятий со старшеклассниками необходимо учитывать их психолого-педагогические возможности и потребности: развивать логическое мышление, которое учит внимательности, аккуратности, умению абстрагироваться от конкретного содержания; подбирать задания, способствующие проявлению самостоятельности и творческих способностей учащихся; создавать возможности для углубления и совершенствования знаний в направлении выбранной ими профессии; подкреплять все новые понятия историческими сведениями для дальнейшего развития математической культуры.

. При изучении темы «Комплексные числа» в силу особенностей старшего школьного возраста у учителя и учеников существуют как проблемы, так и положительные моменты. Самые большие сложности вызывает «мнимая единица» - к старшим классам у многих школьников плохо развито абстрактное мышление. Ученикам очень сложно представить себе «мнимую, воображаемую» единицу, понять различия между координатной и комплексной плоскостью. Но с методической точки зрения тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

. Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа, содержащих тему «Комплексные числа» показал, что авторы стремились и стремятся дать в достаточном объеме представление о расширении понятия числа, о комплексных числах, действиях нам ними, их геометрическое истолкование и практическое применение. В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа» для 10-ых классов профильного уровня тема «Комплексные числа» указана как обязательная для изучения и излагается удачным, на наш взгляд, образом, раскрывая все необходимые для выпускника факты и правила.

Глава 2. Методическое обеспечение изучения комплексных чисел в 10 классе общеобразовательной школы

2.1 Тематическое и поурочное планирование по теме

«Комплексные числа» по учебнику А.Г. Мордковича, П. В. Семенова

«Алгебра и начала анализа, профильный уровень», 10 класс

Таблица 4

Тематическое планирование по теме «Комплексные числа»

Цели:

·        формирование представления о комплексных числах и операциях над ними;

·        формирование умения использования двух форм записи комплексного числа при решении задач;

·        овладение умением решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, возведение комплексного числа в степень, извлечения кубического корня из комплексного числа.

Тема урока: Комплексные числа и арифметические операции над ними

Количество уроков: 2.

Типы уроков: проблемный, комбинированный.

Элементы содержания (дидактические единицы на основе общеобразовательного стандарта): комплексные числа, мнимая единица, действительная и мнимая часть комплексного числа, сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел, сопряженное комплексное число, свойства сопряжения.

Работа с опорными конспектами работа, с раздаточными материалами

Имеют представление, что такое комплексные числа; могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Умеют определять понятия, приводить доказательства.

Могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Умеют работать с учебником, отбирать и структурировать материал.

Практикум, фронтальный опрос, решение упражнений

Знают комплексные числа; могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Используют для решения познавательных задач справочную литературу.

Могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи.

Тема урока: Комплексные числа и координатная плоскость.

Количество часов: 1.

Тип урока: комбинированный

Элементы содержания: координатная плоскость, отождествление комплексного числа с точками координатной плоскости, вектор суммы, вектор разности, вектор произведения.

Фронтальный опрос. Решение упражнений, составление опорного конспекта

Знают геометрическую интерпретацию комплексных чисел, действительной и мнимой части комплексного числа; могут найти модуль и аргумент комплексного числа. Умеют определять понятия, приводить доказательства. Могут определять геометрическую интерпретацию комплексных чисел, действительной и мнимой части комплексного числа; могут найти модуль и аргумент комплексного числа.

Тема урока: Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Количество часов: 2.

Типы уроков: проблемный, комбинированный

Элементы содержания: модуль комплексного числа, модуль произведения, свойства моделей комплексных чисел, неравенство треугольника, тригонометрическая форма записи комплексного числа, аргумент, равенство комплексных чисел.

Проблемные задачи, фронтальный опрос, упражнения

Имеют представление, как определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; могут записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

Могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; могут записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

Практикум

Решение упражнений, составление опорного конспекта, ответы на вопросы. Знают, как определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; могут записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

Могут определить действительную и мнимую часть, модуль и аргумент комплексного числа; могут записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

Тема урока: Комплексные числа и квадратные уравнения

Количество часов: 1.

Тип урока: комбинированный

Элементы содержания: корень из комплексного числа, квадратное уравнение, алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Практикум, фронтальный опрос, решение упражнений

Знают, как найти корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. Умеют извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов.

