Прогноз среднего значения цены
Задача 1
В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится
информация об их потребительских свойствах и ценах.
Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности
двигателя X2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях.
|
Номер автомобиля
|
Цена (тыс.у .е.)  Возраст (лет)  Мощность двигателя
(л.с.) 
|
|
|
|
1
|
14,4
|
4,0
|
154
|
|
2
|
16,9
|
2,0
|
155
|
|
3
|
13,0
|
5,0
|
149
|
|
4
|
9,6
|
7,0
|
128
|
|
5
|
9,8
|
7,0
|
134
|
|
6
|
9,6
|
7,0
|
127
|
|
7
|
16,8
|
2,0
|
157
|
|
8
|
14,8
|
4,0
|
160
|
|
9
|
9,8
|
7,0
|
134
|
|
10
|
16,9
|
2,0
|
154
|
|
11
|
16,0
|
3,0
|
161
|
|
12
|
17,4
|
2,0
|
167
|
|
13
|
17,2
|
2,0
|
163
|
|
14
|
17,4
|
2,0
|
163
|
|
15
|
15,7
|
3,0
|
155
|
|
16
|
17,1
|
2,0
|
162
|
1. Парные
зависимости
1.1 Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X1, а также для цены Y и мощности двигателя X2. На основе их визуального анализа
выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X1 и Y от X2 и записать их математически
1.2 Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений
регрессии
, 
.
1.3
С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной
связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью
двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9
1.4
Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с
надежностью 0,9
1.5 Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения
цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя.
Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями
рассеяний
1.6 На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их
возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный
прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от
возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95
Решение
1.1.
По исходным данным построим поля рассеяния переменной у в зависимости от 
и 
.
Рис.
1.1. Поле рассеяния «возраст-цена автомобиля»
На
основе анализа поля рассеяния (рис. 1.1), можно выдвинуть гипотезу о наличии
обратной линейной связи между ценой автомобиля (
) и его
возраста (), т.е. с увеличением возраста автомобиля цена на него
уменьшается. Зависимость описывается линейной моделью вида:
где
и 
-
неизвестные постоянные коэффициенты, а e - случайное
отклонение, вызванное влиянием неучтённых факторов и погрешностями измерений.
Аналогично,
на основе анализа поля рассеяния (рис. 1.2) можно выдвинуть гипотезу между
ценой автомобиля y и мощностью двигателя 
зависимость
прямая, т.е. с увеличением мощности двигателя цена автомобиль возрастает. И
зависимость описывается моделью:
Рис.
1.2 Поле рассеяния «мощность двигателя-цена автомобиля»
Найдем
уравнения линейной регрессии
и 
неизвестные
коэффициенты находятся по формулам (используя метод наименьших квадратов
(МНК)):
, 
, 
Для
вычисления оценок параметров моделей составляем вспомогательную таблицу 1.1.
Таблица
1.1. Промежуточные расчеты для оценок параметров
|
№
|
     
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
4
|
154
|
14,4
|
16
|
23716
|
57,6
|
2217,6
|
616
|
207,36
|
|
2
|
2
|
155
|
16,9
|
4
|
24025
|
33,8
|
2619,5
|
310
|
285,61
|
|
3
|
5
|
149
|
13
|
25
|
22201
|
65
|
1937
|
745
|
169
|
|
4
|
7
|
128
|
9,6
|
49
|
16384
|
67,2
|
1228,8
|
896
|
92,16
|
|
5
|
7
|
134
|
9,8
|
49
|
17956
|
68,6
|
1313,2
|
938
|
96,04
|
|
6
|
7
|
127
|
9,6
|
49
|
16129
|
67,2
|
1219,2
|
889
|
92,16
|
|
7
|
2
|
157
|
16,8
|
4
|
24649
|
33,6
|
2637,6
|
314
|
282,24
|
|
8
|
4
|
160
|
14,8
|
16
|
25600
|
59,2
|
2368
|
640
|
219,04
|
|
9
|
7
|
134
|
9,8
|
49
|
17956
|
68,6
|
1313,2
|
938
|
96,04
|
|
10
|
2
|
154
|
16,9
|
4
|
23716
|
33,8
|
2602,6
|
308
|
285,61
|
|
11
|
3
|
161
|
16
|
9
|
25921
|
48
|
2576
|
483
|
256
|
|
12
|
2
|
167
|
17,4
|
4
|
27889
|
34,8
|
2905,8
|
334
|
302,76
|
|
13
|
2
|
163
|
17,2
|
4
|
26569
|
34,4
|
2803,6
|
326
|
295,84
|
|
14
|
2
|
163
|
17,4
|
4
|
26569
|
34,8
|
2836,2
|
326
|
302,76
|
|
15
|
3
|
155
|
15,7
|
9
|
24025
|
47,1
|
2433,5
|
465
|
246,49
|
|
16
|
2
|
162
|
17,1
|
4
|
26244
|
34,2
|
2770,2
|
324
|
292,41
|
|
Сумма
|
61
|
2423
|
232,4
|
299
|
369549
|
787,9
|
35782
|
8852
|
3521,52
|
|
Среднее
|
3,81
|
151,44
|
14,53
|
18,69
|
23096,81
|
|
|
|
|
Подставляя полученные значения найдем оценки параметров:
, 
Таким
образом, 
Аналогично
находятся оценки коэффициентов модели 
Тогда
, 
Таким
образом, 
.
