Методика формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анима...

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

Методика формирования пространственного образа геометрического объекта
при помощи компьютерной анимации

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Бакин Роман Александрович

Научный руководитель:

д.п.н., профессор, зав. кафедрой алгебры, геометрии и ТОМ Вологодского ГПУ
Тестов Владимир Афанасьевич

Научный консультант:

ассистент кафедры математического анализа и МПМ ВятГГУ
Горев Павел Михайлович

Рецензент:

к.п.н., старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ ВятГГУ

Караулова Лариса Владимировна

Работа допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г.     Зав. кафедрой                             М.В. Крутихина

«___»__________2005 г.     Декан факультета                          В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Содержание. 2

Введение. 3

Глава 1 Психологические основы развития  пространственного мышления  6

1.1. Восприятие как свойство личности. 6

1.2. Модель формирования пространственного образа. 16

1.3. Основные показатели и условия  развития пространственного мышления  25

Глава 2  Методика применения компьютерной анимации  на уроках геометрии  33

2.1. Организация процесса формирования пространственного образа  с помощью компьютерной анимации. 33

2.2 Методика формирования  пространственного образа на уроках геометрии  36

2.3. Организация и основные результаты опытной работы.. 49

Заключение. 58

Библиографический список. 60

Введение

Современные условия делают необходимыми элементами общей человеческой культуры определённый объём математических знаний, владение характерными для математики методами, знакомство с ее специфическим языком. Помимо этого, все большую актуальность приобретает ориентация процесса обучения на формирование активной творческой личности. Перед педагогической наукой и практикой ставится задача совершенствования с этих позиций общеобразовательной и профессиональной школы. Всё это требует решения таких актуальных проблем, как развитие мышления, совершенствование практических умений и навыков школьников и т.п. В этом ряду важное место занимает и проблема формирования и развития пространственных представлений учащихся. Хорошо развитые у школьников, они являются необходимой предпосылкой успеха в усвоении учебного материала систематического курса геометрии и при решении разнообразных математических задач.

В настоящее время существует достаточно большое количество психолого-педагогических и научно-методических исследований, посвящённых проблеме формирования и развития пространственных представлений обучаемых. В психологии накоплена богатая информация о пространственных представлениях и закономерностях их развития, которая служит основой для разработки методик формирования и развития пространственных представлений, в том числе и при обучении математике. Авторы методик сталкиваются с проблемой выбора удобного, эффективного и надёжного (в плане передачи объективной информации об объекте) инструментария. Зачастую таким инструментом становится компьютер, что не удивительно, так как уже сложно представить будущее человечества без компьютера, он настолько проник в жизнь, что появление его на уроках в школе остаётся лишь делом времени. Можно констатировать также и тот факт, что информационные технологии достигли необходимого уровня, чтобы стать базой для преподавания многих предметов.

Вместе с тем проблема создания условий для формирования пространственных представлений учащихся на уроках геометрии – одна из сложных проблем методики обучения математики. Несмотря на важную роль, которую играют пространственные представления, сформированность их у выпускников школ находится на низком уровне.

Таким образом, приобретает актуальность вопрос о решении проблемы, заключающейся в несоответствии уровня методики формирования пространственного образа при обучении школьников геометрии разработанным психолого-педагогическим теориям формирования и развития пространственных представлений. Одним из возможных решений поставленной проблемы, на наш взгляд, может быть использование компьютерной анимации при обучении геометрии.

Сказанное выше позволяет сформулировать цели исследования:

1)   изучить психолого-педагогические и математико-методические работы по проблеме исследования и выявить возможности разработки методики для формирования пространственного образа на уроках геометрии;

2)  изучить возможности применения компьютерной анимации для формирования пространственных представлений учащихся;

3)  разработать методику формирования пространственных представлений с использованием компьютерной анимации на уроках геометрии;

4)  оценить эффективность данной методики в опытной работе.

Объектом нашего исследования является процесс формирования пространственных представлений, предметом – использование компьютерной анимации при формировании образов реальных объектов и оперирования ими.

В ходе работы была сформулирована гипотеза исследования: если выявить возможности применения компьютерной анимации при формировании пространственных представлений и разработать методику их формирования и развития, то это позволит в значительной степени решить проблему формирования пространственных представлений у учащихся.

Научная новизна выполненного исследования состоит в разработке методики преподавания геометрии с применением динамических анимированных моделей геометрических тел, выполненных в программе 3D Studio MAX.

В ходе работы использовались следующие методы исследования:

-   изучение и анализ психолого-педагогической, научно-методической и математической литературы по теме исследования;

-   опытная работа со студентами 1-го курса математического факультета Вятского государственного гуманитарного университета;

-   наблюдение и анализ результатов полученных в ходе опытной работы.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка.

В первой главе изложены основные психологические аспекты восприятия человеком окружающего мира и конкретных объектов, опираясь на известные исследования ведущих специалистов И. С. Якиманской, В. П. Зинченко,  А. Р. Лурии, А.П. и других.

Во второй главе описана методика формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анимации, а также описана проведённая опытная работа, результаты и основные выводы по проведенному исследованию в ходе выполнения выпускной квалификационной работы.

Глава 1
Психологические основы развития
пространственного мышления

1.1. Восприятие как свойство личности

В настоящее время восприятие изучено достаточно хорошо. С физиологической точки зрения восприятие – это целостное отражение отдельных предметов, объектов и явлений внешнего мира, возникающее при непосредственном воздействии физических раздражителей на рецепторные уровни сенсорных систем.

Восприятие – это сложная система процессов приёма и преобразования информации, обеспечивающая организму отражение объективной реальности и ориентировку в окружающем мире. Восприятие вместе с ощущением выступает как отправной пункт процесса познания, доставляющий ему исходный чувственный материал. Будучи необходимым условием процесса познания, восприятие в этом процессе так или иначе опосредуется деятельностью мышления и проверяется практикой. Вне опосредования и проверки восприятие может выступать источником как истинного знания, так и заблуждения, иллюзии.

Для того чтобы мы осознали какой-либо элемент окружающей действительности, нужно, чтобы исходящая от него энергия (тепловая, химическая, механическая, электрическая или электромагнитная), прежде всего, была достаточной, чтобы стать стимулом, то есть возбудить какой-либо из наших рецепторов. Только тогда, когда в нервных окончаниях одного из наших органов чувств возникнут электрические импульсы, может начаться процесс восприятия. Первичный анализ стимула и кодирования сигнала осуществляют рецепторные клетки, а затем уже этот закодированный сигнал передается по сенсорным каналам к нервному центру в спинном или головном мозге. Сигнал продолжает свой путь по спинному мозгу, а затем, разделившись, идет по двум различным направлениям. Одно ведет к коре головного мозга через таламус – скопление ядер серого вещества в головном мозге, расположение между средним мозгом и корой больших полушарий, центр, в котором собираются импульсы от всех органов чувств, кроме органов обоняния, и где осуществляется их первичный анализ и синтез. Другое проходит через фильтр ретикулярной формации и выполняет функцию фильтра, который позволяет важным для организма сенсорным сигналам активировать кору мозга, но не пропускает привычные для него или повторяющиеся сигналы, которая поддерживает кору в бодрствующем состоянии и решает, достаточно ли важен сигнал, переданный прямым путем, чтобы его расшифровкой занялась кора. Если сигнал будет сочтен важным, начнется сложный процесс, который и приведет к восприятию в собственном смысле этого слова. Этот процесс предполагает изменение активности многих, тысяч, нейронов коры, которые должны будут структурировать и организовать сенсорный сигнал, чтобы придать ему смысл. Прежде всего, внимание коры мозга к стимулу повлечет за собой серию движений глаз, головы или туловища. Это позволит более глубоко и детально ознакомиться с информацией идущей от сенсорного органа, а также, возможно, подключить другие органы чувств. По мере поступления новых сведений они будут связываться со следами сходных событий, сохранившимися в памяти. Если сигнал оказывается похожим на что-то уже известное, восприятие приводит к узнаванию. В противном случае оно выражается в осознании какого-то нового аспекта реальности, фиксации его в памяти и создании новых следов которые в свою очередь будут укреплены другими актами узнавания. Таким образом, мозг с начала и до конца жизни создает себе образ реальности, из которого исключены элементы, не связанные с интересами и нуждами индивидуума [17].

По сравнению с ощущениями восприятие более высокая форма аналитико-синтетической деятельности мозга. Без анализа невозможно осмысленное восприятие. Так, незнакомая иностранная речь воспринимается как сплошной звуковой поток. В то же время в процессе восприятия речи одновременно с анализом имеет место и синтез, благодаря чему мы воспринимаем не отдельные звуки, а слова. Основу синтеза составляет процесс установления временных нервных связей. Временные нервные связи, лежащие в основе восприятия, складываются на основе объективных связей свойств предметов и явлений внешнего мира. Таким образом, в основе сложного процесса построения образа восприятия лежат системы внутрианализаторных и межанализаторных связей, обеспечивающих наилучшие условия выделения раздражителей и учет взаимодействия свойств предмета как сложного целого.

Несмотря на кажущуюся простоту восприятия окружающих нас объектов, существует множество теорий относительно природы восприятия.

Образ, складывающийся в результате процесса восприятия, предполагает взаимодействие, скоординированную работу сразу нескольких анализаторов. В зависимости от того, какой из них работает активнее, перерабатывает больше информации, получает наиболее значимые признаки, свидетельствующие о свойствах воспринимаемого объекта, различают и виды восприятия. Соответственно выделяют осязательное, зрительное и слуховое восприятие.

Четыре анализатора – кожный, мышечный, зрительный, слуховой – чаще всего выступают как ведущие в процессе восприятия.