Могут извлекать квадратные корни из комплексного числа. Могут привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы.

Тема урока: Возведение комплексного числа в степень.

Извлечение кубического корня из комплексного числа

Количество часов: 2.

Типы уроков: Объяснительно-иллюстративный, репродуктивный

Элементы содержания: формула Муавра, возведение комплексного числа в степень, тригонометрическая форма записи комплексного числа, алгоритм извлечения кубического корня из комплексного числа.

Работа со сборником задач, ответы на вопросы

Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Знают комплексно сопряженные числа. Могут собрать материал для сообщения по заданной теме.

Знают комплексно -сопряженные числа; возведение в натуральную степень (формула Муавра), основную теорему алгебры. Умеют составлять текст научного стиля.

Практикум, индивидуальный опрос, работа с раздаточными материалами. Могут выполнять арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Знают комплексно сопряженные числа. Могут составить набор карточек с заданиями.

Знают комплексно-сопряженные числа; возведение в натуральную степень (формула Муавра), основную теорему алгебры. Умеют, развернуто обосновывать суждения.

Тема урока: Зачет по теме «Комплексные числа»

Количество часов: 1

Тип урока: Исследовательский

Проблемные задания, ответы на вопросы.

Учащиеся демонстрируют теоретические и практические знания по теме «Комплексные числа». Умеют передавать, информацию сжато, полно, выборочно. Умеют, развернуто обосновывать суждения.

Учащиеся свободно применяют знания и умения по теме «Комплексные числа». Могут объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах.

Тема урока: Контрольная работа №7

Количество часов: 1

Тип урока: Урок контроля, обобщения и коррекции знаний

Индивидуальное решение контрольных заданий.

Учащихся демонстрируют умение расширять и обобщать сведения о комплексных числах и операциях над ними, а также ввести две формы записи комплексного числа. Могут свободно вводить и использовать две формы записи комплексного числа. Владеют навыками самоанализа и самоконтроля.

2.2 Контрольно-проверочные материалы по теме «Комплексные числа»

Все приводимые ниже тесты составлены по идеологии Единого государственного экзамена. Ссылки соответствуют нумерации параграфов в учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа», 10 класс.

§32. Комплексные числа и арифметические операции над ними

В §32 речь идет о равенстве, сложении, вычитании, умножении и делении, комплексных чисел, записанных в виде , уделяя особое внимание чисто мнимым числам. После отработки деления отдельно вводится понятие комплексно-сопряженных чисел. Это качественно новая операция, у которой нет аналога в действительных числах.

Тест №1 по теме «Комплексные числа и арифметические операции над ними» Часть А

А1. В какой из строк записаны чисто мнимые числа?

а)

b)

c)

d)

A2. Какие из записанных пар комплексных чисел равны:

а)  и

b)  и

c)  и

d)  и

А3. Вычислите:  если

а)               b)                 c)                  d)  

А4. Вычислите:  если

а)              b)                c)                d)

А5. Вычислите:

если

а)  b)      c)                d)

А6. Какое из чисел является сопряженным для

а)          b)           c)            d)

А7. Вычислите:  если

а)             b)             c)                             d)

Часть В

В1. Вычислите:  если

Ответ: ______________________

В2. Решите уравнение:

Ответ: ______________________

В3. Вычислите:  если

Ответ: ______________________

В4. Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.

Ответ: ______________________

В5. Найдите

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Найдите значение

С2. Докажите тождество:

§33. Комплексные числа и координатная плоскость

§33 достаточно прост с формальной точки зрения. В нем нет новых

определений, теорем и каких-либо доказательств. По существу, тут речь идет о построении модели - геометрическом изображении комплексных чисел в виде точек координатной плоскости. Этот раздел является своеобразным мостиком между материалом, изученным ранее, и всем дальнейшим материалом.

Тест №2 по теме

«Комплексные числа и координатная плоскость»

Часть А

А1. Каждому комплексному числу  можно поставить в соответствие точку с координатами

а)                 b)                 c)                 d)

A2. Точка с какой координатой соответствует числу ?

а)                           b)                c)                d)

А3. Что означает фраза «Число  принадлежит второй координатной четверти»?

