Формирование графических умений учащихся при изучении стереометрии в 10-11 классах

кафедра математики и методики обучения математике

                                                                          Допустить к защите

                                                                                Зав. кафедрой ________

                                                                                    «___»_____ 2006

Формирование графических умений учащихся при изучении стереометрии в 10-11 классах

выпускная квалификационная работа

2006

                            

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ

 1.1. Различные подходы к определению понятие «умение» и основные этапы формирования умений

 1.2. Педагогические основы  формирования графических умений учащихся в школе

 1.3. Роль иллюстративных чертежей в формировании графических умений

 2. ФОРМИРОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ УМЕНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ В 10-11 КЛАССАХ

 2.1. Возможности формирования графических умений с использованием традиционной методики и анализ учебников геометрии

 2.2. Методика формирование графических умений при изучении стереометрии в старших классах

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

                                      ВВЕДЕНИЕ

Одной из основных задач обучения в средней школе является формирование умений учащихся, в том числе и графических.

Вовремя и правильно сформированные умения – важное условие продвижения учащихся в учении, подготовки их к будущей деятельности. В связи с этим одной из важнейших задач общеобразовательной школы является обеспечение условий для развития графических умений и навыков каждого ученика, на основе учета при этом его возрастных и индивидуальных особенностей.

В курсе математики графические умения формируются при изучении всех  разделов геометрии, в том числе и стереометрии. В основе графической подготовки школьников важную роль играют предметы рисование и черчение, а основная роль отведена геометрии. Программы общеобразовательных школ по рисованию, черчению и геометрии предусматривает развитие и совершенствование графических умений учащихся.

Как показывают результаты выпускных экзаменов в школах и вступительных экзаменов в высшие учебные заведения, уровень графических знаний, умений и навыков у выпускников средних школ является невысоким.

Анализ учебников по геометрии 10-11 классов показывает, что они недостаточно ориентированы на формирование графических умений учащихся. В учебно-методической литературе этот вопрос разработан недостаточно.

Поскольку графическая подготовка является важным условием полноценной подготовки выпускников средней школы, то встает проблема совершенствования методики формирования графических умений учащихся при обучении математике в общеобразовательной школе.

Целью этой работы является выявление эффективных средств формирования графических умений учащихся и методическая разработка этих средств на этапе обучения стереометрии в 10-11 классах общеобразовательных школ.

Объектом изучения в данной работе являются особенности выполнения изображений пространственных фигур.

Применение правил изображения пространственных фигур составляет фундамент всех графических умений учащихся, формируемых в средней школе. Наглядный и правильный чертеж помогает находить верные пути решения задачи.

Поэтому предметом изучения служат пространственные фигуры, а именно, многогранники.

Для достижения поставленной цели были выделены следующие частные задачи исследования:

1)   рассмотреть различные подходы к определению понятия «умение» и изучить основные этапы формирования умений;

2)   выявить роль иллюстративных чертежей в формировании графических умений;

3)   изучить состояние проблемы формирования графических умений учащихся в учебно-методической литературе;

4)   разработать методику обучения построению чертежей пространственных фигур при изучении стереометрии в 10-11 классах общеобразовательных школ;

5)   разработать систему упражнений для формирования графических умений учащихся при изучении стереометрии.

     Данная выпускная квалификационная работа содержит: введение, две главы, заключение и список литературы.

В первой главе раскрываются теоретические основы формирования графических умений учащихся. Она содержит три параграфа.

Во второй главе рассмотрена методика формирования графических умений учащихся при изучении стереометрии. Она содержит два параграфа.

В заключении подводятся итоги проделанной работы.

 

1.   ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ

     1.1. Различные подходы к определению понятие «умение» и основные этапы формирования умений.

В педагогической литературе по-разному раскрывается содержание понятия «умение».

«Умение – это знание в действии». [9 с.126]

Умение – это действие, основанное на практическом применении полученных знаний в данном виде деятельности. [28 с.166]

 Умения – «… это способы выполнения действий, соответствующие цели и условиям, в каких приходится действовать». [25 с.446]

Давыдов В.В. считает, что умение - это промежуточный этап овладения новым способом действия, основанным на каком-либо правиле (знании) и соответствующим правильному использованию этого знания в процессе решения определённого класса задач, но ещё не достигшего уровня навыка [24].

 В "Педагогической энциклопедии" умение определяется как возможность эффективно выполнять действия (деятельность) в соответствии с целями и условиями, в которых приходится действовать; при этом умения могут быть действиями как практическими, так и теоретическими [19].

     Е.И. Бойко умение определяет как готовность к практическим действиям, выполняемым сознательно на основе приобретённых знаний.

Человек, владеющий умением, может варьировать свои действия, приспосабливать их к конкретным условиям, достигать одной и той же цели по-разному. Умения могут формироваться разными путями. В частности, собственноручное выполнение действия не является обязательным условием для формирования многих умений, особенно на первом этапе.

А.А. Смирнов и А.Н. Леонтьев считают, что умения - это способы выполнения действий, совершающиеся на основе полученных знаний и требующие полного осознания всех выполняемых операций, входящих в состав действия. [26]

     Т.А. Ильина под умениями понимает практические действия, которые ученик может совершить на основе полученных знаний. В данном определении подчеркивается, что умения - это сами практические действия, которые ученик может совершить тогда, когда требуется. К этому можно

добавить, что умения, в свою очередь, в дальнейшем могут способствовать получению новых знаний и формированию новых умений.

Понятие "умение" употребляется в двух смыслах. Простые умения, связываются с действиями, совершаемыми на основе конкретных знаний. Умения более высокого порядка связаны с более сложными действиями, в которые включаются целые системы знаний, простых умений и навыков  [13]

А. А. Степанов отмечает: "Умением называют и самый элементарный уровень выполнения действий, и мастерство человека в данном виде деятельности. О первокласснике говорят, что он умеет читать. Взрослый тоже умеет читать.