Можно выделить некоторые свойства восприятия, так Рубенштейн [4] выделяет активность, историчность, предметность, целостность. Активность восприятия состоит, прежде всего, в участии эффекторных компонентов в процессе восприятия, выступающих в форме движения рецепторных аппаратов и перемещений тела или его частей в пространстве. Анализ движения рук и глаз выделены в два класса. В первый класс входят поисковые и установочные движения, с помощью которых осуществляется поиск заданного объекта, установка глаза и руки в наиболее удобную для восприятия позицию и изменение этой позиции. К этому же классу относятся движения головы на внезапно раздавшийся звук, следящие движения глаз и т.д. Во второй класс входят собственно познавательные движения. При их непосредственном участии происходит оценка размеров, опознаются уже знакомые объекты, осуществляется сам процесс построения образа. Происходит непрерывное сравнение образа с оригиналом. Всякое несоответствие их друг другу немедленно вызывает корректирование образа. Следовательно, роль моторики в восприятии не ограничивается созданием наилучших условий для работы аффективных систем, а заключается в том, что движения сами участвуют в формировании субъективного образа объективного предмета.

Зрительное восприятие вовлекает многочисленные источники информации помимо тех, которые воспринимаются глазом, когда мы смотрим на объект. В процессе восприятия, как правило, включаются и знания об объекте, полученные из прошлого опыта, а этот опыт не ограничен зрением. Это еще раз подчеркивает активный процесс восприятия.

Восприятие представляет собой систему перцептивных действий, овладение которыми требует специального обучения и достаточно долгой практики. Перцептивные действия и критерии адекватности образа не остаются неизменными, а проходят значительный путь развития вместе с развитием самой деятельности. Это значит, что важнейшей характеристикой восприятия является его историчность – обусловленность конкретными условиями протекания деятельности и прошлым опытом субъекта.

В ходе социальных контактов ребенок постепенно усваивает общественно выработанные системы сенсорных качеств – сенсорные эталоны. К ним относятся: звуковая шкала музыкальных звуков, система геометрических форм, «решетка фонем» родного языка. Если сенсорные эталоны представляют собой результат общественно-исторической деятельности человека, то результат индивидуальной деятельности человека по усвоению сенсорных эталонов называется оперативными единицами восприятия. Оперативные единицы восприятия выступают как содержание, выделяемое субъектом при выполнении той или иной перцептивной задачи. Развитие восприятия связано со сменой оперативных единиц восприятия. Эта смена выражается в преобразовании групп случайных, частных признаков, в структурные, целостные признаки. В результате того, что оперативными единицами восприятия становится образы предметов и даже модели целых ситуаций, возникает возможность одномоментного восприятия, независимо от числа содержащихся в предмете или ситуации признаков. Разумеется, задача формирования образа, может возникнуть и вне детского возраста. Всякий раз, при столкновении с новым, или при неадекватности образа, процесс восприятия вновь превращается из одномоментного в последовательный и совершается с помощью развернутых перцептивных действий.

Таким образом, развитие восприятия приводит к созданию определенной совокупности образов или перцептивных моделей окружения. Если на фазе построения образа объекта происходит уподобление воспринимающих систем свойствам воздействия, то на фазе опознания или действия на основе сложившихся оперативных единиц восприятия, характеристики и направленность процесса существенно изменяется. Эти изменения заключаются в том, что субъект не только воссоздает образ объекта, но и переводит полученную информацию на язык оперативных единиц восприятия или перцептивных моделей уже усвоенных. И это преобразование приводит к формированию полноценного адекватного образа [2 с24.].

Под предметностью восприятия понимают отнесенность всех получаемых с помощью органов чувств сведений о внешнем мире к самим предметам. Это способность субъекта воспринимать мир не в виде набора не связанных друг с другом ощущений, а в форме отдельных друг от друга предметов, обладающих свойствами, вызывающими данные ощущения. Так как перцептивные действия направлены на предметное отражение ситуации, значение предметного окружения оказывается решающим для нормальной работы восприятия. Предметность восприятия выступает в форме целостности, константности и осмысленности перцептивного образа.

Целостность восприятия определяется отражением не изолированных качеств раздражителей, а отношений между ними. На целостность восприятия впервые обратили внимание представители гештальтпсихологии, им же принадлежит заслуга установления большинства фактов, доказывающих важность этого свойства восприятия. Благодаря целостности мы воспринимаем определенным образом организованное окружение, а не хаотическое скопление цветовых пятен, отдельных звуков и прикосновений. Например, вычленяя сложные отношения между звуками, наш слух позволяет с легкостью узнать мелодию, сыгранную в различных тональностях, хотя отдельные звуки при этом могут оказаться совершенно различными.

Так как в окружающем мире замкнутые, симметричные контуры обычно ограничивают предметы, то участок поверхности, ограниченный такими контурами, воспринимается как фигура, имеющая характер вещи.

Целостность восприятия выражается в том, что образ воспринимаемых предметов не дан в полностью готовом виде со всеми необходимыми элементами, а как бы мысленно достраивается до некоторой целостной формы на основе наибольшего набора элементов. Это происходит в том случае, если некоторые детали предмета человеком непосредственно в данный момент времени не воспринимаются.

Здесь можно отметить манипулятивные способности восприятия. Роль перцептивных действий заключается в том, что с их помощью происходит сопоставление предметов с оперативными единицами восприятия, приводящее к созданию константного предметного образа. Способность манипулировать образом позволяет воспринимать стабильными и константными предметы, поворачивающиеся к нам разными сторонами.

Примером константности может служить дверь, которая сохраняет для наших глаз свою форму независимо от того, закрыта она или открыта (рис. 1).

Высшей формой предметного восприятия является осмысленное восприятие. Благодаря осмысленности наше восприятие перестает быть биологическим процессом, каким оно было у животных. Усваивая в процессе развития общественно-исторический опыт, человек отражает также значения предметов, выработанные в практической деятельности предшествующих поколений. Поэтому вместе с восприятием предмета происходит осознание его функций, благодаря чему восприятие становится обобщенным и категоризованным.

Осмысленное восприятие дает возможность познать действительность глубже, чем это возможно с помощью отражения отношений между объектами, воздействующими на органы чувств. На стадии осмысленного восприятия достигается высшая ступень объективации перцептивного образа. Большую роль в становлении осмысленности восприятия играет речь, с помощью которой происходит обобщение и категоризация получаемой органами чувств информации.

Восприятие человека, таким образом, неразрывно связано с мышлением, оно выступает как активный поиск наиболее осмысленной интерпретации данных.

Следует различать восприятие и ощущение. Основные отличия восприятия и ощущения хорошо изложил Лурия А.Р. [3] В отличие от ощущений, восприятие всегда выступает как субъективно соотносимое с оформленной в виде предметов, вне нас существующей действительностью. Ощущения находятся в нас самих, воспринимаемые же свойства предметов, их образы локализованы в пространстве. Этот процесс, характерный для восприятия в его отличии от ощущений, называется объективацией. Еще одно отличие восприятия в его развитых формах от ощущений состоит в том, что итогом возникновения ощущения является некоторое чувство (например, ощущения яркости, громкости, равновесия, сладкого и т.п.), в то время как в результате восприятия складывается образ, включающий комплекс взаимосвязанных различных ощущений, приписываемых человеческим сознанием предмету, явлению, процессу. Для того чтобы некоторый предмет был воспринят, необходимо совершить в отношении его какую-либо встречную активность, направленную на его исследование, построение и уточнение образа.

Восприятие выступает как осмысленный (включающий принятие решения) и означенный (связанный с речью) синтез разнообразных ощущений, получаемых от целостных предметов или сложных, воспринимаемых как целое, явлений. Этот синтез выступает в виде образа данного предмета или явления, который складывается в ходе активного их отражения. Единого общепринятого определения восприятия в психологии нет, тем не менее, можно привести примеры некоторых определений, которые встретились в литературе.

«Сравнительно с чистым ощущением все, что воздействует на наши органы чувств, вызывает в нас нечто большее: оно возбуждает в мозговых полушариях процессы, которые отчасти обусловлены модификациями в строении нашего мозга, произведенными в нем предшествующими впечатлениями; в нашем сознании эти процессы вызывают идеи, которые так или иначе связаны с данным ощущением. Первой такой идеей является представление того предмета, к которому относится данное чувственное свойство. Осознание известных материальных объектов, находящихся перед нашими органами чувств, и есть то, что в настоящее время называется в психологии восприятием» ([2], с. 211).

«Результат сложной аналитико-синтетической работы, выделяющей одни существенные и тормозящей другие несущественные признаки, и комбинирующий воспринимаемые детали в одно осмысленное целое. Этот сложный процесс отражения целых вещей или ситуаций и называется в психологии восприятием» ([3], с. 46).

«Восприятие является чувственным отображением предмета или явления объективной действительности, воздействующей на наши органы чувств. Восприятие человека – не только чувственный образ, но и осознание выделяющегося из окружения противостоящего субъекту предмета. Осознание чувственно данного предмета составляет основную, наиболее существенную отличительную черту восприятия» [4].

Основываясь на физиологических принципах восприятия человеком окружающего мира, а также учитывая психологические особенности восприятия психологами было разработано несколько теорий восприятия.

Ассациативная теория восприятия достигла наибольшего влияния во второй половине 19-го века. Ее виднейшими представителями были немецкие ученые И. Моллер, Э. Мол, Г. Гельмгольц, Э. Геринг, В. Бундт, Г.Э. Мюллер и американский психолог Э.Б. Титченер. Несмотря на значительные различия в объяснении частичных проблем, эти психологи придерживались общих взглядов на природу восприятия. По их мнению, воспринимаемый нами образ является на самом деле сложным объединением первичных элементов сознания – ощущений. При этом само ощущение понималось как осознанное состояние органа чувств, подвергнувшегося воздействию внешнего раздражителя.

Объединение ощущений в восприятие осуществляется посредством ассоциаций по смежности или по сходству. Этот ассоциативный механизм определяет ведущую роль прошлого опыта для возникновения восприятия.

Основная ошибка ассоциативной теории заключалась в том, что она привлекала для объяснения одних субъективных данных другие, пытаясь тем самым вывести сознание из самого себя.

Структуралисты считали, что раз восприятие является комплексом ощущений, то задача состоит в том, чтобы путем самонаблюдения найти в своем субъективном опыте элементарные ощущения, а затем изолировать и описать их. Этот метод был назван методом аналитической интроспекции.

