Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Контрольна робота
З дисциплiни: Вища математика
За темою (роздiлом навчального плану)
Прізвище,ім’я, по
батькові студента
Данiщук Мирослава
Евгенiївна
Прiзвище та
інiцiали викладача
Дюженкова Ольга
Юріївна
Київ 2008 рiк.
Завдання 1
Систему рівнянь
записати в матричній формі та розв’язати методом оберненої матриці та методом
Гауса.
(*)
Розв’язання.
Запишемо дану
систему рівнянь (*) в матричній формі:
= . (1)
Введемо позначення:
А≡ - матриця системи,
Х ≡ - вектор-стовпець з невідомих членів,
В ≡ - вектор-стовпець з вільних членів.
1) Розв’яжемо
систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.
Домноживши
рівність (1) зліва на обернену матрицю A-1 одержимо:
Знайдемо обернену
матрицю до даної:
A-1 =
,
де А11=
(-1) 2·=10-24=-14,А12=
(-1) 3·=- (-6+6) =0,А13=
(-
1) 4·=-12+5=-7,А21= (-1) 3·=- (-2+4) =-2,А22= (-1) 4
·=-6-1=-7,А23= (-1) 5·=- (-12-1) =13,А31= (-1) 4·=-
6+5=-1,А32=
(-1) 5·=- (-18-3) =21,А33=
(-1) 6·=-15-3=-18.
det A = = 30-6-12+5+6-72=-49.
Тому
A-1 =
= - .
Отже, розв’язок
даної системи в матричній формі запишеться так:
X = - ·=-=
=-=.
Тобто х1=1,х2=1,х3=1.
2) Розв’яжемо систему рівнянь методом Гауса.
Метод Гауса
полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних
перетворень.
Спочатку виключимо
х1 з другого та третього рівнянь системи (*).
Помножимо друге
рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого
рівняння,
Помножимо третє
рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння:
(2)
Тепер виключимо х3
з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння
системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння
системи:
(3)
З рівняння (3) маємо:
х2= 1,х2
= = 1,х3 = 5-3·1-1=1.
Відповідь. дана
система в матричній формі:
= ,
її розв’язок (1;
1;1).
Завдання 2
Показати, що перші
три вектори , , утворюють базис тривимірного векторного
простору, і розкласти вектор за цим базисом (при
розв’язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):
= (1,2,3), = (2,2,3), = (1,1,1), = (5,7,10)
Розв’язання.
Для того, щоб
вектори , , утворювали базис, необхідно щоб вони
були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:
α +β +γ
= 0,за умови, що α = β =
γ = 0.
Тобто
α +β +γ
= 0,
або
= .
Тоді, система:
повинна мати
тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.
Визначник системи:
А = , det A =
1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=10.
Отже, вектори , , утворюють базис тривимірного векторного
простору.
Тоді вектор є їх лінійною комбінацією:
= b1 + b2 + b3 .
Числа b1,
b2, b3 будуть координатами вектора у базисі , , . Знайдемо їх, розв’язавши відповідну
систему:
Систему лінійних
рівнянь розв’яжемо, використовуючи формули Крамера:
b1 = ,
b2 =
b3 = .
= det = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5
= 2,= det =
1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1,= det
=1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 =
1.
Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3
= 1.
Отримали вектор у базисі , , : = 2 + + .
Відповідь. вектори , , утворюють базис тривимірного векторного
простору, = 2 + + .
Завдання 3
Задано: координати
трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти
АК, знайти кут А і координати точки К.
A (0;
2), B (2;
3), С (1;
3).
Розв’язання.
рівняння АВ:
,
звідси рівняння
прямої АВ: х - 2у + 4=0;
рівняння АС:
,
звідси рівняння
прямої АС: х - у +2=0;
рівняння ВС:
,
звідси рівняння
прямої ВС: у = 3.
2) З урахуванням
перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є
напрямним прямої АК: (0;
1) - нормальний
вектор прямої ВС, (0;
1) - напрямний
вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А
(0;
2) -
=0
х = 0 - рівняння
прямої АК.
3) кут А - гострий
кут між прямими АВ і АС:
∟A = ∟BAK
- ∟CAK,
де ∟BAK =
arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,∟CAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1)
= ,
тому ∟ A =
arctg 2 - .