1.3
Коэффициент парной корреляции находится по формуле:
Подставляя
соответствующие значения, получим
Так
как
-0,997<0, то связь между признаками обратная, т.е.
с ростом уменьшается y. Используя таблицу Чедока при 
определяем, что связь между признаками сильная.
Проверим
значимость коэффициента корреляции 
с помощью
критерия Стьюдента. При уровне значимости 0,9 табличное значение 
=1,76. Тогда
то существенно отличается от 0 и существует сильная
линейная отрицательная связь между y и .
Аналогично
проверим неравенство для 
:
Так
как
>0, то связь между признаками прямая, т.е. с ростом
возрастает y. Используя таблицу Чедока при 
0,952 определяем, что связь между признаками сильная.
Проверим
значимость коэффициента корреляции с помощью
критерия Стьюдента. При уровне значимости 0,9 табличное значение =1,76. Тогда
,
значит,
существенно отличается от 0 и существует сильная
линейная положительная связь между y и .
1.4
Проверим статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с
надежностью 0,9 с помощью t - статистики Стьюдента и путем расчета доверительного
интервала для каждого из показателей. Выдвигаем гипотезу 
о статистически незначимом отличии показателей от
нуля:
уравнения
Табличное
значение 
для числа степеней свободы 
и 
составляет
.
Определим
случайные ошибки 
, 
, 
.
, 
, 
Таблица
1.2 Расчетная таблица
|
   
|
|
|
|
|
0,152
|
0,023
|
0,188
|
0,035
|
|
-0,302
|
0,091
|
-1,813
|
3,285
|
|
0,229
|
0,052
|
1,188
|
1,410
|
|
-0,217
|
0,047
|
3,188
|
10,160
|
|
-0,017
|
0,000
|
3,188
|
10,160
|
|
-0,217
|
0,047
|
3,188
|
10,160
|
|
-0,402
|
0,162
|
-1,813
|
3,285
|
|
0,552
|
0,305
|
0,188
|
0,035
|
|
-0,017
|
0,000
|
3,188
|
10,160
|
|
-0,302
|
0,091
|
-1,813
|
3,285
|
|
0,275
|
0,076
|
-0,813
|
0,660
|
|
0,198
|
0,039
|
-1,813
|
3,285
|
|
-0,002
|
0,000
|
-1,813
|
3,285
|
|
0,198
|
-1,813
|
3,285
|
|
-0,025
|
0,001
|
-0,813
|
0,660
|
|
-0,102
|
0,010
|
-1,813
|
3,285
|
|
Сумма
|
0,984
|
|
66,438
|
Тогда
Так
как 
<
(1.76<142,98),
<
(1,76<44,85) и < 
(1.76<45,32),
то гипотеза отклоняется, т.е. 
не
случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем
доверительный интервал для 
. Для
этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
, 
Доверительные
интервалы:
для
для
.
Анализ
верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с
вероятностью 
параметры 
и 
, находясь в указанных границах, не принимают нулевых
значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.
Следовательно, полученное уравнение линии регрессии статистически значимо в
целом и его можно использовать для прогноза.
Аналогично проведем оценку статистической
значимости параметров 
, 
и уравнения регрессии
Определим
случайные ошибки 
, 
, .