С резкой критикой ассоцианизма выступила группа немецких психологов: М. Вертхаймер, В. Келлер, К. Коффка и другие. Они исходили из положения, что все процессы в природе изначально целостны. Поэтому процесс восприятия определяется не единичными элементарными ощущениями, а всем «полем» действующих на организм раздражителей, структурной воспринимаемой ситуации в целом. Данное направление стало называться гештальтпсихологией. Психология восприятия, по их мнению, должна отвечать на вопрос – почему мы видим мир таким, каким мы его видим? Еще один недостаток – отрицание историчности восприятия. Прошлый опыт не способен, по их мнению, изменить восприятия объектов, раз они образуют «хорошую» структуру. Гештальтпсихологи собрали большое количество экспериментальных данных, позволивших установить основные закономерности возникновения структур при восприятии. Элементы поля объединяются в структуру в зависимости от таких отношений как близость, сходство, замкнутость, симметричность и так далее. Были открыты закономерности разделения зрительного поля на фигуру и фон. Новые пути теоретического анализа восприятия были намечены в работах ряда зарубежных психологов, согласно которым восприятие является результатом активной деятельности субъекта, обеспечивающей получение информации о внешнем мире. Согласно этой теории восприятие объекта как единого целого не дано изначально. На ранних этапах развития восприятие не так целостно и организованно, как предполагали сторонники гештальтпсихологии.

Формирование восприятия объекта начинается с избирательного внимания к частям фигуры, а затем уже всей фигуры. Эту теорию нельзя считать общей теорий восприятия. В ней остаются нераскрытыми такие важнейшие проблемы, как восприятие пространства, специфика человеческого восприятия и так далее.

1.2. Модель формирования пространственного образа

Первым шагом на любом этапе познания, в том числе и при формировании представлений, является восприятие, «живое созерцание» определённой визуальной информации, например, чертежа, схемы, модели, рисунка и т.п. Для того чтобы сделать его действенным, необходимо не просто смотреть на предлагаемые для восприятия зрительные образы, а видеть заложенную в них информацию, то есть осуществлять анализ визуальной информации.

Анализ визуальной информации начинается с создания общей структуры информационного сообщения, заложенного в данном зрительном образе (модели, рисунке, чертеже, схеме и пр.) и выделения его элементов. Учебная математическая информация, задаваемая наглядный образом, довольно четко подразделяется на элементы. Например, при изображении пространственных или плоских геометрических конфигураций, в одних случаях к элементам можно отнести сами это фигуры, в других – выделенные на чертеже их составляющие (высоты, углы, стороны, вершины и пр.). Таким образом происходит расчленение, в котором важную роль играет опознание отдельных ее фрагментов (узнавание), отождествление одинаковых, сходных по форме или по смыслу ее элементов. Система связей выделенных элементов будет составлять структуру данной визуальной информации. Осознание структуры исходной визуальной информации заключается в определении связей между ее элементами.

В ходе активного зрительного восприятия визуальной информации учащийся отождествляет отдельные ее фрагменты с известными ему достаточно простыми объектами и понятиями. Распознавание стандартной ситуации, стандарта может происходить как при постановке задачи (применить признак параллельности для построения сечения куба), так и неявно, в процессе выделения знакомого представления в новых условиях (стороны треугольника – отрезки, вершины – точки), уяснения частного вида более общего знакомого понятия (треугольник – равносторонний треугольник).

Таким образом, в посильном для изучения материале обучаемый находит некоторые известные ему объекты в виде элементов чертежа, схемы, графика, модели; выделяет их, дифференцирует по степени сходства, определяет известный ему структурный стандарт по отношению ко всей представленной визуальной информации. Получение начальных, явным способом предлагаемых данных информации приводит к вычленению признаков геометрического объекта, которые являются основой для формирования его первичного образа.

Далее учащийся приступает к уточнению и детализации исходной визуальной информации, сравнивает ее с некоторым обобщенным образом (стандартом, эталоном). Вследствие проделанной работы происходит получение (выявление) новой, дополнительной информации, при этом еще раз уточняются и проверяются знания об объекте, оценивается его отличие от стандарта. Таким образом, в памяти учащегося происходит окончательное закрепление – образование содержательных образов (пространственных представлений).

Вся деятельность пространственного мышления при работе с наглядным материалом направлена на формирование обобщенных пространственных представлений. Созданные пространственные представления не должны быть чем-то застывшим. Их внедрение в учебный процесс предполагает не только последовательное восстановление созданных представлений (воспроизведение), но и их расчленение, сборку отдельных элементов в единое целое, включение пространственных представлений в новые связи. Все это будет способствовать формированию обобщенных пространственных представлений, близких к понятиям.

Для обобщения и систематизации всего вышесказанного, нами выработана общая схема формирования пространственного образа. (рис. 2).

рис. 2

Как видно из схемы, не последнюю роль в формировании пространственного мышления играет внимание, пространственное мышление и пространственные представления. Остановимся подробнее на этих понятиях.

Внимание. Для восприятия любого явления необходимо, чтобы оно смогло вызвать ориентировочную реакцию, которая и позволит нам «настроить» на него свои органы чувств. Подобная произвольная или непроизвольная направленность и сосредоточенность психической деятельности на каком-либо объекте восприятия и называется вниманием. Без него восприятие невозможно.

Природа и сущность внимания вызывают серьёзные разногласия в психологической науке. Некоторые специалисты даже сомневаются в существовании внимания как особой самостоятельной функции, считают его только стороной или моментом других психических процессов. Но открытие нейронов внимания, клеток-детекторов новизны, изучение особенностей функционирования ретикулярной формации и особенно образования доминант, являющихся физиологическим коррелятом внимания, позволяет утверждать, что оно представляет собой психическое образование, чьи структуры анатомически и физиологически относительно независимы от сенсорных процессов. Сложности объяснения феномена внимания вызваны тем, что оно не обнаруживается в «чистом» виде, функционально оно всегда «внимание к чему-либо». Поэтому внимание следует рассматривать как психофизиологический процесс, состояние характеризующее динамические особенности познавательных процессов. Внимание и обусловливает избирательность, сознательный или полусознательный отбор информации, поступающей через органы чувств.

Выделим основные свойства внимания. Внимание обладает определёнными параметрами и особенностями, которые во многом являются характеристикой человеческих способностей и возможностей. К основным свойствам внимания обычно относят следующие.

1. Концентрированность. Это показатель степени сосредоточенности сознания на определённом объекте, интенсивности связи с ним. Концентрированность внимания означает, что образуется как бы временный центр (фокус) всей психологической активности человека.

2. Интенсивность. Характеризует эффективность восприятия, мышления и памяти в целом.

3. Устойчивость. Способность длительное время поддерживать высокие уровни концентрированности и интенсивности внимания. Определяется типом нервной системы, темпераментом, мотивацией (новизна, значимость потребности, личные интересы), а также внешними условиями деятельности человека. Устойчивость внимания поддерживается не только новизной поступающих стимулов, но их повторением. Устойчивость – временная характеристика внимания.

4. Объём – показатель количества однородных стимулов, находящихся в фокусе внимания (у взрослого человека от 4 до 6 объектов, у ребёнка не более 2-3). Объём внимания зависит не только от генетических факторов и от возможностей кратковременной памяти индивида. Имеют также значения характеристики воспринимаемых объектов (их однородность, взаимосвязи) и профессиональные навыки самого субъекта.

5. Распределение, то есть способность сосредоточивать внимание на нескольких объектах одновременно. При этом формируется как бы несколько фокусов (центров) внимания, что даёт возможность совершать несколько действий или следить за несколькими процессами одновреме6нно, не теряя ни одного из них из поля внимания.

6. Переключение внимания понимается как возможность более или менее легкого и достаточно быстрого перехода от одного вида деятельности к другому. С переключением функционально связаны и два разнонаправленных процесса: включение и отключение внимания.

Виды внимания. Классификация основных типов внимания обычно производится путём разделения его реакции на: а) генетически и социально - обусловленные; б) непосредственные или опосредованные; в) происходящие автоматически или требующие волевого усиления и контроля. В первом случае можно выделить «природный», естественный тип внимания, связанный обычно с проявлением инстинктов размножения и самосохранения или с саморегуляцией организма. Социально-обусловленное внимание – продукт обучения и воспитания.

Особый интерес психологов всегда привлекало произвольное внимание, требующее сознательного самоконтроля и сопровождаемое чувством усилия над собой, в некотором смысле самопринуждением индивида, который в этом случае подавляет свои непроизвольные реакции во имя долга, высших целей, разумной необходимости. Дело в том, что произвольное внимание в значительной мере и продукт, и условие нашей цивилизации, сделавшей необходимым непривлекательный труд – и физический, и умственный.

Психологические особенности пространственного мышления. Пространственное мышление – вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения различных практических и теоретических задач. Пространственное мышление есть такое психологическое образование, которое формируется в различных видах деятельности (практической и теоретической). Для его развития большое значение имеют продуктивные формы деятельности: конструирование, изобразительное (графическое). В ходе овладения ими, целенаправленно формируются умения представлять в пространстве результаты своих действий и воплощать их в рисунке, чертеже, постройке, поделке. Мысленно видоизменять их и создавать на этой основе новые, в соответствии с созданным образом, планировать результаты своего труда, а также основные этапы его осуществления, учитывая не только временную, но и пространственную последовательность их выполнения.

Пространственное мышление в своей развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей. Оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве, является содержанием пространственного мышления. Выделение пространственных зависимостей из объекта восприятия часто затруднено ввиду сложности его конструкции. Многие особенности (например, внутреннее строение) скрыты от непосредственного наблюдения. Поэтому выделять пространственные зависимости, присущие объекту, нередко приходится опосредствованно, через сравнение, сопоставление различных частей и элементов конструкции. Общее, что характеризует любой пространственный образ - это отражение в нём объективных законов пространства. Однако это отражение определяется деятельностным отношением субъекта к окружающему его пространству, разнообразием условий, форм и способов отражения, что определяет различия в конкретном содержании пространственного образа. Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов – их носителей, но наиболее отчётливо они выступают в геометрических объектах (объёмных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т.п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно, поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими.