4) Знайдемо точку
К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є розв’язком
системи рівнянь даних прямих:
Маємо: К (0;
3).
Відповідь. (АВ): х - 2у + 4=0, (АС): х - у +2=0;
(ВС): у = 3;
(АК): х=0;
∟ A = arctg
2 - ;
К (0;3).
Завдання 4
Знайти границі
функцій (не використовуючи правило Лопіталя):
а) ;
б) ;
в)
Розв’язання:
а) Коли x прямує
до нескінченності, молодшими степенями x можна нехтувати:
= ==-3;
б) Здійснимо
заміну змінних y = x - 2:
== - ,
розпишемо синус за
допомогою формули Тейлора:
sin у = y - +…
Тоді:
= - = - =
- 1 - (-) +…=-1+0+…=-1;
в) Скористаємося
визначенням числа e:
е =
і здійснимо заміну
змінних y = - 2x - 1:
= = =
=
= = е2.
Відповідь. - 3;
- 1; е2.
Завдання 5
Знайти похідну
функції:
у = еsin x
ln x
Скористаємося
формулою диференціювання добутку і складної функції:
.
Відповідь. .
Завдання 5
Дослідити функцію
методами диференціального числення і побудувати її графік. Досліджувати функцію
рекомендується за такою схемою:
1) знайти область
визначення й область зміни функції;
2) дослідити
функцію на неперервність, знайти точки розриву функції (якщо вони існують) і
точки перетину її графіка з осями координат;
3) знайти інтервали
зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму;
4) знайти
інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину;
5) знайти
асимптоти графіка функції.
у = .
Розв’язання.
1) Область
визначення - вся числова вісь за винятком x = - 3 и x = +3, коли знаменник
перетворюється в нуль:
х є (-∞; - 3)
U (-3; +3) U (+3; +∞),
область значень
функції - вся числова вісь за виключенням y = 0: у є (-∞; 0) U (0; +∞).
2) Точки розриву x
= - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль;
функція перетинає
вісь y при х = 0, у = - .
3) Інтервали
зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму:
знайдемо похідну
функції:
,
похідна додатна
при x < 0, тому функція при x <0 зростає,
похідна від’ємна
при x > 0, тому функція при x > 0 спадає,
похідна дорівнює 0
при x = 0, тому функція при x = 0 досягає локального екстремуму;
знайдемо другу
похідну функції:
,
друга похідна
дорівнює - при x = 0, тобто від’ємна, тому даний
локальний екстремум - це локальний максимум.
4) Знайдемо
інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину:
друга похідна
додатна в інтервалах (-∞; - 3), (+3; +∞), тому в них функція
випукла вниз;
друга похідна
від’ємна в інтервалі (-3; +3), тому в ньому функція випукла вгору;
відповідно, точки
x = - 3 и x = +3 - точки перегину
5) Знайдемо
асимптоти графіка функції:
при х→-∞
і х→+∞ функція прямує до нуля, тому пряма y = 0 - горизонтальна
асимптота;
точки x = - 3 и x
= +3, коли знаменник перетворюється в нуль, визначає дві вертикальні асимптоти.
6) Побудуємо
графік функції:
Відповідь.1) х
є (-∞; - 3) U (-3; +3) U (+3; +∞), у є (-∞; 0) U (0; +∞);
2) точки
розриву x = - 3 и x = +3;
функція
перетинає вісь в т. (0; - );
3) функція при
x <0 зростає,
функція при x
> 0 спадає,
функція при x =
0 досягає локального екстремуму;
у=- при x = 0 - локальний максимум;
4) в інтервалах
(-∞; - 3), (+3; +∞) функція випукла вниз;
в інтервалі (-3;
+3) функція випукла вгору;
точки x = - 3 и
x = +3 - точки перегину;
5) y = 0 - горизонтальна
асимптота;
x = - 3 и x =
+3 - вертикальні асимптоти.
Завдання 6
Знайти невизначені
інтеграли:
а) , б) .
Розв’язання.
а) Здійснимо
заміну змінних y = cos x - 4, dy = - sin x dx:
;
б) Скористаємося
формулою інтегрування за частинами:
=
=-
Відповідь. ; .
Завдання 7
Знайти частинні
похідні за обома змінними функції двох змінних:
z (x,y) =x ln y
+ y
Розв’язання.
Скористаємося
формулою диференціювання і складної функції:
,
Відповідь. ; .