Многомерные и многосвязные системы
Контрольная
работа
«Многомерные
и многосвязные системы»
Задание
Для многомерной
системы, заданной матрицами А, В, С, получить:
1.
Передаточную функцию ;
2. Частотную
передаточную функцию ;
3. Годограф;
4. Импульсную
характеристику ;
5. Переходную
характеристику ;
6. ЛАЧХ ;
7. ФЧХ .
Составить
структурную схему системы.
Дано:
;
;
.
Решение:
1. Передаточная функция
Рассматриваем
линейную систему с постоянными параметрами:
,
.
Преобразуем
по Лапласу матричные уравнения:
; (1)
, (2)
где
; ;
– лапласовы
преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов.
Преобразуем
уравнение (1):
Выносим за
скобки:
где
– единичная матрица.
Умножаем
слева на обратную матрицу:
Откуда
получаем:
.
Подставляем в
уравнение (2):
Получаем:
Выражение называют передаточной функцией
системы.
Находим её:
Находим
обратную матрицу:
Подставляем:
.
2. Частотная передаточная функция
Для получения
частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :
,
получаем:
.
Выделим
действительную и мнимую части:
,
для этого
умножим числитель и знаменатель на комплексно –
сопряжённый знаменатель:
;
;
;
.
3. Годограф
Годограф –
это график частотной передаточной функции на
комплексной плоскости при изменении частоты от
нуля до бесконечности.
Изменяя
частоту, производим расчёт действительной и
мнимой частей частотной передаточной функции.
Результат
расчёта записываем в таблицу 1.
Таблица 1. Расчёт
годографа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
2,8750000
|
0,0000000
|
10
|
-0,0512719
|
0,4570747
|
200
|
-0,00018
|
0,020008
|
1
|
2,7230769
|
0,9846154
|
20
|
-0,0163435
|
0,2074170
|
300
|
-0,000078
|
0,013336
|
2
|
1,9500000
|
1,9000000
|
30
|
-0,0075500
|
0,1355448
|
400
|
-0,000044
|
0,010001
|
3
|
0,8344828
|
1,9862069
|
40
|
-0,0043030
|
0,1009350
|
500
|
-0,000028
|
0,008001
|
4
|
0,2250000
|
1,5500000
|
50
|
-0,0027705
|
0,0804792
|
600
|
-0,000019
|
0,006667
|
5
|
0,0130624
|
1,1611030
|
60
|
-0,0019302
|
0,0669441
|
700
|
-0,000014
|
0,005715
|
6
|
-0,0500000
|
0,9000000
|
70
|
-0,0014209
|
0,0573176
|
800
|
-0,000019
|
0,005000
|
7
|
-0,0645030
|
0,7269777
|
80
|
-0,0010893
|
0,0501171
|
900
|
-0,000009
|
0,004445
|
8
|
-0,0634615
|
0,6076923
|
90
|
-0,0008614
|
0,0445267
|
1000
|
-0,000007
|
0,004000
|
9
|
-0,0578113
|
0,5216604
|
100
|
-0,0006982
|
0,0400600
|
2000
|
-0,000002
|
0,002000
|
Можно
построить график на комплексной плоскости – рис. 1.
Рис. 1.
Годограф
4. Импульсная характеристика
Импульсная
характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной
функции:
.
Найдём полюса
передаточной функции:
Видим –
полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет
расходящимся.
Разложим
передаточную функцию на простые дроби:
.
Используя
табличные значения, находим:
,
.
Таким
образом, получаем:
.
Изменяя время
от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу
2.
Таблица 2.
Импульсная характеристика
|
0
|
0,5
|
1
|
1,5
|
2
|
2,5
|
3
|
3,5
|
4
|
4,5
|
5
|
|
-4
|
11,28
|
62,69
|
100,8
|
-167,1
|
-1236
|
-2395
|
2097
|
23854
|
54578
|
-15944
|
Строим график
импульсной характеристики – рис. 2.
Рис. 2.