а) действительная и мнимая часть положительны

b) действительная и мнимая часть отрицательны

c) действительная часть положительна, а мнимая часть отрицательна

d) действительная часть отрицательна, а мнимая часть положительна

А4. Какому числу соответствует точка на рис. 1?

а)  

b)

c)

d)

А5. Какому числу соответствует точка на рис. 2?

а)  

b)

c)  

d)

рис. 2

А6. Выберите чертеж, на котором правильно изображены числа , если .

a)       1 b) 2 c) 3 d)4

1)                                                     2)

)                                                                 4)

Часть В

В1. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел, у которых:

а) действительная часть равна -3 b) мнимая часть равна 1.

c) отношение мнимой части                    d) сумма квадратов действительной

к действительной равно -2 и мнимой части равна 4.

В2. Для комплексных чисел  и  изобразите на координатной плоскости числа:

а)                 б)               в)              г)

В3. Для комплексного числа  изобразить на координатной плоскости числа

а)                              б)                 в)

В4. Вставьте пропущенные слова:

Геометрически операция сопряжения есть …………………………………….. относительно оси ………………………. .

Часть С

С1. Обоснуйте геометрически свойство:

С2. Обоснуйте геометрически свойство:

§34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

§34 самый большой по объему, количеству теорем и по числу крайне важных понятий. В этом параграфе соединяются вместе и алгебраические и геометрические представления о комплексных числах. Разбираются такие понятия, как модуль, аргумент комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел. Изучаются переход от алгебраической к тригонометрической форме записи комплексного числа, умножение и деление чисел в тригонометрической форме.

Тест №3 по теме

«Тригонометрическая форма записи комплексного числа»

Часть А

А1. Вычислите , если

а)                      b)                      c)                     d)

A2. Геометрически модуль комплексного числа  - это

а) расстояние от  до

b) расстояние от точки координатной плоскости, соответствующей числу , до начала координат

c) расстояние от точки координатной плоскости, соответствующей числу , до оси абсцисс

d) расстояние от точки координатной плоскости, соответствующей числу , до оси ординат

А3. Вычислите:  если

а) 75                     b) 25                             c) 5                  d) 5

А4. Вычислите: если

а)                b) 40                    c)                  d)

А5. Найдите аргументы комплексных чисел:  и запишите их в соответствующем порядке:

а)                     b)            c)                    d)

А6. Какая из записей является тригонометрической формой комплексного числа

а)

b)

c)

d)

А7. Запишите в стандартной тригонометрической форме комплексное число

а)                  b)

c)                       d)

А8. Вычислите , если  и

а)

b)

c)

d)

А9. Вычислите , если  и

а)

b)

c)

d)

Часть В

В1. Вычислите:  если

Ответ: ______________________

В2. Запишите в стандартной тригонометрической форме комплексное число

Ответ: ______________________

В3. Где находятся комплексные числа, для которых

Ответ: ______________________

В4. Параметр t принимает любые действительные значение. Какое множество точек z на соответствует соотношению:

а)  

б)

Ответ: а)______________________

б)______________________

В5. Представьте комплексное число в тригонометрической форме

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Зная, что  изобразить на комплексной плоскости следующие числа и найти их аргументы

а)                      б)                     в)

С2. Вставьте пропущенный знак и докажите неравенство треугольника:

С3. Докажите, что при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются.

§ 35. Комплексные числа и квадратные уравнения

В § 35 рассматриваются такие вопросы, как извлечение квадратных корней из отрицательных действительных чисел, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, квадратные корни из комплексных чисел и произвольные квадратные уравнения.

Тест №4 по теме

«Комплексные числа и квадратные уравнения»

Часть А

А1. Вычислите

а) 1                       b)                    c)                    d)

A2. Вычислите ,

а)               b)             c)             d)

А3. Решите уравнение:

а)        b) корней нет      c)      d)

А4. Решите уравнение:

а)             b)                   c)             d) корней нет.

