Решение систем уравнений
Задание 1.
Проверить совместность системы
уравнений и в случае совместности решить ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы
(матричным методом);
в) методом Гаусса.
Совместность данной
системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных
преобразований расширенную матрицу приведем к
трапециевидной форме
~ .
Следовательно, (числу
неизвестных системы). Значит, исходная система совместна и имеет единственное
решение.
а) По формулам Крамера: где
.
Находим .
б) С помощью обратной
матрицы где
-
обратная матрица к,
-
столбец правых частей.
.
; ;
;
; ;
;
; ;
.
Решение системы
,
т.е. .
в) Наша система
эквивалентна
(прямой ход Гаусса
совершен при нахождении рангов матриц и ).
Тогда
Задание 2.
Решить однородную систему линейных
алгебраических уравнений.
С помощью элементарных
преобразований матрицу приведем
к трапециевидной форме
~ .
Следовательно, 2<3
и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной
постоянной. Исходная система эквивалентна
Откуда .
Полагая (произвольной
постоянной), имеем
, .
Задание 3.
По координатам точек ,
,
найти:
а) Модуль вектора
;
.
б) Скалярное
произведение векторов и
.
.
в) Проекцию вектора на
вектор .
.
г) Координаты точки ,
делящей отрезок в
отношении 1:3; .
Следовательно:
Задание 4.
Даны векторы ,
c
= i - 5j + 7k Необходимо:
а) Найти модуль
векторного произведения .
=;
.
б) Проверить, будут ли
коллинеарны или ортогональны два вектора и .
Условие коллинеарности
двух векторов
Т.к. то
вектора и
неколлинеарны.
Условие ортогональности
двух векторов
Т.к. то
вектора неортогональны.
в) Вычислить смешанное
произведение трех векторов
.
.
г) Проверить, будут ли
компланарны три вектора
Вектора компланарны,
если
Из пункта в) следовательно,
эти векторы компланарны.
Задание 5.
Даны четыре точки
Составить уравнения:
а) Плоскости
Уравнение плоскости по
трем точкам имеет вид
, откуда .
Уравнение прямой по двум
точкам
откуда
в) Прямой ,
перпендикулярной к плоскости .
Из уравнения плоскости следует,
что вектор||
откуда уравнение имеет
вид
г) Прямой ,
параллельной
Значит, вектор и
уравнение этой прямой имеет вид
д) Плоскости, проходящей
через точку перпендикулярно
к прямой
Вектор
перпендикулярен искомой плоскости.
Значит, -
ее уравнение, которое приводится к виду
е) Вычислить -
угла между прямой и
плоскостью .
; ;
.
ж) Косинус угла между
координатной плоскостью и
плоскостью .
Вектор
а вектор .
Поэтому
.
Задание 6.
Показать, что прямая параллельна
плоскости
х
+ 3у - 2z + 1 = 0, а прямаях = t + 7, у = t
- 2, z = 2t + 1 лежит в этой плоскости.
В общем виде уравнение
плоскости имеет вид , а каноническое
уравнение прямой:
Параметрическое
уравнение прямой:
Если прямая параллельна
плоскости, то
Значит, из условия
задачи, .
Следовательно, прямая параллельна плоскости.
Если прямая лежит в
плоскости, то ,
Значит, из условия
задачи, ,
Следовательно,
прямая лежит в плоскости.
Задание 7.
Составить уравнение
прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х
+ 5у - 8 = 0 и 2х + 3у + 4 = 0.
Найдем точку пересечения
прямых:
Уравнение прямой,
проходящей через две точки и:
уравнение прямая система вектор
Поэтому ее уравнение
запишем как оно
приводится к виду