В современной психологии понятие пространственных представлений связывается с понятием образа объекта или явления, который возникает в результате восприятия. При этом большое внимание уделяется зрительным образам, так как их информационная ёмкость особенно велика. Они позволяют мгновенно схватывать отношения между реальной и представляемой ситуацией. Пространственные представления являются целостными субъективными образами пространственных объектов или явлений, которые отражены и закреплены в памяти на основе восприятия наглядного материала в процессе деятельности. Тогда формирование и развитие пространственных представлений можно рассматривать как процесс создания образов и оперирование ими.

Такой взгляд на пространственные представления был взят за основу многими учёными-методистами [1, 11, 14 и др.] при разработке методики формирования и развития пространственных представлений обучаемых. Под пространственными представлениями они чаще всего понимают образ той или иной пространственной (геометрической) конфигурации, отношения между ее элементами. Процесс формирования и развития пространственных представлений характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конфигурации и изучаемых объектов и выполнять над ними мыслительные операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами.

Познавательная природа представлений раскрывается в том, что они являются промежуточным звеном при переходе от ощущения к мысли. Ясные и отчётливые представления о геометрических объектах, последовательно образованные в сознании обучаемых, являются прочной основой для усвоения научных знаний. Представление, как важный элемент познания, призвано связывать образы предметов и явлений со смыслом и содержанием понятия о них. Но, в свою очередь, формирование представлений требует овладения понятием, поскольку понятие определяет содержание образа. Пространственные представления по отношению к мышлению являются исходной базой, условием развития, но, в то же время, и формирование представлений требует предварительного овладения понятиями и фактами. Можно сказать, что процесс формирования пространственных представлений о геометрических объектах проходит на основе знаний о них [14].

На основе вышесказанного можно сделать вывод, что содержание пространственных представлений следует рассматривать как образ отраженного объекта или явления, в совокупности со знаниями об объекте, извлеченные в процессе его восприятия. Это результат визуального мышления, сочетающего в себе взаимосвязанные пространственный и логических компоненты мышления.

Итак, под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, будем понимать обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств.

Следует также уточнить, что понимается в схеме (рис 2) под моделью объекта. В этой связи рассмотрим наиболее часто используемые виды учебной наглядности, которые можно разделить на три основные группы [14]:

-   натуральные вещественные модели (реальные предметы, муляжи, геометрические тела и т.п.), сюда же можно отнести их перспективные изображения (фотографии, художественные репродукции);

-   условные графические изображения, отличающиеся разнообразием форм и содержания (чертежи, разрезы, сечения, эскизы и т. п.);

-   знаковые модели (графики, географические карты, топографические планы, диаграммы, химические формулы и уравнения, математические символы).

Все эти виды наглядности по-разному связаны с объектом изображения и имеют неодинаковую функцию в раскрытии его пространственных свойств и отношений. Будучи наглядными, они существенно различаются своим содержанием и создают разные условия для возникновения адекватных образов.

Натуральные модели и их перспективные изображения являются простыми заменителями реальных объектов, с которыми они сохраняют полное сходство. На основе этих моделей создаются образы реальных объектов, вполне доступных непосредственному наблюдению. Эти образы богаты деталями, ярки. Натуральные модели и их перспективные изображения являются наглядной опорой для формирования у учащихся конкретных образов изучаемых объектов, на основе которых формируются научные понятия. Они являются также средством активизации мысли учащихся, поскольку с их помощью могут быть наглядно выделены те свойства изучаемого объекта, которые не выражены словесно. Эти виды наглядности передают, как правило, конкретные свойства отдельных объектов во всей их полноте и многообразии и грают роль иллюстрации при усвоении знаний. Однако их функция ограничивается в основном передачей лишь внешних, очевидных свойств объекта (внешнего облика, конкретных особенностей, что выражается в форме, размерах, соотношениях частей и целого).

Условные графические изображения в отличие от натуральных моделей способствуют передаче более скрытых от непосредственного восприятия свойств изучаемого объекта. Освобожденные от конкретных особенностей объекта, они передают главным образом конструкцию объекта, его геометрическую форму, пропорции, пространственное положение его отдельных частей. Условные графические изображения объектов являются тем самым более абстрактными, чем натуральные модели этих объектов. Они дают возможность выявить скрытые пространственные связи и отношения, как бы перейти от явления к сущности. Степень схематизации, условности графических изображений может быть тоже разная.

Особенностью знаковых моделей является то, что они утрачивают всякую непосредственную связь с изображаемым объектом. Знаковые модели воспроизводят не отдельные свойства объектов и даже не их конструктивные особенности, а абстрактные (теоретические) зависимости, присущие многим объектам, но не выводимые из отдельного объекта. Использование знаковых моделей особенно важно тогда, когда объектом познания являются предельно формализованные общие связи и отношения.

Всё сказанное позволяет поставить некоторые проблемы, связанные и использованием принципа наглядности в обучении. Выбор наглядного материала в учебных целях должен осуществляться обязательно с учётом психологической природы пространственного образа, возникающего на его основе.

У данного, конкретного, объекта существует множество моделей различной степени абстракции, поэтому внимание нужно уделить также переходу от одной модели к другой отличной по своей структуре. При таком переходе происходит своего рода перекодирование пространственных образов, возникающих в различных условиях. Важно отметить, что образ предмета и графический образ здесь находятся в сложных соотношениях. Применительно к одному и тому же предмету могут создаваться различные графические образы, поскольку предмет изображается по-разному. В зависимости от функции в образе фиксируются не все свойства и признаки отображаемого объекта, а лишь те, которые необходимы для реализации деятельности, её успешного осуществления.

1.3. Основные показатели и условия
развития пространственного мышления

В нашем исследовании важную роль играет оценка показателей развития пространственных представлений. Для выделения показателей развития пространственных представлений обратимся к психолого-педагогической литературе. Так, например, И.С. Якиманская [16] выделяет такие показатели развития пространственных представлений: устойчивость, широта, гибкость, глубина, полнота, динамичность образов геометрических объектов, целенаправленность, а также типы оперирования созданными пространственными представлениями при решении математических задач (характеристика этих показателей будет приведена далее). Совокупность этих показателей, по нашему мнению, наиболее полно и разносторонне характеризует сформированность пространственных образов у учащихся.

Такое качество визуального мышления, как глубина характеризуется целостностью восприятия, то есть способностью видеть весь объект в целом, а также определять структуру объекта, связи между его элементами, взаимосвязь данного объекта с другими, понимать способ возникновения той или иной конфигурации, предвидеть ее дальнейшее развитие. Данное качество визуального мышления проявляется в процессе формирования пространственных представлений на этапах анализа визуальной информации, выявления стандартов, определения дополнительной информации и включения пространственных представлений в новые связи.

Широта пространственного мышления характеризуется способностью к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применимым к частным нетипичным случаям. Это качество проявляется в готовности принять во внимание (выявить) новую информацию в знакомой ситуации. Данное качество участвует в формировании и развитии пространственных представлений при обучении геометрии на этапе анализа визуальной информации, в процессе выявления стандартов, а, особенно, в процессе получения новой дополнительной информации.

Гибкость пространственного мышления характеризуется способностью к варьированию способов действия; легкостью перестройки при изменении условий действия; легкостью перехода от одной точки отсчета к другой; от одного способа действий к другому; умением переносить качества одного предмета на другой; выходить за границы привычного способа действия; умением видеть несколько возможных ситуаций, в которых сохраняются существенные свойства объекта, но изменяются несущественные.

Данное качество мышления проявляется на всех этапах формирования и развития пространственных представлений при обучении геометрии.

Устойчивость пространственных представлений представляет степень свободы манипулирования образом с учетом той наглядной основы, на которой образ первоначально создавался. Свобода такого оперирования проявляется в легкости и быстроте перехода от одного вида наглядности к другому, в своеобразном перекодировании их содержания, что требует умения удерживать в памяти образ пространственного объекта и фиксировать изменения, происходящие в нем, умения анализировать образ пространственного объекта. Такая свобода оперирования характерна для развитых пространственных представлений, в то время как скованность каким-либо одним изображением, неумение увидеть то же самое на другом изображении свидетельствуют о недостаточном их развитии.

К действиям, овладение которыми будет способствовать развитию устойчивости пространственных представлений, отнесём следующие:

-   умение сопоставлять различные изображения образа геометрической конфигурации (оперировать различной наглядностью);

-   умение анализировать образ геометрической конфигурации;

-   умение синтезировать образ геометрической конфигурации.

При изучении геометрии устойчивость пространственных представлений способствует рассмотрению множества различных геометрических образов, в которых сохраняются существенные признаки и изменяются несущественные.

Развитию этого показателя способствует широта и гибкость пространственного мышления

 Полнота пространственных представлений характеризует структуру пространственного образа, то есть набор элементов, связи между ними, их динамическое соотношение. В образе отражается не только состав входящих в его структуру элементов (форма, величина), но и их пространственное размещение (относительно заданной плоскости или взаимного расположения элементов). Следовательно, в структуру образа геометрического объекта включаются представление о форме, величине геометрического объекта, взаимном его расположении относительно других объектов, или взаимном расположении его частей относительно друг друга.

Таким образом, для того, чтобы формируемое пространственное представление было полным, необходимо овладение следующими действиями:

-   умение определять величину образа геометрического объекта;

-   умение определять взаимное расположение данного образа геометрического объекта относительно других образов;

-   умение определять взаимное расположение отдельных элементов образа геометрического объекта;

-   умение осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин;

-   умение передавать в образе форму, размеры и взаимное расположение его элементов.

Развитию этого показателя способствует глубина и широта визуального мышления.

Динамичность пространственных представлений выражается в способности к произвольной смене точек отсчета, к произвольному изменению положения пространственного объекта, его элементов. Изменение систем отсчета позволяет найти такую позицию наблюдателя, с которой субъект, рассматривая пространственную фигуру, знакомиться и с плоскими фигурами, полученными как проекции пространственных на определенные плоскости.