Составим
расчетную таблицу
|
|
|
|
|
|
-0,701
|
0,491
|
2,563
|
6,566
|
|
1,574
|
2,479
|
3,563
|
12,691
|
|
-0,977
|
0,955
|
-2,438
|
5,941
|
|
0,343
|
0,117
|
-23,438
|
549,316
|
|
-0,806
|
0,650
|
-17,438
|
304,066
|
|
0,567
|
0,322
|
-24,438
|
597,191
|
|
1,025
|
1,050
|
5,563
|
30,941
|
|
-1,649
|
2,721
|
8,563
|
73,316
|
|
-0,806
|
0,650
|
-17,438
|
304,066
|
|
1,799
|
3,237
|
2,563
|
6,566
|
|
-0,674
|
0,454
|
9,563
|
91,441
|
|
-0,623
|
0,388
|
15,563
|
242,191
|
|
0,076
|
0,006
|
11,563
|
133,691
|
|
0,276
|
0,076
|
11,563
|
133,691
|
|
0,374
|
0,140
|
3,563
|
12,691
|
|
0,201
|
0,040
|
10,563
|
111,566
|
|
Сумма
|
13,775
|
|
2615,938
|
Тогда
Так
как <
(1.76<6,62), <
(1.76<12,11), и <(1.76<11,61),
то гипотеза отклоняется, т.е. ,
и 
не
случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем
доверительные интервалы для и 
.
Доверительные
интервалы:
.
Анализ
верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с
вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевого
значения, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.
Следовательно, полученное уравнение линии регрессии статистически значимо в
целом и его можно использовать для прогноза.
.5.
Доверительные интервалы для среднего значения цены автомобиля в зависимости от
его возраста для уравнения регрессии находятся по формуле
где
соответственно верхняя и нижняя границы
доверительного интервала; 
значение независимой переменной для которого определяется доверительный интервал, 
квантиль распределения Стьюдента, 
доверительная вероятность, (n-2) - число
степеней свободы;
, 
, 
Сначала
рассмотрим уравнение
.
По
условию задачи 
число степеней свободы 14 тогда, по таблице
распределения Стьюдента находим t0.95 =
2,14.
цена регрессия зависимость тренд
Получим
|
    
|
|
|
|
|
|
2
|
17,202
|
0,089
|
17,012
|
17,392
|
|
3,81
|
14,525
|
0,066
|
14,383
|
14,667
|
|
7
|
9,817
|
0,123
|
9,554
|
10,081
|
Рассмотрим уравнение
|
 
|
|
|
|
|
|
9,033
|
0,535
|
7,888
|
10,177
|
9,033
|
|
14,525
|
0,248
|
13,994
|
15,056
|
14,525
|
|
18,023
|
0,391
|
17,187
|
18,859
|
18,023
|
Построим доверительные полосы надежности для средней цены автомобиля в
зависимости от его возраста, а также изобразим линию регрессии и поле
рассеяний.
Построим доверительные полосы надежности для средней цены автомобиля в
зависимости от его мощности двигателя, а также изобразим линию регрессии и поле
рассеяний.
1.6 Аналогично, как в пункте 1.5. найдем доверительные интервалы для
среднего значения цены автомобиля, если возраст автомобиля составляет 3
Заполним таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
3
|
15,725
|
0,071
|
15,572
|
15,878
|
При возрасте автомобиля 3 года, средняя цена автомобиля будет находиться
в интервале (15,572; 15,878) тыс.у.е.
Найдем доверительные интервалы для среднего значения цены автомобиля,
если мощность двигателя составляет 165 л.с.
Заполним таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
165
|
17,573
|
0,362
|
16,8
|
18,347
|
При мощности двигателя составляет 165 л.с., средняя цена автомобиля будет
находиться в интервале (16,8; 18,347) тыс.у.е.
2.
Множественная зависимость
2.1
По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной
линейной регрессионной модели 
2.2
Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной
регрессии с надежностью 0.9
2.3
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших
автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной
вероятностью 0.95
Решение
2.1
Уравнение регрессии будем искать в виде:
Введем
следующие обозначения
Тогда
Вектор
находится по формуле
В
нашем случае
|
16
|
61
|
2423
|
|
232,4
|
|
|
|
 61
|
299
|
8852
|
 787,9
|
|
|
|
|
|
2423
|
8852
|
369549
|
|
35782
|
|
|
Тогда
|
16
|
61
|
2423
|
-1
|
232,4
|
|
80,210
|
-2,731
|
-0,460
|
|
232,4
|
|
|
 61
|
299
|
8852
|
|
787,9
|
=
|
-2,731
|
0,104
|
0,015
|
|
787,9
|
=
|
|
|
2423
|
8852
|
369549
|
|
35782
|
|
-0,460
|
0,015
|
0,003
|
|
35782
|
|
Таким образом, получили уравнение множественной регрессии
.