А5. Если число  является корнем некоторого уравнения, то корнем этого же уравнения является также:

а)  b)     c) нельзя дать однозначный ответ          d)

А6. Вычислите

а)           b)              c)              d)

Часть В

В1. Вычислите

Ответ: ______________________

В2. Решите уравнение

Ответ: ______________________

В3. Корнями какого уравнения являются числа

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Докажите равенство

С2. Решите уравнение

§ 36. Возведение комплексного числа в степень

В § 36 рассматривается формула Муавра с доказательством, а также 3 следствия из нее; вводится определение и формула для вычисления кубического корня из комплексного. Возведение в более высокие степени переносится в курс 11 класса.

Тест №5 по теме

«Возведение комплексного числа в степень»

Часть А

А1. Вычислите

а)                      b)                      c)             d) 0

A2. Вычислите

а)                      b)                      c)                    d)

А3. Вычислите

а)              b)                    c)                       d)

А4. Вычислите

а)

b)

c)

d)

А5. Выберите правильное геометрическое изображение

а)                                                               b)

         c)                                                               d)

Часть В

В1. Вычислите

Ответ: ______________________

В2. Вычислите

Ответ: ______________________

В3. Выразите  через

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Найдите сумму

Итоговый Тест по теме

«Комплексные числа»

Часть А

А1. Даны комплексные числа .

Вычислите

а)            b)              c)              d)

A2. Для комплексных чисел  изобразите . Выберите правильный чертеж:

a)                                                               b)

c)                                                               d)

А3. Запишите комплексное число  в стандартной тригонометрической форме.

а)

b)

c)

d)

А4. Вычислите:

а)                    b)        c)        d)

А5. Вычислите

а)             b)                    c)                    d)

А6. Вычислите

а)  

b)  

c)  

d)

Часть В

В1. Для комплексных чисел  вычислите .

Ответ: ______________________

В2. Для комплексных чисел  изобразить на координатной плоскости числа:

a)                                                                   b)

c)

В3. Запишите комплексное число  в стандартной тригонометрической форме.

Ответ: ______________________

В4. Для комплексных чисел  найдите

Ответ: ______________________

В5. Решите уравнение  

Ответ: ______________________

В6. Вычислите  

Ответ: ______________________

Часть С

С1. Докажите, что  .

С2. Докажите, что если  то .

С3. Докажите формулу Муавра.

.3 Экспериментальная проверка методических разработок

Экспериментальная проверка проводилась в ГОУ СОШ № 1320, в 10ª классе. В этом классе 29 человек (15 мальчиков и 14 девочек). Класс непрофильный, успеваемость средняя: 3 отличника, 8 хорошистов, 6 неуспевающих. Математикой интересуются в различной степени 9-10 учащихся. В классе у 12% неполные семьи, у 16% - достаток в семье выше среднего, 1 мальчик посещает уроки в школе редко по состоянию здоровья. В целом класс дружный, в основном ребята серьёзные, организованные.

В группу испытуемых вошли 16 человек: только те, кто изъявил желание. Учитывая загруженность расписания уроков, и то, что в исследовании участвовали не все учащиеся, занятия проходили во внеурочное время. Проводилось 10 занятий учителем математики по составленному нами поурочному планированию. Проводилось 6 тестирований (5 промежуточных, 1 одно итоговое) и зачет по теме «Комплексные числа».

После беседы с учителем математики выяснилась следующая информация: круг интересов ребят довольно ограничен, в основном это телевизор, интернет, за редким исключением - литература, и в большинстве случаев - это гадания, гороскопы.

В классе 3 отличника - это 2 девочки и мальчик, которым все интересно, они любознательные, одинаково хорошо занимаются по всем предметам, в основном объясняется это желанием получить медаль и поступить без экзаменов в высшее учебное заведение. В классе есть также интересующийся математикой как наукой мальчик. Он хорошо разбирается в математике, быстро схватывает, но, к сожалению, не имеет возможности развивать свои способности вне школы, дома.

У данного класса достаточно высокий уровень самостоятельности и активности, но низкий уровень заинтересованности. Поэтому для достижения высоких результатов на уроке, учитель должен заинтересовать учеников и организовать их деятельность.

В простейших математических ситуациях учащиеся умеют применять приемы и операции мышления, но в сложных ситуациях нужно натолкнуть, подсказать.

Абстрактное мышление плохо развито - учащиеся больше мыслят конкретно. Логическое мышление развито средне - успешно решают необходимый минимум задач такого типа, и 50% ребят справляются с творческими заданиями.

