Область определения функции
Федеральное агентство по образованию
Среднего профессионального
образования
«Профессиональный лицей №15»
Кафедра: Станочник (металлообработка)
Контрольная работа
по курсу: «Математика»
на тему: «Область определения функции»
Выполнил студент гр. Т 102
Бахирев Я.А.
Проверил: Корнилова Н.Г.
Воткинск
2010
1. Решить неравенство
x2 – 3x+5
x-1
Решение.
Для решения неравенств,
правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств
вида используем метод интервалов.
Обозначим f(x) x2-3x+5 и найдем область определения
x-1
D(f) функция f (x). Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1,
D(f)=(-; 1) (1;).
Найдем нули функции f (x). Для этого решим уравнение:
x2- 3x+5 x2-3x+5=0 (1)
x-1x-1=0 (2)
Решая уравнение (1),
получим:
x2- 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.
Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения
на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения
функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства.
Для этого достаточно
определить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02-3
0+5 f (2)= 22-3 2+5
0-1
2-1
Отметим, для наглядности,
на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:
f (x) <
0 f (x)>0
f (x) >
0, x c (1;).
Ответ: (1;).
2. Решить неравенство
Log5(3x+1)<2
Решение.
Используя свойства
логарифмов положительных чисел
loga a=1
|
|
m loga b =loga
bm
|
преобразуем неравенство к
простейшему логарифмическому неравенству вида
Log5(3x+1)<2,
log5(3x+1)<2log55, log5(3x+1)<log552.
При a>1 функция y=loga t в области определения D(loga), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t1>t2>0, то loga t1 > loga t2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу
перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:
Если a > 1, то
Loga f(x)
< loga g(x) ó 0 < f(x) < g(x)
|
log5(3x+1)
< log552, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x
< 25 - 1,
11
3 < x
< 8, x с 3; 8.
1
Ответ: 3; 8.
3. Найдите все решения
уравнения
sinx cosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.
Решение.
Разложим на множители
левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx –
v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.
|sinx-v3=0
0<x<2п
Используя формулу
решения простейшего тригонометрического уравнения
cosf(x)=0ó f(x)=п +пn, n c Z 2
|
Решим уравнение (1):
cosx=0, x=п+пn,
n с Z
Подставляя (4) в двойное
неравенство (3), получим:
0< п +пn<2п, п <пn<2п п
222, п < пn < 3п 1 < n < 3
2 п п 2 п, 2 2.
Так как n с Z, то n=0
и n =1. Подставляя n=0 и n=1
в уравнение (4), получим:
sinx=v3 – решений нет, так как - 1<sinx<1 при любых значениях x.
Ответ: п 3п
2, 2.
4. Найдите наименьшее
значение функции
f(x)=3x2-18x+7 на промежутке [-5; -1].
Решение.
Функция непрерывна и
дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.
Наименьшее (и
наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах
отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
Найдем производную f(x) функции f(x), используя свойства производной
(теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя
за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:
(f(x) +g(x)) =f (x) + g
(x)
|
(xm) =
mxm-1
|
C=0
|
|
f(x)=(3x2-18x+7)
=3 (x2)-18 x +7=3 2x2-1-18 x1-1 +0=6x-18.
Для нахождения
критических точек составим и решим уравнение:
6x-18=0, x=3 c [-5; -1].
Так как критическая точка
не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f(x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем
наименьшее значение:
f(x)=3x2-18x+7,
f(-5)=3 (-5)2-18 (-5)+7=75+90+7=172,
f(-1)=3 (-1)2-18 (-1)+7=3+18+7=28.
Наименьшим из вычисленных
значений функции является число 28:
min f(x)=f(-1)=28.
[-5; -1]
Ответ: min f(x)=f(-1)=28.
[-5; -1]
5. Найдите все
функции, которые имеют одну и ту же производную: f(x)=x+5sinx
Решение.
Найдем область
определения D(f) функции f(x):
D(f)=(- ~;~).
Все функции, имеющие
производную, равную f(x), называют множеством всех первообразных
F(x) функции f(x) на некотором промежутке (в данном случае, на области
определения D(f)=(- ~;~)) или, как это общепринято в
математике, неопределенным интегралом функции f(x) на указанном промежутке и (общепринято)
обозначают:
Используя свойства
неопределенного интеграла
|(f(x) + g(x)) dx= |f(x) dx + |g(x)dx
|
|af(x) dx=a|f(x)dx
|
|
и таблицу
неопределённых интегралов
xm+1
| xmdx=m+1 + C, где m= -1
|
|sinx dx= -cosx +
C
|
|
получим:
F(x)=| f(x) dx = | (x+5sinx)
dx= |xdx + 5| sinx dx=
1+1 + 5 (- cosx) + C=2 -5cosx + C.
x1+1 x2
Ответ: F(x) = 2
-5cosx + C.