Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
Вариант 1
№ 1
Три стрелка делают по
одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны
соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.
Найти вероятности того,
что:
а) все три стрелка
попадают в цель;
б) только один из них
попадает в цель;
в) хотя бы один стрелок
попадает в цель.
Обозначим события: А –
все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С –
хотя бы один стрелок попадает в цель.
Вероятности промахов
равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.
а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.
б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7
= 0,092.
в) Событие 
– все три стрелка промахиваются. Тогда
Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 –
0,006 = 0,994.
№ 11
Вероятность наступления
события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти
вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас n достаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02
= 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: 
. Таким образом, 
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х
определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее
квадратическое отклонение σ(Х).
|
хі
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
рі
|
0,05
|
0,18
|
0,23
|
0,41
|
0,13
|
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хірі = 0,05 + 2∙0,18 +
3∙0,23 + 4∙0,41
+ 5∙0,13 = 3,39.
i=1
5
D(X) = ∑ xi²pi – M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 +
4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1
1,1579.
σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.
№ 31
Случайная величина
Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную
функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое
ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций
F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) 
;
в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) Þ P
= F(1) – F
= 
– 0 = .
Графики функций поданы
далее.
№ 41
Определить вероятность
того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее
интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее
квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10;
σ = 4.
Используем формулу Р(α < x < β) = 
Имеем: Р(2 < x <
13) =
= Ф
– Ф(–2).
Поскольку функция
Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф– Ф(–2) = Ф+ Ф(2)
= 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.
№ 51
По данному
статистическому распределению выборки
|
хі
|
4
|
5,8
|
7,6
|
9,4
|
11,2
|
13
|
14,8
|
16,6
|
|
mі
|
5
|
8
|
25
|
30
|
20
|
18
|
6
|
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную
дисперсию; в)
выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём
условную переменную
,
где С – одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему
значению mі , а h – это шаг (у нас h = 1,8).
Пусть С = 11,2. Тогда 
.
Заполним таблицу:
|
xi
|
mi
|
xi´
|
ximi
|
(xi´)²mi
|
|
4
|
5
|
– 4
|
– 20
|
80
|
|
5,8
|
8
|
– 3
|
– 24
|
72
|
|
7,6
|
12
|
– 2
|
– 24
|
48
|
|
9,4
|
25
|
– 1
|
– 25
|
25
|
|
11,2
|
30
|
0
|
0
|
0
|
|
13
|
20
|
1
|
20
|
20
|
|
14,8
|
18
|
2
|
36
|
72
|
|
16,6
|
6
|
3
|
18
|
54
|
|
∑ = 124
|
|
∑ = – 19
|
∑ = 371
|
Используя таблицу, найдём
;
D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² = 
– (– 0,1532)² = 2,9685.
Теперь перейдем к
фактическим значениям х и D(x):
_
x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;
σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.
№ 61
По данной
корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.
|
|
 |
|
у х
|
6
|
9
|
15
|
18
|
21
|
ny
|
|
5
|
4
|
2
|
|
|
|
|
6
|
|
15
|
|
5
|
23
|
|
|
|
28
|
|
25
|
|
|
18
|
44
|
5
|
|
67
|
|
35
|
|
|
1
|
8
|
4
|
|
13
|
|
45
|
|
|
|
|
4
|
2
|
6
|
|
nx
|
4
|
7
|
42
|
52
|
13
|
2
|
n = 120
|
Для упрощения
расчетов введем условные переменные
u = 
, v = 
. Составим таблицу:
|
v u
|
– 3
|
– 2
|
– 1
|
0
|
1
|
2
|
nv
|
nuvuv
|
|
– 2
|
4 6
|
2 4
|
|
|
|
|
6
|
32
|
|
– 1
|
|
5 2
|
23 1
|
|
|
|
28
|
33
|
|
0
|
|
|
18 0
|
44 0
|
5 0
|
|
67
|
0
|
|
1
|
|
|
1 –1
|
8 0
|
4 1
|
|
13
|
3
|
|
2
|
|
|
|
|
4 2
|
2 4
|
16
|
|
nu
|
4
|
7
|
42
|
52
|
13
|
2
|
n = 120
|
∑ = 84
|
Последовательно получаем:
;
;
;
;
σu² = 
– (u)² = 1,058 – (– 0,425)² = 0,878; σu = √0,878 = 0,937;
σv² = 
– (v)² = 0,742 – (– 0,125)² =
0,726; σv = √0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённой
выше, получаем ∑nuvuv = 84.
Находим выборочный коэффициент
корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u∙h1 + C1 = – 0,425∙3 + 15 = 13,725; y = v∙h2 + C2 = – 0,125∙10 + 25 = 23,75;
σx = σu∙h1 = 0,937∙3 = 2,811; σy = σv∙h2 = 0,8521∙10 = 8,521.
Уравнение регрессии в
общем виде: 
Таким образом,
упрощая,
окончательно получим искомое уравнение регрессии: 
Необходимо произвести
проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях
х.
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению:
ух=12 = 2,457∙12
– 9,968 = 19,516; ε1 = 19,762 – 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблице имеем
по уравнению:
ух=18 = 2,457∙18
– 9,968 = 34,258; ε2 = 34,258 – 34,231 = 0,027.