2.2
Вычислим коэффициент парной корреляции 
Проверим
статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с
надежностью 0.9. Вычислим коэффициент множественной корреляции:
Составим
расчетную таблицу
|
№
|
    
|
|
|
|
|
|
1
|
14,425
|
-0,025
|
0,00063
|
-0,12500
|
0,016
|
|
2
|
16,864
|
0,036
|
0,00127
|
2,37500
|
5,641
|
|
3
|
12,987
|
0,013
|
0,00016
|
-1,52500
|
2,326
|
|
4
|
9,578
|
0,022
|
0,00049
|
-4,92500
|
24,256
|
|
5
|
9,869
|
-0,069
|
0,00476
|
-4,72500
|
22,326
|
|
6
|
9,529
|
0,071
|
0,00498
|
-4,92500
|
24,256
|
|
7
|
16,961
|
-0,161
|
0,02605
|
2,27500
|
5,176
|
|
8
|
14,716
|
0,084
|
0,00702
|
0,27500
|
0,076
|
|
9
|
9,869
|
-0,069
|
0,00476
|
-4,72500
|
22,326
|
|
10
|
16,816
|
0,084
|
0,00708
|
2,37500
|
5,641
|
|
11
|
15,960
|
0,040
|
0,00159
|
1,47500
|
2,176
|
|
12
|
17,446
|
-0,046
|
0,00216
|
2,87500
|
8,266
|
|
13
|
17,252
|
-0,052
|
0,00275
|
2,67500
|
7,156
|
|
14
|
17,252
|
0,148
|
0,02177
|
2,87500
|
8,266
|
|
15
|
8,912
|
6,788
|
46,07632
|
1,17500
|
1,381
|
|
16
|
17,204
|
-0,104
|
0,01080
|
2,57500
|
6,631
|
|
сумма
|
|
|
46,17259
|
|
145,910
|
Тогда
Коэффициент
множественной детерминации равен:
Зависимость
от 
и характеризуется как средняя, в которой 68,9% вариации
средней цены автомобилей определяется вариацией учтенных в модели факторов:
среднего возраста автомобиля и средней мощности двигателя. Прочие факторы, не
включенные в модель, составляют 31,1% от общей вариации .
Проверим
гипотезу 
о статистической значимости уравнения регрессии и
показателя тесноты связи (
), с помощью 
-
критерия Фишера.
Найдем
Сравнивая
и 
,
приходим к выводу к выводу о необходимости принять гипотезу , так как =2,76
<=14,4. С вероятностью 0.9 делаем заключение о
статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи 
, которые сформировались не под случайным воздействием
факторов и .
2.3
Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших
автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной
вероятностью 0.95
Для
=3; 
= 165
получаем точечный прогноз:
Для
нахождения интервального прогноза вычислим значения всех параметров, входящих в
формулу:
где
, 
-
соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала,
- вектор
независимых переменных, для которого определяется интервал,
=2,16 -
квантиль распределения Стьюдента,
-
доверительная вероятность, n - количество наблюдений, (n-3)- число
степеней свободы,
Получаем:
=0,28; 
; S =1,885; 
;
И
тогда 
и 
.
Таким
образом, получили, что средняя цена автомобиля возраста 3 года и мощностью 165
л.с. будет заключена в интервале (14,24; 18,54) тыс.у.е.
3.
Экономическая интерпретация
На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик
провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его
возраста и мощности двигателя.
Решение
На основании проведённых расчётов и полученных статистических
характеристик можно сделать определённые выводы относительно взаимосвязей между
исследуемыми экономическими показателями.
Так
как 
и проверка значимости показала его существенное
отличие от 0, то есть основания утверждать, что между y и существует сильная отрицательная линейная
зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения
регрессии . Коэффициент = −1,48
характеризует размер уменьшения цены на автомобиль, обусловленного увеличением
возраста автомобиля на единицу. т.е. при увеличении возраста автомобиля на 1
год, средняя цена на автомобиль уменьшается на 1,48 тыс.у.е.
Значение
0,952 свидетельствует о сильной линейной связи между y и : .
Коэффициент b1 = 0,23 в
уравнении показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. средняя
цена автомобиля увеличивается на 0.23 тыс.у.е.
