Статистические методы оценки прочности пластмасс
Введение
Тема реферата
«Статистические методы оценки прочности пластмасс».
Прочность
пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или
максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без
разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных
физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных
материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он
объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2)
случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке
прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых
методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя
предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место.
Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения,
неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие
ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию
напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и
последующему разрыву.
Случайные
погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности.
Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины,
которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не
учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же
материала используется статистическая обработка данных. Полученные
статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о
полученных данных.
1. Статистические характеристики
1) Среднее арифметическое значение случайной величины:
x = (x1+x2+x3+۰۰۰+xn) = (Σ xi) / n,
где n – количество наблюдений
в выборке.
2) Эмпирическое
среднеквадратическое отклонение:
Sn
= √ Σ(xi – x)2 / (n-1)
Берется
только положительное значение.
3) Дисперсия:
Dn = Sn2 = Σ(xi – x)2 / (n-1)
Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.
4) Доверительный интервал:
x – x ≤ Sn / √n ∙tα(n),
где х – среднее значение величины для бесконечно большого
числа измерений (генеральной совокупности);
tα(n) – коэффициент Стьюдента,
значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной
вероятности α.
5) Коэффициент вариации:
νх = Sn /х · 100% или νх
= Sn /х
2. Оценка прочности
пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену
Основными
условиями обеспечения прочности любого материала являются:
По
напряжениям n = σраз/σmax экв ≥ [n]
По нагрузкам n = R/Q ≥ [n],
где n – запас прочности;
σраз – разрушающее
напряжение;
σmaxэкв – максимальное
эквивалентное действующее напряжение;
R – разрушающая нагрузка;
Q – действующая нагрузка;
[n] – допускаемый запас
прочности.
В основе
оценки лежат:
1)
статистическая природа прочности пластмассы;
2) возможность
вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.
Это позволяет
построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему
напряжению σ и пределу прочности σв. При этом запас
статистической прочности будет равен:
n = σв / σmax.
Считаем, что σв
и σmax известны. В точке А кривые распределения нагружающих и
разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σА
и σв < σА, возможно разрушение.
Вероятность
разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:
Рраз
= Р (σ > σА)·Р(σв < σА)
= S,
где S – площадь
заштрихованного участка.
Вероятность
того, что случайная величина σА будет меньше заданного значения
σ, равна:
Р (σ >
σА) = ½ + Ф[(σА – σ) / Sд],
где Ф –
табулированная функция Лапласа;
Sд – среднее квадратическое
отклонение действующего напряжения.
Табулированная
функция Лапласа равна:
2
Ф[(σА – σ)·/Sд] = 1/√2π · ∫е-1/2
ξ ·dξ
где ξ = (σА-σср)
/ Sд; dξ = dσА / Sд
Вероятность
того, что случайная величина σА будет больше заданного значения
σв, равна:
Р(σв
< σА) = ½ – Ф[(σА – σв ср)
/ Sв],
где Sв – среднее квадратическое
отклонение разрушающего напряжения.
В
предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно
записать:
Рраз
= {½ + Ф[(σА – σ)/Sд]}· {½ – Ф[(σА
– σв ср)/Sв]}
Плотность
распределения при нормальном законе распределения равна:
2 2
Р(х) = 1/(S·√2π)· e – (x-xср) /2S
Для
точки А величина σ может быть найдена из равенства:
2 2 2 2
1/Sд·e-(σА-σср) / 2Sд = 1/Sв·e-(σА-σвср) / 2Sв
или Zд2 – Zв2 = -2 ln(Sд/Sв),
где Zд = (σА-σср) / Sд; Zв = (σА-σвср) / Sв.
Величины Zд и Zв называются
нормированными отклонениями.
Последнее
уравнение решается относительно σА. Затем определяется Рраз,
представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными
предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе
опыта эксплуатации подобных конструкций.
Через Рраз
можно найти коэффициент надежности Н:
Н = lg (1/Pраз)
Рраз
= 1 – Рнер; Рнер = 1 – Рраз
При
вероятности неразрушения Рнер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999,
соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.
3. Статистическая
оценка прочности пластмасс по нагрузкам
Тимофеев Е.И.
показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических
свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом
вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.
Изделие
считается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R:
R – Q > 0
Вероятность
такого события определяет надежность изделия:
α = Вер
[(R – Q) > 0]
Х= R – Q
Тогда, с
учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью
Р(Х), среднее значение Х равно:
Х0
= R0 – Q0
Стандартное
отклонение:
Sx = √ SR2 + SQ2
Надежность:
2 2
α = Вер
(Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e-1/2·((x-xср) / Sx ) ·dx
С учетом
нормированной функции Лапласа:
α =
Ф(У),
где У = X0 / Sx (У берется из таблиц в
зависимости от заданной вероятности).
После
подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q0 получим:
У = (R0/Q0 – 1) / √SR2 / Q02 + SQ2 / Q02
Введем
обозначения:
n0 = R0 / Q0 – средний наиболее
вероятный запас прочности;
νR = SR / R0; νQ = SQ / Q0 – коэффициенты вариации
разрушающей и действующей нагрузок.
Тогда:
У = (n0 –1)/√ n02·νR2 + νQ2
Для трубы при
r >> h, где r – радиус, а h – толщина стенки,
принимают:
νR = √ νв2
+ νh2
Пользуясь
специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить
запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному
среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также
исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих
и действующих нагрузок.
Статистические
методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий
температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.
Например, по
экспериментальным данным нагрев до 60 0С приводит к снижению предела
прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С
– на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.
Если труба
изготовлена из АГ-4С, и σв = 9,75 МПа; σд = 5,1
МПа; νR = 0,095; νд = 0,3, то:
n0 = 9,75 / 5,1 = 1,91
У = (1,91 – 1) / √ 1,912·0,0952
+ 0,32 = 2,5
По таблице
для У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%.
При нагреве
до 60 0С:
n0 = 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147
У = (1,147 – 1) / √ 1,1472·0,0952
+ 0,32 = 0,445
По таблице
для У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%.
Количественная
оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.
Повышения
надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или
усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению
коэффициента вариации νв.
Из уравнения для У можно определить запас
прочности:
n0 = (1 + У·√νR2 + νQ2 – У2·νR2·νQ2) / (1 – У2·νR2)
4. Оценка эксплуатационных
свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности
Примем за
условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей
нагрузки Q.
q´усл = q
/ (l·Q),
а за единицу
прочности примем величину:
kв = l·R / q,
где R – разрушающая нагрузка.
Из этих
уравнений выводим:
q´усл = n / kв
Условный
наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного
сечения изделия равен:
n0 = [1 + У·√νв2 + νF2 + νQ2 – У2 ·νQ2 ·(νв2 + νF2)] / [(1 – У2·(νв2 + νF2)]
Тогда можно
записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:
k0σ = σв0 / γ,
где γ
– удельный вес материала.
Пусть q0усл ´= n0 / k0σ.
После
подстановок получим:
q0´усл = 1
/ k0σ·[(1-У2·(νв2+νF2)] / [1+У·√νв2+νF2+νQ2–У2·νQ2 ·(νв2+νF2)]
Знаменатель
этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:
k´0σ = k0σ · [(1-У2·(νв2+νF2)] / [1+У·√νв2+νF2+νQ2–У2·νQ2 ·(νв2+νF2)]
Из уравнения
видно, что k´0σ учитывает неоднородность
материала (νв), вариацию действующих напряжений (νQ), рассеивание размеров (νF) и заданную надежность α
= Ф(У).
Упростив
уравнение и приняв, что νQ = νF = 0, получим:
k´0σ = k0σ ·(1 – У· νв)
Оценка
конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности
показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из
реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6
и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых
режимах, то k´0σ имеет примерно равные
значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о
том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и
однородность изделий значительно улучшаются.
Заключение
В процессе
написания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности
пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по
Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных
свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.
Литература
1. Альшиц И.Я. и др.
Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с.
2. Зенкин А.с. и др.
Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с.
3. Штейнберг Б.И. и др.
Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.
4. Лепетов В.А., Юрцев Л.И. Расчет
и конструирование резиновых изделий. М.: Химия, 1987. – 408 с.