Отмечаем хорошее
совпадение эмпирических и теоретических данных.
Вариант
2
№ 2
Для сигнализации
об аварии установлены 3
независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны
соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85.
Найти вероятности срабатывания при аварии:
а) только одного
устройства;
б только двух устройств;
в) всех трёх устройств.
Обозначим события: А –
срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С –
срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания)
соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда
а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 +
0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.
б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85
= 0,24725.
в) Р(С) = р1р2р3
= 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.
№ 12
В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того,
что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.
По условию 
n = 50, k = 3. Поскольку р
малó, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива
формула Пуассона: .
Таким образом, 
№ 22
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х
определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее
квадратическое отклонение σ(Х).
|
хі
|
2
|
3
|
4
|
5
|
8
|
|
рі
|
0,25
|
0,15
|
0,27
|
0,08
|
0,25
|
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хірі = 2∙0,25 + 3∙0,15
+ 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.
i=1
5
D(X) = ∑ xi²pi – M² = 2²∙0,25
+ 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25
– 4,43² 
і=1
= 5,0451.
№ 32
Случайная величина
Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную
функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое
ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики
функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) 
;
в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) Þ P= F(1) – F= 
Графики функций
приводятся далее.
№ 42
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х
примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны
математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные:
α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.
Используя формулу 
имеем
Поскольку
функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
№ 52
По данному статистическому
распределению выборки
|
хі
|
7,6
|
8
|
8,4
|
8,8
|
9,2
|
9,6
|
10
|
10,4
|
|
mі
|
6
|
8
|
16
|
50
|
30
|
15
|
7
|
5
|
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное
среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём
условную переменную 
где С – одно из значений хі
, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 0,4).
Пусть С = 8,8. Тогда 
Заполним таблицу:
|
xi
|
mi
|
xi´
|
ximi
|
(xi´)²mi
|
|
7,6
|
6
|
– 3
|
– 18
|
54
|
|
8
|
8
|
– 2
|
– 16
|
32
|
|
8,4
|
16
|
– 1
|
– 16
|
16
|
|
8,8
|
50
|
0
|
0
|
0
|
|
9,2
|
30
|
30
|
30
|
|
9,6
|
15
|
2
|
30
|
60
|
|
10
|
7
|
3
|
21
|
63
|
|
10,4
|
5
|
4
|
20
|
80
|
|
∑ = 137
|
|
∑ = 51
|
∑ = 335
|
Используя таблицу, найдём
;
D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² = 
– 0,3723² = 2,3067.
Теперь перейдем к
фактическим значениям х и D(x):
x = x´h + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x´)∙h² = 2,3067∙0,4² = 0,3961;
σ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075.
№ 62
По данной корреляционной
таблице
|
|
 |
|
у х
|
4
|
8
|
12
|
16
|
20
|
24
|
ny
|
|
10
|
2
|
5
|
|
|
|
|
7
|
|
20
|
|
6
|
8
|
4
|
|
|
18
|
|
30
|
|
8
|
46
|
10
|
|
|
64
|
|
40
|
|
|
5
|
20
|
4
|
|
29
|
|
50
|
|
|
3
|
14
|
2
|
5
|
22
|
|
nx
|
2
|
19
|
62
|
48
|
6
|
3
|
n = 140
|
найти выборочное уравнение
регрессии.
|
 v u
|
– 2
|
– 1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
nv
|
nuvuv
|
|
– 2
|
2 4
|
5 2
|
|
|
|
|
7
|
18
|
|
– 1
|
|
6 1
|
8 0
|
4 –1
|
|
|
18
|
2
|
|
0
|
|
8 0
|
46 0
|
10 0
|
|
|
64
|
0
|
|
1
|
|
|
5 0
|
20 1
|
4 2
|
|
29
|
28
|
|
2
|
|
|
3 0
|
14 2
|
2 4
|
5 6
|
22
|
66
|
|
nu
|
2
|
19
|
62
|
48
|
6
|
3
|
n = 140
|
∑ = 114
|
Последовательно получаем:
;
;
;
;
σu² = – (u)² = 0,9 – 0,329² = 0,792; σu = √0,792 = 0,89;
σv² = – (v)² = 1,164 – 0,293² =
1,079; σv = √1,079 = 1,0385;
По таблице, приведённой
выше, получаем ∑nuvuv = 114.
Находим выборочный коэффициент
корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u∙h1 + C1 = 0,329∙4 + 12 = 13,314; y = v∙h2 + C2 =0,293∙10 + 30 = 32,929;
σx = σu∙h1 = 0,89∙4 = 3,56; σy = σv∙h2 = 1,0385∙10 = 10,385.
Уравнение регрессии в
общем виде: Таким образом,
упрощая,
окончательно получим искомое уравнение регрессии: 
Необходимо произвести
проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях
х.
1) при х = 12 по таблице
имеем 
по уравнению: ух=12
= 2,266∙12 + 2,752 = 29,944; ε1 = 30,484 – 29,944 = 0,54;
2) при х = 16 по таблице
имеем 
по уравнению: ух=16
= 2,266∙16 + 2,752 = 39,008; ε2 = 39,167 – 39,008 =
0,159.
Отмечаем хорошее
совпадение эмпирических и теоретических данных.