Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Зміст

Вступ

1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

2. Метод Гауса

3. Метод Жордана-Гауса

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

При розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь можливі такі випадки:

а) система має єдиний розв’язок;

б) система має безліч розв’язків;

в) система не має розв’язків.

У випадках а) і б) систему називають сумісною, а у випадку в) - несумісною.

Якщо система сумісна і має єдиний розв’язок то її називають визначеною, а коли безліч розв’язків - невизначеною. Випадок, коли система має кінцеве число розв’язків більше одного неможливий.

Позначимо через  матрицю системи.

.

Через  позначимо матрицю, яка одержується із матриці  шляхом приєднання стовпця вільних членів

.

Матрицю  називають розширеною матрицею системи (1).

Для того, щоб система рівнянь із  невідомих і  рівнянь була сумісною необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи  дорівнював рангу розширеної матриці :

.

Зауваження. У випадку сумісності системи система має єдиний розв’язок (визначена), коли  і нескінченну кількість розв’язків (невизначена), коли , де  - кількість невідомих.

Однорідна система  лінійних рівнянь з  невідомими має вигляд:

Однорідна система завжди сумісна, так як вона має розв'язок , який називається нульовим або тривіальним.

Якщо визначник системи , то тривіальний розв’язок буде єдиним розв’язком системи (3). Відмітимо, що ранг матриці системи і ранг розширеної матриці рівні.

Якщо , тоді ранг матриці системи і ранг розширеної матриці системи (3) менше числа . Припустимо, що вони дорівнюють . Тоді система (3) має нескінченну множину розв’язків

,

де  - довільне дійсне число, а  - алгебраїчні доповнення елементів -го рядка матриці системи. Дійсно, підставляючи ці числа в ліві частини рівнянь системи (3), одержимо:

Рівняння системи перетворились в тотожності, так як якщо сума

дорівнює нулеві (ця сума є сумою добутків елементів -го рядка визначника на алгебраїчні доповнення другого -го рядка визначника). Якщо  сума

також дорівнює нулеві, так як вона дорівнює визначнику системи , який дорівнює нулеві.

Відмітимо, що при побудові розв’язку системи беруться алгебраїчні доповнення того рядка, де хоч би одне із  не дорівнювало б нулю.

1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

1. Основні означення та результати

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими:

 (1)

Означення. Розв’язком системи (1) називається сукупність значень невідомих

що задовольняють усі рівняння системи (1).

Означення. Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

Дві системи рівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожний розв’язок однієї системи є розв’язком іншої системи або якщо ці системи рівнянь несумісні.

У результаті еквівалентних перетворень системи рівнянь завжди дістаємо рівносильну систему рівнянь. До еквівалентних перетворень системи належать:

1) переставлення місцями рівнянь;

2) множення або ділення рівнянь на число, що не дорівнює нулю;

3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Будь-який метод розв’язування системи рівнянь (1) передбачає виконання еквівалентних її перетворень, завдяки яким вона зводиться до такого вигляду, що розв’язок уже легко знайти.

Запишемо вектори-стовпці

. (2)

Для того щоб система рівнянь (1) була сумісною, тобто мала принаймні один розв’язок, необхідно і достатньо, щоб вектор був лінійною комбінацією векторів , тобто щоб ранг r системи векторів  дорівнював рангу розширеної системи векторів .

Звідси дістаємо умову Кронекера-Капеллі сумісності системи рівнянь.

Для того щоб система (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг r матриці

 (3)

дорівнював рангу розширеної матриці

.

Нехай система рівнянь (1) сумісна, тобто виконується рівність

.

Якщо, , то всі рівняння системи (1) лінійно незалежні. У матриці А візьмемо мінор порядку , відмінний від нуля. Цей мінор називається базисним.

Очевидно, що вибір базисного мінора неоднозначний. Якщо , то рівняння, коефіцієнти яких входять до базисного мінора, лінійно незалежні, причому решта  рівнянь є лінійними комбінаціями лінійно незалежних рівнянь.

Якщо , то всі шукані змінні  визначаються єдиним чином. Якщо , то змінні, коефіцієнти при яких входять до базисного мінора, називаються базисними.

Решту змінних називають вільними. Значення таких змінних можна вибирати довільно. Якщо вільні змінні вибрано, то базисні змінні можна вибрати єдиним чином. Якщо вільні невідомі дорівнюють нулю, то відповідний розв’язок системи (1) називається базисним.

Розглянемо однорідну систему рівнянь, що відповідають системі (1):

 (4)

Вона сумісна, бо завжди має нульовий розв’язок  . Якщо , то система (4) має єдиний нульовий розв’язок. Якщо , то система (4) має  лінійно незалежних ненульових розв’язків:

Будь-яка лінійна комбінація розв’язків

 (6)

також є розв’язком системи рівнянь (4).