Учащиеся усваивают понятия вполне полно, чаще усваивается необходимое количество признаков понятия, но 7% учащихся редко вообще что-либо усваивают, т.к. нет базы знаний и желания. Учитель часто указывает на связи и отношения различных понятий друг с другом, поэтому ученики легко ими пользуются. Также ребята в большинстве случаев умеют оперировать усвоенными понятиями при решении задач, но бывают затруднения, поэтому немалую роль играет здесь наглядность, творческое мышление.

В группу испытуемых вошли 16 человек, объяснить это можно любопытством учащихся, даже любознательностью. Конечно, пришли дети, которые любят математику как предмет, наверняка, сыграла свою роль предварительная заинтересованность о решении квадратных уравнений с D<0. Многие из ребят хотят продолжить образование, где необходимо знание математики. Может быть, пришли некоторые, потому, что есть возможность проявить себя, попробовать свои силы в небольшой группе, поэтому пришли 4 слабых ученика. Возможно, ребятами двигал и интерес к молодому педагогу.

Анализируя результаты усвоения темы «Тригонометрические функции» мы сделали вывод, что большинство учащихся ее усвоило. По результатам тестирования по этой теме качество знаний 65% - допустимое; уровень обученности - 92% - высокий. Т.к. эта тема ребятами усвоена довольно успешно, то при изучении темы «Комплексные числа» особых затруднений не возникало, т.к. учащиеся обладают необходимыми знаниями и умения для усвоения этой темы.

Таблица результатов тестирования по теме «Комплексные числа и арифметические операции над ними».

Задание части А оценивается в 5 баллов, задание части В - в 7 баллов, части С - в 15 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов тестирования по теме «Комплексные числа и координатная плоскость».

Задание части А оценивается в 7 баллов, задание части В - в 9 баллов, части С - в 11 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов тестирования по теме «Тригонометрическая форма записи комплексного числа».

Задание части А оценивается в 5 баллов, задание части В - 6 баллов, части С: С1 - С2 - 8 баллов, С3 - 9 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов тестирования по теме «Комплексные числа и квадратные уравнения».

Задание части А оценивается в 7 баллов, задание части В - в 9 баллов, части С - в 14 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов тестирования по теме «Комплексные числа и квадратные уравнения».

Задание части А оценивается в 9 баллов, задание части В - в 15 баллов, части С - в 20 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Таблица результатов итогового тестирования по теме «Комплексные числа»

Задание части А оценивается в 4 баллов, задание части В - в 6 баллов, части С - в 10 баллов. Всего ученик может набрать 100 баллов. Набранное количество баллов определяет процент качества знаний учащегося.

Анализ итогового тестирования.

Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня.

Для того, чтобы увидеть насколько эффективно проходило усвоение понятия комплексного числа, учащимся в конце каждой темы предлагались разработанные нами тестовые работы и итоговый тест в конце всей темы.

В результате проверки итогового тестирования уровень обученности составил 100%, т.е. все учащиеся, посещавшие занятия, справились с контрольной работой. Причем качество знаний по этой теме - 73%, а это достаточно высокий показатель.

Основные ошибки, допущенные учащимися в итоговом тестировании:

- недостаточное знание предыдущих тем (формулы сокращенного умножения, тригонометрия)

невнимательность (при возведении в степень мнимой единицы, при изображении комплексных чисел на плоскости, при переводе комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую; при переводе комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую форму; при использовании формулы Муавра)

неглубокое понимание понятий (равенство комплексных чисел; точка на комплексной плоскости; модуль комплексного числа)

нерациональность и нечеткость оформления решения (при решении систем, при нахождении дискриминанта и корней уравнения, при переводе комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую форму)

Анализируя допущенные ошибки были выделены 3 типа ошибок:

1.       логические (не выделяют существенных признаков понятий, связей между ними).

2.       по содержанию (неумело пользуются основными понятиями, формулами, соглашениями).

.        процессуальные (формальное отношение к решению, нерациональность, невнимательность).

Средний процент по каждому типу ошибок: 1 - 21%; 2 - 42%; 3 - 49%.