Коэффициент
=-1,2 в уравнении показывает,
что при увеличении возраста автомобиля на 1 год и неизменной мощности двигателя
следует ожидать уменьшение цены автомобиля на 1,2 тыс.у.е.. Коэффициент 
= 0,05 показывает, что при увеличении мощности
двигателя на 1 л.с. и при неизменном возрасте автомобиля, следует ожидать
увеличение цены автомобиля на 0.05 тыс.у.е..
Задача 2
В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных
продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице
|
Месяц,  Объем
продаж (тыс. у. е.),
|
|
|
1
|
229
|
|
2
|
207
|
|
3
|
217
|
|
4
|
257
|
|
5
|
272
|
|
6
|
298
|
|
7
|
313
|
|
8
|
324
|
|
9
|
286
|
|
10
|
314
|
|
11
|
344
|
|
12
|
318
|
1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На
основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде
статистической зависимости объема продаж от времени и записать ее
математически.
. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда
3.
Для линии тренда построить доверительную полосу надежности 0.975. Нарисовать ее
на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.
.
С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности
0.975) для среднего объема продаж t=15.
Решение:
1. Представим графически ежемесячные объемы продаж
автомагазина
На основании визуального наблюдения ломанной кривой, отражающей характер
изменения по месяцам объема продаж автомобилей, выдвигаем гипотезу о линейном
тренде. Следовательно, трендовая модель, отражающая изменение объема продаж
автомобилей, запишется в виде:
где
- неизвестные параметры, 
-случайное отклонение.
.
Коэффициенты регрессионного уравнения тренда 
находятся
по методу наименьших квадратов и равны:
Воспользуемся
вспомогательной таблицей:
|
   
|
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
229
|
229
|
|
2
|
2
|
4
|
207
|
414
|
|
3
|
3
|
9
|
217
|
651
|
|
4
|
4
|
16
|
257
|
1028
|
|
5
|
5
|
25
|
272
|
1360
|
|
6
|
6
|
36
|
298
|
1788
|
|
7
|
7
|
49
|
313
|
2191
|
|
8
|
8
|
64
|
324
|
2592
|
|
9
|
9
|
81
|
286
|
2574
|
|
10
|
10
|
100
|
314
|
3140
|
|
11
|
11
|
121
|
344
|
3784
|
|
12
|
12
|
144
|
318
|
3816
|
|
сумма
|
78
|
650
|
3379
|
23567
|
И получим
Следовательно,
уравнение линейного тренда будет иметь вид:
3.
Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле
где 
При
уровне значимости 0,975 табличное значение 
=2,206.
Заполним
вспомогательную таблицу:
|
   
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
229
|
219,91
|
9,08974
|
82,6234385
|
-5,5
|
30,25
|
|
2
|
207
|
231,124
|
-24,124
|
581,945333
|
-4,5
|
20,25
|
|
3
|
217
|
242,337
|
-25,337
|
641,954946
|
-3,5
|
12,25
|
|
4
|
257
|
253,55
|
3,44988
|
11,9016958
|
-2,5
|
6,25
|
|
5
|
272
|
264,763
|
7,2366
|
52,3683323
|
-1,5
|
2,25
|
|
6
|
298
|
275,977
|
22,0233
|
485,026184
|
-0,5
|
0,25
|
|
7
|
313
|
287,19
|
25,81
|
666,157303
|
0,5
|
0,25
|
|
8
|
324
|
298,403
|
25,5967
|
655,192924
|
1,5
|
2,25
|
|
9
|
286
|
309,617
|
-23,617
|
557,741439
|
2,5
|
6,25
|
|
10
|
314
|
320,83
|
-6,8298
|
46,6466711
|
3,5
|
12,25
|
|
11
|
344
|
332,043
|
11,9569
|
142,966895
|
4,5
|
20,25
|
|
12
|
318
|
343,256
|
-25,256
|
637,886259
|
5,5
|
30,25
|
|
сумма
|
|
|
|
4562,411
|
|
143
|
В нашем случае
= 6,5; 
; S = 21.36
Результат запишем в виде таблицы
|
Месяц
|
t
|
|
|
|
|
|
1
|
1
|
219,91
|
11,60
|
194,32
|
245,50
|
|
6
|
6
|
275,98
|
6,23
|
262,23
|
289,72
|
|
12
|
12
|
343,26
|
11,60
|
317,67
|
368,84
|
На рисунке изображены график тренда, доверительные интервалы (для t=1,6,12), и доверительная полоса.