Импульсная характеристика
5. Переходная
характеристика
Переходная
характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной
функции, делённой на р:
.
Найдём полюса
передаточной функции:
; .
Видим –
полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет
расходящимся.
Разложим
передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:
.
Приводим к
общему знаменателю:
.
Приравниваем
коэффициенты при равных степенях р:
,
,
.
Откуда
находим:
,
,
.
Используя
табличные значения, находим:
,
,
.
Таким
образом, получаем:
.
Изменяя время
от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу
3.
Таблица 3. Переходная характеристика
|
0
|
0,5
|
1
|
1,5
|
2
|
2,5
|
3
|
3,5
|
4
|
4,5
|
5
|
|
0
|
0,654
|
17,59
|
62,52
|
69,32
|
-243
|
-1209
|
-1744
|
3830
|
24151
|
42653
|
Строим график
переходной характеристики – рис. 3.
Рис. 3.
Переходная характеристика
6. ЛАЧХ
Для получения
ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:
.
далее находим
20 десятичных логарифмов от найденного модуля:
.
Это и есть
выражение для ЛАЧХ.
Расчёт
значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу
4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).
Таблица 4.
ЛАЧХ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1
|
0,1
|
9,17406
|
0,1
|
1,25893
|
9,20891
|
1,2
|
15,8489
|
-11,426
|
-0,9
|
0,12589
|
9,17482
|
0,2
|
1,58489
|
9,08243
|
1,3
|
19,9526
|
-13,614
|
-0,8
|
0,15849
|
9,17601
|
0,3
|
1,99526
|
8,70564
|
1,4
|
25,1189
|
-15,738
|
-0,7
|
0,19953
|
9,17788
|
0,4
|
2,51189
|
7,83066
|
1,5
|
31,6228
|
-17,818
|
-0,6
|
0,25119
|
9,18077
|
0,5
|
3,16228
|
6,23375
|
1,6
|
39,8107
|
-19,869
|
-0,5
|
0,31623
|
9,18519
|
0,6
|
3,98107
|
3,94960
|
1,7
|
50,1187
|
-21,902
|
-0,4
|
0,39811
|
9,19182
|
0,7
|
5,01187
|
1,26946
|
1,8
|
63,0957
|
-23,923
|
-0,3
|
0,50119
|
9,20135
|
0,8
|
6,30957
|
-1,5050
|
1,9
|
79,4328
|
-25,936
|
-0,2
|
0,63096
|
9,21400
|
0,9
|
7,94328
|
-4,1982
|
2
|
100
|
-27,944
|
0,79433
|
9,22792
|
1
|
10
|
-6,7459
|
2,1
|
125,893
|
-29,950
|
0
|
1
|
9,23483
|
1,1
|
12,5893
|
-9,1470
|
2,2
|
158,489
|
-31,953
|
Строим график
ЛАЧХ – рис. 4.
Рис. 4. ЛАЧХ
7. ФЧХ
ФЧХ – угол
поворота вектора на комплексной плоскости в
зависимости от частоты:
.
Расчёт
значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу
5. Размерность ФЧХ – радианы (рад).
Таблица 5.
