Математические последовательности. Предел функции
Задание 1
Вычислите 
и 
последовательности
.
Решение.
Рассмотрим
последовательность 
.
для
любого натурального 
Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это
означает, что последовательность имеет верхнюю
точную грань: 
.
Следовательно, множество не является ограниченным снизу. Это
означает, что нижняя грань 
последовательности не существует.
Ответ. 
не существует
Задание 2
Пользуясь определением
предела последовательности, докажите, что 
.
Доказательство.
Число 
называется пределом последовательности 
, если для любого положительного числа 
существует номер 
такой, что при 
выполняется
неравенство 
.
Используя определение
предела последовательности, докажем, что .
Возьмем любое число 
.
Если взять 
, то для всех будет
выполняться неравенство 
. Следовательно, .
Доказано
Задание 3
Пользуясь определением
предела функции, докажите, что 
.
Доказательство
Число 
называется пределом функции 
при 
,
если для любого числа существует число 
такое, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Используя определение
предела функции, докажем, что .
Возьмем любое .
Положим 
.
Если взять , то для всех 
,
удовлетворяющих неравенству 
, выполняется
неравенство 
. Следовательно, .
Доказано.
Задание 4
Вычислите предел 
.
Решение.
Ответ. 
Задание 5
Вычислите предел 
.
Решение.
Ответ. 
Задание 6
Вычислить предел 
.
Решение.
Ответ. 
Задание 7
Вычислить предел 
.
Решение.
Ответ. 
Задание 8
Вычислить предел 
.
Решение
Ответ. 
Задание 9
Вычислить предел 
.
Решение.
Ответ. 
Задание 10
Вычислить предел 
.
Решение.
Ответ. 
Задание 11
Вычислить предел 
.
Решение.
Ответ. 
Задание 12
Вычислить предел 
.
Решение.
Ответ.
Задание 13
Вычислить предел 
.
Решение.
Ответ. 
Задание 14
Вычислить предел 
.
Решение.
при
функция 
является
бесконечно малой
для
любого 
функция 
является
ограниченной.
Известно, что
произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно
малая функция. Следовательно, функция 
является
бесконечно малой при . Это означает, что 
.
Ответ. 