Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
Задача
1
Решить систему линейных уравнений двумя способами: по
формулам Крамера и методом Гаусса
Решение:
1) решим
неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера
Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D1, D2, D3, если они не
равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
Система 3 линейных уравнений с 3
неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет
единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ: получили решение:
2) решим неоднородную систему линейных алгебраических
уравнений Ах = В методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы
Примем первую строку за направляющую, а элемент а11
= 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом
столбце.
Матрице соответствует
множество решений системы линейных уравнений
Ответ: получили решение:
Задача
2
Даны координаты вершин треугольника АВС
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до
0,01
4) уравнение
медианы АЕ;
5) уравнение
и длину высоты CD;
6) уравнение
прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее
пересечения с высотой CD;
7) уравнение
окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Построить
заданный треугольник и все линии в системе координат.
А(1; -1), В(4;
3). С(5; 1).
Решение
1) Расстояние между точками А(х1; у1)
и В(х2; у2) определяется по формуле
воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1;
у1) и В(х2; у2) имеет вид
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:
Угловой коэффициент kАВ прямой АВ
найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым
коэффициентом у = kx - b.
У нас , то есть откуда
Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой
коэффициент.
Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:
Угловой коэффициент kВС прямой ВС
найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым
коэффициентом у = kx - b.
У нас , то есть
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до
0,01
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника
воспользуемся формулой:
Отметим, что порядок вычисления разности угловых
коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного
расположения прямых АВ и ВС.
Подставив ранее вычисленные значения kВС и kАВ в (3), находим:
Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным
микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.
4) уравнение
медианы АЕ;
Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала
координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение
медианы:
5) уравнение и длину высоты CD;
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную
точку М(х0; у0)
с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид
и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kABkCD = -1, откуда kCD = -1/kAB = - 3/4
Подставив в (4) вместо k значение kСD = -3/4, а вместо x0, y0 ответствующие координаты точки С,
получим уравнение высоты CD
Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0;
у0) до заданной прямой с уравнением Ax + By + С = 0 , которая имеет вид:
6) уравнение
прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее
пересечения с высотой CD;
Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF = kAB = 4/3. Подставив в уравнение (4)
вместо х0; у0 координаты точки Е, а вместо k
значение kEF получаем уравнение прямой EF'.
Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения
прямых EF и CD.
Таким образом,
М(5,48; 0,64).
7) уравнение
окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит
через вершину В(4; 3), то ее радиус
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0(х0;
у0) имеет вид
Имеем
Треугольник АВС, высота СD, медиана AE,
прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.
Рис. 1
Задача 3
Составить
уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно
расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат
Решение
Пусть М (x, у) - текущая
точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то
Pиc. 2
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке
С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).
Задача 4
Найти указанные пределы:
а)
Ответ:
б)
Ответ:
Задача 5
Найти производные dy/dx, пользуясь правилами и формулами
дифференцирования
Решение:
а)
Ответ:
б)
Ответ:
в)
Ответ:
Задача 6
Исследовать
заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
а) ; б)
Решение
а)
1) Областью определения данной функции являются все
действительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х: хÎ(-¥, +¥)}, а это значит, что функция
непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности.
С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том,
что функция имеет две критические точки первого рода х1 = 1, х2
= 2.
Разбиваем область
определения этими точками на части и по изменению в них знака производной
функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:
х
|
(-¥; 1)
|
1
|
(1; 2)
|
2
|
(2; ¥)
|
f ’(x)
|
+
|
-
|
0
|
+
|
f(x)
|
|
max
|
|
min
|
|
3) Определим точки
перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого
найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х =
-1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из
которых установим знак второй производной:
х
|
(-¥; 1,5)
|
1,5
|
(1,5; ¥)
|
f ‘’(x)
|
-
|
0
|
+
|
f(x)
|
Ç
|
т. п.
|
È
|
Значение х = 1,5 является абсциссой точки перегиба графика
функции, а ордината этой точки:
4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для
определения параметров уравнения асимптоты y = kx – b воспользуемся формулами
Таким образом, у
графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) построим график функции
б)
1) Областью определения данной функции являются значения
аргумента х
D(y) = хÎ(-¥, 0) È (0, +¥).
2) Исследование на непрерывность и классификация точек
разрыва
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0.
Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0
– вертикальная асимптота.
3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности.
С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Следовательно, функция не имеет критических точек первого
рода.
Так как y’
< 0 для всех х, то функция убывает во всей области определения
4) Определим точки
перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого
найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем область
определения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной:
х
|
(-¥; 0)
|
0
|
(0; ¥)
|
f ‘’(x)
|
-
|
не существует
|
+
|
f(x)
|
Ç
|
не существует
|
È
|
5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для
определения параметров уравнения асимптоты y = kx + b воспользуемся формулами
Таким образом, у
графика заданной функции есть наклонная асимптота
y = 0*x + 1 = 1.
6) построим график функции