Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = ¦(х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:

¦(х) = ln x

Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Решение

Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом= 0,04:

Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

1.       На отрезке [a, b] задать одномерную сетку

h_x = {x_i / x_i = x_{i -1} + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

и значения y_i = f(x_i) в узлах сетки x_i, i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x^* Î (a, b).

.        Положить a_i = y_j, i = 0, 1, 2, …, n.

.        Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:

Определить значения коэффициентов c_i, i = 0, 1, 2, …, n.

4.       Определить значения коэффициентов d_i и b_i, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:

d_i = (c_i - c_{i - 1}) / h_i, i = 1, 2, …

5.       Определить значение индекса 0 < k £ n из условия x^* Î [x_{k - 1}, x_k].

.        Вычислить по формуле

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* - x_k) + (c_k / 2)(x^* - x_k)² + (d_k / 6)(x^* - x_k)³.

7.       Процесс завершен: S(x^*) - результат интерполяции табличных данных в точку x^* Î (a, b).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Значение функции в точке находится по формуле:

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* - x_k) + (c_k / 2)(x^* - x_k)² + (d_k / 6)(x^* - x_k)³

. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке [a, b] с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта

, , 0 £ х £ 1

Решение. Метод Эйлера

разностная аппроксимация Эйлера. Точность метода . Метод Рунге-Кутта

дифференциальный интерполирующий уравнение сплайн

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутта

. Найти решение задачи безусловной минимизации ¦(х) ® min, х Î R². Установить множество глобального решения

¦(х) =

Решение

Данная задача решается методом сопряженных направлений (градиентов). Алгоритм данного метода представлен далее.

Метод сопряженных направлений

1        Начать с точки x⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, …, x_n⁽⁰⁾)^т и n-линейно независимых направлений s⁽ⁱ⁾,

i = 1, 2, …, n, которые могут быть выбраны, например, совпадающими с координатными направлениями e⁽ⁱ⁾, i = 1, 2, …, n. Положить k = 1.

         Начиная с точки x⁽⁰⁾ осуществить одномерный поиск для функции f(x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽¹⁾.

         Начиная с точки z⁽¹⁾ осуществить последовательно n - 1 одномерный поиск для f(x) сначала в направлении s⁽¹⁾, а затем из полученной точки в направлении s⁽²⁾ и т. д. до одномерного поиска в направлении s^{(n - 1)} включительно. В результате этих действий будет определена точка x⁽²⁾.

         Начиная с точки x⁽²⁾ осуществить одномерный поиск для f(x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽²⁾.

Согласно обобщенному свойству "параллельного подпространства" направление

s^{(n + 1)} = z⁽²⁾ - z⁽¹⁾

будет сопряженным по отношению к направлениям s⁽ⁿ⁾, s^{(n - 1)}, …, s^{(n - k + 1)} (для k = 1 - только к направлению s⁽ⁿ⁾).

         Начиная с точки z⁽²⁾ осуществить поиск в направлении s^{(n + 1)} и определить x^*.

         Положить k: = k + 1. Если k = n, перейти к выполнению п. 8.

         Положить z⁽¹⁾: = x^* и s⁽ⁱ⁾: = s^{(i + 1)}, i = 1, 2, …, n.и перейти к выполнению п. 2.

         Процесс вычислений завершен: x^* - точка минимума функции f(x).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Таблица результатов

Точка (2,-2) - точка минимума функции. В этой точке функция принимает значение .