4. Найдем точечный прогноз для среднего объема продаж на конец первого
квартала:
376.85
тыс.у.е.
Аналогично
пункту 3 решение запишем в виде таблицы:
|
Месяц
|
t
|
|
|
|
|
|
15
|
15
|
376,85
|
27,49
|
316,25
|
437,55
|
Задача 3
1.
Для регрессионных моделей и с
помощью критерия Дарбина - Уотсона проверить наличие или отсутствие
автокорреляции на уровне значимости 
.
.
Для регрессионной модели проверить наличие или отсутствие
мультиколлинеарности, используя:
а)
парный коэффициент корреляции (приближенно);
б)
критерий «хи-квадрат» 
на уровне значимости.
Решение:
Критерий
Дарбина-Уотсона имеет вид
где
- отклонения от линии регрессии, i=1,..n.
Проверим
наличие или отсутствие автокорреляции для регрессионной модели:
Используя
таблицу:
|
   
|
|
|
|
|
1
|
0,025
|
|
0,001
|
|
|
2
|
-0,036
|
-0,061
|
0,001
|
0,004
|
|
3
|
-0,013
|
0,023
|
0,000
|
0,001
|
|
4
|
-0,022
|
-0,009
|
0,000
|
0,000
|
|
5
|
0,069
|
0,091
|
0,005
|
0,008
|
|
6
|
-0,071
|
-0,140
|
0,005
|
0,019
|
|
7
|
0,161
|
0,232
|
0,026
|
0,054
|
|
8
|
-0,084
|
-0,245
|
0,007
|
0,060
|
|
9
|
0,069
|
0,153
|
0,005
|
0,023
|
|
10
|
-0,084
|
-0,153
|
0,007
|
0,023
|
|
11
|
-0,040
|
0,044
|
0,002
|
0,002
|
|
12
|
0,046
|
0,086
|
0,002
|
0,007
|
|
13
|
0,052
|
0,006
|
0,003
|
0,000
|
|
14
|
-0,148
|
-0,200
|
0,022
|
0,040
|
|
15
|
-0,031
|
0,117
|
0,001
|
0,014
|
|
16
|
0,104
|
0,135
|
0,011
|
0,018
|
|
Сумма квадратов
|
0,274
|
Находим
У
нас n=16, m=2, 
, тогда 
=0,98 и 
=1,54.
Получаем,
что выполняется условие: 4-< d
<4 - , ( 2,46< 2,82< 3,02), то ничего нельзя сказать
ни о присутствии и об отсутствии автокорреляции.
Для
используя таблицу:
|
|
|
|
|
|
1
|
9,089744
|
|
82,62344
|
|
|
2
|
-24,1235
|
-33,2133
|
581,9453
|
1103,122
|
|
3
|
-25,3368
|
-1,21329
|
641,9549
|
1,472065
|
|
4
|
3,449883
|
28,78671
|
11,9017
|
828,6749
|
|
5
|
7,236597
|
3,786713
|
52,36833
|
14,3392
|
|
6
|
22,02331
|
14,78671
|
485,0262
|
218,6469
|
|
7
|
25,81002
|
3,786713
|
666,1573
|
14,3392
|
|
8
|
25,59674
|
-0,21329
|
655,1929
|
0,045491
|
|
9
|
-23,6166
|
-49,2133
|
557,7414
|
2421,948
|
|
10
|
-6,82984
|
16,78671
|
46,64667
|
281,7937
|
|
11
|
11,95688
|
18,78671
|
142,9669
|
352,9406
|
|
12
|
-25,2564
|
-37,2133
|
637,8863
|
1384,829
|
|
Сумма квадратов
|
|
|
4562,411
|
6622,151
|
.
У
нас n=12, m=1, , тогда =0,97 и =1,33.
Следовательно,
условие <d< 4 - (1,33<1,45<2,67)
выполняется, значит, автокорреляция отсутствует.
.
Проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности для модели
а)
Проверим значимость коэффициента 
:
Поэтому можно считать, что переменные x1 и x2
коррелируют между собой и, следовательно, мультиколлинеарность присутствует.
б) Вычислим определитель
Найдем
наблюдаемое значение 
Табличное
значение при и 
степенями
свободы составляет 
3,84. Сравнивая <
(27.02>3.84), приходим к выводу о наличии
мультиколлеарности.
Список
литературы
1 Эконометрика/ Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и
статистика, 2001.
2 Практикум по эконометрике / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.:
Финансы и статистика, 2001.