Между этими умениями лежит многолетний путь упражнений, совершенствование навыков чтения. Это, безусловно, качественно различные умения по их психологической структуре. Следует различать элементарные умения, идущие вслед за знаниями и первым опытом действий, и умения, выражающие ту или иную степень мастерства... Умение - мастерство возникает на основе уже выработанных навыков и широкого круга знаний". [30]

В учебной деятельности школьников, помимо овладения знаниями, следует различать также овладение ими определенными приемами работы, например, приемом соотнесения видимого на чертеже с моделью, приемом чтения графиков и т.п. Наличие необходимых знаний еще не является достаточным условием успешного использования их на практике. Наиболее отчетливо это выражено в определении: умение – это владение определенными приемами работы  и, следовательно, соответствующими приемами умственной деятельности. [10 с. 43]

Итак, мы разобрали различные подходы к определению понятия "умение". В дальнейшем будем использовать определение Занкова Л.В., а именно, под умениями понимаем владение определенными приемами работы и, следовательно, соответствующими приемами умственной деятельности. В данном определении подчеркивается, что умения - это сами практические действия, которые ученик может совершить тогда, когда требуется.

На основе этого определения понятия «умение» можно сформулировать определение понятия «графическое умение». Графическое умение – это владение графическими приемами работы, т.е. умение построить изображение геометрической фигуры и выполнить чертежные операции на этих изображениях.

Одной из основных задач обучения в средней школе является формирование умений учащихся. Вовремя и правильно сформированные умения - важное условие продвижения учащихся в учении, подготовки их к будущей деятельности.

Процесс образования умений - процесс длительный, протекающий медленно и требующий многократных и систематических повторений в выполнении определенной группы действий.

Укажем основные требования организации процесса формирования умственных действий, выполнение которых обеспечивает высокую эффективность обучения навыкам и умениям. [32]

1. Полнота ориентировочной основы умственных  действий.

Формирование  любого  умения  начинается  с  дачи  учащимся  такой

системы указаний и ориентиров, пользуясь которой ученик может самостоятельно выполнить данное действие. Эта система указаний называется ориентировочной основой формируемого действия.

Ориентировочная основа умственного действия может быть дана ученикам в различной форме: в виде образца действий (учитель просто показывает, как надо выполнять это действие), в виде словесного объяснения с одновременным показом процесса выполнения действия, в виде пошагового алгоритма и т.д. Однако в любом случае важно, чтобы эта ориентировочная основа была полной, т.е. содержала все необходимые указания и ориентиры.

1. Развернутость действия при его начальном показе и освоении.

Когда умственные действия учащимися уже освоены, и они приобрели

достаточное умения в его выполнении, то процесс выполнения происходит свернуто, в нем уже отсутствуют многие звенья, его составляющие, отдельные операции выполняются в уме и не фиксируются.

3.  Поэлементное освоение сложного действия.

     Многие действия, которые должны быть освоены учащимися, довольно сложны по своей структуре и состоят из ряда элементарных действий. Когда ученик приобрел умение в таком сложном действии, то он выполняет все элементарные действия совместно, одно за другим. Однако при освоении такого действия, при формировании навыка или умения в этом действии,

каждое   из   составляющих   его   элементарных   действий   надо   осваивать отдельно, как самостоятельное действие.

4.  Осознанность и полноценность умений.

Учащиеся должны иметь знания и умения, они должны знать, почему данное действие выполняется именно так и можно ли его выполнить иначе. В состав умения должны входить навыки по планированию действий, прогнозированию его результата, навыки по контролю за ходом выполнения этого действия. Важно, чтобы ученик мог всегда объяснить, почему и как он

выполняет действия, и в каких случаях его можно применять.

5.  Растянутость процесса формирования умений.

Эффективно растяжение процесса формирования умения по времени. Для этого нужно, во-первых, включать упражнения, подготавливающие учащихся к овладению новыми умениями. Во-вторых, после того, как учащиеся уже познакомились с новым умением и в какой-то степени им овладели, упражнение в этом умении должны не прекращаться, а продолжаться как составная часть новых умений.

6.  Поэтапная обработка каждого умения.

Как установлено исследованиями П.Я. Гальперина, для того, чтобы сформировать полноценное умственное действие, чтобы ученик приобрёл прочный навык или умение в этом действии, необходимо, чтобы процесс формирования содержал ряд обязательных этапов. Действие, прежде чем стать умственным, обобщенным, сокращенным и освоенным, проходит через переходные состояния. Основные из них и составляют этапы освоения действия, каждый из которых характеризуются совокупностью изменений основных свойств (параметров) действия.

Этапы освоения действия

 

Этап ознакомления учащихся с ориентировочной основой формируемого действия. На этом этапе учащиеся знакомятся с ориентировочной основой действия, следят, как учитель выполняет это

действие, наблюдают, как выполняются отдельные элементы данного действия.

Этап формирования действия в материальном виде. Учащиеся выполняют действия, но пока ещё с развернутым выполнением всех входящих в него операций. Этот этап даёт возможность учащимся усвоить содержание действия, все его действия, а учитель - осуществит контроль за выполнением каждой операции, входящей в это действие.

Этап формирования действия как внешне речевого, когда все элементы

действия фиксируются учеником в форме внешней речи (письменной фиксации в средних и старших классах).

Этап формирования действия при проговаривании отдельных элементов про себя. Ученик следует известной ему схеме ориентировочной основы действия (например, в виде пошагового алгоритма) за выполнением каждого шага программы. На данном этапе ученик по памяти проговаривает вслух или про себя выполняемые шаги программы, но при надобности он имеет возможность взглянуть на имеющуюся у него схему.

Этап формирования действия как внутреннего, умственного. Действие очень быстро приобретает автоматическое течение, становится недоступным наблюдателю.

Такое поэтапное формирование умственных действий необходимо соблюдать в тех случаях, когда требуется формирование прочных умений. В математике таких действий много, и поэтому использование учителями поэтапного формирования является необходимым условием эффективности обучения.

1.2. Педагогические основы формирования графических умений учащихся в школе.