Ребята допускают в работе логические ошибки, что говорит о недостаточном развитии гибкости, глубины мышления. Большой процент процессуальных ошибок свидетельствует о невнимательности учащихся при решении задач, о поверхностности мышления, т.е. о формальном отношении к процессу решения.

В целом, учитывая ошибки по содержанию и качество знаний по данной теме можно сделать вывод, что итоговое тестирование выполнено успешно, и это говорит об удачном завершении формирования понятия комплексного числа.

На некоторых занятиях проводились небольшие самостоятельные работы, тематические диктанты, чтобы выяснить насколько полно учащиеся освоили конкретное данное понятие, умеют ли они им пользоваться при решении задач, знают ли связи между понятиями. Отметим, что такая работа важна в первую очередь для учащихся, т.к. они могут самостоятельно оценить уровень своих знаний, умений и навыков по данным темам. Также два раза задавались на дом творческие задания, т.е. нужно было придумать самостоятельно задачу и решить ее. Сильные учащиеся очень ответственно отнеслись к этим заданиям. Но вот слабые иногда пользовались трудом своих одноклассников.

Но в целом ребята проявили большую заинтересованность, говорили, что особых трудностей тема не вызвала, это подтвердило итоговое тестирование, проведенное на последнем занятии.

Выводы по главе 2

. Исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся старших классов и объемов и особенностей содержания темы «Комплексные числа» в учебнике А.Г.Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра и начала математического анализа», разработаны и практически реализованы тематическое и поурочное планирование, контрольно - проверочные материалы в формате ЕГЭ по теме «Комплексные числа».

. По результатам проведенного эксперимента можно сказать, что тема «Комплексные числа» не вызывает особых трудностей при изучении в общеобразовательном классе. Все испытуемые справились с итоговым тестированием по теме «Комплексные числа».

. Изучение темы «Комплексные числа» в старших классах средней школы способствует повышению уровня знаний, умений и навыков во многих других разделах школьного курса (многочлены, тригонометрия), позволяет привести в систему те разрозненные знания, которые были изучены старшеклассниками ранее.

Заключение

1. Изучение темы «Комплексные числа» в настоящее время предлагается либо на факультативах, либо в профильных классах старшей школы.

. Необходимо учитывать психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста:

·        мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным;

·        учебная деятельность старших школьников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности;

·        старшеклассники осознанно и ответственно подходят к изучению математики, т.к. им предстоит обязательная сдача Единого Государственного Экзамена.

. В ходе теоретического и экспериментального исследования по теме "Комплексные числа" были получены следующие результаты:

1)      Изучение этой темы преследует следующие основные цели:

·        повышение математической культуры учащихся;

·        углубление представлений о понятии числа;

·        дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

2)      Учащиеся способны в 10 классе усвоить понятие комплексного числа, как показало экспериментальное исследование.

3)      Учащиеся вполне успешно усваивают содержание и объем понятия комплексного числа, связи и отношения данного понятия с другими, а также умеют оперировать этим понятием при решении практических задач.

Библиография

Абакумова, Е.Г. Проблемное обучение на уроках математики [Электронный документ] / Е.Г. Абакумова. - (<http://festival.1september.ru/articles/537107/>). 24.12.2009

1. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 11кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. - 4-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2004. - 24 с.: ил.

2. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 10 кл. : в 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Л.И. Звавич и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. - 6-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 348 с.: ил.

3. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. - 7-е изд., дополн. - М.: Просвещение, 2008. - 464 с: ил.

4. Андронов, И.К. Математика действительных и комплексных чисел [Текст] / И. К. Андронов. - М.: Просвещение, 1975. - 155 с.

5. Башмаков, М.И. Задачи по математике. Алгебра и анализ [Текст] / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер, В.М. Гольховой; Под ред. К. Фаддеева. - М.: Наука, 1982. - 192 с. - (Б-чка «Квант». Вып. 22).

6. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] : учебное пособие для студентов педагогических ВУЗов / В.М. Брадис. - М.: Учпедгиз, 1951. - 504 с.