Динамичность образа геометрического объекта проявляется в способности не только его видоизменять, но и видеть в статическом изображении движение, перемещение объектов, способ их соединения, получения. Все эти преобразования выполняются уже в «мысленном пространстве», в то время как графические изображения остаются объективно неизменными. Итак, к действиям, способствующим развитию динамичности пространственных представлений, отнесем:

-   умение выбирать и произвольно менять точку отсчета (позицию наблюдения);

-   умение мысленно фиксировать изменения в содержании образа геометрической конфигурации.

При изучении геометрии такое качество, как динамичность пространственных представлений лежит в основе познания геометрического пространства, требующего умения переходить из одной системы отсчета к другой. Динамичность лежит в основе формирования понятия проекции, позволяет использовать идею фузионизма - совместного изучения плоских и пространственных фигур - в процессе развития пространственных представлений. Наиболее отчетливо данное качество проявляется при решении тех задач, где требуется мысленное изменение точки отсчета, отказ от ранее принятой системы отсчета и выбор другой. Умение рассматривать объект с разных точек зрения является основополагающим умением при решении многих геометрических задач: на построение сечений пространственных фигур, на выполнение геометрических преобразований, проекционных задач и др. Развитию этого качества способствует гибкость визуального мышления

Целенаправленность визуального мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении задач, постоянно ориентируясь на поставленную цель, в стремлении отыскать кратчайший путь ее решения. Наличие этого качества важно при поиске плана решения задачи, при извлечении дополнительной визуальной информации из наглядности.

Тип оперирования образами пространственных объектов относится к одному из основных показателей развития пространственных представлений.

Под типом оперирования понимают способ преобразования формированного пространственного представления. Все многообразие случаев оперирования пространственными представлениями можно свести к трем основным; тарирование, приводящее к изменению положения воображаемого объекта (1тип), к изменению его структуры (2 тип) и комбинации этих преобразований (3 тип). На формирование типов оперирования оказывают непосредственное влияние все из выше перечисленных показателей.

Первый тип оперирования характеризуется тем, что исходный геометрический образ, уже созданный на наглядной основе, мысленно видоизменяется в процессе решения задачи, причем эти изменения касаются пространственного положения и не затрагивают структурных особенностей образа. К первому типу оперирования относятся различные мысленные вращения, перемещения уже созданного образа как в пределах одной плоскости, так и с выходом из нее. Такое оперирование приводит к существенному видоизменению исходного образа, созданного на наглядной основе, которая объективно остается при этом неизменной. Данный тип оперирования используется при решении задач, требующих выполнения геометрических преобразований заданных объектов. Например, задач на построение образов геометрических фигур при осевой, центральной симметрии, симметрии относительно плоскости, при повороте, параллельном переносе на плоскости и в пространстве.

Второй тип оперирования характеризуется тем, что исходный геометрический образ под влиянием задачи преобразуется по структуре. Это достигается благодаря различным трансформациям исходного образа путем мысленной перегруппировки его составных элементов с помощью применения различных приемов наложения, совмещения, добавления, усечения и т.п. При втором типе оперирования образ изменяется настолько, что становится мало похожим на исходный. Степень новизны создаваемого образа намного выше той, которая наблюдалась при первом типе оперирования, так как исходный образ подвергся здесь более радикальному преобразованию. Намного выше также и умственная активность, поскольку все преобразования образа осуществляются, как правило, в уме, без непосредственной опоры на изображение. Все производные преобразования и их результаты приходится удерживать в памяти, как бы видеть их мысленным взором. Приведем пример задачи на данный тип преобразования: «Из двух равнобедренных треугольников с равными основаниями составить фигуру, имеющую ось симметрии, если:

а) треугольники равны,

б) треугольники не равны».

Задача требует мысленных преобразований плоских фигур. Можно привести пример аналогичных задач на оперирование объемными фигурами.

Третий тип оперирования характеризуется тем, что преобразования исходного геометрического образа выполняются длительно и неоднократно. Они представляют собой целую серию умственных действий, последовательно сменяющих друг друга и направленных на преобразование исходного образа одновременно и по пространственному положению, и по структуре. Вот пример такого типа задач: «Что собой представляет множество точек, симметричных данной точке А, относительно всех плоскостей, проходящих через данную прямую?»

Требуемые преобразования осуществляются здесь по определенной логике, где четко предусматривается содержание, характер и последовательность каждого пространственного преобразования. К действиям, которые способствуют совершенствованию типов оперирования пространственными представлениями, отнесем следующие:

-   умение мысленно изменять положение образа геометрической конфигурации (1-й тип оперирования);

-   умение мысленно изменять структуру образа геометрической конфигурации (2-й тип оперирования);

-   умение изменять образ геометрической конфигурации одновременно по положению и по структуре (3-й тип оперирования);

-   умение конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания (высший тип оперирования).

Данные качества проявляются на всех этапах формирования пространственных представлений при обучении геометрии, но наибольшее значение они имеют на этапе включения пространственных представлений в новые связи и новые условия, заданные задачей. Таким образом, очевидно влияние качеств визуального мышления на показатели развития пространственных представлений. В результате визуальной деятельности формируются пространственные представления, поэтому качества визуального мышления проецируются в определенные свойства пространственных представлений.

В совокупности все качества визуального мышления способствуют совершенствованию типов оперирования пространственными представлениями, конструированию новых образов пространственных объектов, а также характеризует сформированность полных, устойчивых, динамичных пространственных представлений.

Деятельность, лежащая в основе формирования того или иного показателя пространственных представлений, характеризуется выделенными действиями, наличие которых гарантирует его (показателя) развитие.

При разработке содержания, ориентированного на формирование и развитие пространственных представлений при обучении математике, необходимо учитывать свойства пространственных представлений, используя упражнения, в процессе решения которых формируются и совершенствуются выделенные действия. Они могут быть использованы при разработке типологии упражнений, ориентированных на развитие пространственных представлений обучаемых (с учетом их возрастных и индивидуальных особенностей), а также для диагностики сформированности пространственных представлений обучаемых.

Подводя итоги, следует отметить, что процесс формирования пространственного образа объекта является достаточно сложным процессом. На него влияет очень много факторов как объективных (недостатки наглядных моделей, трудность самого процесса объективного восприятия действительности), так и субъективных (активность обучаемого, его внимательность, сформированность пространственных представлений и т.д.). В то же время без хорошо сформированных пространственных представлений невозможно эффективное изучение геометрии. Возникает необходимость разработки эффективной методики формирования пространственных образов геометрических объектов, которая свела бы до минимума негативное влияние вышеназванных факторов.

Глава 2
Методика применения компьютерной анимации
на уроках геометрии

2.1. Организация процесса формирования пространственного образа
с помощью компьютерной анимации

При формировании пространственного образа, c использованием  компьютерной анимации, целесообразно выделить следующие шаги, на каждом из которых используются свои модели реального объекта:

1. Реальная модель изучаемого объекта (макет, пример из окружающего мира, рисунок).

2. Динамическая анимационная модель.

3. Статическое изображение (чертёж).

4. Пространственный образ.

Каждый следующий шаг отличается от предыдущего гораздо большей степенью абстрагирования. Как уже было отмечено, на каждом из этих шагов используется своя модель реального объекта, но в то же время неизменной остаётся схема восприятия каждой из модели обучаемыми. В качестве схемы мы предлагаем схему представленную в пункте 1.2 данной выпускной квалификационной работы (рис. 2). Таким образом, весь процесс формирования пространственного образа геометрического объекта на уроках геометрии можно представить в виде следующей схемы (рис. 3).

Таким образом, пройдя первые три этапа, на четвёртом, должен быть получен объективный пространственный образ объекта. На каждом из этих трех этапов должна происходить тщательная проработка схемы формирования пространственного образа с помощью системы упражнений. На четвертом этапе происходит работа непосредственно с самим пространственным образом без опоры на наглядное изображение.

В отличие от традиционного процесса формирования пространственного образа, здесь добавляется ещё один шаг – динамическая анимационная модель (ДАМ). Он позволяет сделать плавный переход от реальной модели изучаемого объекта к его статическому изображению на плоскости. ДАМ – это модель объекта, которая теряет материальную основу, но по-прежнему остаётся наглядной и не сложной для восприятия. ДАМ позволяет отображать особенности не только внешнего строения объекта, но и внутреннего, позволяет оперативно подстраиваться под конкретный урок, особенности учеников.

В настоящее время компьютерная графика широко используется при подготовке специалистов различного профиля. Результаты проведенного нами исследования существующих подходов и методик использования компьютерной графики показали, что, в основном, она применяется как средство визуализации принимаемых решений и практически не используется как средство для получения новых знаний и сведений об окружающем мире. Однако современные графические пакеты могут быть использованы дополнительно, как средство интенсификации процесса получения новой информации об окружающих нас реальных объектах.

Правомерность использования компьютерной графики в качестве вспомогательного средства в процессе обучения геометрии основывается на том факте, что рисунок любого объемного тела является имитацией трехмерного пространства на плоском двумерном листе бумаги. Применение же трехмерного компьютерного моделирования позволяет облегчить процесс понимания конструкции реального трехмерного тела, а также дает возможность проследить пространственные линии связей с помощью каркасной модели объекта и, в конечном счете, получить реалистическую визуализацию с помощью наложения текстур и фактур.

Перспективы использования компьютерной графики в преподавании математики связаны, прежде всего, с эффективной реализацией дидактического принципа наглядности в обучении. Его воплощение в обучении различным предметам, наряду с другими принципами дидактики, является одним из ведущих факторов обучения и развития. Отметим тот факт, что опыт применения компьютера на уроках геометрии сводится, в основном, к использованию компьютерной графики в виде статичных изображений, или рисунков. Опыта же применения компьютерной анимации на уроках геометрии на данный момент методика  преподавания математики не имеет, но, как мы полагаем, именно такой вид наглядности дает значительно больший эффект, нежели использование статичных изображений. Программные продукты, реализующие возможность работы с компьютерной графикой, дают, во-первых, возможность создания динамических образов, иллюстрирующих математические понятия в пространстве и времени, во-вторых, возможность интерактивной работы, когда обучаемый сам становится участником события. Во втором случае речь идет о создании самими учащимися наглядных образов геометрических понятий (точка, фигура, преобразование и т.п.) в процессе обучения программированию. При этом многие понятия, известные из математики или представляемые пока интуитивно, более глубоко раскрывают свою сущность и становятся понятными именно на основе своего образного восприятия.