Совершенствование всей системы образования в нашей стране направлено на формирование творческой личности, способной решать задачи в нестандартных условиях, гибко и самостоятельно использовать определенные знания в разнообразных жизненных ситуациях, в том числе и графические умения. В связи с этим одной из важнейших задач общеобразовательной школы является обеспечение условий для развития способности, умений и навыков каждого ученика, на основе знания и учета его возрастных и индивидуальных особенностей.

Формирование графических умений у учащихся начинается с начальных классов и продолжается на протяжении всего обучения.

В программе по математике 5-6 классов записано, что в результате изучения курса все учащиеся должны уметь распознавать и изображать геометрические фигуры: отрезок, прямую, луч, угол, треугольник и т.д. Они должны уметь производить простейшие измерения и построения при помощи линейки, угольника и циркуля.

Все учащиеся 7-9 классов должны уметь изображать геометрические фигуры, указанные в условиях теорем и задач, и выделять известные фигуры на чертежах и моделях; выполнять основные построения циркулем и линейкой; решать несложные, комбинированные задачи, сводящиеся к выполнению основных построений.

В старших классах учащиеся должны уметь изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях теорем и задач и выделять известные тела на чертежах и моделях.

Больших проблем при построении планиметрических чертежей, как правило, не возникает, так как в планиметрии все изображения выполняются без искажения. Трудности появляются при выполнения чертежа пространственной фигуры.

Формирование графических умений не ограничивается рамками уроков математики, и учащиеся уже в курсе черчения знакомятся с требованиями, предъявленными к чертежу, с геометрическими свойствами пространственных тел, с параллельным проектированием, как одним из видов наглядных изображений в объектно-аксонометрической проекции.

Решение большинства геометрических задач начинается с чертежа. Хороший чертеж, помогающий решению задачи, является важнейшим элементом правильно выполненного решения. Но при изучении стереометрии учитель очень мало времени и внимания уделяет выполнению чертежей. Он часто не предъявляет четких требований к выполнению чертежа; иногда не замечает ошибки в выполненных чертежах; не уделяет внимания учету выбора положения фигуры в пространстве для наиболее рационального решения; не обсуждает с учащимися чертеж к задаче, а сразу выполняет его построение; не уделяет внимания технике выполнения чертежа. Поэтому учащиеся недооценивают роль чертежа в решении задачи, относятся к нему как к необязательной, второстепенной части решения; они, в основном, не любят выполнять графические работы; нечетко знают требования, предъявляемые к чертежу; выполняют чертеж на низком техническом уровне; допускают серьезные ошибки при изображении пространственных тел и, как следствие, испытывают затруднения при решении стереометрических задач.

     Таким образом, у большинства учащихся графические умения не сформированы на должном уровне и не соответствуют требованиям, заложенным в программу по геометрии средней общеобразовательной школы. В результате чего на выпускных экзаменах в школе и на вступительных экзаменах по математике в ВУЗы ими допускаются серьезные ошибки. Преподавателями вузов указывается на слабое умение выпускников школ представлять пространственные конфигурации, взаиморасположение фигур в их изображениях на чертежах, умение строго доказывать факты, «очевидные» из чертежа.

     Многие трудности в формировании графических умений объясняется тем, что не разработана научно-обоснованная программа развития этих умений в системе учебных процессов.

Совершенствуя графические умения старшеклассников необходимо учитывать их возрастные особенности: уровень абстракции, мотивы, логическое мышление, воображение, память.

Поэтому задача учителя состоит в том, чтобы тщательно продумать систему работы в данном направлении, найти дополнительные средства, методическое обеспечение процесса формирования графических умений учащихся на уроках стереометрии, так как они играют огромную роль в развитии мышления и познавательных способностей школьников.

Экспериментальные исследования привели к выводу о том, что для изучения основных понятий и теорем курса стереометрии учащиеся должны уметь:

1)   различать на чертеже скрещивающиеся прямые, несмотря на их фактическую пересекаемость на рисунке, опираясь на знание свойств пространственной модели;

2)   выделять на чертеже перпендикулярные прямые;

3)   видеть на чертеже условие применимости теорем, признаков перпендикулярности прямой к плоскости, перпендикулярности плоскостей, параллельности плоскостей и т.д.;

4)   выполнять элементарные построения на проекционном чертеже, в первую очередь проводить прямую, принадлежащую одной плоскости;

     Выявленные русскими физиологами и психологами И.М.Сеченовым, И.П.Павловым, Б.Г.Ананьевым, Е.Н.Кабановой-Меллер и др. закономерности тесной взаимосвязи наглядного и обобщенного в процессе формирования представлений показывают, что неоднократное восприятие пространственных фигур и их изображений является необходимым условием выработки умений видеть пространственные соотношения на плоском чертеже. Поэтому, в ходе решения различных задач, связанных с наблюдением, выводом и проверкой этого вывода на практике, необходимо одновременное использование моделей фигур и их изображения.

     При знакомстве на уроке с новым геометрическим телом целесообразно показывать образцы их изображений, давать алгоритм построения. Эта работа будет служить хорошей профилактикой по предупреждению ошибок в построении чертежа, а так же и для совершенствования графических умений учащихся.      

1.3. Роль иллюстративных чертежей в формировании графических умений.

     При изложении теоретического материала школьного курса геометрии и решении различных задач обычно в целях наглядности это изложение (или решения) сопровождается чертежом.

Чертеж – это изображение предмета, выполненное по определенным правилам с помощью чертежных инструментов.

Ясно, что правильный чертеж не только фиксирует отдельное положение, но и «указывает» пути решения задачи.

Приемы построения планиметрических чертежей обычно не вызывают затруднений, т.к. все свойства плоской фигуры, расположенной в плоскости чертежа, сохраняются, и правильность изображения зависит от тщательности его выполнения.

Иначе дело обстоит с плоскими изображениями объектов стереометрии. Трудности здесь значительно возрастают, т.к. при любом методе проектирования изображение теряет некоторые свойства оригинала.