Якщо всі розв’язки (5) лінійно незалежні, тобто ранг матриці

дорівнює (), то система розв’язків (5) називається фундаментальною.

Будь-який розв’язок системи рівнянь (4) можна подати у вигляді (6), тобто у вигляді лінійної комбінації розв’язків (5), які утворюють фундаментальну систему розв’язків.

При цьому розв’язок (6) системи рівнянь (4) називається загальним розв’язком однорідної системи (4). Загальний розв’язок системи (1) є сумою деякого частинного розв’язку цієї системи, наприклад базисного розв’язку, і загального розв’язку однорідної системи рівнянь (4).

Приклад. Розглянемо систему п’яти лінійних рівнянь з чотирма невідомими

 (7)

Можна переконатися, що ранг матриці коефіцієнтів і ранг розширеної матриці дорівнюють r = 2. За базисний мінор візьмемо визначник

,

елементи якого входять до перших двох рівнянь і є коефіцієнтами при . Отже, базисними невідомими є , вільними невідомими - .

Замість системи (7) можна розв’язати систему, утворену з двох перших рівнянь:

 (8)

Візьмемо вільні невідомі  і , а далі знайдемо базисний розв’язок системи рівнянь (7): .

Вважаючи х3 і х4 довільними змінними, із системи рівнянь

знайдемо розв’язки

Нехай , де С1, С2 - довільні сталі. Тоді загальний розв’язок

Запишемо однорідну систему рівнянь

 (9)

Вона має лінійно незалежні розв’язки:

які утворюють фундаментальну систему розв’язків системи (5).

Отже, система рівнянь (7) має загальний розв’язок

де С1, С2 - довільні сталі.

Загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь подається не в одному й тому самому вигляді.

2. Метод Гауса

Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

 (1)

до трикутного вигляду

 (2)

Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт . Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова .

За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:

Іноді вводять контрольний стовпець , що дає змогу виявляти помилки. Поділивши перший рядок на а11, позначимо

.

Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д. Позначивши

,

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

Для невідомих  маємо систему  рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на . Якщо коефіцієнт , то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова .

Позначивши

,

помножимо другий рядок послідовно на  і віднімемо від третього рядка; на  і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:

Продовжуючи процес виключення невідомих, дістаємо нарешті таблицю:

Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи . Запишемо відповідну систему рівнянь:

 (3)

Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходять  і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають , і т.д.

Якщо система рівнянь з n невідомими має єдиний розв’язок, то ця система завжди може бути перетворена до трикутного вигляду.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

за методом Гауса.

Складемо таблицю

Перший рядок віднімемо від другого. Далі помножимо перший рядок на другий і віднімемо від третього рядка. Дістанемо таблицю

Помножимо другий рядок на третій і додамо до третього рядка:

Поділивши останнє рівняння на 14, дістанемо систему

Послідовно знайдемо: . ·

У загальному випадку метод Гауса застосовується для дослідження та розв’язування системи рівнянь з n невідомими

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Скориставшись методом виключення Гауса і переставивши перші n стовпців, перетворимо таблицю до такого вигляду:

.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів  відмінний від нуля, то система рівнянь (4) несумісна і не має розв’язків. Якщо всі коефіцієнти , то система рівнянь (4) сумісна. У такому разі маємо r базисних невідомих, що відповідають першим r стовпцям, решта  невідомих є вільними.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

 (5)

Утворимо таблицю коефіцієнтів системи:

Помноживши перший рядок на 2, віднімемо його від другого рядка. Потім перший рядок віднімемо від третього й дістанемо таблицю:

Віднімемо другий рядок від третього й запишемо таблицю

,

яка відповідає несумісній системі рівнянь.

Система рівнянь (5) не має розв’язків. Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь:

 (6)

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Виключивши невідомі х1 за допомогою першого рядка, дістанемо таблицю:

Віднявши другий і третій рядки від четвертого, дістанемо таблицю:

Система рівнянь сумісна, але розв’язок не є єдиним. Поміняємо місцями третій і п’ятий стовпці. Тоді маємо:

Цій таблиці відповідає система рівнянь

Невідомі  - базисні, невідомі  - вільні. Із системи рівнянь (6) знайдемо загальний розв’язок:

де С1 і С2 - довільні сталі. ·

3. Метод Жордана-Гауса

Метод Жордана-Гауса є модифікацією методу Гауса і часто застосовується в економічних розрахунках. Сутність методу полягає в тому, що кожне невідоме виключається не тільки з розміщених нижче, а з усіх рівнянь. У такому разі зростає обсяг обчислень. Якщо система n рівнянь з n невідомими

 (1)

має єдиний розв’язок, то вона перетворюється до вигляду

.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

Утворимо відповідну таблицю коефіцієнтів:

Поділивши перший рядок на 2, дістанемо таблицю:

Перший рядок додамо до другого. Далі помножимо перший рядок на 3 і віднімемо від третього рядка. Утворимо таблицю:

Поділимо другий рядок на 7/2:

Помножимо другий рядок на 1/2, віднімемо від першого рядка і додамо до третього. Дістанемо:

Поділивши третій рядок на 4/7, запишемо:

Помножимо третій рядок на 4/7 і віднімемо від першого рядка.