Для разработки методики одним из важных этапов являлся выбор графического пакета, отвечающего требованиям методики обучения. В качестве основных требований нами были определены следующие:

-   разнообразный круг инструментов для моделирования объемных  объектов;

-   визуализация модели с любых точек зрения;

-   доступные инструменты редактирования формы и пропорций модели;

-   использование графических текстур;

В качестве дополнительных требований были приняты:

-   дружественный интерфейс;

-   ограниченные машинные ресурсы;

-   доступная для учебных заведений цена.

По указанным требованиям был проведен сравнительный анализ пакетов 3D компьютерной графики (Cinema 4D XL 6*, Мауа 3.0, 3D Studio MAX, Houldini 4,0*, LightWave 6*, SoftimagelXSI), позволивший выявить, что различные программы решают аналогичные задачи, используя при этом функции под различными названиями.

В результате анализа графических пакетов по указанным признакам выявлено очевидное преимущество системы 3D Studio MAX. Этот пакет используют для 3D моделирования объектов многие Российские вузы. 3D Studio МАХ обладает достаточно полным набором инструментов, пригодных для моделирования основных геометрических тел, который не уступает, а в некоторых случаях и превосходит программы-конкуренты, и обладает самой низкой ценой. Таким образом, именно 3D Studio МАХ был принят в качестве среды функционирования разработанной методики.

2.2 Методика формирования
пространственного образа на уроках геометрии

Одним из основных условий формирования пространственных представлений в процессе обучения геометрии является использование упражнений, ориентированных на формирование и развитие комплекса умений, составляющих содержание пространственных представлений и характеризующих их сформированность. Но не все упражнения можно считать такими, а лишь те, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые условием задачи. В ходе визуального анализа формируется тактика переработки этой информации в соответствии с поставленными задачами, оперирование созданными пространственными представлениями в процессе их решения, происходит мысленное составление плана работы. По своим целям и учебным возможностям этот этап можно отнести к поисковой деятельности. Обучаемый определяет порядок действий, пытается в уме выполнить некоторые из знакомых ему операций, рассмотреть возможные варианты решения задачи, прогнозировать результат. Каждый геометрический образ имеет определенную структуру, позволяющую зрительно выделить и проанализировать его логический «фундамент».

В процессе решения задач, ориентированные на развитие пространственных представлений, представления приобретают новые формы, направляющие мыслительную деятельность обучаемого так, что из исходных данных он может извлечь ориентиры и подсказки, построить догадку, приводящую к получению правильного ответа. В ходе поиска решения задачи осуществляется порождение новых пространственных представлений, несущих определенную визуально-логическую нагрузку и делающих видимым значение исходного объекта или его свойства. Отправными моментами и точками опоры такого процесса является запас готовых, пространственных представлений, их элементы и структура, визуально обозримые связи между ними.

Следует выделить основные типы упражнений, ориентированные на формирование и развитие пространственных представлений при обучении геометрии [15]:

-   упражнения на исследование свойств геометрических объектов (узнавание).

-   упражнения на изображение геометрических конфигураций (воспроизведение).

-   упражнения на преобразование образов геометрических конфигураций (оперирование).

-   упражнения на конструирование новых образов геометрических конфигураций.

Разработка данной типологии основана на видах деятельности, составляющих содержание процесса формирования и развития пространственных представлений при обучении (узнавание, воспроизведение, оперирование и конструирование пространственных представлений). Необходимо отметить, что в каждой из этих групп должны присутствовать упражнения, решение которых требует использования средств наглядности (моделей, рисунков, чертежей и т.п.) и упражнения, заданные словесным описанием и решаемые в воображении. В контексте данной работы данная типология получила некоторое обобщение и более подробное описание типов упражнений, а также внедрением в процесс решения задач наглядной основы – динамической анимационной модели.

I. Упражнения на исследование свойств геометрических объектов

Суть этой группы упражнений состоит в следующем: пространственный объект задается с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания. Требуется исследовать его свойства – выделить форму, определить размеры или взаимное расположение его элементов и т.п.

а) Задачи-вопросы на распознавание объекта по изображению или словесному описанию. Их основная цель – определить, принадлежит ли данный объект объему указанного понятия. Распознавание пространственных объектов осуществляется с опорой на ранее сформированные пространственные представления и знания о них.

Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой?

Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды быть равносторонними треугольниками?

Пример 3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани – квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником?

б) Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.

Пример. ABCDEKMO – изображение куба. Выпишите все изображенные на рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.

в) Задачи на сопоставление различных видов изображений данного пространственного объекта (модели, развертки, чертежа, рисунка, проекции и т.п.)

г) Задачи на определение взаимного расположения объектов и их элементов.

Пример 1. Вершины А и В параллелограмма лежат в плоскости β, а его вершина С не принадлежит этой плоскости. Как могут быть расположены относительно β стороны AD и CD параллелограмма?

Пример 2. Как могут быть расположены относительно плоскости β основания трапеции, если плоскость проходит через среднюю линию трапеции?

Пример 3. Прямая р не имеет общих точек с линией пересечения плоскостей β и γ. При этом р принадлежит γ. Как она может быть расположена относительно плоскости β?

Пример 4. Прямая а пересекается с прямой b, лежащей в плоскости γ и перпендикулярна этой прямой. Перпендикулярна ли а плоскости γ?

Использование приведённых заданий способствует совершенствованию умений, характеризующих процесс создания и оперирования пространственными образами. Например, решение задач на вычленение из состава чертежа требуемых фигур, на определение взаимного расположения пространственных объектов или их элементов, требует не только зрительного выделения фигур, но и применения различных критериев анализа пространственного образа, что дает возможность мысленно переставлять элементы чертежа и выделять на этой основе новые фигуры. Таким образом, задания этой группы способствуют развитию умений удерживать образ в памяти, рассматривать его с различных точек зрения, анализировать пространственный образ, вычленять его форму и т.д.

Задания на распознавание объекта на основе сопоставления его различных изображений предполагает мысленное сопоставление разнотипных изображений объекта (рисунка и чертежа, развертки и модели и т.п.). Задание способствует формированию и развитию умения создавать пространственный образ на основе восприятия различных изображений.

В процессе выполнения заданий на распознавание пространственных объектов по их словесному описанию, необходимо мысленно представить описываемый объект и его элементы, удерживая его в памяти, проводить анализ и синтез пространственного образа, в некоторых случаях осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин.

Таким образом, задания данного типа служат для развития умения распознавать пространственные образы, что характеризует уровень их создания, но в процессе создания часто приходится и оперировать образами, мысленно изменяя их пространственное положение, структуру, переходя от одного вида наглядности к другому. Эти действия способствуют активному развитию пространственных представлений.

Кроме того, для формирования и совершенствования вышеназванных действий, характеризующих развитые пространственные представления, большое значение имеет деятельность преподавателя. В процессе обучения, направленного на развитие пространственных представлений, кроме общих методов и методических приемов, могут использоваться специальные приемы, способствующие этой работе. Такие, например, как создание ситуации, способствующей активному оперированию пространственными представлениями, творческое конструирование новых образов геометрических конфигураций.

Так при изучении темы «Многогранники» преподаватель, демонстрируя модель куба, предлагает мысленно удалить одну его грань и, заглянув в куб через эту грань, изобразить в тетрадях тот геометрический образ, который они при этом увидят. Студенты изображают субъективно новый для них пространственный образ. В качестве самопроверки учащимся предлагается динамическая анимационная модель [Приложение ДАМ-1].

Далее предлагается мысленно представить модель тетраэдра и проделать в уме те же действия, что и с моделью куба. Получается еще один субъективно новый для учащихся образ.

При этом второе задание выполняется без опоры на наглядную основу. Успешное выполнение этого задания требовало от учащегося создания исходного геометрического образа (модели тетраэдра), мысленного изменения позиции наблюдения по восприятию модели тетраэдра, создания нового пространственного образа. В целом эта деятельность направлена на творческое конструирование нового пространственного образа, она предполагает активное оперирование образом, его трансформацию, изменение положения в пространстве. Все эти умения являются основными характеристиками развитого пространственного мышления человека.

Целенаправленное и систематическое использование методических приемов будет, очевидно, способствовать развитию пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.

II. Упражнения на изображение геометрических объектов

Задания этого типа предполагают изображение пространственного объекта, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью рисунка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических фигур по их наглядному изображению и т.п.

К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.

а) Задачи на изображение пространственной фигуры, заданной словесным описанием.

Пример 1. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что представляют собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пирамиды? Изобразите данную пирамиду?

Пример 2. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? Какими геометрическими фигурами являются ее грани? Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? Изобразите данную призму [Приложение ДАМ-2].

б) Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чертеж.

Пример. 1. Достройте изображение фигуры до куба:

Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды:

Пример 3. Достройте изображение фигуры до произвольного многогранника:

Пример 4. Достройте изображение многогранников по заданным вершинам:

а) треугольная пирамида:

б) треугольная призма:

в) Задачи на построение и использование разверток пространственных фигур.

Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б) куба.

Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (AB = BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D₁ (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?

Пример 3. Постройте развертку наклонной треугольной призмы.

г) Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному описанию пространственного объекта требуется построить ее проекции.

Пример 1. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) треугольника на данную плоскость (рассмотреть различные направления проектирования)?

Пример 2. Какое наименьшее число сторон может иметь параллельная проекция на плоскость выпуклого многогранника, имеющего n граней?

Пример 3. Многогранник имеет n вершин. Показать, что существует его параллельная проекция на плоскость, имеющая: не менее четырех вершин, не более n – 1 вершины.