Необходимость изображения геометрических фигур вызывается потребностями практики. Словесные описания форм предметов длинны и не отличаются точностью, которая требуется при постановке технического задания. Кроме того, они предъявляют к слушателям (исполнителям) весьма высокие требования: нужно иметь хорошо развитое пространственное воображение, чтобы по нескольким фразам представить себе во всех подробностях сложную конфигурацию. Без изображения фигур трудно обойтись даже в планиметрии, где соответствующие конфигурации значительно проще, чем в стереометрии. Но дело не только в этом. Изображения фигур играют заметную обучающую роль. Они обогащают запасом пространственных образов, тем самым готовят к восприятию новых конфигураций и способствуют развития пространственного воображения учащихся.

     Иногда говорят, что та же цель может быть достигнута при помощи систематической демонстрации соответствующих геометрических моделей. Не отрицая пользы моделей, следует в то же время подчеркнуть, что изготовление моделей во многих случаях крайне сложно. По реальным моделям значительно труднее разобраться в математической сущности вопроса (играют роль отвлекающие внимание детали, не существенные для решения поставленной задачи).

Процесс получения изображения на глазах учащихся играет существенную роль в уяснении ими особенностей рассматриваемых комбинаций геометрических форм. При использовании готовых моделей эта часть учебного процесса вообще выпадает.

Необходимо точно определить требования, которые должны быть предъявлены к стереометрическим чертежам, выполняемым в процессе изложения теоретического материала и решения задач.

К изображениям пространственных фигур, применяемых в школьном курсе стереометрии, предъявляются такие требования:

1). Изображение должно быть верным, т.е. оно должно представлять собой фигуру, подобную произвольной параллельной проекции оригинала;

2). Изображение должно быть по возможности наглядным, т.е. должно вызвать пространственное представление об оригинале (для достижения большей наглядности изображения, например, так называемые невидимые линии показывают пунктиром);

3). Изображение должно быть легко выполнимым, т.е. правила построения должны быть максимально простыми;

4). Изображение должно быть полным, т.е. по принадлежности всех элементов на чертеже (или по их расположению) можно судить о принадлежности (или расположении) этих элементов в пространстве. Чертеж плоской фигуры всегда полный, чертеж пространственной фигуры может быть и неполным.

     Необходимо четко различать понятия верного и понятие наглядного изображения. Верность изображения является строго определяемым математическим понятием. Чтобы изображение было верным, достаточно строить его в соответствии с законами параллельного проектирования.Понятие наглядности изображения относится к числу субъективных, т.к. оно связано с индивидуальным восприятием изображаемой фигуры.

Далее необходимо установить метод проектирования, наиболее полно отвечающий данным требованиям, и изучить его свойства.

Изучением методов обучения изображениям фигур в геометрии занимались Четверухин Н.Ф., Зенгин Л.Р., Понкратов А.Л. и др.

В начертательной геометрии разработаны различные методы изображения пространственных фигур:

- параллельное проектирование;

- ортогональное проектирование;

- центральное проектирование;

- кабинетное проектирование;

- аксиоматический метод;

- метод Монжа.

С точки зрения перечисленных требований к чертежу эти способы изображения оказываются непригодными.

Например, во многих отраслях производства широчайшее распространение получило ортогональное проектирование. Изображаемый предмет проектируется на три взаимно перпендикулярные плоскости: горизонтальную, вертикальную и профильную.

Однако бывают случаи, когда и по трем проекциям невозможно однозначно установить форму изображенной фигуры. Учитывая недостаточную наглядность ортогональных проекций, на технических чертежах постоянно делают дополнения в виде различного рода разрезов и сечений.

Все это совершенно не пригодно для уроков стереометрии. Изображения пространственных фигур средствами ортогональной проекции, как не отвечающие требованиям наглядности, не могут быть приняты в школьном курсе.

Перспектива дает изображения, которые производят впечатление, близкое к тому, какое производит оригинал. Известно, что перспективу широко используют художники. Но этот способ изображения отнюдь не является простым.

Одно время в школах пытались распространить так называемую кабинетную проекцию. Было показано, что кабинетная проекция дает верные изображения, отличающиеся наглядностью, но не отличающиеся  простотой изображения. Усложнение происходит из-за необходимости соблюдения определенных углов и масштабов.

Четверухин Н.В. ввел метод так называемой свободной параллельной проекции.

Сущность метода параллельной проекции:

Возьмем в пространстве некоторую плоскость П (ее называют плоскостью проекций) и точку М´ (любую точку пространства).

 

                                           Рис. 1                                                    Рис. 2.

     Проведем через точку М´ прямую l (ее называют проектирующей прямой), непараллельную П и обозначим М – точку пересечения l и П. Точку М называют (параллельной) проекцией точки М´ (рис. 1). Если прямая l  перпендикулярна П, то точку М называют ортогональной проекцией точки М´ (рис. 2).

Спроектировав все точки фигуры Ф´ на плоскость П, получим фигуру Ф, которую называют (параллельной) проекцией фигуры Ф´ (рис. 1). Если прямая l перпендикулярна П, то фигуру Ф называют ортогональной проекцией фигуры Ф´ (рис. 2). Фигуру Ф´ называют оригиналом, а процесс получения фигуры Ф – проектированием.

     Любая фигура плоскости П, подобная фигуре Ф, называется изображением фигуры Ф´ (рис. 1, рис. 2). Таким образом, изображением фигуры - оригинала является не только ее проекция, но и любая фигура, подобная проекции.

     В чем заключается свобода метода параллельной проекции?

Свобода выполнения чертежа реализуется использованием так называемых произвольных параллельных проекций, когда направление проектирования и положение оригинала относительно плоскости изображений остается неопределенным.

При этом изображение заданного оригинала может выполняться со значительной степенью произвола. Очень важно помнить о верности и наглядности изображения.

Напомним некоторые свойства фигур, сохраняющиеся при параллельном проектировании:

1) Свойство фигуры быть точкой, прямой, плоскостью;

2) Свойство фигур иметь пересечение;

3) деление отрезка в данном отношении;

4) свойство прямых (плоскостей, прямой и плоскости) быть параллельными;

5) свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией;

6) отношение длин параллельных отрезков;

7) отношение площадей двух фигур.

