Решение систем уравнений
Задание 1.
Проверить совместность системы
уравнений и в случае совместности решить ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы
(матричным методом);
в) методом Гаусса.
Совместность данной
системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных
преобразований расширенную матрицу 
приведем к
трапециевидной форме
~ 
.
Следовательно, 
(числу
неизвестных системы). Значит, исходная система совместна и имеет единственное
решение.
а) По формулам Крамера: 
где
.
Находим 
.
б) С помощью обратной
матрицы 
где
-
обратная матрица к
,
-
столбец правых частей.
.
; 
;
;
; 
;
;
; 
;
.
Решение системы
,
т.е. 
.
в) Наша система
эквивалентна
(прямой ход Гаусса
совершен при нахождении рангов матриц и ).
Тогда
Задание 2.
Решить однородную систему линейных
алгебраических уравнений.
С помощью элементарных
преобразований матрицу приведем
к трапециевидной форме
~ 
.
Следовательно, 
2<3
и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной
постоянной. Исходная система эквивалентна
Откуда 
.
Полагая 
(произвольной
постоянной), имеем
, 
.
Задание 3.
По координатам точек 
,
,
найти:
а) Модуль вектора 
;
.
б) Скалярное
произведение векторов 
и
.
.
в) Проекцию вектора 
на
вектор 
.
.
г) Координаты точки 
,
делящей отрезок 
в
отношении 1:3; 
.
Следовательно:
Задание 4.
Даны векторы 
,
c
= i - 5j + 7k Необходимо:
а) Найти модуль
векторного произведения 
.
=
;
.
б) Проверить, будут ли
коллинеарны или ортогональны два вектора 
и 
.
Условие коллинеарности
двух векторов 
Т.к. 
то
вектора и
неколлинеарны.
Условие ортогональности
двух векторов 
Т.к. 
то
вектора неортогональны.
в) Вычислить смешанное
произведение трех векторов
.
.
г) Проверить, будут ли
компланарны три вектора 
Вектора 
компланарны,
если 
Из пункта в) 
следовательно,
эти векторы компланарны.
Задание 5.
Даны четыре точки
Составить уравнения:
а) Плоскости 
Уравнение плоскости по
трем точкам имеет вид
, откуда 
.
Уравнение прямой по двум
точкам
откуда 
в) Прямой 
,
перпендикулярной к плоскости 
.
Из уравнения плоскости следует,
что вектор
||
откуда уравнение имеет
вид 
г) Прямой 
,
параллельной
Значит, вектор 
и
уравнение этой прямой имеет вид 
д) Плоскости, проходящей
через точку 
перпендикулярно
к прямой
Вектор
перпендикулярен искомой плоскости.
Значит, 
-
ее уравнение, которое приводится к виду 
е) Вычислить 
-
угла между прямой 
и
плоскостью .
; 
;
.
ж) Косинус угла между
координатной плоскостью 
и
плоскостью .
Вектор
а вектор 
.
Поэтому
.
Задание 6.
Показать, что прямая 
параллельна
плоскости
х
+ 3у - 2z + 1 = 0, а прямаях = t + 7, у = t
- 2, z = 2t + 1 лежит в этой плоскости.
В общем виде уравнение
плоскости имеет вид 
, а каноническое
уравнение прямой: 
Параметрическое
уравнение прямой:
Если прямая параллельна
плоскости, то 
Значит, из условия
задачи, 
.
Следовательно, прямая параллельна плоскости.
Если прямая лежит в
плоскости, то ,
Значит, из условия
задачи, 
,
Следовательно,
прямая лежит в плоскости.
Задание 7.
Составить уравнение
прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х
+ 5у - 8 = 0 и 2х + 3у + 4 = 0.
Найдем точку пересечения
прямых:
Уравнение прямой,
проходящей через две точки и:
уравнение прямая система вектор
Поэтому ее уравнение
запишем как 
оно
приводится к виду 