д) Задачи, в которых по заданной проекции пространственного объекта необходимо восстановить его наглядное изображение.

Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три попарно перпендикулярные плоскости:

Развитие и совершенствование умений решать геометрические задачи обуславливает графическая культура учащихся, их умения выполнять рисунки, способность и навыки к визуализации задачи. Развитию конструктивных умений и навыков активно способствует приведенная группа задач. Кроме того, все они направлены на развитие пространственных представлений и воображения. Ведь в процессе решения таких задач, прежде чем изобразить пространственный объект с помощью рисунка или чертежа, необходимо отчетливо представить его, мысленно выполнить определенные конструктивные операции с его элементами. Задачи, выполняемые без применения чертежных инструментов, развивают глазомер, точность движений, что также является характеристикой развитых пространственных представлений.

Как уже было сказано, чертеж является важнейшим средством формирования и развития пространственных представлений. При этом необходимо обращать внимание на рассмотрение различных изображений одного и того же тела. Дело в том, что, привыкая работать с шаблонными изображениями пространственных фигур, учащиеся оказываются беспомощными, когда им надо создать образ по чертежу, на котором пространственный объект расположен нетрадиционно. Выполнение таких изображений и работа с ними способствуют совершенствованию умения рассматривать объект с различных точек зрения, удерживая его образ в памяти, анализировать созданный пространственный образ, менять пространственное положение объекта.

Развитию этих умений также способствуют задачи, в которых требуется достроить пространственную фигуру или восстановить чертеж, выполняя который необходимо сначала представить пространственный объект, потом сопоставить его с данными элементами чертежа. При этом по одним и тем же элементам (отрезкам, точкам) иногда возможны различные изображения фигуры.

Большую роль для развития умений оперировать созданным пространственным образом играют задачи на построение и использование разверток пространственных фигур. В процессе построения развертки необходимо мысленно развернуть геометрическую фигуру, сопоставить полученный результат с наглядным изображением (или существующим представлением), осуществлять анализ и синтез пространственного образа, удерживая его в памяти, изменять пространственное положение и структуру образа. В результате этих действий получен новый образ – развертка.

При изучении темы «Изображение пространственных фигур на плоскости» целесообразно на практическом занятии рассмотреть решение проекционных задач. Например, такой.

Какая фигура получится при проектировании двух скрещивающихся перпендикулярных прямых а и b на плоскость?

III. Упражнения на выполнение геометрических преобразований
на плоскости и в пространстве

Этот тип включает упражнения на различные геометрические преобразования исходных образов пространственных фигур, которые выполняются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно отнести следующие задачи.

а) Задачи на отыскание множеств точек – образов при определенном геометрическом преобразовании точки.

Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?

б) Задачи на установление числа осей (плоскостей, центров) симметрии.

Пример 1. Найти множество осей симметрии у двух данных точек М и Р на плоскости и в пространстве.

Пример 2. Сколько плоскостей симметрии имеет а) куб, б) цилиндр?

Пример 3. Приведите пример фигуры, имеющей более одного центра симметрии.

в) Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.

Пример 1. Начертите два угла, таких, что один из них может быть получен из другого с помощью центральной симметрии.

Пример 2. Отметьте три точки А, В, С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура Ф = {A, B, C, D} имела а) центр симметрии; б) ось симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.

Пример 3. Будет ли фигура, являющаяся объединением полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь центр симметрии? Рассмотрите все возможные случаи.

г) Задачи на создание новых образов пространственных объектов путем геометрических преобразований исходных.

Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК (К – середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по ней и треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совместились. В какую фигуру превратиться прямоугольник?

При решении стереометрических задач, являющихся аналогами соответствующих им планиметрических, целесообразно от пространственной задачи перейти к плоскостной, заменяя в условии задачи пространственную фигуру на аналогичную ей плоскостную, и решив задачу на плоскости, снова перейти к пространственным фигурам.

IV. Упражнения на конструирование и моделирование
новых образов геометрических объектов

Задания данной группы предполагают выполнение мысленного или графического реконструирования и моделирования образ пространственных объектов.

Пример. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом [Приложение ДАМ-3]?

В процессе решения таких задач осуществляется конструирование качественно новых пространственных образов и новых отношений между ними, формируются и совершенствуются умения мысленно преобразовывать исходный образ по форме, величине, пространственному положению, то есть, их решение требует активного оперирования пространственными образами и высокого уровня развития пространственных представлений и воображения.

Анализ заданий каждой из выделенных групп выявил присутствие всех трех видов оперирования пространственным образом, что позволило сделать вывод о том, что их использование будет активно способствовать развитию тех или иных умений, характеризующих как процесс создания, так и процесс оперирования образами геометрических объектов, а, следовательно, и повышению уровня развития пространственных представлений. Кроме того, они совершенствуют и некоторые общие умения, и навыки, например, способность к оперированию знаковой и графической символикой, навыки изображения пространственных объектов на плоскости, а также помогают обогащению и развитию математической речи обучаемых. Таким образом, совокупность данных упражнений можно рассматривать как одно из средств развития пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.

Методику формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анимации рассмотрим на примере изучения четырехугольной пирамиды.

2. Учащимся предоставляется динамическая анимационная модель [Приложение ДАМ-7]. Снова называются ее основные элементы. Рассматривается каркасная модель пирамиды, обращается внимание на видимые и невидимые линии фигуры. Целесообразно рассматривать упражнения на исследование свойств геометрических объектов, например, следующих.

а) На рисунке изображена пирамида ABCDM где ABCD – квадрат, МО – перпендикуляр к плоскости основания. Е и К – середины сторон AD и CD соответственно. Укажите:

-   плоскость, перпендикулярную диагонали АС (BD);

-   плоскость, перпендикулярную стороне AD (DC) и содержащую вершину М;

-   указать все пары взаимно перпендикулярных плоскостей;

-   указать все имеющиеся пары взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых.

б) Может ли квадрат быть разверткой правильной четырехугольной пирамиды?

в) Основанием пирамиды является квадрат. Сколько граней могут быть прямоугольными треугольниками?

3. Может быть проведен разговор о способе построения пирамиды (исходя из определения), первый чертеж чертится на доске вместе с учителем. Начерченная фигура показывается на экране динамической анимационной моделью. Второй чертеж учащимся предлагается выполнить самостоятельно, но изобразить не произвольную пирамиду, а пирамиду, отображаемую на экране. Рассматриваются упражнения на изображение геометрических объектов.

А) Достройте изображение до четырехугольной пирамиды:

Б) Постройте пирамиду, среди граней которой есть два прямоугольных треугольника.

Можно рассмотреть упражнения на конструирование и моделирование новых образов геометрических объектов.

Какая фигура получиться в пересечении двух равных правильных четырехугольных пирамид, высоты которых совпадают, а вершина одной из пирамид является центром основания второй пирамиды? [Приложение ДАМ-10] Преимущество ДАМ перед обыкновенным чертежом заключается в том, что ДАМ позволяет показать все возможные случаи.

2.3. Организация и основные результаты опытной работы

В ходе исследований нами была проведена опытная работа. Она осуществлялась в Вятском государственном гуманитарном университете среди студентов первого курса математического факультета. Из трех учебных групп были выбраны 15 студентов, которые непосредственно приходили заниматься на факультатив, и 10 студентов было набрано в число опытной группы для сравнения полученных результатов.

Основными целями, поставленными перед опытной работой в рамках проводимого нами исследования, можно назвать следующие:

-   выявление возможности применения компьютерной анимации на уроках геометрии;

-   оценка эффективности разработанной методики.

Среди общеобразовательных целей, поставленных перед опытной работой, можно выделить следующие:

Образовательные: обобщить и систематизировать знания школьного курса геометрии, создать условия для формирования умений решать стереометрические задачи.

Развивающие: создать условия для развития пространственных представлений учащихся, творческой и мыслительной деятельности учащихся на уроке, интеллектуальных качеств личности школьников таких, как самостоятельность; создать условия для формирования навыков коллективной и самостоятельной работы.

Воспитательные: создать условия для привития учащимся интереса к предмету посредством применения информационных технологий и формирования умений аккуратно и грамотно выполнять математические записи, внимательности, графической культуры учащихся.

Занятия проводились постоянно без длительных перерывов два раза в неделю по университетскому расписанию (два академических часа – одно занятие). Факультатив состоял из 16 академических часов. Темой данного факультатива были «Многогранники». Обусловлено это, прежде всего, составом слушателей, для которых было достаточно полезным повторение и систематизация изученных в школе геометрических тел и их свойств. Программу факультатива можно представить следующим образом:

В качестве оценки развития пространственного мышления был выбран тест пространственного мышления Ираиды Сергеевны Якиманской [14]. Содержит набор заданий (формы А и Б входной и заключительные тесты) на материале геометрии, черчения, изобразительного искусства. Состоит из 15 видов заданий (бланки тестов – приложение 1 и 2).  Тест направлен на выявление особенностей пространственного мышления учащихся в процессе создания образа (6 видов заданий) и оперирование образами (9 видов заданий). Задания на оперирование образами включают все три типа оперирования. Задачи отличаются по содержанию. Каждое задание представлено двумя задачами различного уровня сложности. Таки образом одна форма включает в себя 30 заданий. Тест пространственного мышления соответствует статистическим критериям, которым должна удовлетворять диагностическая методика [14]. Оценка теста выполнялась по количеству верно выполненных заданий, за каждое верное задание тестируемый получал один балл.

Занятия проводились в обычной учебной аудитории. Единственной особенностью было то, что доска на уроке использовалась очень редко. Роль доски играл экран, на который проецировалось изображение с компьютера. Сразу следует отметить, что подобная организация имеет свои плюсы и минусы по отношению к организации занятий в компьютерных аудиториях. С одной стороны от учащихся не требуется знание программы 3D Studio MAX, происходит меньшая нагрузка на глаза учеников, чем, если бы они сидели каждый за своим ПК, возможен больший контроль над деятельностью учащихся. Среди минусов можно выделить следующий – ученикам не предоставляется свобода выбора изображения, т.е. все манипуляции с анимационной моделью производит учитель, а, следовательно, он показывает лишь те моменты, которые он лично для себя считает важными. В основном же, по нашему мнению, оба способа организации приемлемы и оставляют за собой право быть основными при организации подобного рода занятий.