     Все-таки определенные указания должны быть даны. Без объяснений учителя и демонстрации изображений нельзя добиться хорошего усвоения учащимися приемов получения верных и наглядных изображений.

     Положение всех точек нужно определять относительно некоторой плоскости, принимаемой за основную. Иногда эту плоскость не фиксируют, принимая за основную плоскость одну из граней изображенного многогранника (например, плоскость основания призмы или пирамиды).

Многочисленные случаи применения чертежей в работе преподавателя можно разделить на две основные категории:

а) изображение сопровождает объяснения учителя, служит целям иллюстрирования хода его рассуждений. Учителю должна быть обеспечена максимальная простота и свобода выполнения чертежа. В этих случаях, как нельзя лучше, подходят так называемые неполные изображения.

б) изображение составляется по условиям задачи, причем последняя должна быть решена в результате построений, фактически проделываемых на полученном изображении. Здесь мы обязаны обеспечить полноту изображения, если решаемая задача позиционная, и метрическую определенность, если она метрическая.

2.ФОРМИРОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ УМЕНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ В 10 КЛАССЕ

     2.1. Возможности формирования графических умений с использованием традиционной методики и анализ учебников геометрии.

Мы провели анализ учебников Атанасян Л.С. «Геометрия 10-11» и Шарыгин И.Ф. «Геометрия 10-11».

При анализе уделили основное внимание тому, как в каждом из учебников реализована система задач на формирование графических умений.

Мы выделили основные умения, которыми должны обладать выпускники средней школы при решении задач стереометрии:

1. Умение выполнять чертеж пространственной фигуры;

2. Умение выполнять построение на этом чертеже

                 - изображение высоты;

                 - изображение угла прямой с плоскостью;

                 - линейное изображение двугранного угла.

Для анализа мы взяли только те задачи, которые относятся к главе «Многогранники».

     Ниже приведены две таблицы. В первой мы отобразили анализ учебника Атанасяна Л.С., а во второй – Шарыгина И.Ф. Каждая из них содержит четыре колонки. В первой занесены виды многогранников. В трех других находятся количество задач, направленные на формирование графических умений. Во второй строке находятся выделенные нами умения.

Атанасян Л.С.	Пирамида
Умения	Изображение высоты	Изображение угла прямой с плоскостью	Изображение двугранного угла
Правильная
3 угольная	1	2	5
4-х угольная	1	3	1
Другие виды			1
Неправильная
3 угольная	9	5	2
4-х угольная	4	1
Другие виды
	Призма
Правильная
3 угольная		1	2
4-х угольная		2	1
Другие виды
Прямая
3 угольная			1
4-х угольная		3	1
Другие виды
Наклонная
3 угольная		1	1
4-х угольная	1	1
Другие виды
Шарыгин  И.Ф.	Пирамида
Умения	Изображение высоты	Изображение угла прямой с плоскостью	Изображение двугранного угла
Правильная
3 угольная		1	2
4-х угольная
Другие виды			3
Неправильная
3 угольная	2	1	1
4-х угольная	1		2
Другие виды		1	2
	Призма
Правильная
3 угольная
4-х угольная			1
Другие виды
Прямая
3 угольная
4-х угольная		2	1
Другие виды
Наклонная
3 угольная	1
4-х угольная
Другие виды

   

 На основе проведенного нами анализа системы задач школьных учебников Атанасяна Л.С. и Шарыгина И.Ф. можно сделать следующие выводы.

В учебнике Атанасяна приведено 50 задач на формирование выделенных нами умений, что составляет 60,9% от количества задач, которые отводятся главе «Многогранники». Очень мало задач на изображение двугранного угла неправильной пирамиды и на изображение высот в различных призмах.

 А в учебнике Шарыгина  на формирование выделенных нами умений приведено 21 задача, что составляет 42% от количества задач, которые отводятся главе «Многогранники». Причем из них отводится 16 задач для различных видов пирамид, и всего лишь 5 для призм. Всего одна задача на изображение высоты наклонной призмы, чего совершенно не достаточно для формирования этого умения. Но в то же время в этом учебнике уделяется большое внимание на формирование других умений: построение сечений, построение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Цель проведенного анализа – это изучить состояние вопроса о формировании графических умений учащихся.

Мы видим, что система задач на формирование выделенных нами умений реализована не достаточно хорошо.

 

2.2. Формирование графических умений при изучении стереометрии в старших классах.

Как мы уже отметили раньше, графические умения учащихся находятся не на должном уровне. Поэтому мы предлагаем следующую совокупность упражнений для совершенствования графических умений.

 Построение изображений пирамиды, во избежание ошибок, лучше выполнять в следующей последовательности.

1.   Вершины основания пирамиды выбираем так, чтобы получить наиболее наглядное изображение.

2.      О – основание высоты                           пирамиды (исходя из вида пирамиды, свойств ее граней и ребер и т.д.)

3.   Высоту пирамиды изображаем      вертикальным отрезком.

4.   Боковые ребра, выделяем контур пирамиды, показываем невидимые отрезки штриховой линией.

                        

Правильная треугольная  пирамида.

С

 

В

А

Правильная четырехугольная пирамида.

 

Построение изображения призмы целесообразно проводить в следующей последовательности.

1. Выбираем вершины нижнего основания так, чтобы получить наиболее наглядное изображение.

2. Строим боковые ребра – равные и параллельные отрезки.

3. Строим верхнее основание призмы, выделяем контур призмы, показываем невидимые отрезки штриховой линией.

     Большинство заданий на вычисление элементов наклонной призмы требуют точного определения положения ее высоты. Мы предлагаем систему задач на изображение многогранника и его высоты по заданному свойству.

Рассмотрим ряд случаев:

Теорема 1: Если прямая образует равные углы с двумя прямыми, лежащими в плоскости, то ее ортогональная проекция является биссектрисой угла, образованного этими прямыми.

