Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    160,45 kb
  • Опубликовано:
    2010-03-14
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

Задача 1

Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса


Решение:

1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера


Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D1, D2, D3, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

                        

Ответ: получили решение:

2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы


Примем первую строку за направляющую, а элемент а11 = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.


Матрице  соответствует множество решений системы линейных уравнений 

Ответ: получили решение:

 

Задача 2

Даны координаты вершин треугольника АВС

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

4) уравнение медианы АЕ;

5) уравнение и длину высоты CD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.

А(1; -1),     В(4; 3).       С(5; 1).

Решение

1) Расстояние между точками А(х1; у1) и В(х2; у2) определяется по формуле


воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;


2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1; у1) и В(х2; у2)  имеет вид


Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:


Угловой коэффициент kАВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.

У нас , то есть  откуда

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:


Угловой коэффициент kВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.

У нас , то есть

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:


Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.

Подставив ранее вычисленные значения kВС и kАВ  в (3), находим:


Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.

4) уравнение медианы АЕ;

Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС

                

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:


5) уравнение и длину высоты CD;

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х0; у0) с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид


и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kABkCD = -1, откуда kCD = -1/kAB = - 3/4

Подставив в (4) вместо k значение kСD = -3/4, а вместо x0y0 ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты  CD


Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0; у0) до заданной прямой с уравнением Ax + By + С = 0 , которая имеет вид:


6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF = kAB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х0; у0 координаты точки Е, а вместо k значение kEF получаем уравнение прямой EF'.


Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.


Таким образом, М(5,48; 0,64).

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус


Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0(х0; у0) имеет вид

Имеем

Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на  рис.1.

Рис. 1

Задача 3

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат

Решение

Пусть М (x, у) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то

Pиc. 2


Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).

Задача 4

Найти указанные пределы:

а)


Ответ:

б)


Ответ:

Задача 5

Найти производные dy/dx, пользуясь правилами и формулами дифференцирования

Решение:

а)


Ответ:

б)


Ответ:

в)


Ответ:

Задача 6


Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

а) ; б)

 

Решение


а)

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х:  хÎ(-¥, +¥)}, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных  асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х1 =  1, х2 = 2.

Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:

х

(-¥; 1)

1

(1; 2)

2

(2; ¥)

f ’(x)

+

-

0

+

f(x)

max

min



3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:


Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

х

(-¥; 1,5)

1,5

(1,5; ¥)

f ‘’(x)

-

0

+

f(x)

Ç

т. п.

È


Значение  х = 1,5  является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:


4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  y = kx – b воспользуемся формулами


Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) построим график функции


б)

1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х

D(y) = хÎ(-¥, 0) È (0, +¥).

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:


Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота.

3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:


Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода.

Так как y’ < 0 для всех х, то функция убывает  во всей области определения

4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:


Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем область определения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной:

х

(-¥; 0)

0

(0; ¥)

f ‘’(x)

-

не существует

+

f(x)

Ç

не существует

È


5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  y = kx + b воспользуемся формулами


Таким образом, у графика заданной функции есть наклонная асимптота

y = 0*x + 1 = 1.

6) построим график функции


Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!