ФЧХ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1
|
0,1
|
0,03263
|
0,1
|
1,25893
|
0,44997
|
1,2
|
15,8489
|
1,66382
|
-0,9
|
0,12589
|
0,04110
|
0,2
|
1,58489
|
0,58831
|
1,3
|
19,9526
|
1,64958
|
-0,8
|
0,15849
|
0,05177
|
0,3
|
1,99526
|
0,77030
|
1,4
|
25,1189
|
1,63592
|
-0,7
|
0,19953
|
0,06524
|
0,4
|
2,51189
|
0,99225
|
1,5
|
31,6228
|
1,62384
|
-0,6
|
0,25119
|
0,08227
|
0,5
|
3,16228
|
1,22480
|
1,6
|
39,8107
|
1,61359
|
-0,5
|
0,31623
|
0,10383
|
0,6
|
3,98107
|
1,42316
|
1,7
|
50,1187
|
1,60513
|
-0,4
|
0,39811
|
0,13123
|
0,7
|
5,01187
|
1,56064
|
1,8
|
63,0957
|
1,59824
|
-0,3
|
0,50119
|
0,16622
|
0,8
|
6,30957
|
1,63913
|
1,9
|
79,4328
|
1,59268
|
-0,2
|
0,63096
|
0,21126
|
0,9
|
7,94328
|
1,67427
|
2
|
100
|
1,58822
|
-0,1
|
0,79433
|
0,26981
|
1
|
10
|
1,68250
|
2,1
|
125,893
|
1,58466
|
0
|
1
|
0,34696
|
1,1
|
12,5893
|
1,67633
|
2,2
|
158,489
|
1,58182
|
Строим график
ФЧХ – рис. 5.
Рис. 5.
ФЧХ
8. Структурная схема системы
Записываем
матричные уравнения системы:
;
.
Подставляем
исходные данные:
;
.
Производим
умножение матриц:
,
,
.
Получили
систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6.
Рис. 6.
Структурная схема системы
Часть 2:
Осуществить
синтез замкнутой системы с собственными числами
{–1; –4; ± 5j}.
Построить
наблюдатель полного порядка.
Дано:
,
,
.
Решение:
1. Синтез замкнутой системы
Рассматриваем
линейную систему с постоянными параметрами:
,
.
Пусть
управление линейно зависит от координат состояния системы:
,
где
– входной командный сигнал,
К – матрица
коэффициентов обратной связи.
После
замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7.
Рис. 7.
Структура исходной системы
Движение
системы описывается линейным дифференциальным уравнением:
.
Таким
образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК,
её характеристическими числами.
Характеристический
многочлен исходной системы равен:
.
Спектр
характеристических чисел (корни характеристического многочлена):
.
Желаемый
характеристический многочлен замкнутой системы по
условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий
порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем
собственное число (–1), тогда:
.
Пусть матрица
коэффициентов обратной связи , тогда
характеристический полином замкнутой системы:
.
Приравниваем
коэффициенты при равных степенях многочленов и :
,
,
,
.
Решая
полученную систему уравнений, получаем:
,
,
.
Искомое
управление принимает вид:
.
Структура
синтезированной системы представлена на рис. 8.
Она построена
по уравнениям:
,
,
,
,
.
Рис. 8.
Структура синтезированной системы
2. Построение наблюдателя полного порядка
Система
называется
асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального
состояния х(0) и всех оценка с ростом времени асимптотически
приближается к вектору состояния .
Найдём
структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку
восстановления и найдём модель её изменения:
.
Затем
потребуем, чтобы при всех и .
Это равенство
возможно при:
,
.
Таким
образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью
вида:
.
На рис. 9
изображена структура системы и её наблюдателя.
Рис. 9.
Структура системы с наблюдателем
Задача
синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу . Это можно сделать, исходя из условия
асимптотической сходимости оценки к вектору состояния при любых начальных состояниях
наблюдателя и системы.
Пусть ошибка
восстановления , тогда
.
Ошибка
восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с
матрицей и ненулевыми начальными условиями, а
поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда,
когда собственные числа матрицы , которые называют
полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.
Пусть матрица
,
тогда матрица
.
Полюса
наблюдателя определяются уравнением:
.
Переходные
процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса
наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку
характеристические числа замкнутой системы равны:
{– 4; ± 5j},
то расположим
полюса наблюдателя в точках:
.
Желаемый
характеристический полином наблюдателя принимает вид:
,
что будет
иметь место тогда, когда:
,
,
.
Решая
полученную систему уравнений, получаем:
;
;
.
Находим
матрицу:
Модель
асимптотического наблюдателя системы принимает вид:
,
,
,
.
Структура
системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на
рис. 10.
Она построена
по уравнениям:
,
,
,
,
,
,
.