Основание	Изображение	Замечание
Правильный треугольник	С1   С   В   А   М	М – середина ВС
Равнобедрен-ный треугольник	М   В   С   С1   А	М – середина ВС
Произвольный  треугольник	С   М   В   А   С1	М – произволь- ная точка прямой ВС
Квадрат, ромб	M   С1   С   В   А	М принадлежит диагонали
Прямоугольник, параллелограмм	М   В   А   С1	К – произвольная точка DC
Трапеция	K   M   D1   D   С	К – произвольная точка АВ

Приведем примеры построения изображений многогранников, в которых используется теорема 1.

С1

Задача 1: Основание параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ – квадрат. Боковое ребро АА₁ образует равные острые углы с пересекающими его сторонами основания. Изобразите высоту параллелепипеда.

Решение:

В

А

Р

С

Изобразим высоту А₁Р, для чего найдем положение точки Р.

По условию А₁АD=А₁АВ, поэтому ортогональная проекция прямой А₁А является биссектрисой угла ВАD. Поскольку АВСD – квадрат, то биссектриса угла ВАD является диагональю АС. Итак, точка Р принадлежит диагонали АС.

Задача 2: Все девять ребер наклонной треугольной призмы равны. Изобразите высоту призмы.

Решение:

D

Н

В

С1

Проведем высоту А₁Н. По условию задачи А А₁ В₁В и А А₁ С₁С – равные ромбы, поэтому  А₁АВ =  А₁АС и тогда по теореме 1 точка Н принадлежит биссектрисе АD угла ВАС. В равностороннем треугольнике АВС биссектриса является медианой.

Итак, точка Н принадлежит медиане АD треугольника АВС.

Теорема 2: Если две плоскости перпендикулярны, и в одной из них проведена прямая, перпендикулярная к линии пересечения плоскостей, то эта прямая будет перпендикулярна ко второй плоскости.

Боковая грань, перпендикулярная основанию	Изображение	Замечание
Правильный и равнобедренный треугольник	М   С   В	М – середина АС
Прямоугольный треугольник	С   В	SA – высота пирамиды
Произвольный треугольник	М   С   В	М – произвольная точка АС
Квадрат, прямоугольник	В   А   А1	D1D – высота
Ромб, параллелограмм	С1   В   А	D1K – высота DD1CC1

     Приведем примеры построения изображений многогранников, в которых используется теорема 2.

Задача 1: Основание призмы – прямоугольный треугольник. Боковая грань, проходящая через один из катетов этого треугольника, является квадратом.  Изобразите высоту параллелепипеда.

Решение:

Н

А1

С

Пусть грань ВВ₁С₁С – квадрат, в треугольнике АВС угол С – прямой. Имеем: ВС перпендикулярно СС₁, ВС перпендикулярно АС, тогда ВС – перпендикуляр к плоскости грани АСС₁А₁. По признаку перпендикулярности плоскостей: (АВС) перпендикулярно (АСС₁). Проведем С₁Н перпендикулярно АС, Н принадлежит АС. По теореме 2 прямая С₁Н – перпендикулярна плоскости АВС.

Задача 2: Основание призмы – трапеция. Одно из диагональных сечений перпендикулярно плоскости основания. Изобразите высоту призмы.

Решение:

D1

D

Н

С

В

Пусть площадь диагонального сечения ВВ₁D₁D перпендикулярна плоскости основания призмы. Проведем прямую В₁Н перпендикулярно прямой ВD, Н принадлежит ВD. По теореме 2 прямая В₁Н перпендикулярна плоскости АВС. Итак, отрезок В₁Н – высота призмы.

Задача 3: Основание наклонного параллелепипеда – ромб, одно из диагональных сечений – прямоугольник. Изобразите высоту параллелепипеда.

Решение:

	D1		С1

 

Н

В

А

Пусть ВВ₁D₁D – прямоугольник, О и О₁ – центры оснований. По свойству диагоналей ромба прямые ВО и АО перпендикулярны; по свойству средней линии прямоугольника прямые ВО и ОО₁ перпендикулярны. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости ВО будет перпендикулярна плоскости диагонального сечения АА₁С₁С, но тогда плоскости АВС и АА₁С будут перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей.

 Проведем А₁Н перпендикулярно АС, Н принадлежит прямой АС. По теореме 2: А₁Н будет перпендикулярна плоскости АВС.

Итак, [А₁Н] – высота призмы.

Теорема 3: Если все боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то высота ее проходит через центр окружности, вписанной в основание.

Основание	Изображение	Замечание
Равносторонний треугольник	O   С   В	О – точка пересечения медиан треуголь-ника АВС
Равнобедренный треугольник	М   К   В	К – середина ВС
Произвольный треугольник	M   В	М – произволь-ная точка треуголь-ника АВС
Ромб, квадрат	M   В   А	М – точка пересечения диагоналей
Равнобедренная  трапеция	M   K   D   С   В	О – середина KL, где K и L  - середины оснований трапеции
Произвольная трапеция	M   D   С   В	М – произволь-ная точка основания

 

Приведем примеры построения изображений многогранников, в которых используется теорема 3.

Задача 1: Основание пирамиды – ромб, все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания.

 Изобразите высоту пирамиды.

Решение:

В

А

О

Пусть SO – высота пирамиды. По свойству пирамиды, у которой все боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, О – центр вписанной в ромб АВСD окружности, т.е. О – точка пересечения диагоналей АС и ВD.

Плоские углы SОА, SОВ, SОС, SОD – прямые по определению перпендикуляра к плоскости.

     Задача 2: Основание пирамиды – равнобедренная трапеция, все двугранные углы при сторонах основания равны.

Изобразите высоту пирамиды.

Решение:

Пусть О – основание высоты пирамиды.

По свойству пирамиды О – центр окружности, вписанной в трапецию АВСD, т.е. точка пересечения биссектрис ее внутренних углов. Известно также, что О – середина отрезка KL, где K и L – середины оснований трапеции.

K

О

D

С

В

Задача 3: Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, двугранные углы при всех сторонах основания равны.  Изобразите высоту пирамиды.

Решение:

О

В

С

М

Пусть в треугольнике АВС АВ=ВС. Обозначим [SО] – высоту пирамиды.