Далі помножимо третій рядок на 1/7 і додамо до другого, утворивши заключну таблицю:

Звідси знаходимо розв’язок .

Метод Жордана-Гауса застосовується також для розв’язування складних систем m рівнянь з n невідомими:

 (2)

Якщо ранг матриці коефіцієнтів при невідомих дорівнює r, то таблиця коефіцієнтів набирає вигляду:

 (3)

Якщо хоча б один із членів  відмінний від нуля, то система рівняння несумісна. Якщо , то система сумісна і має m базисних невідомих, які відповідають першим r стовпцям і  вільним невідомим.

Приклад. Знайдемо методом Жордана-Гауса розв’язок системи рівнянь

Утворимо таблицю коефіцієнтів системи:

Перший рядок віднімемо від другого, далі перший рядок помножимо на 2 і віднімемо від третього. Остаточно дістанемо:

Другий рядок помножимо на -2 і віднімемо від першого рядка. Третій рядок віднімемо від першого. У результаті запишемо таблицю:

Підставивши другий стовпець на останнє місце, дістанемо таблицю виду (3):

Невідомі  - базисні, невідоме х2 - вільне. Відповідна система рівнянь така:

де С - довільна стала.

Досі ми розглядали лише навчальні приклади зі сталими коефіцієнтами й цілочисловими розв’язками. Розглянемо складніший приклад.

Приклад. Розв’яжемо за методом Жордана-Гауса систему

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Поділивши перший рядок на 21, дістанемо таблицю:

Помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від другого. Далі перший рядок помножимо на 4 і віднімемо від третього:

Поділимо другий рядок на 7,142857142:

Помножимо другий рядок на 0,571428571 і додамо до першого рядка; далі помножимо другий рядок на 2,714285716 і додамо до третього:

Поділимо третій рядок на 12,72666667:

Помножимо третій рядок на 0,04 і додамо до першого рядка; потім помножимо третій рядок на 0,486666667 і додамо до другого рядка:

Звідси дістанемо розв’язок:

х₁ = 0,449973808, х₂ = 0,308014618, х₃ = 0,249345207,

який можна округлити згідно з точністю початкових даних.

Висновки

Метод Жордана-Гауса називають також методом послідовного виключення невідомих системи. Ідея методу Гауса полягає в наступному: за допомогою елементарних перетворень система приводиться до ступінчатої системи наступного вигляду

де .

Якщо , то ступінчату систему називають трикутною, якщо , то систему називають трапецевидною.

Ступінчату систему легко дослідити сумісна вона чи ні. Якщо ступінчата система містить хоч би одне рівняння виду , то система несумісна.

Елементарні перетворення зручно виконувати не над самою системою (1), а над її розширеною матрицею. Слід звернути увагу, щоб елементарні перетворення над розширеною матрицею співпадали з елементарними перетвореннями над системою. Так, наприклад, не можна до елементів стовпця матриці додавати відповідно елементи другого стовпця, помножені на деяке число, так як такого елементарного перетворення системи не існує.

Трикутна система має єдиний розв’язок. Із останнього рівняння знаходимо , потім, підставляючи його значення в попереднє рівняння, знаходимо . Далі аналогічним шляхом знаходимо .

Трапецевидна система має нескінченну множину розв’язків. В цьому випадку змінні  вважаються вільними і їх переносимо в праві частини рівнянь, тоді головні змінні  в процесі розв’язку системи будуть лінійними функціями змінних .

Слід відмітити, що метод Гауса застосовується і для розв’язку однорідних систем у випадку, коли  і ранг матриці системи менше , а також для розв’язку систем, у яких число рівнянь більше числа невідомих.

Метод Жордана-Гауса полягає у зведенні системи до діагонального вигляду. Отримуємо одразу значення всіх (якщо система визначена) або базисних (якщо система невизначена) невідомих змінних.

Якщо в отриманому розв'язку сумісної невизначеної системи надати довільні числові значення незалежним невідомим і обчислити залежні, то отримаємо частинний розв'язок системи.

Список використаних джерел

1.   Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. - К.: А.С.К., 2006. - 648 с.

2.   Зеленський К.Х. Вища математика. - К.: Університет "Україна", 2006. - Ч.2 - 212 с.

3.   Коваленко І.П. Вища математика. - К.: Вища школа, 2006. - 343 с.

4.   Лавренчук В.П., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С. Вища математика. - Вид. 3-тє, випр. - Чернівці: Рута, 2007. - 175с.

5.   Макаренко В.О. Вища математика для економістів. - К.: Знання, 2008. - 517с.

6.   Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. - К.: Техніка, 2007. - 600c.