7. Виленкин, Н.Я. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 11кл.: учеб. для учещихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 14-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

8. Виленкин, Н.Я. Гибрид из мира идей, или как комплексные числа стали прилагательными [Текст] / Н.Я. Виленкин // Знание-сила. - 1969. - № 1. - С. 19

9. Глейзер, Г.И. История математики в школе. IX - X кл. [Текст] : пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1983. - 351 с.

10. Демидов, В.П. Методика преподавания математики [Текст] : пособие для студентов пед. институтов / В. П. Девидом Г. И. Саранцев - Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П. Огарева - 1976. - 192 с.

11. Киселев, А.П. Алгебра [Текст] : в 2 ч. Ч. II / А.П. Киселев. - М.: Физматлит, 2005. - 248 с.

12. Колмогоров, А.Н. Проект программы средней школы по математике [Текст] / А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, В.Г. Болтянский и др. // Математика в школе. - 1967. - № 1. - С. 12

13. Котов, А.Я. Обсуждение проектов программ [Текст] / А.Я. Котов, П.И. Конопатов // Математика в школе, 1967. - №3.

14. Крутецкий, В.А. Психология [Текст] : учебник для учащихся пед. училищ / А. В. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1980. - 352 с.: ил.

15. Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников [Текст] : книга для учителей и классных руководителей / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1976. - 303 с.

16. Кухарь, В.М. Развитие понятия о числе [Текст] : Автореф. дисс. на соискание учен. степени, к. пед. наук / В.М. Кухарь. - Киев, 1955 - 31 с.

17. Метельский, Н.В. Дидактика математики [Текст] : лекции по общим вопросам для математических факультетов ВУЗов / Н.В. Метельский - Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982. - 256 с.

18. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст] / Ю.М. Коляги, Л.В. Оганесян, В.Я. Санинский, и др. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

19. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа [Текст] : 10 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2007. - 411 с.: ил.

20. Немов, Р.С. Психология. Общие основы психологии [Текст]: Кн. 1: учеб. для студентов высших учебных заведений / Р.С. Немов - 4-е изд. - М.: Владос, 2003. - 688 с.

21. Немов, Р.С. Психология. Психология образования[Текст] : Кн. 2: учеб. для студентов высших учебных заведений / Р.С. Немов - 2-е изд. - М.: Владос, 1995. - 469 с.

22. Новоселов, С.И. О комплексных числах в курсе 10 класса [Текст] / С.И. Новоселов // Математика в школе. - 1968. - № 1. - С. 38

23. Петровский, А.В. Психология [Текст] : Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / А.В. Петровский, М.Г. Ярошевский. - М.: Академия, 1998. - 512 с.

24. Пичурин, Л.Ф. Вопросы общей методики преподавания математики [Текст] : учеб. пособие для студ.-заочников III-IV курсов физ.-мат. фак-тов пед. институтов / Л.Ф. Пичурин, В.В. Репьев. - М.: Просвещение, 1979. - 80 с.

25. Подласый, И.П. Педагогика [Текст] : учеб. пособие для вузов / И.П. Подласый. - М.: Владос-пресс, 2004. - 365 с.

26. Поспелов, Н.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников [Текст] / Н.Н. Поспелов, И.Н. Поспелов. - М.: Педагогика, 1989. - 157 с.

27. Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика [Текст] : для сред. и ст. шк. Возраста / А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 351 с.: ил.

28. Сластенин, В.А. Педагогика [Текст] : Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, Е.Н. Шиянов; Под ред. В.А. Сластенина. - М.: Академия, 2002. - 576 с.

Технология обучения комплексным числам на основе осуществления межпредметных связей в системе непрерывного профессионального образования [Электронный документ]. - (<http://planetadisser.com/see/dis_242400.html>). 13.11.2009

1. Хинчин, А.Я. Педагогические статьи [Текст] / А.Я. Хинчин. - М.: Академия пед. наук РСФСР, 1963. - 204 с.

2. Шарова, О.П. Комплексные числа в курсе математики средней школы [Текст] : Автореф. дисс. к. пед. наук. / О. П. Шарова. - Ярославль, 1969. - 16 с.

3. Шиманский, И.Е. Обсуждение проектов программ [Текст] // Математика в школе. - 1967. - №6. - С. 20

(<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%8B%D1%88%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5>). 13.02.2010

(<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0>). 12.10.2009