 По свойству пирамиды О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, т.е. точка пересечения биссектрис внутренних углов этого треугольника. Одна из таких биссектрис является медианой ВМ к стороне ВС.

Итак, О принадлежит отрезку ВМ.

 На проекционном чертеже точка О занимает произвольное положение внутри отрезка ВМ.

Теорема 4: Высота пирамиды, все боковые ребра которой равны или равнонаклонены к плоскости основания, проходит через центр описанной около основания окружности.

Основание	Изображение	Замечание
Равносторонний треугольник	L   K   М   С   В	М – точка пересечения медиан треуголь-ника
Равнобедренный треугольник	К   М   В	К – середина ВС
Прямоугольный треугольник	М   С   В	М – середина АС
Квадрат, прямоугольник		М – точка пересечения диагоналей
Равнобедренная трапеция	M   K   D   С   В	М – произволь-ная точка KL, где K и L – середины оснований трапеции

     Приведем примеры построения изображений многогранников, в которых используется теорема 4.

Задача 1: Основание пирамиды служит прямоугольный треугольник. Все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Изобразите высоту пирамиды.

S

Решение:

С

Пусть SО – высота пирамиды. По свойству пирамиды с равными боковыми ребрами О – центр описанной около треугольника АВС окружности. В треугольнике АВС угол С – прямой, поэтому О – середина гипотенузы АВ.

Задача 2: В треугольной пирамиде все боковые ребра и два ребра основания равны.

Изобразите высоту пирамиды.

Решение:

D

В

О

Пусть в пирамиде SАВС ребра SА, SВ, SС, АВ, АС равны. Найдем положение SО – высоты пирамиды.

По свойству пирамиды О – центр описанной около треугольника АВС окружности, т.е. точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Одним из таких перпендикуляров будет медиана АD. Итак, О принадлежит АD.

Изображение угла прямой с плоскостью

     Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость.

Для построения угла между прямой и плоскостью, не перпендикулярной этой прямой, достаточно:

1. построить проекцию данной прямой l на плоскость α;

α

2.отметить угол между прямой и проекцией.

Теорема: Если наклонная к плоскости образует равные острые углы с пересекающими ее прямыми этой плоскости, то ортогональная проекция этой наклонной является биссектрисой угла, образованного данными прямыми.

Основание	Изображение	Замечание
Равнобедренный треугольник.	К   С1   В	К – середина ВС
Произвольный треугольник	K   В	K – произвольная точка ВС
Квадрат, ромб	С   В   А   С1   α	АС - диагональ

     Приведем задачи на построения угла прямой с плоскостью.

Задача 1: Основание пирамиды служит прямоугольный треугольник. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол β.  Изобразите угол β.

Решение:

О

С

В

Пусть SО – высота пирамиды. По свойству пирамиды с равнонаклоненными ребрами точка О – середина [АВ].

Имеем: SА – наклонная к (АВС), АО – ортогональная проекция SА на (АВС), тогда угол SАО – угол прямой SА с плоскостью АВС, т.е. угол SАВ равен β. Аналогично угол SСО равен β.

Задача 2: В правильной треугольной призме диагональ боковой грани образует угол α с другой боковой гранью. Изобразите угол α.

Решение:

α

С1

С

В

Построим угол между прямой ВС₁ и плоскостьюАВВ₁. Проведем из точки С₁ перпендикуляр к (АВВ₁). Пусть М – середина А₁В₁, тогда С₁М перпендикулярно А₁В₁ по свойству медианы равнобедренного треугольника. Далее, поскольку плоскости А₁В₁С₁ и АВВ₁ перпендикулярны и А₁В₁ – линия пересечения этих плоскостей, то имеем С₁М перпендикулярно АВВ₁.

Получили, что М – ортогональная проекция С₁ на плоскость АВВ₁, тогда ВМ – ортогональная  проекция ВС₁ на эту плоскость. Искомый угол α равен углу С₁ВМ.

Задача 3: Основание пирамиды – квадрат, высота пирамиды проходит через вершину основания. Изобразите углы наклона боковых ребер к плоскости основания.

S

Решение:

D

А

Пусть [SB] – высота пирамиды. Угол между прямой SС и плоскостью АВС равен углу SСВ, угол между прямой SD и плоскостью АВС равен углу SDВ, угол между прямой SА и плоскостью АВС равен углу SАВ. Очевидно, что углы SСВ и SАВ равны из равенства треугольников SВС и SВА.

Изображение линейного угла двугранного угла

     Линейный угол двугранного угла равен углу между перпендикулярами к ребру этого угла, проведенными в каждой из граней через любую точку ребра.

Алгоритм построения линейного угла двугранного угла:

1)   выбрать точку на ребре данного угла;

2)   провести в гранях угла перпендикулярные ребру полупрямые;

3)   отметить угол, образованный полупрямыми.

Приведем задачи на построение линейного угла двугранного угла.

Задача 1: Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро и образующая угол γ с плоскостью основания.

 Изобразите угол γ.

Решение:

γ

D

К

С

В

С1

Пусть треугольник АВD –сечение призмы данной плоскостью. Очевидно, что АD=ВD. Пусть К – середина АВ, тогда DК перпендикулярна АВ, СК перпендикулярна АВ по свойству медианы равнобедренного треугольника. Угол СКD – линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

Задача 2: Основанием призмы служит прямоугольный треугольник.

Боковая грань, проходящая через один из катетов этого треугольника, является квадратом и образует с основанием угол α.  Изобразите угол α.

Решение:

α

С

Пусть ВВ₁С₁С – квадрат, в треугольнике АВС угол С – прямой. Изобразим линейный угол двугранного угла с ребром ВС.

Выберем точку С на ребре ВС, тогда АС перпендикулярна ВС и СС₁ перпендикулярна ВС по условию. Значит α это угол АСС₁.

Задача 3: Основанием пирамиды – ромб, каждый из двугранных углов при основании равен φ.  Изобразите угол φ.

Решение:

К

А

О

D

φ

Пусть SО – высота пирамиды, О – центр ромба.