Оценка результатов опытной работы производилась по результатам входного и заключительного тестов. Оценка теста проводилась по количеству выполненных заданий, за правильно выполненное задание тестируемый зарабатывает один балл. Тест состоит из 15 заданий, в каждом из которых по две задачи, следовательно, максимально возможное количество баллов полученных в результате теста не может превышать 30 баллов.

 Ниже приведена статистическая обработка полученных результатов.

С целью оценки результатов эксперимента посредством применения статистических методов учащимся были предложены два теста (первый – в начале, второй – в конце опытной работы). При анализе выполнения работ проводилось сравнение результатов тестов у учащихся контрольных и экспериментальных групп. Представим результаты тестов. Максимальное количество баллов, которое мог заработать ученик 30 баллов.

Результаты  работ в начале и в конце эксперимента представлены соответственно в таблицах, где КГ - контрольная группа, в которой проводились лишь входной и заключительные тесты. Непосредственно на занятия ходили учащиеся из экспериментальной группы (ЭГ).

По результатам входного теста имеем следующее распределение правильных ответов:

По результатам заключительного теста:

Таблица 2

Для наглядности полученных результатов рассмотрим динамику развития пространственного мышления по трем группам вопросов:

диаграмма 1

Тест условно разбит на три группы вопросов по 10 вопросов в каждой. На диаграмме представлении средний балл по каждой группе заданий. По результатам заключительного теста получена следующая ситуация:

 диаграмма 1

Анализ результатов выполнения теста в начале эксперимента позволил нам выдвинуть нулевую гипотезу : «выборки, представленные в таблице 1, однородны (распределение учащихся по баллам существенно не различается)». Составим  конкурирующую гипотезу : «выборки, представленные в таблице 1, неоднородны (распределение учащихся по баллам различается существенно)». Гипотеза  проверена по критерию . Найдена числовая характеристика по формуле (1)

                                                                                    (1),

где  и  - число учащихся КГ и ЭГ соответственно, получивших определенный балл k=(1;30), ,  - число учащихся в КГ и ЭГ соответственно.

Таким образом,

Так как , то гипотеза  принимается на уровне значимости 0,05. Поэтому можно утверждать, что на начало эксперимента качество знаний учащихся в контрольной и экспериментальной группах существенно не различается.

При анализе выполнения теста учащимися в конце эксперимента нами была ввыдвинута нулевая гипотеза: «выборки, представленные в таблице 2, однородны (распределение учащихся по баллам существенно не различается)» при конкурирующей гипотезе : «выборки, представленные в таблице 2, неоднородны (распределение учащихся по баллам различается существенно)».

Гипотеза  проверена по критерию . Найдена числовая характеристика

Так как , то гипотеза  отвергается в пользу гипотезы. Поэтому на уровне значимости 0,05 можно утверждать, что после эксперимента качество знаний учащихся в контрольной и экспериментальной группах различается существенно.

Для того чтобы убедиться в положительном влиянии предложенной методики на качество знаний учащихся, проверим гипотезу о равенстве средних генеральных значений.

Выдвинута нулевая гипотеза :  (средние баллы в КК и ЭК существенно не различаются) при конкурирующей гипотезе :  (средний балл в КГ существенно меньше среднего балла в ЭГ). Вычислена числовая характеристика

, где

- средние баллы в КК и ЭК соответственно.

Поскольку ,

,

,

, то

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента на уровне значимости  и числа степеней свободы  =. Так как , то гипотеза  отвергается. Следовательно, на уровне значимости 0,05 можно утверждать, что средний балл в КГ существенно ниже, чем в ЭГ.

Полученные результаты позволяют сделать следующий вывод: развитие пространственного мышления в экспериментальных и контрольных группах после опытной работы различны. Результаты учащихся экспериментальной группы имеют тенденцию быть выше, чем результаты учащихся контрольной группы. На основании этого можно утверждать, что предложенная методика положительно влияет на качество знаний учащихся.

Относительно целей, поставленных перед данной опытной работой, можно сказать следующее. Проведенная опытная работа выявила огромный неиспользуемый потенциал компьютера в обучении геометрии, который заключается в применении компьютерной анимации при формировании пространственного образа. Проведенная опытная работа позволила сделать вывод о том, что разработанная нами методика является достаточно эффективной, и оставляет за собой право быть используемой в преподавании геометрии. Относительно достижения общеобразовательных целей объективных выводов сделать нельзя, в виду отсутствия контролирующих перечисленные умения и навыки работ, и относительно краткосрочной опытной работы.

Заключение

Настоящее исследование посвящено решению актуальной проблемы теории и методики обучения математике – развитие пространственного мышления учащихся в процессе изучения геометрии. Основным средством для решения этой проблем был выбран компьютер, который позволил выделить новый вид учебной наглядности – компьютерная анимация, реализующаяся посредством пакета прикладных программ 3D Studio MAX.

В соответствии с поставленными целями перед данной выпускной квалификационной работой и результатами, полученными в ходе исследования, можно сделать следующие выводы:

Анализ научно-методической литературы, посвященной вопросам формирования и развития пространственных представлений, позволил выделить основные психические и физиологические основы восприятия человеком объектов окружающего мира. В результате была выработана общая схема восприятия, которая легла в основу разработанной методики формирования пространственных представлений.

Была выявлена возможность применения компьютерной анимации в процессе формирования пространственных представлений. Компьютерная анимация заполнила некоторый пробел в процессе формирования пространственного образа геометрического объекта, она позволила осуществить плавный переход от натуральной вещественной модели к условно-графическому изображению – чертежу, что в значительной степени повышает уровень объективности пространственных представлений обучаемого.

Была разработана соответствующая методика формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анимации. По результатам опытной работы можно сделать вывод о положительном влиянии разработанной методики на формирование пространственных представлений учащихся. Систематизация результатов научно-методических исследований позволила выявить условия формирования пространственных представлений обучаемых: использование различных видов деятельности, в первую очередь деятельности по решению специально подобранных упражнений, ориентированных на развитие пространственных представлений обучаемых; взаимосвязь формирования пространственных представлений с развитием логического мышления и речи учащихся; использование рациональной системы средств наглядности. Как показала практика преподавания, учет и использование этих условий и приемов успешно способствует работе по развитию пространственных представлений обучаемых. Опытная работа по применению разработанной методики показала ее эффективность. Опытная работа доказала, что целенаправленное и рациональное внедрение в практику новой учебной наглядности - компьютерной анимации ведет к повышению уровня развития пространственных представлений учащихся.

Сделанные выводы дают основание полагать, что справедливость гипотезы исследования экспериментально подтверждена, все поставленные задачи исследования решены.

Библиографический список

1. Величковский, Б.М. Психология восприятия [Текст] / Б.М. Величковский, В.П. Зинченко, А.Р. Лурия. – М., 1973.

2. Запорожец, А.В. Избранные психологические труды [Текст] / А.В. Запорожец. – М., 1986.

3. Лурия, А.Р. Ощущения и восприятие [Текст] / А.Р. Лурия. – М., 1975.

4. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] / С.Л. Рубинштейн. – СПб.: Питер, 2002. – 720 с.

5. Арнхейм, Р. Визуальное мышление [Текст] / Р. Арнхейм // Хрестоматия по общей психологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.

6. Резник, Н.А. Развитие визуального мышления на уроках математики [Текст] / Н.А. Резник, М.И. Башмаков // Математика в школе. – 1981. – №1. – С. 4-7.

7. Виленкин Н.Я. Математика [текст] / Н.Я.Виленкин, А.М.Пышкало, В.Б.Рождественнская, Л.П.Лаврова - М.: Просвящение,1997.-315с.

8. Зинченко В.П. Исследование визуального мышления [текст] // Вопросы психологии. 1973. №2. с. 56-73.

9. Кабанова-Меллер Е.Н. Анализ развития пространственного мышления школьников [текст] // Советская педагогика. 1956. №4 с. 28-38.

10. Кондрушенко Ю.М. Формирование пространственных представлений в связи с развитием логического мышления учащихся при изучении начал стереометрии: Автореф. дисс. ... канд. пед. наук. – М., 1993. -16с.

11. Линькова Н.П. К вопросу о развитии пространственного мышления [текст]// Вопросы психологии способностей школьников. – М.: Просвещение, 1991. -127с.

12. Лурия А.Р. Ум мнемониста [текст]// Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. -Изд-во МГУ, 1981.

13. Наталья Семаго, Михаил Семаго Пространственные представления ребёнка [текст] // Школьный психолог №34 2000г.

14. Якиманская И.С. Психологические основы математического образования [текст]/учебное пособие для студ. пед. вузов. - М.: издательский центр "Академия", 2004.-320с.

15. Маклаева Э.В. Подготовка учителя в педвузе к формированию пространственных представлений младших школьников в процессе обучения математике: диссертация на соискание ученой степени кандидата наук – Арзамас, 2000. – 185с.

16. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников [текст]/ учебное пособие для студ. пед. вузов. – М.: Просвещение, 1980. – 239с.

17.  Грегори, Р.Л. Глаз и мозг. Психология зрительного восприятия [текст]. //  Р.Л.Грегори, А.Р. Лурия, и В.П. Зинченко. – М.: Прогресс, 1970. – 272с.

18. Понарин, Я.П. Геометрия [текст]/учебное пособие. – Ростов-на-Дону.: издательство «Феникс», 1997. -512 с.

19. Шарыгин И.Ф. Геометрия 10-11 класс [текст]/ учеб. для общеобразоват. учеб. заведений.- М.: Дрофа, 1999. -208с.: ил.

20. Лоповок Л.М. Сборник задач по стереометрии [текст]/ Уч. изд. – Москва.: Учпедгиз, 1959. -168 с.