Изобразим линейный угол двугранного угла с ребром СD. Выберем точку К на ребре СD так, что ОК перпендикулярна СD, тогда SК перпендикулярна СD по теореме о трех перпендикулярах. Итак, угол SКО равен φ.

Задача 4: Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник. Через один из катетов и противолежащую ему вершину верхнего основания проведена секущая плоскость, образующая угол α с плоскостью основания. Изобразите угол α.

Решение:

С1

С

В

Пусть в призме АВСА₁В₁С₁ угол АВС – прямой, треугольник ВА₁С – искомое сечение. Построим линейный угол двугранного угла с гранями ВА₁С и АВС. На ребре ВС выбираем точку С, по условию задачи АС перпендикулярна ВС. По теореме о трех перпендикулярах А₁С  будет перпендикулярна ВС. Тогда α – это угол А₁СА.

Задача 5: Основание пирамиды - ромб. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания; боковые грани, содержащие это ребро, образуют двугранный угол α. Одна из остальных боковых граней наклонена к плоскости основания под углом β. Изобразите углы α и β.

Решение:

Пусть [SB] перпендикулярен плоскости АВС, тогда [SВ] и [АВ] перпендикулярны, а также [SВ] и [ВС] тоже перпендикулярны по определению перпендикуляра к плоскости. Угол АВС – линейный угол двугранного угла с ребром SВ, т.е. α – это угол АВС. Построим линейный угол двугранного угла с ребром СD. Проведем [ВК] перпендикулярно [СD], где К принадлежит [СD].

β

α

K

D

А

По теореме о трех перпендикулярах: [SК] перпендикулярен [СD], и тогда угол SКВ – линейный угол двугранного угла с ребром СD.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенная нами работа позволяет сделать следующие выводы.

Знание особенностей наглядных изображений пространственных фигур является необходимым условием успешного овладения геометрией особенно в старших классах.

Формирование графических умений происходит при обучении черчению, изобразительному искусству и математики. Однако уровень изображения правильных и наглядных чертежей выпускников средней школы оставляет желать лучшего.

Одной из причин этого является отсутствие систематической и продуманной работы по формированию графических умений учащихся  на уроках стереометрии.

Таким образом, одним из средств формирования графических умений мы считаем специально подобранную совокупность упражнений при изучении стереометрии.

В процессе исследования были решены все поставленные частные задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров А.Д. Начала стереометрии, 10: Проб. учебник. – М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ,1982.

2. Артемов А.К. Состав и методика формирования графических умений школьников. – Приволж.кн.изд.: Пензинское отделение, 1969.

3. Атанасян Л.С. Аналитическая геометрия. Часть 2. - М.: Издательство «Просвещение», 1967.

4. Атанасян Л.С. Геометрия,10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений . – М.:Просвещение, 2005.

5. Бескин Л.Н. Стереометрия: Пособие для учителей средней школы. – М.: Издательство «Просвещение», 1971.

6.  Бобровская А.В. Наглядная стереометрия. Шадринск: ПО «Исеть» 2005.

7. Владимирский Г.А. Каким должен быть чертеж преподавателя геометрии. // Математика в школе, 1998, № 4.

8. Владимирский Г.А. Наглядные изображения в параллельных проекциях. Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1960.

9. Данилов М.А. Дидактика. Издательство АПН РСФСР, 1957.

10. Занков Л.В. О предмете и методах дидактических исследований. Издательство АПН РСФСР, М., 1962.

11. Зенгин А.Р. Основные принципы построения изображений в стереометрии. Пособие для учителей. – М, 1962.

12. Зыкова В.И. Формирование практических умений на уроках геометрии. – М.: Просвещение, 1963.

13. Ильина Т.А. Педагогика: Курс лекций.Учебное пособие для студентов пединститутов. – М.: Просвещение,1984.

14. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем  школьный курс геометрии. – М.: Просвещение,1992.

15. Литвиненко В.Н. Решение типовых задач по геометрии 10-11, - М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ,1999.

16.  Методика обучения геометрии  / под ред. Гусева В.А. – М.: Дрофа,2004.

17. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А.Гусев, В.В. Орлов, В.А.Панчищина и др. – М.: Издательский центр «Академия», 2004.

18. Панкратов А.А. Начертательная геометрия. Пособие для студентов педагогических институтов. – М.: 1963.

19. Педагогический словарь. Издательство АПН. – М.: Просвещение,1960. – Том 2.

20. Платонов К.К. О знаниях, умениях и навыках. // Советская педагогика, 1963, № 2.

21. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. – М.: Наука, 1989.

22. Преподавание геометрии в 9-10 классах. Сборник статей. – М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ,1980.

23. Программа средней общеобразовательной школы. – М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ,1996.

25. Психология. Учебник для педагогических институтов /Под ред. А.А.Смирнова. Учпедгиз, М.,1962.

26. Психология./Под ред. А.А.Смирнова, А.Н.Леонтьева и др, - М.:Просвещение,1962.

27. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе. Минск: Вышэйская школа, 1990

28. Рудик П.А. Психология. Учпедгиз, 1955.

29. Семушкин А.Д. Методика обучения решения задач на построение по стереометрии. – М.: изд. АПН РСФСР, 1959.

30. Степанов А.А. Психология деятельности.// Общая психология / Под ред.В.В.Богоявленского и др. – М.,1981.

31. Столяр А.А. Педагогика математики. Курс лекций. Минск: Вышэйская школа, 1969.

32. Фридман Л.М. Психолого_педагогические основы обучение математике в школе, - М.: Просвещение, 1983.

33. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение. – М.: Просвещение, 1962

Четверухин Н.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии. – М., Учредгиз, 1958.

34.  Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. – М.: Просвещение, 1969.

35. Шарыгин И.Ф. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. Учеб. заведений. – М.: Дрофа, 1999.

36. Шарыгин И.Ф., Шарыгин Д.И. Геометрия. 10 кл.:Методическое пособие к учебнику И.Ф.Шарыгина «Геометрия 10-11». – М.: Дрофа, 2002.